Содержание к диссертации
Введение
1. Оценка по времени для вычисления линейных функционалов от концентрации траекторий многомерных диффузионных процессов 15
1.1. Оценка по времени 16
1.2. Связь с вероятностным представлением решений краевых задач 21
1.3. Реализация оценки по времени в случае однородной диффузии 24
1.4. Способы повышения порядка детерминированной погрешности 26
2. Оценка градиента решения стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло на основе его вероятностного представления 30
2.1. Построение вспомогательного веса 30
2.2. Алгоритмы оценки производной 35
3. Решение стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло с вычислением производных с помощью шаровых функций Грина 38
3.1. Оценки на основе "блуждания по сферам и в шарах" 38
3.2. Асимптотическая несмещенность и равномерная ограниченность дисперсии оценок 50
3.3. Комбинированная оценка для случая невырождающегося конвективного слагаемого 53
3.4. Трехмерный случай 56
4. Численные результаты 60
4.1. Оценка по времени 60
4.2. Численное исследование порядка детерминированной погрешности 61
4.3. Вычисление производных
4.3.1. Блуждания по сферам и в шарах
4.3.2. Метод Эйлера 65
4.3.3. Один контрпример 66
Заключение 68
Литература 69
- Реализация оценки по времени в случае однородной диффузии
- Алгоритмы оценки производной
- Асимптотическая несмещенность и равномерная ограниченность дисперсии оценок
- Численное исследование порядка детерминированной погрешности
Введение к работе
Методы Монте-Карло (методы статистического моделирования) -"численные методы решения математических задач при помощи моделирования случайных величин и статистической оценки их характеристик" [27]. Их применение для решения разнообразных задач в различных областях физики, математики и техники имеет богатую историю [17, 27, 18]. Официальной датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда была опубликована статья [39] С. Улама и Н. Метрополиса. Впрочем, сам термин был предложен еще во время Второй мировой войны выдающимися учеными XX века математиком Дж.фон Нейманом и физиком Энрико Ферми в Лос-Аламосе (США) в процессе работ по ядерной тематике. В 50-х годах состоялись несколько симпозиумов по методам Монте-Карло, которые продемонстрировали широкие перспективы их применения. Хотя методы Монте-Карло были известны и до 40-х годов, они не получили широкого распространения из-за больших объемов вычислений. Появление компьютеров сделало их практически применимыми и за последние 50 лет вместе с развитием компьютерных технологий методы Монте-Карло всё более активно используются во многих научных областях (теория переноса, теория массового обслуживания, теория надежности, статистическая физика и др.).
Основными преимуществами данных методов являются
физическая наглядность и простота реализации,
малая зависимость трудоемкости задачи от её размерности,
возможность решения задач со сложной геометрией,
одновременное оценивание вероятностной погрешности оценки искомого функционала,
простое распараллеливание методов.
В диссертационной работе рассматривается ^-мерная задача Дирихле для эллиптического уравнения
1 д и ^ Qii j
2lJ=1 dyfiyj i=i dyj |r
в ограниченной области Л с границей, которая предполагается одно-связной и регулярной. Граница будет регулярной, если, например, для каждой точки а Є Г существует шар Вр(го) = {г Є Rk : І?" —Тої < р} такой, что а — Q П Вр(го). Отметим, что уравнение (0.1) является стационарным сопряжённым уравнением.
Теорема 0.1 [21]. Пусть L - эллиптический оператор из (0.1) такой, что
к к
Л kjZlZj + І Y, VjZj + с
U=i i=i
>i/(l + |z|2), k|2 = E4 г2 = -1. (0.2)
Пусть, кроме того, функции fyj(-), и;-(-), с(-) Є C*(Rk), то есть удо
влетворяют условию Гёлъдера с показателем S в Rk, ag(-) ЄС5(П),
Г - регулярная граница ограниченной области Q С Rk, функция
ф(-) непрерывна на Г. Тогда существует единственное решение
и Є Cf+*(Q) П С(Щ задачи (0.1). П
Здесь С^с (П) - пространство всех функций д таких, что произведение д (р принадлежит пространству Гёльдера C2~^s(Rk) для любой бесконечно дифференцируемой функции <р равной нулю вне Пив окрестности dQ = Г.
