Введение к работе
Актуальность темы. Для количественного описания происходящих в природе процессов с успехом применяются методы математичес-' Кого моделирования. Большей частью такое моделирование приводит к необходимости решения краевых задач для дифференциальных уравнении в частных производных. Численные методы являются наиболее эффективными при решении математических моделей газовой динамики. Разработка численных методов решения 'Гидродинамики и газовой динамики представляет большой практический и научный интерес. Численные методы позволяют решать прикладные задачи, а также ставити важные эксперименты, имеющие теоретический и прикладной интерес. Математические вопросы теории разностных схем для уравнений газовой динамики мало изучены, что отмечено Самарским А.А., Яненко Н.\\. и другими. Самарский А.А. указывает, что "хотя задачи газовой динамики решаются давно и повсеместно, однако до сих пор нет строгих математических результатов об устойчивости и сходимости какой-либо схемы даже в простейшей ситуации". В монографии С.Н.Ан-тонцева, А.В.Кажихова, Б.Н.Монахова "Краевые задачи механики неоднородных жидкостей" поставлено в виде проблемы обоснование приближенных методов решения системы для моделей вязкого газа.
Цель работы. Исследование, сходимости приближенных методов для модели одномерного движения вязкого газа, уравнения вязкой несжимаемой жидкости и обоснование метода фиктивных областей для уравнений Навье-Стокса.
Методика исследования связана с получением априорных оценок и применением на их основе общих методов решения нелинейных краевых задач.
Научная новизна. Новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем:
I. Предложен новый класс разностных схем для одномерного течения вязкого баротроиного газа. Исследованы основные свойства разностных решений, в частности, строгой положительности и огра - ниченности сверху плотности. Доказаны устойчивость и сходимость разностного решения.
Аналогичные вопросы рассматривается для уравнений вязкого теплопроводного газа. Оценки устойчиногтн получены при условии малости 'Х>=л6 Ъ.
Доказана корректность начально-краевой задачи для модели магнитной газової! динамики. Исследованы устойчивость и сходимость разностных схем для модели магнитной газовой динамики.
-
Получены оценки устойчивости решения разностных схем для задачи двикения по раня и движения контактного разрыва в вязком баротролном газе.
-
Рассматриваются аппроксимации уравнений Навье-Стокса уравнениями эволюционного типа. С помощью введения вспомогательных функции Сі"7 в уравнения импульса удалось доказать теорему
'существования сильного решения системы дифференциальных уравне- ний с малым параметром . Дана точная оценка скорости сходимости сильного решения при &* О
-
Изучены вопросы существования и единственности решений одной модели неоднородной вязкой жидкости и уравнения свободной конвекции с учетом энергий диссипации. Рассмотрена -аппрокси мации уравнения неоднородной жидкости и уравнения свободно!! конвекции. Даны неулучшаемые оценки скорости сходимости решения вспомогательных задач при *& .
-
Обоснован метод фиктивных областей для уравнения вязкой несжимаемой жидкости. Доказана теорема существования вспомогатеш ной задачи и исследовано поведение решения при -*-о . Изучена возможность повышения точности приближения к решению уравнения Навье-Стокса с помощью линейной комбинации решения регуляризо-
!ванных задач, на основе экстрополяционного метода Ричардсона по 'малому параметру .
і б. Исследован метод фиктивных областей для уравнения вязкоГ несжимаемой жидкости в постановках функции тока и вихря скорости в многосвязной областей. Доказана теорема существования вспомогательной задачи и получена скорость сходимости решений при \—о.
Построены экономичные однородные схемы с малым параметром. Скорость сходимости решения разностных схем слабо зависит от (значений малого параметра.
і Изучается стационарная сопряженная задача естественной конвекции жидкости и теплопроводности твердого тела в методе фиктивных областей. Доказана теорема существования обобщенного решения и сходимость решения вспомогательной задачи при -*-<-;>.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные а диссер-'
тации результаты относятся к давно поставленным проблемам гидро
динамики. Выполненные исследования позволили существенно прод
винуться в изучении сходимости решений разностных схем для моде-'
ли газовой динамики. Разработанные методи налші применение
э работах других авторов. Результаты могут быть использованы приї решении широкого класса задач физики и механики. Некоторые материалы диссертации были использованы в учебной практике и учебных пособиях.
Апробация работы. По мере получения её результаты неоднократно докладывались в ИТГШ СО All СССР на семинаре "Численные методы механики сплошной среды", руководимом академиком Н.Н.Яненко , и. на семинаре "Краевые задачи механики сплошной среды" под руководством профессора Монахова В.Н. . Регулярными были выступления на семинаре "Большие задачи математической физит ки" под руководством процесора Коновалова A.LJ. (ВЦ СО АН СССР), на семинаре "Численные методы математической физики" под руководством доктора физ.-мат.наук В.Н.Абраіиина (Институт математики АН БССР), на семинаре "Математические моделирования" под руководством академика А.А.Самарского (МГУ), на семинаре "Уравнения смешанного типа" под руководством профессора С.А.Терсенова и доктора физ.-мат.наук В.Н.Врагова (Институт математики СО АН СССР), на семинаре "Численные методы динамики вязкой жидкости" под руководством доктора физ»-мат.наук В.ІІ.Ковеня и доц. Б.Г.Куз+ нецова. Отдельные результаты докладывались на семинаре "Вычисли тельная математика" под руководством член-корр. АН СССР Н.С.Бах-валова МГУ г. Москва, на "Городском научном семинаре по вычислительной и прикладной математике" под руководством академика АН КазССР У.Н.Султангазнна в КазГУ и ИММ АН КазССР, на общегородт ском семинаре "Функциональный анализ и его приложения" в Казах ском госуниверситете им. СД4.Кирова под рук. проф. М.О.Отело'аеваі л доктора физ.-мат.наук Т.Ш.Кальменова. Некоторые результаты док4 чадиаались на различных международных и Всесоюзных конференциях.
