Введение к работе
Актуальность темы. Вычислительные методы решения задач оптимального управления квалтовомеханической системой, описываемой уравнением Шредингера, является составной частью теории численных методов и оптимального управления системами с распределенными параметрами и относится к одному из ведущих разделов вычислительной математики, теории оптимальных процессов и теории дифференциальных уравнений в частных производных.
При изучении задач оптимального управления важное место занимают следующие вопросы: установление необходимых и достаточных условий оптимальности; разработка вычислительных и аналитических методов решения; исследование корректности постановки рассматриваемых задач оптимального управления. Изучению этих вопросов для задач оптимального управления системами с сосредоточенными и распределенными параметрами посвящено немало работ.
В современной теории вычислительных методов решения задач оптимального управления с распределенными параметрами особое место занимают задачи оптимального управления для систем, описываемых уравнениями квантовой механики, например, уравнением Шредингера. Такие задачи часто возникают в квантовой механике, ядерной физике, нелинейной оптике и в других областях современной физики и техники. Аналитическое решение подобных задач возможны лишь при весьма частных случаях. Поэтому численное исследование подобных задач несомненно представляется актуальным для современной теории и практики оптимальных процессов.
Качественная теория и общие методы решения задачи оптимального управления коэффициентами уравнений в частных производных начались развиваться после 70-х - 80-х годов. В этом направлении следует особенно
отметить работы Лионса Ж.Л., Тихонова А.Н., Фридмана А., Золеззи Т., Плотникова В.И., Искендерова А.Д., Райтума У.Е. и др.
Безусловно, теория оптимальных систем с распределенными параметрами сильно базируется на теорию систем с сосредоточенными параметрами, где фундаментальная роль принадлежит работам Понтрягина Л.С., Беллмана Р., Гамкрелидзе Р.В., Фельдбаума А.А., Харатишвили ГЛ. и др.
Задачи оптимального управления коэффициентом уравнения Шредингера ранее были изучены, в основном в работах Бутковского А.Г.. Самойленко Ю.И., Искендерова А.Д., Лгубова Г.Я., Динь Н.Х. и др.
Вычислительные методы решения задач оптимального управления _ргззшзшсь в нескольких направлениях. Одним из фундаментальных направлений является использование необходимых условииГустаГювлЬіі-ных для непрерывных задач оптимального управления. Однако, когда эти методы дискретно реализуются, тогда всегда открытым остается вопросы точности приближенных решений. В этом случае ситуация особенно усложняется, если решаемая задача является неустойчивой. Именно к этому классу относится изучаемая в диссертации задача.
Исследование сходимости дискретных аналогов непрерывных задач оптимального управления является актуальной. Сходимость разностного метода решения задач оптимального управления для обыкновенных дифференциальных уравнений изучены в работах Будака Б.М., Габасова Р., Кирилловой Ф.М., Гуленко В.П., Ермольев Ю.М., Калам Дж. и их учеников.
Для развития разностных методов теории оптимального управления распределенными системами фундаментальную роль сыграла теория разностных схем для уравнений в частных производных, развитых в работах Самарского А.А., Тихонова А.Н.? Лненко Н.И. и их учеников Андреева
А.Л., Гулина А.В., Гордезиани Д.Г., Курдюмова СП,, Коновалова А.Н., Попова Ю.П. и др.
Вопросы сходимости разностных методов для задач оптимального управления для уравнения Шредингера исследованы в работах Потапова М.М., Разгуляна А.В., Шамеевой Т.Ю., Ягубова Г.Я., Силла II., Мусаевой М.А. и др. Вопросы численного решения задач оптимального управления квантовомеханических систем весьма мало изучены. В случае критерия качества типы Лионса эти вопросы вообще не исследованы.
Критерии качества типа Лионса впервые введена и исследована Лионсом. Показано, что оно естественно моделирует ряд качеств управлений реальными процессами. Для управления коэффициентами распределенных систем методы моделирования критерием качества типа Лионса введены и анализированы в работах Искендерова А.Д.
Следует отметить, что вопросы корректности постановки, необходимых условий оптимальности и разработки численных методов решения задач оптимального управления квантовомеханической системой с критерием качества типа Лионса, ранее не исследованы. Поэтому учитывая практическую и теоретическую ценность этого вопроса настоящая диссертационная работа, посвящается разностному методу решения задач оптимального управления квантовомеханической системой с критерием качества Лионса, когда управлением является квантовомеханический' потенциал.
Цель работы. Исследовать корректность постановок задач оптимального управления квантовомеханических систем, - описываемых уравнением Шредингера и его разностным аналогом, вывести необходимые условия оптимальности для решения этих задач, исследовать вопросы зходимости разностного метода и установить оценок сходимости и :корости сходимости разностных аппроксимаций.
Методы исследования. В работе применяются методы теории разностных схем, оптимального управления, дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа.
Научная новизна полученных результатов заключается в следующем:
-
Впервые рассмотрена задача оптимального управления квантово-механической системой с критерием качества типа Лионса и исследованы вопросы корректности этой задачи в непрерывном и дискретном случаях.
-
Установлены необходимые условия в виде принципа максимума Понтрягина и вариционного неравенства в непрерывном случае, в виде дискретного аналога вариационного неравенства в дискретном случае. Найдены формулы для градиента рассматриваемых критериев качества.
3) Доказана оценка сходимости разностных аппроксимаций—по—
функционалу, когда управление зависит от обеих переменных. Оценки
скорости сходимости разностных аппроксимаций по функционалу доказы
ваются , когда управление зависит только от пространственной или
временной переменной.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты развивают теорию оптимального управления с распределенными параметрами особенно квантовомеханических систем и теорию разностных методов решения этих задач. Результаты диссертации могут найти применения в квантовой механике, ядерной энергетике, лазерной физике и технике и в других областях современной практики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научных семинарах кафедры оптимизации и управления БГУ им.М.А.Расулзаде (руководитель проф. А.Д.Искеидеров), на семинарах Института Кибернетики АН Азербайджана (руководитель член-корр АН Т.А.Алиев), на международных конференциях 1997 г. (г.Анталья, Турция),
1998 г. (г.Новосибирск, Россия), на конференции ИММ АН Азербайджана, 1997 г. (г.Баку).
Публикации. Основное содержание диссертации опубликованы в 5 работах [1]-[5].
Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 128 страницах и состоит из списка обозначений, введения, пяти параграфов и списка литературы.