Один из способов решения первой краевой задачи (0.1) методами статистического моделирования состоит в сведении ее к интегральному уравнению, удовлетворяющему некоторым условиям, и в построении несмещенных оценок решения на траекториях сходящейся марковской цепи, связанной с полученным интегральным уравнением естественным способом (см., например, [18]). Например, алго-
ритм "блуждания по сферам" основан на моделировании точек последовательных выходов винеровского процесса на максимальные сферы, целиком лежащие в рассматриваемой области; он был впервые предложен в [14] для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Этот алгоритм является частным случаем использования формул Грина для стандартных областей, целиком лежащих в данной области (шар, сфера, эллипсоид и т. д.). В диссертационной работе (с помощью центральной и нецентральной функций Грина для оператора Лапласа в шаре) данная схема была реализована для записи локальных интегральных уравнений не только на само решение исходной дифференциальной задачи, но также и на его градиент, что позволило построить несколько алгоритмов "блуждания по сферам и в шарах" для одновременной оценки как решения, так и его производных по пространственным координатам.
Другой способ состоит в использовании тесной связи эллиптических операторов с диффузионными процессами (см., например, [37]) и основан на вероятностном представлении решения исходной дифференциальной задачи в виде функционала от решения соответствующей системы стохастических дифференциальных уравнений (СДУ). Дифференциальному оператору L из (0.1) можно поставить в соответствие систему СДУ в смысле Ито [33]:
t t
& = & + Jv(b)dl + f*(b)dw(l)y (0.3)
о о
где t Є Rk,cr(r) - нижняя треугольная матрица диффузии, определяемая разложением Холесского [19]:
a w(t) - стандартный винеровский процесс.
Теорема 0.2 [33]. Пусть Q, С Rk - ограниченная область с регуляр-
ной границей, t* ~ момент первого выхода решения & системы СДУ (0.3) на границу dQ = Т, ф Є C(dQ), функции b,v,c удовлетворяют условию Гёлъдера в Rk, ад удовлетворяет условию Гёльдера в Q, кроме того с(-) < 0. Тогда функция
и(г0) = Б
/ ехр / сЙ)Л g(b)dt + (&*) exp / c(6)d/
.0 \о / \о /
(0.4)
*
где ^ - решение системы СДУ (0.3) с начальным условием о =
го является единственным дважды непрерывно дифференцируемым
решением (0.1) в точке rg. П
Известно, что величине u(ro) в случае однородного краевого условия Дирихле можно придать смысл осреднённой с весом д(-) полной концентрации диффузионных траекторий для источника, сосредоточенного в точке го, то есть и(го) = (д,и1), где Uq(-) - решение однородной краевой задачи для "прямого" диффузионного уравнения со свободным элементом /о(г) = 6 (г — го). Фактически при этом используется двойственное представление функционала (g,ul). В диссертационной работе не только прослежена связь диффузионных процессов с вероятностным представлением решений краевых задач, но и построен весовой алгоритм, позволяющий, кроме оценки решения исходной дифференциальной задачи, одновременно оценивать его градиент.
Для приближенного статистического моделирования решения системы СДУ (0.3) можно, в частности, использовать простой в реализации и физически наглядный дискретный метод Эйлера с постоянным шагом г [28]:
rn+i = rn + v(rn)T + а{гп)г)пУ/т. (0.5)
где гп - численная оценка решения (0.3) в узлах равномерной сетки по времени {п т}, а {г}п} - последовательность независимых между
собой случайных векторов с независимыми стандартными гауссов-скими компонентами. Однако из-за невысокой скорости сходимости метода (0.5) приходится использовать методы более высоких порядков с более сложной реализацией (см., например, [38, 28]). В диссертации предложен новый метод повышения порядка сходимости дискретного метода Эйлера. Он основан на одновременной оценке искомого функционала методом (0.5) с двумя разными шагами по времени и последующей экстраполяции и является простым и наглядным.
