Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследование ряда задач математической физики приводит к необходимости решения эллиптических уравнений. Разработано множество простых и эффективных численных методов решения таких уравнений. Однако, необходимо отметить, что в случае пространств с большим числом измерений п, данные методы обладают высокой трудоемкостью и требуют больших объемов памяти запоминающего устройства ЭВМ. Использование алгоритмов метода Монте-Карло позволяет значительно снизить трудоемкость решения. Другими преимуществами метода являются также его простота и физическая наглядность, возможность решения многомерных задач со сложной геометрией, получения оценок отдельных функционалов от решения без запоминания значения решения во всей области, возможность оценок производных по координатам и по параметрам. Простое распараллеливание метода делает его особенно эффективным при использовании многопроцессорных ЭВМ. Одно из направлений повышения эффективности решения эллиптических уравнений методом Монте-Карло связано с использованием понятия трудоемкости, то есть времени ЭВМ или среднего числа операций, которое необходимо для достижения заданной погрешности решения 6. На основе использования этого понятия в настоящее время получен ряд оптимизирующих соотношений между объемом случайной выборки и шагом сетки при решении многомерных интегральных и дифференциальных уравнений различными алгоритмами метода Монте-Карло.
ЦЕЛЬЮ данной диссертационной работы является уменьшение трудоемкости алгоритмов метода Монте-Карло для глобальной оценки решения краевой задачи Дирихле для п- мерного уравнения Гельмгольца, а также обоснование несмещенности оценки "блуждания по сферам и шарам" и ограниченности дисперсии для решения уравнения Гельмгольца с переменным параметром, яллиптических систем специального вида и одного интегро-дифференциального
уравнения.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. В метриках пространств Li и С для глобальной оценки решения п- мерного уравнения Гельмголъца с использованием алгоритма "блуждания по сферам" построены соотношения между числом траекторий N, шагом сетки h и величиной є, характеризующей смещенность оценки, оптимальные в смысле уменьшения времени ЭВМ для достижения заданной точности.
Получены оценки дисперсии и трудоемкости алгоритмов "блуждания по решетке". Выведены аналогичные соотношения между N, h и є в метрике пространства Li для "прямого" и "сопряженного" методов.
На модельных задачах проведен анализ результатов использования оптимальных соотношений.
Для решения уравнения Гельмгольца с переменным параметром, а также эллиптических систем специального вида и одного интегро-дифференциального уравнения получены условия несмещенности оценок "блуждания по сферам и шарам", а также условия ограниченности дисперсии.
Все полученные в диссертации результаты являются новыми.
ПУБЛИКАЦИИ И АПРОБАЦИИ РАБОТЫ. Все результаты диссертации по мере их получения докладывались на объединенных семинарах отдела Статистического Моделирования в физике ВЦ СО РАН и кафедры Вычислительной математики Новосибирского Государственного Университета. Также результаты докладывались на международной конференции студентов и аспирантов в НГУ (Новосибирск, 1992 г.).
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [Ц - [3].
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трёх глав, содежащих девять параграфов, заключения и списка литературы из 27 наименований. Объем работы - 57 машинописных страниц, включая 12 таблиц.
