Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Метод коллокации и наименьших квадратов (КНК) для уравнений стокса 18
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Приближённые уравнения 20
1.3. Тестирование 28
1.4. Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей 30
1.5. Заключение 31
Глава 2. Метод коллокации и наименьших квадратов для уравнений навье — стокса 32
2.1. Постановка задачи 33
2.2. Приближённые уравнения 34
2.3. Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей 39
2.4. О схемной вязкости 45
2.5. Аппроксимация давления полиномами второго порядка 46
2.5.1. Общие сведения. Порядок сходимости .46
2.5.2. Расчет обтекания обратного уступа 47
2.5.3. Расчет течения в прямоугольной каверне 50
2.6. Метод коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач теплопереноса в вязкой жидкости 53
2.7. Влияние выбора безразмерных параметров на свойства метода . 57
2.8. Заключение 61
Глава 3. Адаптивный вариант метода КНК 62
3.1. Алгоритм адаптации 62
3.2. Численные эксперименты 64
3.2.1. Задача с большими градиентами давления 64
3.2.2. Течение в прямоугольной каверне 66
3.3. Заключение 67
Глава 4. Метод коллокации и наименьших квадратов решения нестационарных уравнений в частных производных 71
4.1. Метод КНК для уравнения теплопроводности 71
4.2. Численное моделирование сублимации /3-дикетоната хрома в потоке аргона 73
4.2.1. Математическая модель сублимации /3-дикетонатов переходных металлов 74
4.2.2. Расчет сублимации /?-дикетоната хрома в потоке аргона . 78
Заключение 80
Приложение
- Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей
- Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей
- Метод коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач теплопереноса в вязкой жидкости
- Численное моделирование сублимации /3-дикетоната хрома в потоке аргона
Введение к работе
Уравнения Навье —Стокса являются основными дифференциальными уравнениями динамики вязкой несжимаемой жидкости. Они определяют одну из важнейших моделей в механике сплошной среды, которая описывает движения широкого класса реальных жидкостей. Однако решение краевых задач для уравнений Навье — Стокса представляет собой сложную задачу вычислительной гидродинамики. В этих уравнениях при старших производных присутствует малый параметр ^ (Re — число Рейнольдса), вследствие чего в области решения возникают особенности. Кроме того, эти уравнения содержат нелинейные члены. Поэтому по возможности стараются использовать различные упрощающие предположения и редуцировать уравнения Навье—Стокса к более простой форме и тем самым упростить вычислительную задачу. Так, при обтекании тел вязкой жидкостью в области течения присутствует ярко выраженная подобласть — зона пограничного слоя, которая описывается упрощенными уравнениями Навье —Стокса. Однако в задачах с отрывными зонами течение за отрывом оказывает значительное влияние на характер распределения давления вверх по потоку от области отрыва. Таким образом, давление, принимаемое в качестве независимого граничного условия в теории пограничного слоя, становится величиной существенно переменной, и приближение пограничного слоя перестает быть справедливым. Влияние отрыва на распределение давления вверх по потоку от точки отрыва в общем случае невозможно оценить без расчета поля течения в целом, включая как пограничный слой, так и область возвратных потоков. Поэтому для расче- тов отрывных течений следует использовать полные уравнения движения — уравнения Навье —Стокса [2].
Многие численные методы, которые хорошо зарекомендовали себя при решении задач для других уравнений, работают плохо при их приложении к уравнениям Навье — Стокса. Известны несколько приемов, такие как введение «малых» членов с искусственной сжимаемостью или членов с дополнительной вязкостью, которые меняют свойства уравнений Навье — Стокса и упрощают ситуацию для применения известных численных методов. Но наличие членов с искусственной вязкостью в численной модели соответствует увеличению физической вязкости в исходной дифференциальной модели Навье —Стокса и подменяет исходную физическую задачу. Кроме того, поскольку в численное решение вносится еще и погрешность аппроксимации дифференциальных операторов уравнений Навье —Стокса, то оценка вклада в погрешность решения введенных искусственных членов представляется трудной задачей. Это и другие обстоятельства позволяют утверждать, что необходим поиск новых численных методов решения задач о течении вязкой жидкости.
В настоящей работе предложен сеточный метод коллокации и наименьших квадратов (КНК) решения краевых задач для уравнений Навье — Стокса. Он основан на совместном применении метода коллокации и метода наименьших квадратов для нахождения численного решения.
Метод коллокации прост в реализации и дает хорошие результаты при решении краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), как линейных, так и нелинейных [9,44,45,51,76], и «нежестких» эллиптических задач на равномерных сетках. Этот метод интенсивно исследовался во многих работах [28,50,51,77]. В 1970-х годах У. Ашером, Р.Д. Расселлом и Дж. Кристиансеном (U. Ascher, R.D. Russell, J. Christiansen) был создан эффективный пакет программ COLSYS [45] решения систем ОДУ смешанно-- го порядка. Он явился мощным вычислительным инструментом и пользуется популярностью и в наши дни [40].
