Введение к работе
Актуальность тевд.Проекдионно - сеточные методы (методы конечних элементов) являются мощным инструментом решения разнообразных задач математической физики и механики. Эти методы весьма привлекательны как в практическом, так и в теоретическом плане. Теория весьма развита для эллиптических уравнений; она изложена в известных монографиях ЗК.-П.ОбэнаД.А.Оганесяна и Л.А.Руховца,Г.Стренга и Дж.Фикса, Ф.Сьярле. Одним из ярких результатов этой теории яеляются оптимальные оценки погрешности в La ив энергетической норме на классах негладких правых частей.
Прсекпионно-сеточше методы давно применяются к исследуются и для решения параболических и гиперболических уравнений 2-го порядка. Б области оценок погрешности этих и родственных методов работали многие математики: Ю.Р.Акопян.Г.П.Астрахан-цев.Ю. К.Демьянович,М.Н.Москальков, Л. А.Оганесян,С.И.Пискарев, В.Я.Ривкинд, П.Е.Соболевский, В. Л.Бурковская,И.Н.Джураев,С/4.Во.-
&т, І.А.Ва&ччС.&іФ7а.іс&, 1Н.гсші&, V.AAJbvafu&s, J. 'іои^ач,
T.tiupc/it, T.Gcwci., BS.Joixmcvic, W.Hacteaici,I.Lasie%a,N.Lus&n,
З.А.№і$сЛе,И.8алЯі2скгі, Z #aue, k\ Rau^, P.Scun/nCfl, A.HSdia-lz,
SSexicA,V.Vbm^,L.RA\:aydliui,AISAi'&Ut,M.2^am: и др. Вопрос о точных оценках погрешности и оптимальности здесь оказался более трудным,и полного ответа на него получено не было.
Особенно трудным представлялся анализ погрешности экономичных методов, вопросы теории которых освещены в монографиях Е.Г.Дьяконова,Г.И.Марчука,А.А.Самарсного.Н.Н.Яненко. Было неясно, какова их погрешность при негладких данных и уступают ли они (и насколько) обычным неявным методам. Некоторые результаты в этой области получили Н.С.Бахвалов,В.Л.Макаров, М.Н.Москальков,И.Д.Турегаев,И.В.Фрязинов, С.S.Cadi^-eC, J. 'DccLf&u, M.'J&tyjit, Т. Ъи-pcnt, Gr, Fcu.itb*cit/kz, L.Z. Гі-апсг-Сс, Д.S. JcL-anclie, L '.Hay i,t.E. Sutc и др.
В последние І5 лет большое количество работ было выполнено в области так называемых суперсходимости методов конечных элементов и согласованных оценок погрешности методов конечных разностей для эллиптических уравнений (Л.А.Оганесян,
±
Л.А.Руховец,В.Г.Корнеев,А.А.Самарский,В.Л.Макаров,Р.Д.Лаза-
роБ,Б.И.Березин,Г.К.Берикелашвили,С.А.Всйцехозский,Р.З.Дау -
тов,А.В.Лапин,В.А.Рукавишников, J.S)occ^as, T.Hu/ic/U',
L.3). h-алсггс, S.S.Joiruuxtc, М.Кїьгск, P.UsaZitt, AiUliru,
А!.Кокос, P.AeUa-Qjnaic, E.E.SiiiC, W. , M.F.Iv'/Luic-t,
M. Zfamai. и ДР.). Тем не менее трудный случай неглад-
ких данных (особенно в трехмерном варианте) оказался недостаточно изученным.
Существует значительный интерес к строгому анализу методов решения сложных квазилинейных задач,в частности, газодинамических. В последней области достигнуты большие успехи в решении прикладных задач,см.монографии О.В.Белоцерсного.Ю.В. Давыдова; С.К.Годунова,А.В.Забродина и др.;В.М.Ковевя,Н.Н. Яненко; А.А.Самарского, Ю.П.Попова и т.д.. Результаты же в области теории методов до сих пор остаются достаточно скромными (на фоне существующих в линейных задачах) ввиду больших цробелов в теории соответствующих дафференщальнш; уравнений. В последние годы для одномерных задач в нелинейной постановке определенные успехи получены в работах В.Н.Абрашина, П.П. Матуса.Г.В.Меладзе, Д.В.Попхишвили и др. ,а при наличии вязкости - в работах Ш.С.Смагулова,Б.Р.Рысбаева,И.Д.Туретаева и др..Однако в случае негладких данных требовался существенный дополнительный анализ.
Фундаментальные работы 0.А.Ладыженской по параболическим и гиперболическим уравнения и важные результаты А.В.Ка-жихова по свойствам "в целом" систем уравнений одномерной газовой динамики с вязкостью открыли возможность анализа численных методов для указанных уравнений при негладких данных.