Величиной, определяющей эффективность алгоритмов метода Монте-Карло при их практическом использовании, является трудоёмкость S(Q случайной оценки (" (см., например, [17, 25]). В диссертационной работе под трудоёмкостью S(() будем понимать среднее количество вычислительной работы, необходимой для достижения заданной погрешности:
s(0 = vc-*(0,
где t(Q - среднее время, затрачиваемое на моделирование одного выборочного значения случайной величины (" (например, для процесса "блуждания по сферам" величина t(Q определяется средним числом переходов в цепи до момента попадания в є - окресность границы Г, причём для широкого класса границ известна логарифмическая оценка [17, 18]: t(Q < Ср| 1п(є)|). Поскольку общая погрешность оценки, полученной методом Монте-Карло, обычно состоит из двух частей: детерминированной и вероятностной, целесообразно выбирать параметры алгоритма таким образом, чтобы обе эти погрешности имели один и тот же порядок. Вероятностная погрешность возникает в связи с заменой математического ожидания Е арифметическим
1 N средним выборочных значений — ^ Q и пропорциональна величине
N 3=1
y/V7
, где N - количество моделируемых выборочных значений. Де-
терминированная погрешность появляется, например, при введении є - окресности границы (в алгоритмах "блуждания по сферам") или при замене диффузионного процесса кусочно-линейным процессом с шагом по времени т (в методе Эйлера).
Известно, что трудоемкость дискретных методов, основанных на прямом моделировании диффузионной траектории, часто больше трудоемкости методов блуждания, основанных на использовании локальных интегральных уравнений. Однако, с другой стороны, методы блуждания применимы при некоторых ограничениях, в частности, на модуль скорости, требуемых для сходимости соответствующих рядов Неймана. Поэтому в диссертации предложен метод, комбинирующий "блуждание по сферам и в шарах" с прямым моделированием диффузионной траектории.
В диссертационной работе предполагаются выполненными все условия регулярности данных задачи (коэффициенты, граничная поверхность области, краевые условия и т.п.) для существования и единственности некоторого обобщенного решения задачи (0.1), а также его вероятностного и интегрального представление с помощью шаровой функции Грина. При этом условия теорем 0.2 и 0.1 могут видоизменяться, в частности, вместо условия с(г) < 0 полагаем с(г) < с*, где —с* - первое собственное число оператора L в области Q, а вместо условия (0.2) считаем матрицу B(r) = (bij(r))j -=1 к равномерно положительно определенной в Q (см., например, [20, 34]).
Далее следует краткое содержание диссертационной работы по главам и параграфам.
Реализация оценки по времени в случае однородной диффузии
Известно, что трудоемкость дискретных методов, основанных на прямом моделировании диффузионной траектории, часто больше трудоемкости методов блуждания, основанных на использовании локальных интегральных уравнений. Однако, с другой стороны, методы блуждания применимы при некоторых ограничениях, в частности, на модуль скорости, требуемых для сходимости соответствующих рядов Неймана. Поэтому в диссертации предложен метод, комбинирующий "блуждание по сферам и в шарах" с прямым моделированием диффузионной траектории.
В диссертационной работе предполагаются выполненными все условия регулярности данных задачи (коэффициенты, граничная поверхность области, краевые условия и т.п.) для существования и единственности некоторого обобщенного решения задачи (0.1), а также его вероятностного и интегрального представление с помощью шаровой функции Грина. При этом условия теорем 0.2 и 0.1 могут видоизменяться, в частности, вместо условия с(г) 0 полагаем с(г) с , где —с - первое собственное число оператора L в области Q, а вместо условия (0.2) считаем матрицу B(r) = (bij(r))j -=1 к равномерно положительно определенной в Q (см., например, [20, 34]).
