Введение к работе
Актуальность темы. Большой интерес к методам Монте-Карло в последнее время вызван рядом причин, которые можно условно разделить на дпа класса. С одной стороны, все большее распространение получает статистическое описание тех или иных сложных физических процессов, с связи с чем методы статистического моделирования на ЭВМ становятся естественным инструментом исследования, например, в таких областях, как статистическая физика, теория турбулентности, физико-химическая кинетика и ряде других. С дрз'гой стороны, паличне глубокой связи между дифференциальными уравнениями и случайными процессами требует всестороннего ее изучения и открывает перспективу создания новых эффективных численных методов для решения практических задач.
Метод Монте-Карло, как известно, обладает рядом специфических особенностей, учет которых позволяет строить наиболее эффективные вычислительные алгоритмы, а именно: существует возможность оценки отдельных функционалов без нахождения решения в целом, погрешность оценивается в процессе вычислений, метод мало чувствителен к размерности задачи и др.
Методы статистического моделирования разработаны для решения различных уравнений математической физики: краевых задач для линейных уравнений в частных производных, нелинейных кинетических уравнений (уравнения Больц-мана п Смолуховского). Для решения задач переноса излучения метод Монте-Карло стал уже классическим благодаря основополагающим работам Г.И.Марчука, Н.С. Бахвалова, Г.А.Михайлова, С.М.Ермакова, И.М. Соболя, Д. Кертиса, X. Кана, М. Калоса.
Следует заметить, однако, что до енх пор основное внимание уделялось разработке алгоритмов статистического моделирования для решения прямых задач, в то время как целый
пласт сложных обратных задач оставался практически нетронутым п методов Монте-Карло для их решения не существовало. В связи с этим становится ясным актуальность данной работы. Она посвящена в основном решению методом Монте-Карло таких обратных задач, в которых объектом исследования являются вопросы определения коэффициентов дифференциального уравнения по некоторым функционалам от его решений. Характерной чертой постановок этих задач является отсутствие корректности в смысле Адамара.
По типу дополнительной информации, задаваемой относительно решения прямой задачи, обратные задачи для гиперболических уравнений делятся, на три основные группы: кинематические, спектральные н динамические. Первые постановки динамических обратных задач для гиперболических уравнении были сформулированы н исследованы М.М. Лаврентьевым, В.Г. Романовым, А.С. Благовещенским, А.С. Алексеевым. В динамических обратных задачах в качестве дополнительной информации задается след решения соответствующей прямой задачи па некоторой, как правило, временеподобной, поверхности.
В данной работе в основе применения метода Монте-Карло для решения обратной динамической задачи для гиперболического уравнения лежит идея сведения исходной задачи к одно-параметрнческому семейству интегральных уравнений Фред-гольма второго рода, что позволяет использовать динамический вариант метода Гельфанда-Левитана. Этот метод является наиболее часто применяемым на практике, поскольку в его рамках удается сформулировать критерий существования решения обратной задачи, что особенно важно в силу нелинейности обратных задач.
Основные цели работы.
Разработка алгоритмов метода Монте-Карло для вычисления коэффициента г/(.т) гиперболического уравнения
ішда
Ult = AU - q(x)U
по заданной дополнительной информации вида
U\T=0 = f(t).
Реализация этих алгоритмов для одномерного и двумерного уравнений гиперболического типа.
Сравнительное тестирование разработанных алгоритмов с помощью метода, конечных элементов и метода обращения разностной схемы.
о Построение и апробация алгоритмов метода Монте-Карло построения оценки для решения задачи Коши в пространстве траекторий Пуассона.
Построение оценки решения обратной задачи для теле
графного уравнения и задачи геоэлектрпкп в квазиста-
цнонарном приближении.
Научная новизна и практическая ценность.
Впервые разработаны методы Монте-Карло, реализующие статистическую оценку решения обратных задач для гиперболических уравнений. Построенные алгоритмы являются эффективными и по ряду параметров: быстроте, устойчивости, глубинности - превосходят другие методы. Получена численная реализация решения задачи Коши для телеграфного уравнения на основе вероятностной модели.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Предложенные алгоритмы могут быть успешно использованы для оценки решений многих задач математической физики, сформулированных в виде гиперболических уравнении.
Апробация работы.
Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН, на конференциях молодых уче-
ных ВЦ СО РАН (1988-89 гг.), Всесоюзной школе-семинаре в Алма-Ате (1988 г.).
Структура и объем работы.
Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 21 раздел, приложения, заключения, списка литературы из 34 наименований. Объем работы- 110 машинописных страницы, включая 6 таблиц.