Однако на сетках с сильным локальным измельчением при применении этого метода получаются плохо обусловленные матрицы. Поэтому этот метод в сочетании с адаптивными нерегулярными сетками не дает более точного результата по сравнению с решением задач на равномерных сетках.
В свою очередь, применение метода наименьших квадратов зачастую улучшает свойства численного метода. Так, известно, что в задаче построения ап-проксиманта в форме полинома Лагранжа для дискретно заданной функции при увеличении числа узлов интерполяции с некоторого их количества увеличивается численная неустойчивость решения. Применение метода наименьших квадратов делает более устойчивым построение решения этой задачи в виде полинома. Отличие метода наименьших квадратов от метода Лагранжа в том, что в нем не требуется равенства значений интерполянта и дискретного значения интерполируемой функции в узлах, а требуется достижение минимума функционала, который обычно состоит из суммы квадратов невязок с весовыми коэффициентами для всех узлов.
Метод наименьших квадратов успешно применялся для улучшения свойств разностных схем решения задач аэрогидродинамики. Во многих из этих задач необходимо рассматривать взаимодействие между конвекцией и диффузией, которая много меньше, чем конвекция. Конвективные члены в уравнениях содержат первые производные по пространственным переменным. При аппроксимации этих производных центральными разностями в численном решении возникают большие осцилляции нефизического характера. Поэтому очень часто отказываются от схем второго порядка и используют схемы первого порядка, в которых первые производные аппроксимируются направленными разностями.
Для уменьшения пространственных осцилляции в работе [32] предлагается использовать переопределенную систему конечно-разностных уравнений с направленными разностями, под решением которой понимается сеточная функция, доставляющая минимум сумме квадратов невязок этих уравнений. Это вносит в разностные уравнения диссипацию с нужным знаком, что позволяет получить более гладкое решение. Полученные схемы имеют второй порядок аппроксимации. Как показали численные эксперименты, в задачах, где сильно меняющаяся функция переходит почти в прямую, предложенный метод не дает преимуществ по сравнению со схемой с направленными разностями. Однако в задачах, где зоны сильного изменения решения чередуются с зонами его плавного, но существенно отличного от линейного, поведения, предложенный метод дает ощутимые преимущества при расчетах на грубых сетках по сравнению со схемами с направленными и центральными разностями. Таким образом, и в этом случае метод наименьших квадратов действует как регуляризатор.
Разновидности методов наименьших квадратов для уравнений в частных производных, согласно [60], можно классифицировать следующим образом: по методу минимизации: непрерывная формулировка: квадраты невязок интегрируются по области; дискретная формулировка: квадраты невязок вычисляются и суммируются в конечном множестве точек в области и на границе (метод коллокации) по способу удовлетворения уравнений: внутренний метод: приближенное решение точно удовлетворяет граничным условиям; граничный метод: приближенное решение точно удовлетворяет определяющим уравнениям; смешанный метод: приближенное решение не удовлетворяет точно ни одному уравнению -9- по форме приближенного решения: глобальный подход: используется единое для всей расчетной области разложение приближенного решения в ряд с большим количеством членов щ = Y^i=i UiPiiz)'-) локальный подход: в каждой подобласти (которые называются ячейками или конечными элементами) используется разложение с более низким порядком, разными неопределенными коэффициентами а и, возможно, разными базисными функциями ipi{x)
Возможны гибриды этих методов, так что точная классификация затруднена.
Применение внутренних и граничных методов зачастую вызывает критику, т.к. не всегда возможно точно удовлетворить дифференциальным уравнениям или граничным условиям за счет выбора приближенного решения щ. Поиск такого приближенного решения при практическом применении этих методов представляет отдельную сложную задачу. Альтернатива этому — применение смешанных методов. В работе [60] приведен обширный обзор литературы по методам наименьших квадратов, но лишь в одной работе [61] применяется дискретный смешанный метод (т.е. метод коллокации совместно с методом наименьших квадратов) для дифференциального уравнения в частных производных. В этой работе для одномерных аппроксимаций использовались разложение решения в степенной ряд, разложение по полиномам Чебышева.
