Введение к работе
АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Исследование ряда актуальных задач математической физики приводит к необходимости решения нелинейных уравнений. Построение эффективных численных методов решения таких уравнений является поэтому важной и актуальной задачей. Широкие возможности для решения нелинейных задач предоставляет метод Монте-Карло. Как известно, основными преимуществами метода являются его простота и физическая наглядность, возможность решения многомерной задачи со сложной геометрией и оценивания отдельных функционалов от решения без запоминания значений решения во всей области, одновременное оценивание вероятностной погрешности решения. Одним из распространенных подходов к решению нелинейных задач методом Монте-Карло является замена исходной задачи последовательностью линейных. Одним из широко используемых методов этого типа является метод простой итерации. Повышение требований к уменьшению трудоемкости численного решения нелинейных задач естественным путем приводит к использованию более эффективных алгоритмов, использующих особенности класса решаемых задач.
Другое направление повышения эффективности решения нелинейного уравнения методом Монте-Карло связано с использованием понятия трудоемкости, то есть времени ЭВМ или среднего числа операций, которое необходимо для достижения заданной погрешности 6. На основе использования этого понятия в настоящее время получен ряд оптимизирующих соотношений в метрике Li между объемом случайной выборки и шагом сетки при решении многомерных
интегральных и дифференциальных уравнений различными алгоритмами метода Монте-Карло.
ПЕЛЬЮ настоящей диссертационной работы является уменьшение трудоемкости решения нелинейных уравнений методом Монте-Карло.
Основные задачи исследования.
а) Построение оптимальных, в смысле уменьшения време
ни ЭВМ, затрачиваемого на достижение заданной точности,
соотношений в метрике пространства непрерывных функций
для решения методом Монте-Карло нелинейного интеграль
ного уравнения и трехмерной задачи Лирихле для уравне
ния Пуассона с правой частью, зависящей от решения.
б) Анализ результатов использования оптимальных соот
ношений на модельных примерах.
в) Анализ трудоемкости методов Монте-Карло решения
модельных нелинейных уравнений на основе методов про
стой итерации, Ньютона, теории возмущений и продолжения
по параметру.
НАУЧНАЯ НОВИЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ. В метрике пространства непрерывных функций для решения нелинейного интегрального уравнения методом Монте-Карло с использованием оценки "по пробегу" построены соотношения между числом траекторий и шагом сетки, оптимальные в смысле уменьшения времени ЭВМ, затрачиваемого на достижение заданной точности. На модельных задачах проведен анализ результатов использования оптимальных соотношений.
В метрике пространства непрерывных функций для решения трехмерной задачи Дирихле для уравнения Пуассона с
правой частью, зависящей от решения, построены соотношения между числом траекторий и шагом сетки, оптимальные в смысле уменьшения времени ЭВМ, затрачиваемого на достижение заданной точности.На примере модельной задачи проведен анализ результатов использования оптимальных соотношений.
На модельных примерах проведен сравнительный анализ-трудоемкости методов Монте-Карло решения нелинейных уравнений на основе методов простой итерации, Ньютона, теории возмущений и продолжения по параметру.
Все полученные в диссертации результаты являются новыми.
ПУБЛИКАЦИИ И АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Все результаты диссертации по мере их получения докладывались и обсуждались на объединенных семинарах отдела Статистического Моделирования в физике ВЦ СО РАН и кафедры Вычислительной математики Новосибирского Государственного Университета. Также результаты докладывались на международной конференции студентов и аспирантов в НГУ (Новосибирск, 1989, 1993 г.);
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [5].
СТРУКТУРА И ОБЬБМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих семь параграфов, заключения, списка литературы из 44 наименований и приложения. Обьем работы - 115 машинописных страниц, включая двенадцать таблиц и 8 рисунков.
