Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Расчет стационарных конвективных течений жидкости со свободной поверхностью при пониженной гравитации 14
1.1 Математическая формулировка задачи 14
1.2 Разностная краевая задача 20
1.3 Общий алгоритм решения задачи 23
1.4 Численные расчеты 25
Глава 2. Модификация двухполевого метода решения плоских задач 32
2.1 Математическая формулировка задачи 32
2.2 Одномерная модельная задача 33
2.3 Уравнения Стокса 38
2.3.1 Разностная начально-краевая задача 38
2.3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений . 39
2.3.3 Устойчивость разностной схемы 45
2.3.4 Примеры тестовых расчетов 48
2.4 Уравнения Навье - Стокса 48
2.4.1 Разностная начально-краевая задача 49
2.4.2 Алгоритм решения и устойчивость 52
2.4.3 Результаты расчетов 55
2.5 Методы обращения матриц С/ 58
2.5.1 Метод 58
2.5.2 Метод 2 60
Глава 3. Использование схем повышенного порядка точности 62
3.1 Разностная начально-краевая задача 63
3.2 Алгоритм решения системы разностных уравнений 64
3.2.1 Решение разностного уравнения для функции тока . 66
3.3 Устойчивость разностной схемы 72
3.4 Результаты расчетов 77
Заключение 80
Литература 81
- Разностная краевая задача
- Алгоритм решения системы разностных уравнений
- Алгоритм решения и устойчивость
- Решение разностного уравнения для функции тока
Введение к работе
Известно, что в неравномерно нагретой жидкости возникает движение. Если жидкость не имеет свободных (жидкость — газ) или внутренних (жидкость — жидкость) границ раздела, основная причина явления состоит в том, что более холодная жидкость, которая обычно тяжелее, тонет в поле силы тяжести. Движение, вызванное этой причиной, называется тепловой гравитационной конвекцией. Обычно для его описания используется система уравнений Обербека - Буссинеска [23, 28], которая выводится из общих уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости в предположении, что плотность жидкости не зависит от давления, но может зависеть от температуры. Предполагается также, что вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения настолько малы, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Система уравнений конвекции мало отличается от системы уравнений Навье - Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Численные схемы для изучения конвективных течений сохраняют все особенности схем для уравнений однородной несжимаемой жидкости и содержат некоторые дополнительные особенности.
Уравнения Навье - Стокса, составляющие основу уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в их численной реализации: одной из особенностей является пространственно-эллиптический ха- рактер решений. Поэтому для решения используются типичные для эллиптических уравнений методы, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области; система уравнений Навье - Стокса не является системой типа Коши -Ковалевской, так как нет эволюционного уравнения для давления; эти уравнения нелинейны.
Методы численного решения уравнений Навье - Стокса можно условно разделить на две основные группы. Первая связана с введением функции тока ф и вихря скорости и и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно (,0, uj) (для пространственных течений вводят вектор вихря и векторный потенциал скорости). Достоинства такого подхода в том, что нет необходимости заботиться о соленоидально-сти вектора скорости (условие выполняется автоматически). Однако возникают трудности, связанные с заданием граничного условия для вихря на границе с прилипанием, которое отсутствует в физической постановке задачи. Условие первого порядка точности, впервые предложенное Томом [50], до сих пор с успехом используется многими исследователями.
Другую группу составляют методы решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных скорость — давление [7, 17, 26, 58]. Основное затруднение при таком подходе заключается в определении граничного условия для давления [5, 6]. Исторически сложилось так, что большая часть численных методов разработана применительно к системе уравнений, записанных в переменных функция тока — вихрь [3, 8, 9,11, 25, 29, 37,42, 48, 49].
В настоящее время существует очень много разнообразных численных методов решения двумерных уравнений Навье - Стокса в переменных (ф, и), отличающихся друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для ш и ф [8, 9, 11, 37, 49]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухполевым методом. Типичным здесь является приём, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. По терминологии работы [29] такие схемы будем называть линейными. Полученное уравнение относительно значений и на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Опыт расчётов показывает, что при использовании подобных алгоритмов, как правило, возникают довольно жёсткие ограничения на шаг по времени т.