В последнее время появился ряд работ, в которых авторы предлагают использовать метод коллокации совместно с методом наименьших квадратов для решения различных задач математической физики [14, 33, 34,47,48, 54, 56,59,65,70,71,74,83]. Так, в работе [65] выписывается переопределенная система уравнений коллокации и решение задачи находится из условия минимума суммы квадратов невязок этих уравнений, в результате чего определяется часть коэффициентов аппроксимирующих многочленов. Оставшаяся часть коэффициентов находится из условий согласования решения в соседних ячейках и краевых условий. Этот метод более устойчив по сравнению с обычным методом коллокации. Однако на сетке с сильным локальным сгущением аппроксимация решения может получиться очень неточной, с нефизическими осцилляциями. Для того, чтобы обойти возникающие трудности, в работе А. Г. Слепцова [74] предлагается выписывать переопределенную систему уравнений не только для уравнений коллокации, но и для условий согласования решения между соседними ячейками сетки и краевых условий.
Коллокационный метод наименьших квадратов нашел применение в задачах механики твердого тела (см., например, [59,71]). В работе [59] реализован внутренний глобальный подход и отмечено, что узлы коллокации необходимо распределять равномерно по области, в противном случае погрешность сильно возрастает.
В работах [49, 54] совместное применение методов коллокации и наименьших квадратов используется для решения уравнений Навье — Стокса несжимаемой жидкости. В работе [54] уравнения Навье —Стокса записаны в переменных функция тока - завихренность (ф-ф) и применяется граничный метод. Этот метод подходит только для двумерных задач и только для медленных течений, поскольку на этапе вывода уравнений в переменных ф-ф для упрощения предполагалась малость скорости и отбрасывались некоторые члены. В работе отмечено, что если число узлов коллокации в случае разрывных граничных условий равно числу неизвестных, то результаты получаются неудовлетворительные, но если число узлов вдвое больше числа неизвестных и переопределенная система линейных алгебраических уравнений решается методом наименьших квадратов, то полученные результаты слабо чувствительны к положению источников, граничным данным и оптимизационным параметрам метода.
В работе [49] уравнения Навье —Стокса выписаны в примитивных пе-" ременных. Путем введения новой переменной (потока скорости) уравнения
Навье — Стокса переписываются как система первого порядка с добавлением уравнений вихря и следа, ассоциированных с новой переменной. Для нахождения решения функционал, составленный из суммы квадратов невязок всех уравнений и краевых условий, минимизируется по вариационному принципу. Недостаток этого метода заключается в том, что для решения этой задачи нужно знать решение краевой задачи для уравнений Стокса с соответствующими граничными условиями и правой частью.
Построение разностной сетки представляет собой самостоятельную задачу. Важной характеристикой сетки является ее шаг, так как погрешность аппроксимации численного алгоритма обычно выражается как 0(hp), где h — шаг сетки. Сеточный шаг может быть выбран равномерным и неравномерным.
Для правильной передачи особенностей течения целесообразно сгущать сетку в подобластях с особенностями. В то же время в областях гладкого поведения решения дифференциальной задачи можно выбирать шаг сетки значительно большим. Таким образом, желательно согласовывать расчетную сетку с получаемым решением. Это можно делать либо исходя из априорной информации о структуре течения, либо используя расчетные сетки, адаптирующиеся к особенностям решения.
В данной работе используется сетка с прямоугольными ячейками и применен алгоритм адаптации сетки на основе апостериорной оценки погрешности численного решения. Как показали численные эксперименты, сетка сгущается в подобластях с большими градиентами решения исходной дифференциальной задачи. По сравнению с равномерной сеткой, в адаптивном варианте метода для достижения заданной точности численного решения требуется в несколько раз меньше ячеек, и это преимущество тем больше, чем выше требуемая точность численного решения.
Сложность сетки увеличивает сложность дискретизации уравнений, увеличивает количество вычислений на один узел (ячейку) сетки, затраты рас- четного времени, машинной памяти. Для сетки с прямоугольными ячейками существенно упрощаются пересчет локальных и глобальных координат, алгоритм построения сетки, для такой сетки требуется знать относительно немного информации о ней (по сравнению, например, с сеткой из треугольников), что дает экономию оперативной памяти.
Метод КНК в варианте, предложенном А.Г. Слепцовым, успешно применялся при решении уравнений в частных производных эллиптического и параболического типов [74], хорошо зарекомендовал себя при решении эллиптических задач на адаптивных сетках с малым параметром при старшей производной, где могут возникать пограничные и внутренние слои [34]. Поэтому было желательно сформулировать и реализовать его для решения уравнений Навье — Стокса.
Попытки автора реализовать метод коллокации для уравнений Навье—Стокса без применения принципа наименьших квадратов натолкнулись на плохо обусловленную вспомогательную задачу линейной алгебры. Применение при этом различных численных методов линейной алгебры не привело к успеху. Применение принципа наименьших квадратов в методе коллокации, как и в случае задачи построения аппроксиманта для дискретно заданной функции, позволяет получить вспомогательную задачу линейной алгебры с лучшей обусловленностью. Это важное свойство метода КНК.