Цель работы. Анализ погрешности проекпдонно - сеточных методов (включая методы с расщепляющимся оператором) для решения параболических и гиперболических задач на классах негладких данных,анализ сулереходимости градиента методов для-эллиптических задач на классах негладких данных,построение и анализ погрешности (и других характеристик) "в целом" разностных методов для систем уравнений одномерного движения вязкого газа.
Научная новизна. В диссертации разработаны новые подхода к анализу погрешности ряда важных методов решения задач математической физики.
С их помощью получены точные оценки погрешности решения в іг и в энергетической норме для проекционно - сеточных методов решения многомерных параболических и гиперболических задач второго порядка на классах негладких данных. В параболическом случае изучены: чисто неявный двухслойный метод, специальный метод для одномерного уравнения с негладкими коэффициентами, методы с расщепляющимся оператором (РО) порядка аппроксимации 0(?+ \к\к~) в параллелепипеде,методы с PC, полуРО и без них (и их конечно - разностные варианты, включая классический метод переменных направлений) порядка 0(тг + 1Я!2) для дву- и трехмерного уравнения теплопровод -нести в параллелепипеде. Установлено, что методы без РО оптимальны по порядку, методы с РО порядка 0(т-t Ш2) по точности им не уступают,а оптимальность методов с РО порядка 0(тг+Шг) зависит от многих факторов (размерности области, конструкции метода, выбранного класса данных).
В гиперболическом случае изучены: трехслойный с весом и двухслойный метода, специальные метода для одномерного уравнения с негладкими коэффициентами, методы с РО (и их конечно - разностные варианты) в параллелепипеде, экономичный метод с кэази РО в двумерной области общего вида и трехмерной цшшндрической области; все метода имеют порядок 0(хг+Ы1). Для специальных методов установлена также суперсходимость и равномерные оценки погрешности, для методов с РО - суперсходимость. Метода с РО по точности не уступают методам без РО. Зависимость порядка малости погрешности от степени гладкости данных оказалась иной,чем в эллиптическом и параболическом случае. Кроме того, рассмотрены существенно более широкие, чем традиционно, классы правых частей, обладающих доминирующей смешанной гладкостью.
Для эллиптического случая исследована суперсходимость двух проекционно - сеточных методов в прямоугольнике и параллелепипеде. Установлены оценки погрешности нового, усиленного типа (в частности, для классов правых частей, обладающих
гладкостью лишь по части переменных или имеющих разрывы разных типов). Построен такне конечно - разностный метод с оригинальной аппроксимацией коэффициентов в многомерном параллелепипеде, обладотций оптимальными оценками погрешности ъ іг и энергетической норме.
Построены нелинейные двухслойные разностные схемы, близкие к іпюекционно - сеточным, для систем уравнений одномерного движения вязкого газа (как баротропюго.так и теплопроводного) в магнитном поле. В нелинейной постановке,"в целом" по времени и по данным установлены априорные оценки, существование и устойчивость решений и (для баротропното газа) стабилизация решений с возрастанием времени. Выведены оценки погрешности в зависимости от гладкости данных (в том числе в равномерной норме), включая как оценки при минимальных в некото -ром смысле условиях на данные, так и оценки максимального для этих схем порядка 0(гя1йа.-г^іХ) ила 0(?м&хт1'іпіах).
Практическое значение. Исследованные в диссертации методы могут быть с успехом применены для решения достаточно сложных задач математической физики с негладкими данными.
Апробация работы. Диссертация долокена на научных семинарах мехмата МГУ, ВЦ РАЛ (г. Москва ),ШМатем РАН, ВЦ СО РАН (г.Новосибирск), С.-ПЭМИ РАН, МЭИ, МИГУ. Отдельные результаты ранее докладывались на всесоюзных конференциях (Новосибирск, 1980 г.;Москва,1983 г.),международных симпозиумах (Москва, 1987г.,1991 г.),в Международном математическом центре им.С.Банаха (Варшава, 1987 г.),на математических школах (Воронеж,1983 г.; Харьков, 1990 г.) и на научных семинарах в МГУ.ИВМ РАН.ВЦ СО РАН (г.Красноярск), ВЦ РАН, ИМ СО РАН (г. Новосибирск).
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, списка литературы (174 наименования) и приложения. Общий объем диссертации 376 с. машинописного текста.
Публикации. Результаты опубликованы в 25 статьях. Материал глав 1-4 принадлежит автору (только 6 гл.1 получен совместно с И.Д.Туретаевым; соответствующие доказательства вынесены в приложение). В главах 5,6 теоремы об оценках погрешности (основные для диссертации) и о стабилизации
принадлежат автору, остальные теоремы получены совместно с А. А.Амосовым.
