Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Численное решение краевых задач типа Заремба и Дирихле для уравнений эллиптического типа ...11
1. Численное решение задачи типа Заремба методом конечных разностей. 11
2. Численное решение задачи Дирихле методом конечных разностей для уравнения параболического вырождения и вырождения порядка 25
Глава II. Численное решение краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в характеристическом треугольнике 42
1. Численное решение задачи Проттера методом конечных разностей 42
2. Численное решение второй краевой задачи Проттера методом конечных разностей 60
Глава III. Численное решение первой и второй краевой задачи для уравнения смешанного типа 70
1. Численное решение задачи Геллерстедта методом конечных разностей 70
2. Численное решение задачи типа Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом конечных разностей 80
Литература 95
- Численное решение задачи Дирихле методом конечных разностей для уравнения параболического вырождения и вырождения порядка
- Численное решение задачи Проттера методом конечных разностей
- Численное решение второй краевой задачи Проттера методом конечных разностей
- Численное решение задачи типа Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом конечных разностей
Введение к работе
Математическое описание многих процессов газовой динамики, магнитогидродинамики, теории изгибании поверхностей и т.д. приводят к краевшл задачам для уравнения смешанного типа ( см,напр, f53j, f89j , [90] ,[93] ).
Принцип максимума для уравнения Трикоми и Геллерстедта в характеристическом треугольнике впервые доказан в работе Жермена и Баде /41] , /42 J . Они доказали, что если некоторое решение уравнения Трикоми или Геллерстедта определено в характеристическом треугольнике и обращается в нуль вдоль одной из характеристик, тогда максимум решения достигается на отрезке линии параболичности.
В последние годы все больше внимания уделяется исследованию конечно-разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа, что обусловлено с одной стороны большим прикладным значением этих задач, с другой стороны, возрастающими возможностями ЭВМ.
Впервые в 195-3 г. 3 .И. Хал иловым /"92 J предложена разностная схема для решения задачи Трикоми в случае уравнения (З).Эта же задача в 1954 г. методом сеток исследована в работе. О.А.Ладыженской /587 . В эллиптической части области приближенное решение задачи найдено методом конечных разностей, а в гиперболической части - квадратурой.
В настоящее время создание рабочих конечно - разностных схем для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа.
Настоящая диссертация посвящена численному решению краевых задач для уравнения смешанного типа и для вырождающихся уравнение.
Для приближенного решения всех рассматриваемых краевых задач получены разностные схемы высокой аппроксимации и точности. Вычислительным экспериментом утверждены все теоретические предпосылки относительно точного решения задачи.
Перейдем к изложению основных результатов настоящей диссертационной работы, которая состоит из трех глав.
Первая глава посвящена численному решению краевых задач типа. Заремба и Дирихле в эллиптической части смешанной области.
В § I рассматривается краевая задача типа Заремба [59J и впервые предлагается разностная схема для решения этой задачи.
Глава II состоит из двух параграфов и посвящена численному решению краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в характеристическом треугольнике.
Глава III посвящена численному решению задачи Геллерстедта и Неймана для уравнения смешанного типа.
В §1 предлагается разностная схема для численного решения задачи Геллерстедта /"32j , /33j , 34] .
Доказана однозначная разрешимость разностной задачи, обоснована сходимость конечно - разностной задачи Геллерстедта при существовании ограниченных производных второго порядка вплоть до границы 6 , а четвертые ограниченные производные в получена оценка
В § 2 методом конечных- разностей исследуется задача типа Ней - 10 мана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [тз], Условие Неймана аппроксимируется на выбранной согласованной сетки и получается схема с повышенной точностью аппроксимации. С помощью дискретного аналога принципа максимума доказывается однозначная разрешимость полученной разностной схем. Для точности метода получается оценка.
В конце каждого параграфа для проверки качества разностной схемы методом пробной функции выбираются конкретные примеры и проводятся расчеты на основании разработанного алгоритма.