Давно было замечено, что существенное влияние на устойчивость вычислительного процесса метода оказывает способ вычисления вихря на твердой границе. Это влияние настолько значительно, что может свести на нет преимущества неявных схем и при отсутствии нелинейных слагаемых (уравнения движения при отсутствии конвективных слагаемых ещё называют системой уравнений Стокса).
Отметим ряд работ, в которых предпринимались попытки снять ограничения на временной шаг.
Для улучшения сходимости двухполевого метода применялась релаксация граничных условий [38, 49]. Использование релаксации при вычислении вихря на границе весьма эффективно, оно позволяет вести вычисления с шагом по времени, который на порядок больше шага в случае без релаксации. Однако, как отмечает Тарунин Е.Л. , "платой за это преимущество являются пересчёты" (т.е. внутренние итерации на каждом шаге по времени).
Другое усовершенствование двухполевого метода было предложено Пирсоном [60] и развито в работах Грязного В.Л. и Полежаева В.И. [25]. Усовершенствование заключалось во внесении граничного условия для вихря внутрь области. Метод хорошо зарекомендовал себя при решении стационарных задач. Но если решается нестационарная задача, то необходимо организовать дополнительный итерационный процесс.
Ещё один подход к построению неявных разностных схем для уравнений Навье - Стокса в переменных функция тока — вихрь скорости, позволяющий избежать влияния краевых условий на величину максимального временного шага, предложен в работах Вабищевича П.Н. [13. 14]. Им предложены схемы с коррекцией по граничному условию, которые позволяют в определённом диапазоне параметров течений вязкой несжимаемой жидкости более полно использовать преимущества неявных схем и дают возможность использовать большие шаги по времени в сравнении с традиционными схемами.
В работе Рябенького B.C., Торгашова В.А. [43] предложен безытерационный способ решения на верхнем временном слое разностного аналога уравнений Навье - Стокса, не использующий разностной аппроксимации граничного условия для вихря. Его основу составляет метод разностных потенциалов.
Другой оригинальный подход к решению краевой задачи для нестаци- онарных уравнений Навье - Стокса в случае, когда на границе области задан вектор скорости и не задано давление или вихрь, предложен в работе Бабенко К.И., Введенской Н.Д. [3]. При этом на каждом временном слое вычисляются решения задач Дирихле для простейших эллиптических уравнений (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и решается некоторое интегральное уравнение. В замкнутых областях этот метод не использовался.
Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенное значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно. Приведём ряд работ, где уравнения для ш и ф решаются совместно.
Так в работе Смагулова Ш., Христова Х.И. рассмотрена безытерационная численная реализация краевых условий для є -он аппроксимации уравнений Навье - Стокса в переменных ш, ф. Построенная разностная схема реализуется векторной прогонкой.
В работе [12] для стационарного случая был предложен метод численного решения, в котором система разностных соотношений, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса в переменных ф, ш, рассматривается как одно матричное уравнение относительно вектора (и>,ф). При таком подходе возникает вопрос об эффективном методе решения двумерных матричных уравнений. В [12] для этой цели был использован итерационный метод, обладающий, по-видимому [29], медленной сходимостью и требующий для достижения необходимой точности большого количества итераций. Заметных преимуществ по сравнению с алгоритмами, основанными на раздельном решении уравнений для ш и ф, достичь не удалось.
В работе Мажоровой О.С, Попова Ю.П. [29] предложен алгоритм чис- ленного решения двумерных уравнений Навье - Стокса, также основанный на матричном методе решения разностных уравнений относительно вектора (ш, ф). В отличие от традиционно используемых линейных разностных схем применяется неявная нелинейная схема, содержащая в уравнении для и значения функции тока и вихря с верхнего временного слоя. Численная реализация этих схем осложняется тем, что содержащаяся в них нелинейность порождает еще один итерационный процесс. В этой работе линеаризация разностных уравнений проводится по методу Ньютона, а для решения полученной в результате системы линейных уравнений применяется эффективный матричный итерационный процесс ("именно метод решения этой системы линейных уравнений в значительной степени определяет эффективность всего алгоритма в целом"). Однако, для применения этого алгоритма требуется большой объём оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации. Недостатком также является большое число арифметических операций на слое.
