Введение к работе
Вероятностные вычислительные методи в настоящее время являются наиболее распространенными и элективными при решении задач динамики разреженных гэзов (ДРГ). Ото объясняется вероятностной природой кинетических уравнений, высокой размерностью задач и сложной постановкой граничных условий.
Современное состояние метода прямого статистического моделирования полно представлено п [ІІ. Там .те обсуждаются преимущества метода и возникающие проблемы. Значительное развитие получил метод Монто-Карло, d котором для решения задач ,ЦРГ используются ветвящиеся процессы и марковские процесса с взаимодействием ("столкновигельнке" процессы), в некотором смысле двойственные ветвящимся. Для зто.Ч группы методов характерно то, что моделирование "решающего" процесса вытекает непосредственно из уравнения и связь численного алгоритма с решением уравнения очевидна. Конструктивное построение "столкновительного" процесса и исследования в этом направлении принадлежат В.В.Некруткину и , изложены a [Zl. Там же описаны вычислительные процедуры, использующие вероятностное представление решения и "столкновительнво" процессы.
Общая теория подхода, основанного на сопоставлении нелинейному уравнению ветвящегося процесса, подробно разработана СМ.Ермаковым f3j. Соответствующая вычислительная "сопряженная" схема для решения уравнения Больцмвна требует обращения времони ветвящегося процесса и рассматривает "обращенное" движение молекул. В свяли с использованием "сопряженной" схемы появляется возможность оценивания репення уравнения Болыдмана в области больших скоростей, что является актуальным вопросом кинетической теории.
I. Иванов М.С., Рогаэинский СВ. Метод прямого статистического
моделирования п динамике разреженного газа. Новосибирск, ВЦ
СО АН СССР, 19138, с.117. ?.. Ермаков СИ., Некрутким В.В., Сипик Л.С Случайные процессы
ц.чч ретенпя кллгспчрскпх уравнений математической физики. М.
Наука, I9M. 3. Ер'.-акоп СМ. "сгод Моїіті^-ІСарло и сметные вопросы. М., Наука,
"Сопряженная" схема может быть применена к реыению обобщенного уравнения Больцмана, описьшаюіцего смеси и многоатомные газы. Обобщение можно продолжить, включив химические реакции. Всё сказанное выше определяет важность дальнейшего развития данного подхода для решения задач ДРГ.
Отсутствие достаточно эффективных способов реализации этой численной схемы обусловлено трудностями, связвннимя с необходимостью выполнения некоторого мажорантного условия для существования оценки решения. Для известных оценок это условие оказывается весьма ограничительный. В диссертации развитие метода подразумевает построение несмещенных оценок с более слабыми мажорантными условиями и создание на их основе эффективных алгоритмов решения задачи Ко^и и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана.
ЦКЛЬ РАБОТЫ. Диссертационная работа посвящена.
- построению алгоритма метода Монте-Карло для решении нелинейных
интегральны* уравнении, к которым сводятся основные задачи для
уравнения Больцмана,
- теоретическому и численному анализу возможности применения "сопряженной" схемы для решения уравнения Больцмана, ч
построению несмеценннх оценок функционалов от решений задачи Кода и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана о расширенной областью применимости метода !»онте-Кярло,
конструированию алгоритмов решения отих задач но основе полученных оценок.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА. На защиту выносятся следующие новые результаты:.
построена несмещенная оценка "с расщеплением" для решения одного класса нелинейных интегральных уравнений с менее ограничительными мажорантными условиями,
получена при некоторых предположениях оценка временного интервала, на котором существует и имеет конечную дисперсию оценка "по поглощению" для решения уравнения Больцмана,
описаны ветвящиеся процессы и предложены способы численной реализации оценок "с расцеплением" для решения задачи Коти и начально-краевой задачи для уравнения Больцмана,
построены, теоретически и численно исследованы алгоритмы решения уравнения Больцмана.
ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРЛКТИЧКСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Построены численные схемы метода .Монте-Карло, применимость которых обеспечивается сходимостью мажорантного итерационного процесса, отличного от известного ГЗ] и сходящегося для более широкого класса исходных данных. Предложенные алгоритмы могут быть использованы для решения задач динамики разреженных газов.
АПРОБАЦИЯ РАБОЙ. Результаты диссертационной работы выли доложены
-
на У1У и XI Всесокзнкх конференциях по динамике разреженных газов (1985, 1991),
-
на УП и XLU Всесоюозных совещаниях "Методы Монте-Карло в вычислительной математике и математической физике" (1985, 1991),
-
на школах-семинарах "Актуальные проблемы статистического моделирования и его приложения" (1987, 1989),
-
на заседаниях семинара кафедры статистического моделирования
и опубликованы в работах fl - 5 J.
СТРУКТУРА И ОБЪЕМ ДИССЕРТАЦИИ. Диссертация состоит из введения, трах глав, приложения, 17 таблиц. Общий объчм работы составляет II машинописных страниц, библиография содержит 59 наименований.