Результаты данной диссертации по мере их получения докладывались на семинарах кафедры вычислительной математики АТУ им. С.М. Кирова и на объединенном семинаре "Численные методы решения задач математической физики" кафедры вычислительных методов МТУ им. М.В. Ломоносова и кафедры вычислительной математики АТУ им. С.М. Кирова.
Численное решение задачи Дирихле методом конечных разностей для уравнения параболического вырождения и вырождения порядка
При построении разностных схем для уравнения смешанного типа приходится заботиться не только о том, что бы они хорошо аппроксимировали исходную задачу с точки зрения погрешности аппроксимации, но и о том, чтобы они моделировали в пространстве сеточных функций основные свойства исходной задачи (такие,например,как самосопряженность, эллиптичность и др).
Имеется большое число статей,учебных пособий и монографий, в которых изложены основы теории разностных схем и ее различные аспекты (А.Н.Тихонов, А.А.Самарский, Г.И.Марчук,Н.С.Бахвалов, Е.А.Волков, В.Б.Андреев и др.).
В последние годы все больше внимания уделяется исследованию конечно-разностных методов решения краевых задач для уравнений смешанного типа, что обусловлено с одной стороны большим прикладным значением этих задач, с другой стороны, возрастающими возможностями ЭВМ. Впервые в 195-3 г. 3 .И. Хал иловым /"92 J предложена разностная схема для решения задачи Трикоми в случае уравнения (З).Эта же задача в 1954 г. методом сеток исследована в работе. О.А.Ладыженской /587 . В эллиптической части области приближенное решение задачи найдено методом конечных разностей, а в гиперболической части - квадратурой. В 1955 г. Е.А.Волков [21] предложил разностную схему для решения задачи Трикоми в случае уравнения (3). Предполагая, что производные по любому направлению І точного решения задачи в области эллиптичности удовлетворяют неравенствам где С \\d(0 o( 1) - постоянные, Я - расстояние от переменной точки №;&) до точки #(0,Oj , для погреш ности схемы была получена оценка где fa и CJL некоторые константы а при замене в системе разностных уравнений оператора простого сноса граничных условий оператором линейной интерполяции по Коллатцу f?4j разностная схема имеет точность В.Г.Карманов /50J с помощью метода сеток доказал существование решения задачи Трикоми для,уравнения (3) при весьма слабых ограничениях на кривую С . Задача Трикоми для нелинейного уравнения Лаврентьева-Еицад-зе решается методом сеток Б работе А.Маматкулова, Я.Д.Мамедова fci] . В работе Ф.А.Тагиева, Э.Ф.Челябиевой [84 J задача Дирихле для уравнения Чаплыгина исследована методом конечных разностей. В силу предположений Ц С. Cob) получена точность OCh ) . Позже в работе Ф.А.Тагиева / 79j задача Дирихле уравнения типа М.В.Келдыша исследована методом конечных разностей. Ф.А.Тагиевым /77] для решения задачи Лаврентьева-Бицадзе с общим условием склеивания предложена разностная схема, которая сходится со скоростью 0(h) .В другой работе Ф.А.Тагиева и А.С.Попова [83] эта задача решается методом сеток с учетом особенности в угловой точке Ji Впервые задача типа Неймана для уравнения Лаврентьева-методом .сингулярных интегральных уравнений исследована в работе А.В.Бицадзе, так называемая в литературе задача Т3 . Принцип максимума для задачи Т3 впервые доказан в работе А.Б.Бицадзе fl3j . Метод сеток решения различных краевых задач для уравнения смешанного типа использован в работах А.Ф.Филиппова /88] , В.Г.Кар-манова /"49 J , Огава (Одаша) /"65J , Л.И.Коваленко [5lj , Ф.А.