Введение к работе
Актуальность темы. Диссертация посвящена одному из современных направлений исследований в теории некорректных задач — обратным задачам для квазилинейных параболических уравнений в областях со свободными границами. Такие задачи, называемые обратными задачами Стефана, состоят в определении по некоторой дополнительной информации коэффициентов уравнения, граничных или каких-либо других функций, считающихся заданными в классической постановке задачи Стефана (прямой задачи). Они возникают при изучении нелинейных процессов с фазовыми переходами в теплофизике и механике сплошной среды в связи с проблемами совершенствования технологий, создания новых методов эбработки материалов и современных образцов техники. Актуальность квазилинейных обратных задач Стефана вызвана тем, что в ряде случаев их решение — как вычислительный эксперимент с использованием компьютерной техники — является практически единственным средством исследования.сложных нестационарных процессов. В особенности это от-зосится к высокотемпературным процессам, в которых требуется учиты-зать зависимость теплофизических коэффициентов от температуры, что іриводит к необходимости рассматривать квазилинейные модели таких процессов. Однако численное решение обратных задач Стефана сопряже-їо со значительными трудностями в силу их нелинейности и некоррект-юсти (которая проявляется чаще всего в неустойчивости относительно югрешностей входных данных), а также из-за больших вычислительных іатрат. С усложнением прикладных задач и в связи с развитием компьютерной техники появилась потребность в разработке специальных регу-тяризирующих методов и вычислительных алгоритмов для этого класса юкорректных задач.
Основополагающие принципы регуляризации некорректно поставлен^ гых задач заложены в известных работах А.Н. Тихонова, В.К. Иванова и Л.Ы. Лаврентьева. Среди других авторов, внесших существенный вклад і развитие теории и методов решения некорректных задач и в построите конкретных регуляризирующих алгоритмов, необходимо отметить Ї.Я. Арсенпна, А.Б. Бакушинского, Г.М. Вайникко, Ф.П. Васильева, В.В. Засина, В.А. Винокурова, А.В. Гончарского, В.И. Дмитриева, А.С. Ильин-кого, Е.В. Захарова, А.С. Леонова, В.А. Морозова, В.Н. Страхова, А.Г. Іголу, D.L. Phillips, R.L. Lattes, J.-L. Lions.
Целый ряд исследований, посвященный некорректным обратным за-;ачам для дифференциальных уравнений, связан с именами А.Н.-Ти-онова, М.М. Лаврентьева, А.И. Прилепко, В.Г. Романова, J.R. Cannon,
K.-H. Hoffmann, J.-L. Lions и с созданными ими научными школами.
Одним из ведущих направлений таких исследований является изучение обратных задач для параболических уравнений в областях с заданными границами. Из значительного числа публикаций отметим работы О.М. Алифанова Н.Я. Безнощенко, П.Н. Вабищевича, В.Б. Гласко, A.M. Денисова, А.Д. Искендерова, Н.В. Музылева, А.И. Прилепко, А.В. Костина, Д.Г. Орловского, В.В. Соловьева, И.В. Тихонова, A. Lorenzi, М. Yamamoto. Вопросами приложения теории обратных задач для параболических уравнений к современным проблемам техники (в частности, авиационной и космической) занимались О.М. Алифанов, Л.А. Коздоба, J.V. Beck, Е. Hensel и др. Библиографию и обзор работ для этого класса обратных задач можно найти в известных монографиях О.М. Алифанова [1, 2, 31], A.M. Денисова [13], А.И. Прилепко [44], J.V. Beck [3].
Гораздо слабее освещены в литературе обратные задачи Стефана, которые составляют класс обратных задач для параболических'уравнений в областях с неизвестными подвижными границами. Изучение этого круга проблем началось с обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным движением фазовой границы, которые близки к нехарактеристическим задачам Коти (Б.М. Вудак, В.Н. Васильева [4], R.L. Lattes, J.-L. Lions [20], J. Bell [32], H.W. Engl [36], K.-H. Hoffmann [39], P. Knabner [41], B. Sherman [46]). Теория и методы решения нехарактеристических задач Коши хорошо разработаны (А.Н. Тихонов [26], Е.М. Ландис [18, 19], О.М. Алифанов [2, 31], J.R. Cannon [33], R.E. Ewing [37], L.E. Payne [43], С. Pucci [45]) и достаточно широко используются при изучении обратных задач Стефана для линейных уравнений с заданным фазовым фронтом.
Исследование некоторых вопросов оптимального управления, а также ряда других проблем, связанных с задачами Стефана (в основном для уравнения теплопроводности и линейного параболического уравнения начато работами Ф.П. Васильева [8] и И.И. Данилюка [12] и продолжено их учениками, в том числе А.Д. Юрием [30]. Проблема численного моделирования сложного процесса с фазовыми переходами при переменной критической температуре рассмотрена В.И. Дмитриевым и Е.Н. Соловьевой [14]. Среди зарубежных исследований (H.W. Engl, A. Fasano, К.-Н. Hoffmann, P. Jochum, М. Niezgodka, М. Primicerio, Т. Roubicek, С. Verdi) значительная часть посвящена прикладным обратным задачам Стефана, возникающим при изучении современных технологических процессов (в частности, в металлургии).