Глава 1 посвящена построению и обоснованию "оценка по времени" для вычисления линейных функционалов от концентрации частиц, движущихся по траекториям многомерных диффузионных процессов (сокращенно - от концентрации траекторий). Эта оценка представляет собой траекторный интеграл по времени от заданной весо вой функции. Изучается вопрос о конечности дисперсии такой оценки и рассматриваются возможности ее приближенной численной реализации. Установлена связь оценки по времени с вероятностными представлениями решений краевых задач; это позволяет при определенных условиях обосновать конечность дисперсии оценки и при наличии размножения частиц. Показано, что путем легко реализуемого параметрического дифференцирования специальной весовой оценки можно приближенно вычислять первое собственное число диффузионного оператора. Изучаются вопросы о численной реализации оценок по времени и о порядке детерминированной погрешности. Для повышения порядка предложен метод, практически не отличающийся по трудоёмкости от дискретного метода Эйлера. Он основан на одновременной оценке искомого функционала с двумя разными шагами по времени и экстраполяции.
В параграфе 1.1 предложены оценка по времени rj и её весовая модификация fjh для вычисления линейных функционалов от концентрации частиц и. Оценки получены как для конечного времени Т, так и для Т = оо (с помощью предельного перехода). В конце параграфа 1.1 рассмотрен вопрос о конечности дисперсий предложенных оценок. В параграфе 1.2 показано, что оценка по времени в случае Т = оо реализует вероятностное представление решения однородной краевой задачи для эллиптического уравнения. Это позволило обосновать конечность дисперсии при наличии размножения частиц. Также показано, как оценивать первое собственное число диффузионного оператора с помощью параметрического дифференцирования весовой оценки по времени.
В параграфе 1.3 рассмотрен способ численной реализации оценки по времени с помощью дискретного метода Эйлера, а также вопрос о его детерминированной погрешности в стационарном случае (т. е. для Т = ос). В параграфе 1.4 рассмотрены два известных способа увеличения порядка детерминированной погрешности в методе Эйлера, а также предложен новый способ, основанный на одновременной оценке искомого функционала с двумя разными шагами по времени и экстраполяции.
Основные результаты представлены в главах 2 и 3, в них получены новые оценки метода Монте-Карло для вычисления производных от решения стационарного диффузионного уравнения.
В главе 2 для случая неизотропной А;-мерной диффузии показано, что производную по произвольному направлению от решения стационарного диффузионного уравнения в заданной точке можно оценивать весовым методом, который строится на основе перехода к моделированию одной диффузионной траектории после первого шага в методе Эйлера с использованием вспомогательного веса. Обосновать такой способ удалось с помощью статистически эквивалентного перехода к моделированию одной траектории после первого шага в методе Эйлера с использованием подходящего веса. Этот вес также допускает прямое дифференцирование по начальной координате вдоль заданного направления. Получаемый в результате весовой алгоритм вычисления производных от концентрации особенно эффективен, если начальная точка находится в подобласти постоянства коэффициентов диффузионного уравнения. В предположении гладкости коэффициентов получаемые при этом оценки производной имеют тот же порядок погрешности, что и соответствующие оценки решения.
В параграфе 2.1 получен вес, с помощью которого удаётся обосновать возможность одновременной оценки решения стационарного диффузионного уравнения и его градиента. Причем, порядок детерминированной погрешности оценки производной совпадает с порядком погрешности оценки решения.
В параграфе 2.2 на основе теоремы 2.1, доказанной в параграфе 2.1, строится весовой алгоритм вычисления градиента сопряженного диффузионного уравнения в заданной точке. Также обсуждаются способы уменьшения трудоёмкости весовой оценки через уменьшение дисперсии и детерминированной погрешности оценки.