Публикации. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах Гі-5І] .
В работах, выполненных с соавторами, вклад соавторов был равным.
Структура диссертации, Работа состоит из введения, трех глаф
и трех приложений. Объем - 380 страниц, список цитированной литературы включает 185 наименований.
Интенсивное применение разностных методов к решению прикладных задач вызвала необходимость изучения этих методов, т.е. создание теории разностных схем (PC). Основные Направления развития теорий PC следующие: создание принципов конструирования PC,исследование их свойств. Принципы построения конечно-разност-j ных аналогов краевых задач, такие,как однородность и консерватив*-ность, впервые-сформулированы в основополагающей работе А.Н.Тихонова и А.А.Самарского. Основные аспекты теории PC освещены, например, в работа:-: С.К.Годунова, Г.Н.Марчука, А.А.Самарского, А.А.Самарского и А.Ф.Гулина, А.А.Самарского и Е.С.Николаева, А.А.Самарского и А.Ф.Андреева, Н.Н.Яненко, Н.С.Бахвалова и др.
Корректность нелинейных разностных схем исследована в работах В.Н.Абрашина, А.Д.Ляшко, А.Н.Коновалова, О.А.Ладыженской, А.А.Дородницына, Ю.И.Шокииа, Р.Темама, У.и.Султангазина, Н.Н.Яненко и В.М.Ковеня, В.Я.Ривкинда, Дьяконова D.H. и др.
Математические исследования уравнений гидродинамики, составляют один из разделов теории дифференциальных уравнений- в частных производных. Кроме того, задачи, связанные с этими уравнениями, представляют самостоятельный интерес, который стимулируется развитием численных методов решения краевых задач. Подробный анализ исследований по корректности вязкого газа приведен в монографии С.Н.Антонцева, А.В.Кажихова, В.Н.Монахова "Краевые задачи механики неоднородных жидкостей".
Разрешимость уравнений вязкого газа в целом по времени изу-! чена в настоящее время только в случае одномерного движения с плоскими волнами. Численным методам решения задач вязкого сжимаемого газа посвящено довольно много публикаций, однако сущест-вупт мало работ со строгими математическими результатами по обоснованию устойчивости и сходимости разностного решения.
Сходимость разностных схем для уравнения газовой динамики впервые изучена в работе В.Н.Абрашина, П.П.Матуса. Вопросы устойчивости и сходимости разностных решений для уравнений вязкого сжимаемого гала в настоящее время изучены только в случае одномерного движения. Например, отметим работы А.А.Амосова_ и _
.6
.А.Злотника, Б.Н.Байбатшаева, В.Р.Рысбаева, Н.Т.Данаева, И.Д.Ту-етаева, Ж.Н.Вайсуйеуевой, У.Б.ЖанасбаевоЯ, Л.М.Даирбаевой, !.Б.Берниязова.
Использование численных методов для уравнений Навье-Стокса меет ряд особенностей. Неэволюционность системы уравнений Навье-токса препятствует применения методов дробных шагов для числен-ого решения. При замене уравнений Навье-Стокса уравнениями othoj ительно функции тока и вихря скоростей возникает проблема поста-> овки граничного условия для функции тока в случае многосвязной бласти. Наконец, многие прикладные задачи гидродинамики приводя1» : проблеме построения сетки вблизи криволинейной границы. Прежде ісего следует отметить идею аппроксимации уравнений Навье-Стокса равнениями эволюционного типа. Впервые эта идея была выдвинута і работе Н.Н.Владимировой, Б.Г.Кузнецова и Н.Н.Яненко. Далее, - аппроксимации уравнений Навье-Стокса развивали Р.Темам, I.А.Ладыженская, В.Я.Ривкинд, П.Е.Соболевский и В.В.Васильева, '.!4.Кобельков и другие. Сходимость итерационного метода для 'равнения Навье-Стокса обосновал Г.М.Кобельков. Впервые идея ре-уляриэации области была выдвинута Э.Ч.Титчмаршем, как метод фик* ивньк областей представлена в работах В.К.Саульева, В.Я.Ривкинда, LH.Лебедева, Л.А.Руховеца, М.К.Орунхакова, А.Н.Коновалова, І.А.Войцеховского, А.Н.Бугрова, Н.Н.Николаевой, Г.Н.Марчука и ).А,Кузнецова, А.М.Моцокина и др.
Вопросам построения итерационных схем в методе фиктивных ібластей для уравнения эллиптического типа посвящены работы \.Н.Коновалова, А.Н.Бугрова, П.Н.Вабищевича и Т.Н.Вабищевича, t цикл работ П.Н.Вабищевича.