Таким образом, проблема вычисления граничных значений для вихря по-прежнему остается актуальной.
При наличии свободной (жидкость — газ) границы и неоднородного распределения температуры на ней движение жидкости может возникать и вследствие того, что коэффициент поверхностного натяжения а зависит от температуры. Такая конвекция называется термокапиллярной. В большинстве ситуаций термокапиллярная конвекция достаточно мала по сравнению с гравитационной конвекцией и часто опускается. Однако при пониженной гравитации, в установках получения кристаллов, в реакторах пленочного типа, применяемых в химической технологии, а также в сосудах для хранения жидкостей и многих других технических и технологических аппаратах конвекция этого типа может оказывать заметное влияние на процессы тепло- и массообмена и вследствие этого — на качество продукции.
Основные трудности решения задач в областях, имеющих свободную границу, связаны с тем, что граничные условия задаются на заранее неизвестной поверхности, которая должна быть определена в процессе решения задачи.
Наиболее распространенным методом, применяемым для численного решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью, является метод конечных разностей. Здесь выделяют методы эйлерова типа (МАС-метод [58] и его модификации [15, 33, 39, 53]), методы лагранжева типа (например, Line-метод [4, 10, 59]), смешанные лагранжево-эйлеровы методы (метод ALE [52] и др.). Все перечисленные методы используют естественные переменные — скорость и давление. Имеется ряд работ, использующих при рассмотрении двумерных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью переменные — функция тока, вихрь [16, 32, 35]. Такой подход имеет ряд преимуществ при рассмотрении двумерных течений, так как в этом случае уравнение неразрывности выполняется автоматически. Однако при наличии свободной поверхности вид граничных условий на ней значительно усложняется, что затрудняет построение эффективных алгоритмов расчета.
Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Целью настоящей работы является разработка на основе схем повышенного порядка точности модифицированного безытерационного двухполево-го метода для расчёта плоских задач конвекции в замкнутых областях, создание алгоритма расчёта стационарных задач конвекции в областях со свободной границей в случае зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [62, 63, 64, 66, 67].
Первая глава диссертации посвящена построению алгоритма решения задачи о стационарном конвективном течении жидкости в области с неизвестной свободной границей. Считается, что коэффициент поверхностного натяжения существенным образом зависит от температуры. В математическом отношении решение задачи сводится к интегрированию системы эллиптических уравнений в области с неизвестной криволинейной границей. Разработан оригинальный алгоритм нахождения кривой свободной поверхности с использованием граничных условий, сформулированных Пухначё-вым В.В. в терминах функция тока — вихрь [41]. Тестовые расчёты показывают эффективность предложенного алгоритма.
Во второй главе диссертации предлагается модифицированный безытерационный двухполевой метод решения уравнений Стокса в замкнутых областях с точной реализацией условий прилипания на твёрдых стенках. Использование идеи метода расщепления по физическим процессам, основанного на методе слабой аппроксимации [54], позволило обобщить предложенный метод на случай нелинейной начально-краевой задачи (уравнения Навье - Стокса). Рассмотрены экономичные методы решения систем разностных уравнений, имеющих матрицы, отличающиеся от трехдиаго-нальных наличием ненулевых первого и последнего столбцов. Доказана безусловная устойчивость предлагаемого метода в линейном приближении. Приведены результаты тестовых расчетов.
Третья глава диссертации посвящена обобщению метода, изложенного в главе 2, на случай использования схем повышенного порядка точности. На этапе диффузии метода расщепления по физическим процессам рассматриваются схемы четвёртого порядка аппроксимации по пространственным переменным. Для вихря на твердых стенках использована формула Вудса. Проведён анализ целесообразности использования условий Вудса. Показано, что использование условий Вудса в сочетании со схемами второго порядка точности не эффективно. Получены оценки разностного решения.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации.