В главе 3 построено специальное вероятностное представление и соответствующий метод Монте-Карло для решения стационарного диффузионного уравнения с вырождающимся на границе конвективным слагаемым. Этот метод связан с процессом "блуждания по сферам и в шарах". Предлагаемый метод позволяет получать асимптотически несмещенные оценки параметрических производных и градиента решения, а также оценивать вероятностные моменты решения в задачах со случайными параметрами. Показано, что от условия вырождения конвективного слагаемого можно освободиться, переходя к прямому моделированию диффузионных траекторий методом Эйлера, причем производная по направлению скорости оценивается весовым методом Эйлера, предложенным в главе 2.
Алгоритмы оценки производной
Рассмотрим теперь алгоритмы оценки величины и (г) на основе полученных выражений. Равенство (2.6) дает соотношение: Таким образом для оценки величины и1 (г) достаточно после начального перехода моделировать одну траекторию с "весом" (2.10). Вследствие теоремы 2.1 соответствующая детерминированная погрешность (то есть смещение) по порядку совпадает с погрешностью оценки решения. Отметим, что в знаменателе выражения (2.10) стоит величина т, соответствующая первому шагу в методе Эйлера, то есть в (2.10) т можно заменить на TQ.
Дисперсию вытекающей из (2.10) весовой оценки ("(г, то) можно уменьшить с помощью "метода противоположной переменной" [36], который в данном случае реализуется следующим образом. Строятся два начальных шага с противоположно направленными гауссовскими приращениями, то есть получаются точки и далее из этих точек моделируется пара траекторий с использованием одних и тех же случайных чисел; усреднение двух полученных значений С (г, TQ) дает величину Ca(ri то)- Согласно доказательству те-оремы 2.1 имеем: d(r, TQ) = O(r0 ). Ясно также, что в рассматриваемых условиях регулярности задачи можно полагать то = т1/2; использованные выше предельные переходы при этом остаются в силе. Таким образом, без особых затруднений можно пользоваться оценкой Со (г, г1/2), причем дисперсия VCa(r, т1//2) = 0(т 1/ 2). При этом, для уравнивания порядков детерминированной и вероятностной погрешностей, следует определять порядок числа N моделируемых траекторий из соотношения TV-1-?--1/2 = т2?, то есть полагать N = 0(т_1/2 29). Если же точка, в которой вычисляется производная, находится в подобласти постоянства коэффициентов диффузионного уравнения vi( )- bij(-) и #(), то величина 7 первого шага по времени может выбираться независимо от т, то есть быть равной 0(1), что делает дисперсию весовой оценки практически независимой от г; при этом метод противоположной переменной нецелесообразен. В данном случае вместо (2.4) используется соотношение с учетом того обстоятельства, что в случае постоянных коэффициентов плотности ре(г, 5;го) и р(г, 5; то) совпадают. Здесь равенство порядков детерминированной и вероятностной погрешности имеет место при N - 0(т 2 ?)
Замечание 2.1. Для повышения порядка сходимости (при т — 0) вместо метода Эйлера, начиная со второго шага, можно использовать метод более высокого порядка (см., например, параграф 1.4, [38, 28]). Замечание 2.2. Отметим, что построенный алгоритм оценки про изводных применим для функционалов Е/ (min( )), связанных с ре шением параболического уравнения. При этом можно учитывать сме шанные краевые условия, используя результаты работы [22]. Замечание 2.3. В случае однородных краевых условий справедливо представление где м (-) - решение соответствующего "прямого" диффузионного уравненияСледовательно, используя веса д() с достаточно малым локальным носителем на основе вышеизложенного можно приближенно оцени вать производные локальной концентрации и диффундирующих ча стиц по координатам "дельта-источника". Более точные оценки и можно получить путем преобразования "прямого" диффузионного уравнения к виду (2.1). Решение стационарного диффузионного уравнения методом Монте-Карло с вычислением производных с помощью шаровых функций Грина
В настоящей главе для случая изотропной fc-мерной диффузии рассматривается представление взвешенной концентрации траекторий и ее пространственных производных в виде интегралов (с некоторыми весами) от решения соответствующей краевой задачи и его производной по направлению конвективной скорости. При условии вырождения конвективной скорости на границе области и некоторых других дополнительных условиях такое представление позволяет построить эффективный алгоритм " блуждания по сферам и в шарах". При нарушении этих условий осуществляется переход к моделированию диффузионных траекторий методом Эйлера, причем производная по направлению скорости оценивается весовым методом Эйлера, предложенным в главе 2.