В данной работе метод КНК применен для уравнений Навье —Стокса, записанных в примитивных переменных. В отличие, например, от работы [49], при применении метода КНК не требуется искать решения вспомогательных задач для дифференциальных уравнений. Кроме того, при аппроксимации краевой задачи для системы уравнений Навье —Стокса трудность при применении численных методов представляют правильный учёт уравнения неразрывности div v = 0 [35] и реализация граничных условий. В предлагаемом здесь методе уравнение неразрывности выполняется точно в каждой ячейке сетки за счёт выбора базиса, легко реализуются граничные условия как Ди- рихле, так и Неймана. Также теоретически можно неограниченно повышать порядок аппроксимации метода за счет повышения порядка аппроксимирующих полиномов в базисных функциях.
В работе приведены результаты расчетов тестовых задач с известным точным решением и модельных задач о течении вязкой жидкости в каверне и об обтекании вязкой жидкостью уступа. Расчеты тестовых задач дают информацию, которая позволяет оценить качество дискретной модели. Последующее решение конкретных задач, анализ полученных результатов и сравнение с известными результатами, опубликованными в научной литературе, позволяют судить об эффективности и применимости разработанных численных алгоритмов.
Для отрывных течений (к которым относятся течения в каверне и около уступа) особое внимание следует уделять правильному воспроизведению детальной картины течения, которая определяется положением точек отрыва и присоединения потока, размерами первичных и вторичных вихрей и т.д. Поэтому в данной работе проводится сравнение полученных результатов с результатами других исследователей [3,4,7,38,42,46,52,53,55,57,58,62,68,72,73]. Характерные величины, определяющие структуру течений, полученные по методу КНК, очень хорошо совпадают с результатами, полученными по схемам высокого порядка аппроксимации [7,38].
Аналитическая работа по выводу формул метода КНК для систем уравнений Стокса и Навье —Стокса связана с большим объемом символьных вычислений. Эту задачу можно поручить системам компьютерной алгебры. Применение ЭВМ в символьных преобразованиях позволяет исследователю избежать трудоемкой аналитической работы и тем самым исключить неизбежные при работе вручную с громоздкими выражениями ошибки, ускорить и упростить вывод конечных формул. Известны примеры использования ЭВМ уже в 1970-х — 1980-х годах для аналитических выкладок в теории совместности систем дифференциальных уравнений [1,6], в теории разностных схем как отечественными, так и зарубежными исследователями [5,67]. Для автоматизации вывода формул метода КНК автором представляемой диссертационной работы был написан комплекс программ в системах компьютерной алгебры REDUCE и Maple, который с незначительными изменениями может быть применен для вывода формул метода для различных уравнений математической физики.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка литературы.
В первой главе описывается метод КНК для стационарных уравнений Стокса. Приводится постановка задачи, описывается алгоритм построения приближенного решения, приводятся результаты тестирования полученных формул метода и результаты расчетов задачи о течении в прямоугольной каверне. Показано, что метод адекватно передает особенности течения при различных соотношениях высоты и ширины каверны.
Во второй главе описывается метод КНК для стационарных уравнений Навье — Стокса. Эти уравнения отличаются от уравнений Стокса наличием нелинейных членов, поэтому для решения этой задачи применяется линеаризация уравнений Навье —Стокса по Ньютону и итерирование по нелинейности. Приводятся результаты тестирования для вариантов линейной и квадратичной аппроксимации давления и сравнение численных экспериментов по определению порядка сходимости для этих вариантов на последовательности сеток. Приведены результаты расчетов течения в прямоугольной каверне и обтекания обратного уступа при различных числах Рейнольдса в сравнении с результатами других исследователей, опубликованными в авторитетных отечественных и международных журналах. Сравнение полученных по методу КНК картин линий тока с результатами визуализации течений в физическом эксперименте показало, что метод правильно передает качественную картину деталей этих течений, а численные результаты, полученные по методу
КНК, близки к результатам, полученным по схемам высокого порядка. Описано построение метода КНК решения краевых задач теплопереноса в вязкой жидкости. Также показано, что если полагать в уравнениях Навье — Стокса, приведенных к безразмерному виду, число Эйлера равным единице, как это часто принимается в литературе, то это может привести к плохо обусловленной задаче линейной алгебры и отсутствию сходимости численного метода.
Третья глава посвящена построению адаптивного варианта метода КНК для уравнений Навье —Стокса и вопросу адаптации сетки к особенностям решения дифференциальной задачи на основе апостериорной оценки погрешности решения в каждой ячейке. В численных экспериментах сетка сгущается прежде всего в областях больших градиентов решения исходной дифференциальной задачи и для достижения заданной точности требуется в несколько раз меньше ячеек, чем при использовании равномерной сетки, причем преимущество адаптивного варианта метода тем больше, чем выше требования к точности численного решения.