Та-гиева /"797 и др. В настоящее время создание рабочих конечно - разностных схем для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа. Настоящая диссертация посвящена численному решению краевых задач для уравнения смешанного типа и для вырождающихся уравнеши. Для приближенного решения всех рассматриваемых краевых задач получены разностные схемы высокой аппроксимации и точности. Вычислительным экспериментом утверждены все теоретические предпосылки относительно точного решения задачи. Перейдем к изложению основных результатов настоящей диссертационной работы, которая состоит из трех глав. Первая глава посвящена-численному решению краевых задач типа. Заремба и Дирихле в эллиптической части смешанной области. В I рассматривается краевая задача типа Заремба [59J и впервые предлагается разностная схема для решения этой задачи. Доказано, что если Ud (Я У (О&У) и уравнение Лапласа удовлетворяется вплоть до линии вырождения, то для погрешности метода получается оценка 0(h) . В 2 предлагается разностная схема для решения задачи Дирихле 112] . Если решение задачи Дирихле Ц в С (Я) » т0 погрешность метода имеет оценку О С ft ) Глава II состоит из двух параграфов и посвящена численному решению краевых задач для вырождающихся гиперболических уравнений в характеристическом треугольнике. В 1 рассматривается краевая задача Проттера [її] и предлага ется разностная схема для ее решения. Если Ht , то для приближенного решения получена оценка О C/l ) . Применяя метод іунге для точности численного решения, получена оценка 0(/1л) В 2 построена разностная схема для решения второй краевой задачи Проттера [&7] , [б 8] . При U С (%) для точности метода получена оценка Q (fy 3) , а в случае неточных входных данных выбран специальный итерационный метод и оценена полная погрешность метода. Кроме того определено оптимальное количество итерации,обеспечивающее .решение с заданной точностью.
Численное решение задачи Проттера методом конечных разностей
Математическое описание многих процессов газовой динамики, магнитогидродинамики, теории изгибании поверхностей и т.д. приводят к краевшл задачам для уравнения смешанного типа ( см,напр, f53j, f89j , [90] ,[93] ).
Й.Н.Векуа [17] заметил, что уравнения смешанного типа встречаются также в безмоментной теории оболочек с кривизной переменного знака и в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей. Первые фундаментальные исследования в этой области связаны с именем итальянского математика Ф.Трикоми f 85] . Он рассматривал уравнение для которого прямая У -О является линией вырождения типа, причем в полуплоскости у О оно эллиптического типа, а в полуплоскости У О гиперболического. Трикоми изучал следующую задачу: требуется найти регулярное в области Sf решение где Ц и У - заданные функции, а 3 - область, ограниченная гладкой линией Жордана б с концами в точках $(0,0) D(1/0 t целиком лежащей в верхней полуплоскости, и характеристиками уравнения (І). Некоторые обобщения результатов Ф.Трикоми получены в работах С.Геллерстедта [32 J , [33] , [34] , Ф.И.Франкля 89] , [90] , [9lJ . С.Геллерстедт рассматривает следующее уравнение смешанного типа: и наряду с задачей Трикоми исследует случай, когда в гиперболической части области значения искомого решения задаются на двух кусках характеристик, а в эллиптической полуплоскости граничные значения задаются на нормальной кривой Следуя Трикоми, Геллерстедт сводит решение упомянутой задачи к сингулярному интегральному уравнению и,применяя известную идею Карлемана Z"48j , решает его в явном виде. М.А.Лаврентьев впервые обратил внимание на то, что самым простым и типичным представителем линейных уравнений второго порядка смешанного ( эллиптико - гиперболического ) типа является уравнение для которого линией вырождения типа является ось у=0 Подробное исследование задачи Трикоми и ее различных обобщений для уравнения (3) провел А.Б.Бицадзе [із] , [ы] , /is/ при самых общих предположениях относительно кривой (7 . Впервые А.Б.Бицадзе был сформулирован принцип экстремума для задачи Трикоми в случае уравнения (3): решение задачи Трикоми, обращающееся в нуль на характеристике J С x У - о не может достигать на открытом отрезке ЛЬ линии вырождения типа ни положительного максимума, ни отрицательного минимума. Для уравнения (I) этот принцип был установлен в работе Жер-мена и Баде / 407 .