Результаты работы докладывались и обсуждались на I -ой и II -ой Сибирских школах-семинарах "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997,1998 г.), Международной конференции "Математика в приложениях", посвященной 70-летию С.К.Годунова (Новосибирск, 25-29 августа 1999 г.), IV-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 26 июня - 1 июля 2000 г.), V-ой Международной конференции "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 18-22 сентября 2000 г.), Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н.Яненко (Новосибирск, 24-29 июня 2001 г.), VIII-ом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001 г.), на семинаре ИМ СО РАН "Математика в приложениях" под ру- ководством С.К.Годунова (19 января 2001 г.), объединённом семинаре ИВМиМГ и кафедры вычислительной математики НГУ под руководством В.П.Ильина (26 января 2001 г.), семинаре ИГиЛ СО РАН "Прикладная гидродинамика" под руководством В.В.Пухначёва.
Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю д.ф.-м.н., профессору А.Ф. Воеводину за ценные советы и поддержку.
Разностная краевая задача
Известно, что в неравномерно нагретой жидкости возникает движение. Если жидкость не имеет свободных (жидкость — газ) или внутренних (жидкость — жидкость) границ раздела, основная причина явления состоит в том, что более холодная жидкость, которая обычно тяжелее, тонет в поле силы тяжести. Движение, вызванное этой причиной, называется тепловой гравитационной конвекцией. Обычно для его описания используется система уравнений Обербека - Буссинеска [23, 28], которая выводится из общих уравнений Навье - Стокса сжимаемой жидкости в предположении, что плотность жидкости не зависит от давления, но может зависеть от температуры. Предполагается также, что вызванные неоднородностью температуры отклонения плотности от среднего значения настолько малы, что ими можно пренебречь во всех уравнениях, кроме уравнения движения, где это отклонение учитывается лишь в члене с подъемной силой. Система уравнений конвекции мало отличается от системы уравнений Навье - Стокса для однородной несжимаемой жидкости. Численные схемы для изучения конвективных течений сохраняют все особенности схем для уравнений однородной несжимаемой жидкости и содержат некоторые дополнительные особенности.
Уравнения Навье - Стокса, составляющие основу уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые проявляются в их численной реализации: одной из особенностей является пространственно-эллиптический ха рактер решений. Поэтому для решения используются типичные для эллиптических уравнений методы, при этом требуется постановка граничных условий на всех границах рассматриваемой области; система уравнений Навье - Стокса не является системой типа Коши -Ковалевской, так как нет эволюционного уравнения для давления; эти уравнения нелинейны. Методы численного решения уравнений Навье - Стокса можно условно разделить на две основные группы. Первая связана с введением функции тока ф и вихря скорости и и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно (,0, UJ) (для пространственных течений вводят вектор вихря и векторный потенциал скорости). Достоинства такого подхода в том, что нет необходимости заботиться о соленоидально-сти вектора скорости (условие выполняется автоматически). Однако возникают трудности, связанные с заданием граничного условия для вихря на границе с прилипанием, которое отсутствует в физической постановке задачи. Условие первого порядка точности, впервые предложенное Томом [50], до сих пор с успехом используется многими исследователями.
Другую группу составляют методы решения уравнений Навье - Стокса в естественных переменных скорость — давление [7, 17, 26, 58]. Основное затруднение при таком подходе заключается в определении граничного условия для давления [5, 6]. Исторически сложилось так, что большая часть численных методов разработана применительно к системе уравнений, записанных в переменных функция тока — вихрь [3, 8, 9,11, 25, 29, 37,42, 48, 49].
В настоящее время существует очень много разнообразных численных методов решения двумерных уравнений Навье - Стокса в переменных (ф, и), отличающихся друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся на практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для ш и ф [8, 9, 11, 37, 49]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухполевым методом. Типичным здесь является приём, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. По терминологии работы [29] такие схемы будем называть линейными. Полученное уравнение относительно значений и на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Опыт расчётов показывает, что при использовании подобных алгоритмов, как правило, возникают довольно жёсткие ограничения на шаг по времени .
Алгоритм решения системы разностных уравнений
Отметим ряд работ, в которых предпринимались попытки снять ограничения на временной шаг.