В четвертой главе предлагается развитие метода КНК для решения нестационарных уравнений в частных производных на примере уравнения теплопроводности. Предложенным методом проведен расчет задачи о сублимации /3-дикетоната хрома в потоке аргона по математической модели, предложенной А.Н. Черепановым [81]. Эта задача возникла из практической потребности контроля воспроизводимости роста тонких металлических покрытий, получаемых методом газофазного осаждения. Показано хорошее соответствие результатов расчетов с результатами физического эксперимента.
В заключении кратко формулируются основные результаты работы.
В приложении приведены аналитические выражения для элементов матрицы и правой части переопределенной системы линейных алгебраических уравнений, полученной из краевых условий, условий согласования решения на границах между ячейками и условий коллокации уравнений Стокса и линеаризованных уравнений Навье —Стокса.
Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной механики СО РАН.
На защиту выносятся следующие основные положения: построение эффективного метода коллокации и наименьших квадратов (КНК) решения краевых задач для систем стационарных уравнений Стокса и Навье —Стокса на регулярной сетке; построение адаптивного варианта метода КНК для уравнений Навье — Стокса; построение метода КНК решения нестационарных уравнений в частных производных и применение его к решению прикладных задач; реализация в системах компьютерной алгебры алгоритма построения формул вариантов метода КНК.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [15-27,78-82]. Основные результаты работы докладывались на XXXIV и XXXVI Международных научных студенческих конференциях "Студент и научно - технический прогресс"(Новосибирск, 1996 и 1998)
Сибирской школе - семинаре "Математические проблемы механики сплошных сред" (Новосибирск, 1997)
International Conference on the Methods of Aerophysical Research (Новосибирск, 1998) Conference on Numerical Methods and Computational Mechanics 1998 (Ми-школьц, Венгрия, 1998)
Четвертом сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ-2000) (Новосибирск, 2000)
6th International IMACS Conference on Applications of Computer Algebra IMACS АСА 2000 (Санкт-Петербург, 2000)
9th Seminar on Numerical Solution of Differential and Differential-Algebraic Equations NUMDIFF-9 (Галле, Германия, 2000)
32-й Региональной молодежной конференции "Проблемы теоретической и прикладной математики "(Екатеринбург, 2001)
Международной конференции "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 2001)
Всероссийской конференции молодых ученых "Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии"(Новосибирск, 2001)
IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования"(Новороссийск, 2001) VII Всероссийской конференции молодых ученых "Актуальные вопросы теплофизики и физической гидрогазодинамики" (Новосибирск, 2002) The International Conference on Computational Mathematics (Новосибирск, 2002)
Работа была доложена на семинарах Института теоретической и прикладной механики, Института математики и Института вычислительных технологий СО РАН.
Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей
С помощью метода КНК проведён расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей. Высота каверны принималась равной единице. Расчёты проводились для чисел Рейнольдса Re=0.1, Re=l, Re—10. Обозначим через А отношение высоты каверны к её длине. На рисунках 1.2 -1.3 приведены картины линий тока в случаях А = 0.5, 1 и 2, соответственно, при числе Рейнольдса Re=l. Видно, что при А = 0.5 и 1 в каверне существует один вихрь, а при А = 2 происходит образование второго (медленного) вихря. Этот результат находится в полном соответствии с данными физических экспериментов, полученными Паном и Акривосом [73], и расчётами, проведёнными Бургграфом [55], Паном и Акривосом [73] методом релаксации для уравнений Навье — Стокса при малых числах Рейнольдса. В расчётах при А = 2 нижний вихрь по интенсивности на два порядка слабее верхнего. Тем не менее предложенный метод хорошо его передаёт. Это также косвенно подтверждает, что предложенный численный метод имеет порядок аппроксимации не ниже второго.
В этой главе показано, что метод КНК, примененный к системе линейных уравнений в частных производных, обладает хорошим порядком сходимости, корректно передает качественные особенности течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей. Таким образом, отладка метода на линейной подмодели модели Навье — Стокса прошла успешно. В следующей главе рассматривается применение метода КНК к системе уравнений Навье—Стокса.
В предыдущей главе было показано, что разработанный метод КНК для системы уравнений Стокса адекватно передает особенности течений, описываемых этой системой уравнений. Однако уравнения Стокса описывают достаточно узкий класс течений, а именно медленные и высоковязкие течения жидкости. Важной задачей вычислительной гидродинамики является разработка эффективных методов решения краевых задач для полной системы уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости — уравнений Навье—-Стокса. Многие численные методы, которые хорошо зарекомендовали себя при решении задач для других уравнений, работают плохо при их приложении к уравнениям Навье —Стокса. Важность этой задачи также подтверждается тем, что идет постоянный поиск новых методов для уравнений Навье — Стокса, о чем свидетельствуют регулярно появляющиеся в печати публикации на эту тему [3,4,7,38,49,53,57,58,63,68]. Эта глава посвящена развитию метода КНК для решения краевых задач для сложной системы нелинейных уравнений в частных производных — уравнений Навье —Стокса.