Принцип максимума для уравнения Трикоми и Геллерстедта в характеристическом треугольнике впервые доказан в работе Жермена и Баде /41] , /42 J . Они доказали, что если некоторое решение уравнения Трикоми или Геллерстедта определено в характеристическом треугольнике и обращается в нуль вдоль одной из характеристик, тогда максимум решения достигается на отрезке линии параболичности.
Уравнения смешанного типа исследовали также Ф.Б.Абуталиев [l] , И.К.Бабенко [ъ] , Н.И.Бакиевич /б/ , М.Б.Капилевич pLl] , Ю.М.Крикунов [ъъ] , Л.И.Каваленко [52] , М.М.Смирнов / 7б/ , Л.ИЛибри-кова /94J и др. Точные решения краевых задач для уравнения смешанного типа удается получить лишь в частных случаях. Поэтому надо уметь решать эти задачи приближенно.
Численное решение второй краевой задачи Проттера методом конечных разностей
В настоящее время создание рабочих конечно - разностных схем для линейных и нелинейных дифференциальных уравнений смешанного типа является одной из наиболее актуальных задач численного анализа.
Настоящая диссертация посвящена численному решению краевых задач для уравнения смешанного типа и для вырождающихся уравнеши. Для приближенного решения всех рассматриваемых краевых задач получены разностные схемы высокой аппроксимации и точности. Вычислительным экспериментом утверждены все теоретические предпосылки относительно точного решения задачи. Перейдем к изложению основных результатов настоящей диссертационной работы, которая состоит из трех глав. Первая глава посвящена-численному решению краевых задач типа. Заремба и Дирихле в эллиптической части смешанной области. В I рассматривается краевая задача типа Заремба [59J и впервые предлагается разностная схема для решения этой задачи. Доказано, что если Ud (Я У (О&У) и уравнение Лапласа удовлетворяется вплоть до линии вырождения, то для погрешности метода получается оценка 0(h) . В 2 предлагается разностная схема для решения задачи Дирихле 112] . Если решение задачи Дирихле Ц в С (Я) » т0 погрешность метода имеет оценку О С ft ) В 1 рассматривается краевая задача Проттера [її] и предлага ется разностная схема для ее решения. Если Ht , то для приближенного решения получена оценка О C/l ) . Применяя метод іунге для точности численного решения, получена оценка 0(/1л) В 2 построена разностная схема для решения второй краевой задачи Проттера [&7] , [б 8] . При U С (%) для точности метода получена оценка Q (fy 3) , а в случае неточных входных данных выбран специальный итерационный метод и оценена полная погрешность метода. Кроме того определено оптимальное количество итерации,обеспечивающее .решение с заданной точностью. В 1 предлагается разностная схема для численного решения задачи Геллерстедта /"32j , /33j , 34] . Доказана однозначная разрешимость разностной задачи, обоснована сходимость конечно - разностной задачи Геллерстедта при существовании ограниченных производных второго порядка вплоть до границы 6 , а четвертые ограниченные производные в получена оценка В 2 методом конечных- разностей исследуется задача типа Неймана для уравнения Лаврентьева-Бицадзе [тз], Условие Неймана аппроксимируется на выбранной согласованной сетки и получается схема с повышенной точностью аппроксимации. С помощью дискретного аналога принципа максимума доказывается однозначная разрешимость полученной разностной схеш. Для точности метода получа-. ется оценка.
Б конце каждого параграфа для проверки качества разностной схемы методом пробной функции выбираются конкретные примеры и проводятся расчеты на основании разработанного алгоритма.
Результаты данной диссертации по мере их получения докладывались на сешнарах кафедры вычислительной математики АТУ им.СМ. Кирова и на объединенном сешнаре "Численные методы решения задач математической физики" кафедры вычислительных методов МТУ им. М.В.Ломоносова и кафедры вычислительной математики АТУ им. С.М.Кирова.