Для улучшения сходимости двухполевого метода применялась релаксация граничных условий [38, 49]. Использование релаксации при вычислении вихря на границе весьма эффективно, оно позволяет вести вычисления с шагом по времени, который на порядок больше шага в случае без релаксации. Однако, как отмечает Тарунин Е.Л. , "платой за это преимущество являются пересчёты" (т.е. внутренние итерации на каждом шаге по времени).
Другое усовершенствование двухполевого метода было предложено Пирсоном [60] и развито в работах Грязного В.Л. и Полежаева В.И. [25]. Усовершенствование заключалось во внесении граничного условия для вихря внутрь области. Метод хорошо зарекомендовал себя при решении стационарных задач. Но если решается нестационарная задача, то необходимо организовать дополнительный итерационный процесс.
Ещё один подход к построению неявных разностных схем для уравнений Навье - Стокса в переменных функция тока — вихрь скорости, позволяющий избежать влияния краевых условий на величину максимального временного шага, предложен в работах Вабищевича П.Н. [13. 14]. Им предложены схемы с коррекцией по граничному условию, которые позволяют в определённом диапазоне параметров течений вязкой несжимаемой жидкости более полно использовать преимущества неявных схем и дают возможность использовать большие шаги по времени в сравнении с традиционными схемами.
В работе Рябенького B.C., Торгашова В.А. [43] предложен безытерационный способ решения на верхнем временном слое разностного аналога уравнений Навье - Стокса, не использующий разностной аппроксимации граничного условия для вихря. Его основу составляет метод разностных потенциалов.
Другой оригинальный подход к решению краевой задачи для нестаци онарных уравнений Навье - Стокса в случае, когда на границе области задан вектор скорости и не задано давление или вихрь, предложен в работе Бабенко К.И., Введенской Н.Д. [3]. При этом на каждом временном слое вычисляются решения задач Дирихле для простейших эллиптических уравнений (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и решается некоторое интегральное уравнение. В замкнутых областях этот метод не использовался.
Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенное значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно. Приведём ряд работ, где уравнения для ш и ф решаются совместно.
Так в работе Смагулова Ш., Христова Х.И. рассмотрена безытерационная численная реализация краевых условий для є -он аппроксимации уравнений Навье - Стокса в переменных ш, ф. Построенная разностная схема реализуется векторной прогонкой.
В работе [12] для стационарного случая был предложен метод численного решения, в котором система разностных соотношений, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса в переменных ф, ш, рассматривается как одно матричное уравнение относительно вектора (и ,ф). При таком подходе возникает вопрос об эффективном методе решения двумерных матричных уравнений. В [12] для этой цели был использован итерационный метод, обладающий, по-видимому [29], медленной сходимостью и требующий для достижения необходимой точности большого количества итераций. Заметных преимуществ по сравнению с алгоритмами, основанными на раздельном решении уравнений для ш и ф, достичь не удалось.
В работе Мажоровой О.С, Попова Ю.П. [29] предложен алгоритм чис ленного решения двумерных уравнений Навье - Стокса, также основанный на матричном методе решения разностных уравнений относительно вектора (ш, ф). В отличие от традиционно используемых линейных разностных схем применяется неявная нелинейная схема, содержащая в уравнении для и значения функции тока и вихря с верхнего временного слоя. Численная реализация этих схем осложняется тем, что содержащаяся в них нелинейность порождает еще один итерационный процесс. В этой работе линеаризация разностных уравнений проводится по методу Ньютона, а для решения полученной в результате системы линейных уравнений применяется эффективный матричный итерационный процесс ("именно метод решения этой системы линейных уравнений в значительной степени определяет эффективность всего алгоритма в целом"). Однако, для применения этого алгоритма требуется большой объём оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации. Недостатком также является большое число арифметических операций на слое.
Алгоритм решения и устойчивость
Отметим ряд работ, в которых предпринимались попытки снять ограничения на временной шаг.
Для улучшения сходимости двухполевого метода применялась релаксация граничных условий [38, 49]. Использование релаксации при вычислении вихря на границе весьма эффективно, оно позволяет вести вычисления с шагом по времени, который на порядок больше шага в случае без релаксации. Однако, как отмечает Тарунин Е.Л. , "платой за это преимущество являются пересчёты" (т.е. внутренние итерации на каждом шаге по времени).