Как и для краевой задачи для уравнений Стокса, приближённое решение отыскивается в виде кусочно - полиномиальной функции на регулярной сетке с прямоугольными ячейками. Вводятся следующие обозначения: h — половина ширины ячейки, (жіт,2т) — координаты центра m-ой ячейки, yY = (#1 — xim)/h, у2 = (х2 — X2m)/h — локальные координаты в ячейке, "(г/1» 2/2) = v(xux2), я(уі,У2) = hp(xi,x2). Тогда уравнения (2.1) в локальных переменных примут вид:
Существенное отличие этой системы от системы уравнений Стокса состоит в наличии в определяющих уравнениях нелинейных членов. Поэтому для получения системы линейных уравнений для нахождения решения требуется линеаризация уравнений Навье — Стокса. Она производится следующим образом. Пусть известно некоторое приближённое решение (ui,v,2,q). Искомое уточнённое решение представим в виде: щ = й\ + и\, щ = йъ + Щ-, q = q + q-Подставив это представление в уравнения (2.2) и пренебрегая членами второго порядка малости uiUj i, U2Ujty2, І — 1)2, получим линеаризованные уравнения:где ipj — базисные функции (векторы с тремя компонентами), m — номер ячейки.
Коэффициенты ajm будут определяться из условий коллокации уравнений (2.5) и условий согласования на границах соседних ячеек или краевых условий на сЮ.
Расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей
С помощью метода КНК проведён расчёт течения в прямоугольной каверне с движущейся верхней границей. Расчёты проводились для чисел Рейнольдса Re=l, Re=10, Re=100, Re=400, Re=1000, Re=2000. Картина линий тока для различных чисел Рейнольдса в квадратной каверне представлена на рис. 2.1 - 2.2. Знаком + на них обозначен центр вихря. Видно, что при увеличении числа Рейнольдса происходит увеличение угловых придонных вихрей и смещение центра главного вихря сначала в направлении движения крышки, а потом к центру каверны. Этот эффект подтверждается физическими экспериментами, описанными в работах [69,73,75] и расчётами, проведенными в работах [52,53,55,57,58,62].
Сравнение максимальных и минимальных значений скоростей вдоль вертикальной и горизонтальной средней линии квадратной каверны с результатами, опубликованными в работах [53,57,58,62], приведено в таблице 2.3. Из таблицы видно, что характерные величины профилей скорости, найденные по методу КНК, находятся в хорошем соответствии с результатами расчётов других исследователей. На рис. 2.7 приведены профили компонент скорости v\ и г 2 для различных чисел Рейнольдса в квадратной каверне.
Координаты центров вихрей и значения функции тока ф в них при различных числах Рейнольдса для квадратной каверны приведены в таблице 2.8. По значениям функции тока видно, что вторичные вихри на два порядка слабее главного. Тем не менее, предлагаемый в данной работе метод хорошо их передаёт.
Обозначим через А отношение глубины каверны к её ширине. На рис. 2.3 - 2.6 приведены картины линий тока в случаях А = 0.5 и 2, а на рис. 2.8 показаны соответствующие профили горизонтальной компоненты скорости v\ вдоль вертикальной средней линии каверны при А = 2. Видно, что в отличие от случаев А — 1 (квадратная каверна) и А = 0.5, при А = 2 образуется второй вихрь, занимающий всю нижнюю часть каверны даже при малых числах Рейнольдса. Это подтверждается в экспериментах [73], а также расчетами, представленными в [73], [52], [53]. При увеличении числа Рейнольдса размер второго вихря возрастает, хотя вихрь остается весьма слабым.
На рисунках буквами U и V обозначены соответственно горизонтальная и вертикальная компоненты скорости v\ и vi\ буквами X и Y соответственно обозначены оси х\ и хч.
Нередко численные методы при аппроксимации определяющих уравнений вносят большую схемную вязкость во всей расчетной области или в некоторых ее подобластях. Может случиться, что она сравнима с физической вязкостью, вследствие чего результаты расчетов не будут правильно передавать некоторые особенности течения. Например, в работе [63] проведен расчет течения в квадратной каверне. Несмотря на то, что сетка сгущалась вблизи углов каверны, в расчетах не наблюдалось угловых вихрей, хотя рассчитанные характеристики главного вихря находились в хорошем соответствии с приведенными выше и в работах [57,58,62] результатами. Авторы отмечают этот факт, но не приводят ему объяснения. Весьма вероятно, что это происходит из-за повышенной схемной вязкости. В точках разворота потока (на границе главного и придонных вихрей) имеют место большие градиенты скорости, и в методах невысокого порядка там может возникать большая схемная вязкость. В схемах же высокого порядка схемная вязкость мала, и при расчетах по этим схемам угловые придонные вихри присутствуют [38,58,72]. Они также визуализируются в физических экспериментах [69,73,75], чем подтверждается достоверность расчетов по схемам высокого порядка и по методу КНК.