Асимптотическая несмещенность и равномерная ограниченность дисперсии оценок
В трехмерной области, являющейся кубом со стороной R — 1 с центром в начале координат, численно вычислялся градиент решения следующей однородной задачи Дирихле с постоянными коэффициентами:
Решение и его производная по координатам для данной задачи известны и равны соответственно
В расчетах использовались величины и = 1, а = 0.5, /3 = 1, 7 = 2. Производная оценивалась с помощью метода Эйлера с использованием веса (2.10), для чего моделировалось N = 104 траекторий. В таблице 4.8 представлены результаты численных расчетов в центральной точке области (0;0;0) с шагом по времени г = 10 3 и в точке (0.4;0;0), близкой к границе, с шагом по времени г = 10 4.
Результаты, полученные для разных значений параметра говел ичины первого шага в методе Эйлера, показали, что для центральной точки параметр TQ можно выбирать достаточно большим, в то время как для приграничной точки удовлетворительные результаты получаются для TQ порядка г, причем при уменьшении т$ среднеква-дратическая вероятностная погрешность практически меняется как Покажем теперь, как можно допустить ошибку в оценке производной путем предельного перехода в методе зависимых испытаний, состоящего в моделировании двух траекторий из точек г и r + ul, используя одни и те же случайные приращения. Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения в кубе со сторонами параллельными координатным плоскостям. Решение задачи (4.3) имеет вид и = щ(г) = e vx. В случае постоянных коэффициентов может показаться, что достаточно строить только одну траекторию до выхода на границу области, получая точку выхода второй траектории путем сдвига. При этом оценка производной — (г) будет иметь вид где -момент первого выхода диффузионного процесса &, начинающегося в точке г, на границу куба, а точка границы, полученная сдвигом основной траектории на / вдоль оси Ох.Ъ пределе при / - 0 оценка (і величины тг (г) имеет следующий вид ох 0, если выход произошел через грань х = const, С другой стороны, производная ux(r) = — (г) является решением следующей задачи Дирихле: Для этой задачи оценка решения их{г) имеет вид (,2 = Ф(&,)- Очевидно, E(j ф Е 2, что показывает необоснованность прямого вычисления производной без учета (в виде дополнительного веса) разницы вероятностей выхода близких траекторий на границу в указанном предельном переходе. В связи с этим отметим преимущество подхода главы 2, заключающееся в том, что вес (2.10) не зависит от вида граничных условий, поскольку он становится известным уже после первого шага дискретной схемы. Сформулируем основные результаты диссертационной работы. 1. Построена "оценка по времени" для вычисления линейных функционалов от концентрации частиц, движущихся по траекториям многомерных диффузионных процессов. 2. Предложен новый способ увеличения порядка детерминированной погрешности в методе Эйлера, основанный на одновременной оценке искомого функционала с двумя разными шагами по времени и экстраполяции. 3. Предложен новый весовой алгоритм для оценки производной ди - г— по направлению и от решения стационарного диффузионно; ного уравнения в заданной точке. Данный алгоритм строится на основе перехода от моделирования двух близких траекторий с одинаковыми гауссовскими приращениями к моделированию одной траектории после первого шага в методе Эйлера с использованием вспомогательного веса. 4. Построено специальное вероятностное представление и соответ ствующий метод Монте-Карло, связанный с процессом "блу ждания по сферам и в шарах", для решения стационарного диф фузионного уравнения с вырождающимся на границе конвектив ным слагаемым и оценки градиента решения. 5. Предложен комбинированный алгоритм, позволяющий освободиться от условия вырождения конвективного слагаемого на основе перехода к прямому моделированию диффузионных траекторий. 6. Осуществлен ряд численных расчетов, подтверждающих теоретические результаты.