Другое усовершенствование двухполевого метода было предложено Пирсоном [60] и развито в работах Грязного В.Л. и Полежаева В.И. [25]. Усовершенствование заключалось во внесении граничного условия для вихря внутрь области. Метод хорошо зарекомендовал себя при решении стационарных задач. Но если решается нестационарная задача, то необходимо организовать дополнительный итерационный процесс. Ещё один подход к построению неявных разностных схем для уравнений Навье - Стокса в переменных функция тока — вихрь скорости, позволяющий избежать влияния краевых условий на величину максимального временного шага, предложен в работах Вабищевича П.Н. [13. 14]. Им предложены схемы с коррекцией по граничному условию, которые позволяют в определённом диапазоне параметров течений вязкой несжимаемой жидкости более полно использовать преимущества неявных схем и дают возможность использовать большие шаги по времени в сравнении с традиционными схемами. В работе Рябенького B.C., Торгашова В.А. [43] предложен безытерационный способ решения на верхнем временном слое разностного аналога уравнений Навье - Стокса, не использующий разностной аппроксимации граничного условия для вихря. Его основу составляет метод разностных потенциалов. Другой оригинальный подход к решению краевой задачи для нестаци онарных уравнений Навье - Стокса в случае, когда на границе области задан вектор скорости и не задано давление или вихрь, предложен в работе Бабенко К.И., Введенской Н.Д. [3]. При этом на каждом временном слое вычисляются решения задач Дирихле для простейших эллиптических уравнений (Лапласа, Пуассона, Гельмгольца) и решается некоторое интегральное уравнение. В замкнутых областях этот метод не использовался. Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенное значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно. Приведём ряд работ, где уравнения для ш и ф решаются совместно. Так в работе Смагулова Ш., Христова Х.И. рассмотрена безытерационная численная реализация краевых условий для є -он аппроксимации уравнений Навье - Стокса в переменных ш, ф. Построенная разностная схема реализуется векторной прогонкой. В работе [12] для стационарного случая был предложен метод численного решения, в котором система разностных соотношений, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса в переменных ф, ш, рассматривается как одно матричное уравнение относительно вектора (и ,ф). При таком подходе возникает вопрос об эффективном методе решения двумерных матричных уравнений. В [12] для этой цели был использован итерационный метод, обладающий, по-видимому [29], медленной сходимостью и требующий для достижения необходимой точности большого количества итераций. Заметных преимуществ по сравнению с алгоритмами, основанными на раздельном решении уравнений для ш и ф, достичь не удалось. В работе Мажоровой О.С, Попова Ю.П. [29] предложен алгоритм чис ленного решения двумерных уравнений Навье - Стокса, также основанный на матричном методе решения разностных уравнений относительно вектора (ш, ф). В отличие от традиционно используемых линейных разностных схем применяется неявная нелинейная схема, содержащая в уравнении для и значения функции тока и вихря с верхнего временного слоя. Численная реализация этих схем осложняется тем, что содержащаяся в них нелинейность порождает еще один итерационный процесс. В этой работе линеаризация разностных уравнений проводится по методу Ньютона, а для решения полученной в результате системы линейных уравнений применяется эффективный матричный итерационный процесс ("именно метод решения этой системы линейных уравнений в значительной степени определяет эффективность всего алгоритма в целом"). Однако, для применения этого алгоритма требуется большой объём оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации. Недостатком также является большое число арифметических операций на слое.
Решение разностного уравнения для функции тока
Способ аппроксимации граничных условий для вихря имеет существенное значение лишь для схем, в которых уравнения вихря и функции тока решаются раздельно. Приведём ряд работ, где уравнения для ш и ф решаются совместно.
Так в работе Смагулова Ш., Христова Х.И. рассмотрена безытерационная численная реализация краевых условий для є -он аппроксимации уравнений Навье - Стокса в переменных ш, ф. Построенная разностная схема реализуется векторной прогонкой.