Однако квазилинейные обратные задачи Стефана еще мало изучены, особенно при неизвестной зависимости от времени фронта фазового перехода. Это объясняется тем, что во многих известных исследованиях
обратных задач со свободными границами использованы методы, основанные на свойствах параболических уравнений с постоянными или линейными коэффициентами (например, метод квазиобращения и методы сведения исходной задачи к интегральному уравнению). Это ограничивает область применения таких исследований уравнениями указанных типов. Для расширения круга рассматриваемых проблем наибольший интерес представляет развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана, предложенного Б.М. Будаком и В.Н. Васильевой [4]. Подобный подход для квазилинейного параболического уравнения был применен автором диссертации при изучении граничной обратной задачи Стефана с заданным фазовым фронтом [51].
Тем не менее, в настоящее время исследование квазилинейных обратных задач Стефана, постановки которых все более усложняются в связи с современными потребностями моделирования процессов с фазовыми переходами, еще нельзя считать завершенным. При этом актуальными являются как вопросы математического обоснования постановок таких задач и методов их решения, так и вопросы построения эффективных вычислительных алгоритмов.
Цель диссертационной работы состоит в развитии теории и методов решения граничных и коэффициентных обратных задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений, возникающих при моделировании и управлении физическими процессами с фазовыми переходами; в построении и доведении до численной реализации эффективных алгоритмов, позволяющих сократить вычислительные затраты при решении этого класса некорректных обратных задач.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. Полученные в диссертации результаты являются новыми и представляют как теоретический, так и практический интерес. Развитие вариационного подхода к обратным задачам Стефана позволило существенно расширить круг рассматриваемых проблем. С единых позиций исследованы, граничные и коэффициентные обратные задачи для квазилинейных параболических уравнений в областях со свободными границами при различных способах задания дополнительной информации о решении (финальное наблюдение в конечный момент времени, данные Коши на одной из границ области и т.д.).
Предложенные алгоритмы для численного определения граничных функций и коэффициентов уравнения универсальны в широком классе обрат-тых задач Стефана. Использование в алгоритмах принципа "дескриптив-
ной регуляризации" (термин введен в работе [22] для обозначения стабилизирующих ограничений на качественную структуру искомых функций) производит более сильный регуляризирующий эффект, чем традиционные предположения об их гладкости, и сохраняет, в то же время, основные качественные характеристики решения. Учет такой информации особенно важен при значительных погрешностях входных данных, а также в задачах восстановления (идентификации) с тем, чтобы сузить множество допустимых приближенных решений и увеличить точность восстановления. Кроме того, использование в алгоритмах эффективного способа вычисления градиента функционала невязки, предложенного в работе, позволяет избежать многократного численного решения прямой проблемы Стефана, обеспечивая существенную экономию компьютерного времени. Это дает возможность применять разработанные алгоритмы решения обратных задач Стефана в различных приложениях таких задач в теплофизике и механике сплошной среды. Основные результаты диссертации состоят в следующем.
1. Разработан и обоснован общий подход в операторном виде к определению граничных функций и коэффициентов уравнения для широкого круга квазилинейных обратных задач Стефана, включая случай неизвестного фазового фронта (одного или нескольких), а также случай неизвестного граничного режима на фазовом фронте, и при различных видах априорной информации о решении прямой проблемы Стефана. При этом:
исследованы Свойства в классах Гельдера нелинейных операторов, лежащих в основе операторных представлений обратных задач Стефана. Для выбора "естественных функциональных пространств" для таких представлений установлены точные дифференциальные зависимости в классах Гельдера между входными данными и решением однофазных и многофазных прямых задач Стефана для квазилинейных параболических уравнений;
доказаны теоремы существования, единственности и устойчивости в классах Гельдера, получены точные оценки решения для прямой квазилинейной проблемы Стефана общего вида с несколькими фазовыми фронтами;
разработан способ доказательства сходимости метода прямых Ротэ с выпрямлением фазовых фронтов без дополнительных требований гладкости входных данных; установлены неулучшаемые и независящие от шага сетки оценки для дифференциально-разностных краевых
задач в сеточно-непрерывных классах Гельдера, аналогичные известным точным оценкам К. Чилиберто и О.А. Ладыженской для линейных и квазилинейных параболических уравнений в непрерывных классах Гельдера.
2. Исследованы вопросы единственности точного решения обратных за
дач Стефана в выбранных пространствах Гельдера. При этом:
доказаны теоремы единственности в задачах определения граничного режима для однофазных и двухфазных проблем Стефана (в том числе для неизвестного фазового фронта) при дополнительной информации о решении на одной из границ области или внутри ее;
построены примеры нарушения единственности для коэффициентных и граничных обратных задач с "финальным наблюдением ", а также для задач определения неизвестного граничного режима на фазовом фронте.