Численное исследование порядка детерминированной погрешности
Рассмотрим теперь алгоритмы оценки величины и (г) на основе полученных выражений. Равенство (2.6) дает соотношение:
Таким образом для оценки величины и1 (г) достаточно после начального перехода моделировать одну траекторию с "весом" (2.10). Вследствие теоремы 2.1 соответствующая детерминированная погрешность (то есть смещение) по порядку совпадает с погрешностью оценки решения. Отметим, что в знаменателе выражения (2.10) стоит величина т, соответствующая первому шагу в методе Эйлера, то есть в (2.10) т можно заменить на TQ.
Дисперсию вытекающей из (2.10) весовой оценки ("(г, то) можно уменьшить с помощью "метода противоположной переменной" [36], который в данном случае реализуется следующим образом. Строятся два начальных шага с противоположно направленными гауссовскими приращениями, то есть получаются точки и далее из этих точек моделируется пара траекторий с использованием одних и тех же случайных чисел; усреднение двух полученных значений С (г, TQ) дает величину Ca(ri то)- Согласно доказательству те-оремы 2.1 имеем: d(r, TQ) = O(r0 ). Ясно также, что в рассматриваемых условиях регулярности задачи можно полагать то = т1/2; использованные выше предельные переходы при этом остаются в силе. Таким образом, без особых затруднений можно пользоваться оценкой Со (г, г1/2), причем дисперсия VCa(r, т1//2) = 0(т 1/ 2). При этом, для уравнивания порядков детерминированной и вероятностной погрешностей, следует определять порядок числа N моделируемых траекторий из соотношения TV-1-?--1/2 = т2?, то есть полагать N = 0(т_1/2 29). Если же точка, в которой вычисляется производная, находится в подобласти постоянства коэффициентов диффузионного уравнения vi( )- bij(-) и #(), то величина 7 первого шага по времени может выбираться независимо от т, то есть быть равной 0(1), что делает дисперсию весовой оценки практически независимой от г; при этом метод противоположной переменной нецелесообразен. В данном случае вместо (2.4) используется соотношение с учетом того обстоятельства, что в случае постоянных коэффициентов плотности ре(г, 5;го) и р(г, 5; то) совпадают. Здесь равенство порядков детерминированной и вероятностной погрешности имеет место при N - 0(т 2 ?)
Замечание 2.1. Для повышения порядка сходимости (при т — 0) вместо метода Эйлера, начиная со второго шага, можно использовать метод более высокого порядка (см., например, параграф 1.4, [38, 28]). Замечание 2.2. Отметим, что построенный алгоритм оценки про изводных применим для функционалов Е/ (min( )), связанных с ре шением параболического уравнения. При этом можно учитывать сме шанные краевые условия, используя результаты работы [22]. Замечание 2.3. В случае однородных краевых условий справедливо представление где м (-) - решение соответствующего "прямого" диффузионного уравнения Следовательно, используя веса д() с достаточно малым локальным носителем на основе вышеизложенного можно приближенно оцени вать производные локальной концентрации и диффундирующих ча стиц по координатам "дельта-источника". Более точные оценки и можно получить путем преобразования "прямого" диффузионного уравнения к виду (2.1).
В настоящей главе для случая изотропной fc-мерной диффузии рассматривается представление взвешенной концентрации траекторий и ее пространственных производных в виде интегралов (с некоторыми весами) от решения соответствующей краевой задачи и его производной по направлению конвективной скорости. При условии вырождения конвективной скорости на границе области и некоторых других дополнительных условиях такое представление позволяет построить эффективный алгоритм " блуждания по сферам и в шарах". При нарушении этих условий осуществляется переход к моделированию диффузионных траекторий методом Эйлера, причем производная по направлению скорости оценивается весовым методом Эйлера, предложенным в главе 2.