В работе [12] для стационарного случая был предложен метод численного решения, в котором система разностных соотношений, аппроксимирующая уравнения Навье - Стокса в переменных ф, ш, рассматривается как одно матричное уравнение относительно вектора (и ,ф). При таком подходе возникает вопрос об эффективном методе решения двумерных матричных уравнений. В [12] для этой цели был использован итерационный метод, обладающий, по-видимому [29], медленной сходимостью и требующий для достижения необходимой точности большого количества итераций. Заметных преимуществ по сравнению с алгоритмами, основанными на раздельном решении уравнений для ш и ф, достичь не удалось.
В работе Мажоровой О.С, Попова Ю.П. [29] предложен алгоритм чис ленного решения двумерных уравнений Навье - Стокса, также основанный на матричном методе решения разностных уравнений относительно вектора (ш, ф). В отличие от традиционно используемых линейных разностных схем применяется неявная нелинейная схема, содержащая в уравнении для и значения функции тока и вихря с верхнего временного слоя. Численная реализация этих схем осложняется тем, что содержащаяся в них нелинейность порождает еще один итерационный процесс. В этой работе линеаризация разностных уравнений проводится по методу Ньютона, а для решения полученной в результате системы линейных уравнений применяется эффективный матричный итерационный процесс ("именно метод решения этой системы линейных уравнений в значительной степени определяет эффективность всего алгоритма в целом"). Однако, для применения этого алгоритма требуется большой объём оперативной памяти ЭВМ для хранения промежуточной информации. Недостатком также является большое число арифметических операций на слое. Таким образом, проблема вычисления граничных значений для вихря по-прежнему остается актуальной.
При наличии свободной (жидкость — газ) границы и неоднородного распределения температуры на ней движение жидкости может возникать и вследствие того, что коэффициент поверхностного натяжения а зависит от температуры. Такая конвекция называется термокапиллярной. В большинстве ситуаций термокапиллярная конвекция достаточно мала по сравнению с гравитационной конвекцией и часто опускается. Однако при пониженной гравитации, в установках получения кристаллов, в реакторах пленочного типа, применяемых в химической технологии, а также в сосудах для хранения жидкостей и многих других технических и технологических аппаратах конвекция этого типа может оказывать заметное влияние на процессы тепло- и массообмена и вследствие этого — на качество продукции.
Основные трудности решения задач в областях, имеющих свободную границу, связаны с тем, что граничные условия задаются на заранее неизвестной поверхности, которая должна быть определена в процессе решения задачи.
Наиболее распространенным методом, применяемым для численного решения задач о течении вязкой жидкости со свободной поверхностью, является метод конечных разностей. Здесь выделяют методы эйлерова типа (МАС-метод [58] и его модификации [15, 33, 39, 53]), методы лагранжева типа (например, Line-метод [4, 10, 59]), смешанные лагранжево-эйлеровы методы (метод ALE [52] и др.). Все перечисленные методы используют естественные переменные — скорость и давление. Имеется ряд работ, использующих при рассмотрении двумерных течений вязкой жидкости со свободной поверхностью переменные — функция тока, вихрь [16, 32, 35]. Такой подход имеет ряд преимуществ при рассмотрении двумерных течений, так как в этом случае уравнение неразрывности выполняется автоматически. Однако при наличии свободной поверхности вид граничных условий на ней значительно усложняется, что затрудняет построение эффективных алгоритмов расчета. Таким образом, тема диссертации является актуальной.
Целью настоящей работы является разработка на основе схем повышенного порядка точности модифицированного безытерационного двухполево-го метода для расчёта плоских задач конвекции в замкнутых областях, создание алгоритма расчёта стационарных задач конвекции в областях со свободной границей в случае зависимости коэффициента поверхностного натяжения от температуры.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и списка литературы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [62, 63, 64, 66, 67].
Первая глава диссертации посвящена построению алгоритма решения задачи о стационарном конвективном течении жидкости в области с неизвестной свободной границей. Считается, что коэффициент поверхностного натяжения существенным образом зависит от температуры. В математическом отношении решение задачи сводится к интегрированию системы эллиптических уравнений в области с неизвестной криволинейной границей. Разработан оригинальный алгоритм нахождения кривой свободной поверхности с использованием граничных условий, сформулированных Пухначё-вым В.В. в терминах функция тока — вихрь [41]. Тестовые расчёты показывают эффективность предложенного алгоритма.