Численное решение задачи типа Неймана для уравнения Лаврентьева - Бицадзе методом конечных разностей
В силу f73J разностная схема (1.2.5)-(1.2.7) записывается в следующей канонической форме:
В регулярных узлах fbh для схемы (1.2.3) имеем: В нерегулярных узлах У 6 % для схемы (1.2.4) имеем: W%+tf) , № +h?) 7 ., . ,,, V ,j , L Ь " л&ъ %ёкгч ъ (I.2.II) если (JC-h?,y) Cfh , fcy h ) h Если, например, (X-ftfty) % , fay+/j fy то вместо (I.2ЛI) получим: Отсюда JHt)rO , a (1;%) 0 , a VzV=/J,-i -f , ПРИ (Х-Н ,у)СГи } fay+tf)0h Аналогичные выражения для Shfr) получаются и для других случаев, когда (cc-hi, у) 6 , ( )6 0 и т.д. Нетрудно заметить, что во всех случаях для - верна оценка: sfftMa 1. + — + — где h-max(hlyh ) при + - 29 Если "t gL и все узлы % { Ы () являются внутренними,то &(і) =0 . Если же і 85 является регулярным внутрен ним узлом, но по крайней мере один из его соседних узлов попадает на границу, .Q.(X±h ,,y)6fr или ( У+Ьг) 6 , тогда %{) 0 . Таким образом Жї) г-О при і h . Те значения &r(t) , которые обращаются в нуль или стремятся к нулю, учтены при доказательстве априорной оценки и мажорантной функции. Так как коэффициенты разностной схемы (1.2.8)-(1.2.10) удовлетворяют всем требованиям монотонной схемы, очевидно, что для задачи (1.2.8)-(1.2.10) имеет место принцип максимума. 2.2. Априорная оценка и скорость сходимости.В этом пункте принцип максимума используется для получения априорных оценок решения разностной схемы,рассмотренной в пункте 2.1, и оценки скорости сходимости этой схемы. Рассмотрим задачи (1.2.8)-(1.2.10), где коэффициенты удовлетворяют следующие условия: Jft) О Btt,t) Q ,$&)=№)-2L Bfti) 0 ._ 9 Tq. В силу теоремы I.I.I и I.I.3 можно доказать,что еотЗг&)%.о на $Йь » Ж4 ) 0 на 3 , тогда в силу принципа -максимума решение задачи (1.2.8)-(1.2.10) существует, единственно и для него справедлива следующая оценка: пау/ц,ШЦ шЩ Ю/+Мл тахШ1+л]6 fa /%r!l (і. 2.14) % sh h 4, где Mi , A/ , » Ms - некоторые положительные константы и не зависят от /?, Х){)- мажорантная функция,выберем позже. - зо Теорема 1.2.І. Если решение задачи (1.2),(1.2.1),(1.2.2) , то решение разностной задачи (1.2.5)-(1.2.7) равномерно сходится к точному решению со скоростью О (//г /J , ,т.е. где r aoJfis+ не зависит от fa . Доказательство. Пусть fr) точное решение задачи (1.2), (I.2.I), (І.2.Й), Ufy(-ir) точное решение. разнос тнои задачи (1.2.5)-(1.2.7). Обозначим - 4" погрешность решения.Под ставляя Ц. -=%,+Ц в (1.2.5)-(1.2.?) для получим раз ностную схему: & к 4 S-V . A 4,1 %k = o , zh = ? / - e;A J (I.2.15) Эта задача молеeт быть записана в виде V» & к - , 7 % Построим мажорантную функцию и (ее, у) $%k = при -А & г 0 при e &и , К, -э для задачи при / % (1.2.16) при -e(M)h - ЗІ Пусть начало координат (О, О) находится внутри области g , a /? - радиус наименьшего круга с центром в начале координат, содержащего область.