Для проверки этой гипотезы в рамках метода коллокации и наименьших квадратов был проведен следующий эксперимент. В узких подобластях, где должны были возникать придонные угловые вихри, искусственно вводилась дополнительная вязкость. Поскольку в данной работе рассматриваются обез-размеренные уравнения, введение дополнительной вязкости выражалось в уменьшении числа Рейнольдса в этих подобластях. В результате вторичные вихри подавлялись даже при числе Рейнольдса 1000.
Метод коллокации и наименьших квадратов решения краевых задач теплопереноса в вязкой жидкости
Рассмотрим стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в двумерной области П, описываемое уравнениями Навье —Стокса (2.1). При рас смотрении уравнения конвективного теплопереноса считаем, что плотность и вязкость среды не зависят от температуры и, следовательно, распределение температуры не оказывает влияния на поле течения. Уравнение теплопереноса запишем в следующем виде: В этом уравнении Ре = [t/][L]/x — число Пекле, х — коэффициент температуропроводности, [U] и [L] — характерные скорость и размер, выбранные при приведении уравнений к безразмерному виду. Считаем, что коэффициент температуропроводности не зависит от температуры. Для замыкания задачи необходимо задать краевые условия. Для определения полей скорости и давления рассматривается задача Дирихле (2.1); кроме того, для однозначного определения давления в одной точке расчетной области задается значение давления. Для определения поля температуры рассматривались как задача Дирихле где Т — известная функция, так и смешанная краевая задача, когда на части границы задаются условия (2.11), а на другой части — условия Неймана где п — внешняя нормаль к ячейке, дС1 — dQ, (J 9Q/v.
Так как температура не входит в уравнения (2.1), то эти уравнения образуют замкнутую систему для определения функций Пир. Если решение краевой задачи (2.1) найдено, то температура находится по вычисленному полю скоростей из решения краевой задачи (2.10), (2.11) при д1н — 05 или задачи (2.10), (2.11), (2.12). Приближенное решение отыскивается в виде кусочно - полиномиальной функции на регулярной сетке с прямоугольными ячейками. В каждой ячейке решение представляется в виде линейной комбинации базисных функций: где (fj, ф] — базисные функции, т — номер ячейки. Базисные функции выберем так, чтобы компоненты вектора скорости, давление и температура аппроксимировались полиномами второго порядка, и, кроме того, уравнение неразрывности выполнялось точно для любых коэффициентов cij. Базисные функции ipj приведены в параграфах 2.2 и 2.5.1, а i j взяты следующим образом: фх - 1, ф2 = 2/ъ фъ = У2, ФА = 2/12/2, Фь = Уъ ф6 = у. Здесь через у\ и 1/2 обозначены локальные координаты в ячейке. Формулы для определения коэффициентов Cj в формуле (2.14) находятся по тому же алгоритму (описанному выше в пункте 2.2), что и для коэффициентов a,j в формуле (2.13). В каждой ячейке сетки выписываются четыре уравнения коллокации (2.10). Если граница ячейки лежит на границе области, то в двух точках на ней задаются граничные условия (2.11) или (2.12). Кроме того, для согласования решения между соседними ячейками, в двух точках на границе между ними задаются условия непрерывности выражений где — производная по внешней нормали к ячейке, к — положительный коэффициент. В итоге в каждой ячейке получаем следующую систему уравнений:
Эта система переопределена, в ней 12 уравнений и 6 неизвестных Cj. Ее решение будем понимать в смысле наименьших квадратов, а именно, рассмотрим два функционала: Первый соответствует сумме квадратов невязок уравнений, полученных из условий согласования или граничных условий, а второй — сумме квадратов невязок уравнений коллокации. Решение системы (2.15) понимается в смысле минимума этих функционалов, причем минимум Фі берется по первым четырем коэффициентам су, а минимум Фг — по коэффициентам с и CQ. В итоге в каждой ячейке сетки получаем систему из шести уравнений относительно шести неизвестных: Как и раньше, для проведения аналитических выкладок по выводу символьных выражений для коэффициентов матрицы и вектора правой части определенной системы алгебраических уравнений (2.17) для нахождения коэффициентов Cj применяется система компьютерной алгебры. Для нахождения решения задачи во всей расчетной области опять применяется метод итераций по подобластям.