3. Предложен и обоснован регуляризирующий вариационый метод для
приближенного решения граничных и коэффициентных обратных за
дач Стефана (на основе построения квазирешений и обобщенных ква
зирешений). При этом:
доказана его устойчивость в выбранной топологии (классы Гельдера) относительно погрешностей всех входных данных;
доказана дифференцируемость функционалов в вариационных постановках обратных задач Стефана, лежащих в основе предложенного метода;
получено явное представление для дифференциалов через решение соответствующих сопряженных задач. Это обеспечивает существенную экономию вычислительных затрат, так как позволяет преодолеть основную трудность, которая возникала ранее при применении регу-ляризирующих алгоритмов для обратных задач Стефана — необходимость многократного численного решения прямой проблемы Стефана при минимизации функционала невязки, определенного на ее решениях.
г. Для реализации предложенного метода разработаны эффективные численные алгоритмы дескриптивной регуляризации на основе метода проекции сопряженных градиентов:
- отличительной особенностью алгоритмов является использование в
них стабилизирующих свойств ограничений качественного характера,
наложенных на искомые функции (задание участков монотонности, выпуклости, знакоопределенности и т.п.), а также использование ре-гуляризирующих свойств итерационного метода проекции сопряжен-- ных градиентов;
эффективность алгоритмов, дающих существенную экономию вычислительных затрат даже при значительных погрешностях входны> данных, достигается, кроме того, за счет использования разностны> сопряженных задач для вычисления градиентов функционалов невязки, а также за счет учета специфики ограничений (в частности, кусочной монотонности и выпуклости) при построении процедуры проектирования на множество допустимых функций;
подтвержден целой серией численных экспериментов сильно выраженный регуляризируюшдй эффект алгоритмов с сохранением основных качественных характеристик искомых функций;
универсальность алгоритмов в широком классе граничных и коэффициентных обратных задач Стефана позволяет реалиэовывать и> вычислительные схемы с помощью одного и того же программного обеспечения. Область их применимости включает в себя обратные за дачи как для линейных, так и для квазилинейных параболически* уравнений со свободными границами.
5. На основе алгоритмов проведено численное решение важных приложений обратных задач Стефана в нелинейной теплофизике, связан ных с современными технологиями:
численно определены тепловые режимы для непрерывного литы слитков (однофазная граничная обратная задача с заданным фазо вым фронтом) и для лазерной обработки материалов (многофазная коэффициентная обратная задача с двумя неизвестными фазовым! фронтами);
выявлена возможность расширить рамки применимости одномер ных моделей теплофизических процессов за счет использования апри орной информации о качественном поведении искомых тепловых ре жимов.
Результаты диссертации могут быть использованы для дальнейше го развития теории обратных задач для квазилинейых параболически уравнений и систем, а также теории дифференциально-разностных кра евых задач; при исследовании задач оптимального управления; при по
строении регуляризирующих алгоритмов и при численном решении прикладных обратных задач математической физики.
Результаты диссертации нашли практическое применение в НПО "Энергия", в НИИ авиационных систем, в НИИ "Гипроцветметобработка" при решении конкретных приложений обратных задач Стефана в различных областях техники.
Методы исследования. Работа основана на методах общей теории некорректно поставленных задач, методах теории параболических уравнений, методах теории дифференциально-разностных схем, методах функционального ан'.лиза и теории функций, методах теории оптимизации.
Апробация работы. Материалы, изложенные в диссертации, докладывались на: Международных конференциях "Идентификация динамических систем и обратные задачи" (1990, Суздаль; 1994, С.-Петербург; 1998, Москва); Международной конференции "Некорректно поставленные задачи в естественных науках" (1991, Москва); II Международном симпозиуме "Inverse Problems in Engmeering Sciences" (IPES-94) (1994, Осака); Всероссийской научно-практической конференции "Алгоритмический.и численный анализ некорректных задач" (1995, Екатеринбург); Международной конференции "Обратные и некорректно поставленные задачи" (НРР-96) (1996, Москва); Научных конференциях "Ломоносовские чтения МГУ" (1995, 1997, 2000, Москва).
Основные результаты работы докладывались также на семинарах акад. РАН В.А. Садовничего, проф. А.И. Прилепко (мехмат МГУ); акад. РАН А.А. Самарского, проф. П.Н. Вабшцевича, проф. А.В. Гулина (ВМиК МГУ); проф. A.M. Денисова (ВМиК МГУ); проф. А.Б. Бакушинского, проф. А.В. Тихонравова, проф. А.Г. Яголы (физфак МГУ, НИВЦ МГУ).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 20 статьях и в 3 монографиях, список которых приведен в конце реферата. Из совместных работ в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, ;писка принятых в работе основных обозначений, четырех глав (разбитых за параграфы), приложения и списка литературы. Нумерация теорем и формул своя в каждом параграфе. Общий объем диссертации составляет 316 страниц, включая 9 таблиц и 16 страниц приложения, содержащего 15 рисунков и графиков, а также включая 12 страниц списка литературы,
