Введение к работе
Актуальность темы. Как известно, основными преимуществами метода Монте-Карло являются его простота и физическая наглядность, возможность решения многомерной задачи со сложной геометрией и оценивания отдельных функционалов от решения, одновременное оценивание вероятностной погрешности оценки решения и простое распараллеливание метода. Кроме того, использование весовых модификаций позволяет вычислять кратные параметрические производные и, на этой основе, собственные значения краевых задач. Следовательно, важной задачей является расширение области применения алгоритмов метода Монте-Карло для различных задач математической физики, особенно на случай нелинейных краевых задач. Численное решение таких нелинейных задач обычно связано со значительными трудностями.
При решении методами Монте-Карло первой краевой задачи для эллиптических уравнений и их систем, хорошо себя зарекомендовали алгоритмы "блуждания по сферам", основанные на моделировании точек последовательного выхода винеровско-го процесса из максимальных сфер, целиком лежащих в рассматриваемой области. Для методов Монте-Карло важной задачей является расширение области приложений таких алгоритмов на случай решения второй и третьей краевых задач, поскольку алгоритмы блуждания внутри области, в частности сферический процесс, просты в реализации и не критичны к геометрии границы области. Кроме того, алгоритмы блуждания внутри области распространяются на случай переменных коэффициентов. Для построения новых алгоритмов решения задач такого рода следует использовать синтез сферического процесса и конечно-разностной аппроксимации граничного условия.
При определенных условиях алгоритмы блуждания внутри области распространяются на решение первой краевой задачи для уравнения с полиномиальной нелинейность. При этом оценка решения краевой задачи строится на сферическом процессе с ветвлением. На основе указанного синтеза сферического процесса и конечно-разностной аппроксимации граничного условия можно
модифицировать такой процесс с ветвлением для решения нелинейных задач со вторым и третьим краевым условием. При этом следует рассматривать не обрывающийся в окрестности границы ветвящийся процесс, а отражающийся внутрь области с вероятностью 1.
Важной задачей в теории математической физике является задача на собственные значения, которая имеет самостоятельный интерес для дифференциальных и интегральных уравнений. Кроме того, такая задача возникает при решении прикладных задач, как, например, в задачах ядерной физики, где одним из направлений вычислений является расчет критического состояния реактора. В настоящей работе, применительно к задаче оценивания первого собственного числа —с* операторов Д и Д + с(г) на классе функций, удовлетворяющих второму или третьему краевому условию, рассматривается подход, основанный на вычислении параметрических производных решения.
Основные цели работы.
Построение локальных и глобальных алгоритмов решений второй и третьей краевых задач для линейных и нелинейных эллиптических уравнений на основе процессов "блуждания по сферам" и "блуждания по решетке".
Разработка новых алгоритмов вычисления параметрических производных от решения и, на этой основе, собственных чисел операторов Д и Д -\-с на классе функций, удовлетворяющих второму или третьему краевому условию.
Численная проверка возможности параметрического продолжения алгоритмов решения рассматриваемых краевых задач за пределы области ограничения параметров.
Научная новизна и практическая ценность. Для определенного класса линейных и нелинейных краевых задач со вторым и третьим граничным условиями построены новые метода численного решения на основе синтеза сферического процесса и конечно-разностной аппроксимации граничного условия. На основе вычисления параметрических производных, получены новые
оценки первых собственных чисел операторов А п Д + с на классе функций, удовлетворяющих второму или третьему краевым условиям. Все результаты диссертации подтверждены численными расчетами. Практическая значимость работы определяется возможностью ее применения при численном решении рассматриваемых задач.
Апробация работы. Результаты, изложенные в диссертации, докладывались и обсуждались на семинарах Отдела статистического моделирования в физике ВЦ СО РАН, на конференциях молодых учёных ВЦ СО РАН (1995-2000 гг.), на 3-ем международном семинаре "Математические методы в стохастическом моделировании и планировании эксперимента" в г. С.-Петербурге (1998 г.).
Публикации. Основные результаты опубликованы в 8 работах, список которых помещен в конце автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, содержащих 15 разделов, заключения, списка литературы из 48 наименований. Объём работы - 101 машинописная страница, включая 16 таблиц и 1 рисунок.