Правильность полученных формул для D и F из (2.17) проверялась на задачах с известным точным решением. В качестве одной из тестовых задач была рассмотрена задача о стационарном теплообмене при ламинарном течении жидкости с параболическим профилем скорости в плоском канале. Уравнение теплопереноса в этом случае выглядит так: Если правые части уравнений Навье —Стокса взять следующим образом: /і = 0, /г = — ?, то точное решение задачи (2.1), (2.10) будет выражаться формулами: v\ — 1 — х\ г 2 = 0, р = дх2 — 2#i/Re, Т = 12 i + Ре(6#2 — ж); стенки канала задаются уравнениями: x i — ±1. Краевые условия для скорости и температуры задавались из точного решения. Для определения температуры были рассмотрены краевые задачи (2.10), (2.11) и (2.10), (2.11), (2.12). Во втором случае условия (2.11) задавались только на левой границе области (при х\ — 0), а на всей остальной границе ставились условия (2.12).
Численное моделирование сублимации /3-дикетоната хрома в потоке аргона
В последнее время большое внимание уделяется проблеме получения металлических покрытий из газовой фазы. В качестве исходного материала для этого используются /3-дикетонаты переходных металлов, характеризующиеся высокой летучестью. Пары этих веществ переносятся газом к покрываемой поверхности (подложке) и осаждаются на ней. Метод газофазного осаждения (CVD) обладает большими возможностями для нанесения однородных пленок большой площади при относительно высоких скоростях. В настоящее время он успешно применяется для получения различных типов покрытий во многих областях, например, в микроэлектронной и оптической промышлен-ностях, в производстве высокотемпературных тиглей и катализаторов. Коррозионно-стойкие электропроводящие покрытия необходимы для титановых электродов, используемых в различных электрохимических процессах (для электрохимической очистки сточных вод, электрохимического производства окислителей, электродиализа, электрохимических источников тока и др.). Метод CVD позволяет наносить покрытия на изделия любой формы, поскольку не имеет "тени", обладает свойством лучшего использования исходного летучего соединения по сравнению с другими методами. Однако в этой технологии все еще остается ряд вопросов, решение которых необходимо для практического ее использования. Один из основных вопросов — это воспроизводимость роста пленок. Частичной причиной такой ситуации является недостаточная изученность механизма процессов переноса в исследуемых системах.
Процесс получения пленочных покрытий может быть разделен на 3 стадии: испарение исходной (металлорганической) фазы, смешение и транспорт этих паров к подложке, их разложение и последующее осаждение на подложку в виде пленочного покрытия.
Возможность управлять составом растущей пленки и ее качеством связана с возможностью контролировать процессы испарения, переноса, разложения исходных соединений. Для этого необходим детальный анализ особенностей и характера процессов переноса и сублимации.
Вопрос тепломассопереноса в условиях сублимации твердых тел в узких щелях и каналах мало изучен. При этом наименее изучено влияние на процессы сублимации и теплопереноса в каналах вынужденной конвекции, связанной с поперечным либо продольным вдувом газа. В работах, посвященных процессам сублимации, используются упрощенные модели, рассматривающие процесс в условиях вакуума, а также при других упрощающих предположениях, которые дают сильно завышенные скорости процесса, отличающиеся от экспериментальных на несколько порядков. Поэтому необходима разработка математических моделей сублимации и численных методов, способных решать такие задачи, на основе которых возможно получение надежных рекомендаций по конструированию оптимальных сублиматоров, способных гарантировать высокую стабильность потоков прекурсора (образца /?-дикетоната) в зоне получения металлических покрытий.
Для моделирования процесса сублимации (т.е. испарения твердого вещества в газовую фазу) была взята модель, предложенная А.Н. Черепановым. Она описывает разрабатываемую сотрудниками Института неорганической химии СО РАН И.К. Игуменовым, А.Н. Михеевым и др. технологию получения тонких металлических покрытий из газовой фазы и опирается на прово- димые ими физико-химические эксперименты.
Рассмотрим сублимацию /3-дикетоната металла в плоском щелевом канале. Считаем, что пластина монокристаллического /3-дикетоната с исходной толщиной $ю расположена на плоском держателе, находящемся на нижней стенке канала. Продольные и поперечные размеры пластины много больше толщины 5ю- Вдоль канала течет нагретый инертный газ с заданными значениями расхода Qg и температурой Тд. Исходная высота верхней камеры щелевого канала HSQ, его поперечный и продольный размеры много больше величины 5ю, так что можно пренебречь концевыми эффектами и изменением скорости течения газа. Пластина /2-дикетоната нагревается за счет конвективной теплоотдачи от газа, излучения от верхней стенки канала и теплопередачи от подогреваемого держателя, в результате чего происходит сублимация вещества.
