Содержание к диссертации
Введение
1 Прямые задачи 27
1.1 Введение. Постановка прямых и обратных задач 27
1.2 Начально-краевая задача для уравнения акустики 32
1.3 Задача Копій для уравнения колебаний 34
1.4 Численные методы решения прямой задачи 35
1.4.1 Конечно-разностные методы 35
1.4.2 Метод Галеркина 38
1.4.3 Суммирование рядов Фурье 40
2 Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения с~2(х, у)ии = Ax,yU 43
2.1 Введение 43
2.2 Постановка задачи 43
2.3 Линеаризация 44
2.4 Изучение структуры решения одномерной прямой задачи . 47
2.5 Теорема существования решения прямой задачи 51
2.6 Единственность решения обратной задачи и регуляризация 55
3 Проекционный метод 59
3.1 Введение 59
3.2 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения г% = AXtVu — q(x, у)и 60
3.2.1 Постановка задачи 60
3.2.2 Сведение к интегральному уравнению 60
3.2.3 Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода 61
3.3 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики utt = &х,уи- Vx,y\np(x,y)Vx,yu 71
4 Метод итераций Ландвебера решения операторного уравнения (U) = F 77
4.1 Введение 77
4.2 Общая схема метода Ландвебера 78
4.3 Метод итераций Ландвебера определения коэффициентов уравнения гьи = Ах,уи — Я.{х-> У) ' и 78
4.3.1 Свойства оператора обратной задачи С 80
4.3.2 Оценка скорости сходимости итераций 89
5 Прямые методы решения обратных задач 100
5.1 Введение 100
5.2 Метод обращения разностной схемы 102
5.3 Метод Гельфанда-Левитана 105
5.4 Метод граничного управления 107
6 Сравнительный анализ численных методов решения 113
6.1 Введение 113
6.2 Линеаризация 113
6.3 Проекционный метод 118
6.4 Метод Гельфанда-Левитана 120
6.5 Метод граничного управления 122
6.6 Сравнение методов граничного управления и Гельфанда-Левитана в одномерном случае 124
6.7 Численные расчеты 134
Основные результаты 144
Список обозначений 146
Литература 147
- Начально-краевая задача для уравнения акустики
- Суммирование рядов Фурье
- Изучение структуры решения одномерной прямой задачи .
- Сведение к интегральному уравнению
Введение к работе
Актуальность темы. Диссертационная работа посвящена развитию актуального для приложений научного направления — методам решения коэффициентных обратных задач для гиперболических уравнений. Задачи определения коэффициентов гиперболических уравнений и систем по некоторой дополнительной информации об их решении имеют большое практическое значение. Искомыми коэффициентами, как правило, являются такие важные характеристики исследуемых сред, как параметры Ламе — в случае обратной задачи теории упругости, тензоры диэлектрической и магнитной проницаемости и тензор проводимости — в случае обратной задачи электродинамики, скорость распространения волн в среде и плотность — в случае обратной задачи акустики и т.д. В диссертации исследованы одномерные и двумерные обратные задачи для гиперболических уравнений. Несмотря на то, что для многих многомерных обратных задач получены теоремы единственности и оценки условной устойчивости, необходимость создания и обоснования методов решения этих обратных задач является очень актуальной.
Цель работы. Создание и обоснование алгоритмов решения двумерных обратных задач для гиперболических уравнений. Проведение сравнительного анализа численных методов решения обратной задачи акустики.
Научная новизна и практическая ценность работы.
Исследован двухэтапный алгоритм решения двумерной обратной задачи. На первом этапе двумерная обратная задача на основе проекционного метода сводится к системе одномерных обратных задач, на втором этапе полученная система решается методом итераций Ландвебера. Каждый этап алгоритма обоснован. Доказано, что решение, полученное на основе проекционного метода, сходится к точному решению обратной задачи в пространстве Ьг- Доказано, что метод итераций Ландвебера для решения системы одномерных обратных задач сходится и получена оценка скорости сходимости метода в пространстве L2.
Реализован метод граничного управления для двумерной обратной задачи акустики.
Созданы программы и проведены численные расчеты по решению линеаризованной двумерной обратной задачи для волнового уравнения, обратной задачи акустики на основе метода Гельфанда-Левитана, граничного управления, метода обращения разностной схемы и метода итераций Ландвебера.
Проведен сравнительный анализ численных методов решения обратной задачи акустики: метода Гельфанда-Левитана, метода граничного управления, метода обращения разностной схемы и метода итераций Ландвебера.
Положения выносимые на защиту.
Обоснование сходимости проекционного метода в пространстве L%.
Обоснование сходимости итераций Ландвебера в пространстве Ь%.
Сравнительный анализ прямых и итерационных методов решения'обратной задачи акустики.
Апробация работы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах под руководством академика А.С. Алексеева, академика М.М. Лаврентьева, чл.-корр. РАН В.В. Васина, чл.-корр. РАН В.Г. Романова, д.ф.-м.н. СИ. Кабанихина. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях:
Дальневосточной математической школе-семинаре имени академика Е.В. Золотарева (г. Владивосток, 2000 г.);
Всероссийской научной конференции "Алгоритмический анализ неустойчивых задач"(г. Екатеринбург, 2001 г.);
ХП Байкальской международной конференции "Методы оптимизаций и их приложения"(Иркутск, Байкал, 2001 г.);
Первой международной конференции "Inverse Problems: Modeling and Simulation"(Fethhiye, Turkey, 2002 г.);
Международной конференции "Обратные и некорректные задачи", посвященной 70-летию академика М.М. Лаврентьева (Новосибирск,
2002 г.);
Международной школе-конференции "Обратные задачи: теория и приложения"(Ханты-Мансийск, 2002 г.);
Международном симпозиуме "Inverse Problems in Engineering Mechanics" (Nagano City, Japan, 2003 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-11]. При выполнении совместных работ [1-4, 8,10,11] С. И. Ка-банихину принадлежит постановка задач и предложение методов решения. В работе [1] О. Scherzer предложил усовершенствованный вариант сходимости метода итераций Ландвебера. В работе [8] Г. Б. Баканов предложил и участвовал в построении дискретного аналога формулы Даламбера. В остальном работа проведена М. А. Шишлениным самостоятельно.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, б глав, заключения, списка обозначений, списка использованных источников. Работа оформлена в системе 1/Щ$.2Є и содержит 154 страницы текста. Список использованных источников содержит 91 наименование.
Начально-краевая задача для уравнения акустики
В случае п — 1 при фиксированных д, і/ , у? эта задача является корректной, если подходящим образом подобраны функциональные пространства для данных задачи и пространство решений. В частности, задача (1.3.1), (1.3.2) корректна, если q, тр, (р принадлежат пространству непрерывных функций C(R), а функция и Є C(R х {t 0}). При этом функция u(x,t) является вообще говоря, обобщенным решением задачи (1.3.1), (1.3.2). Существование и единственность классического решения задачи Коши (1.3.1), (1.3.2) дается следующей леммой Лемма (Романов, [56]). Если для какого-либо to 0, q{x) Є C[XQ — о,яо+о], ф(х} е C2[XQ — 0,:ГО-ИО]; ip(x) Cl[x0 — to,Xo+to], то в области АЗ( ОІ О) существует единственное классическое решение задачи (1.3.1), (1.3.2). Решение задачи (1.3.1), (1.3.2) дается формулой Даламбера где (x,t) Є Az(x0,t0). Пусть q Є C(Rn), у? Є C3(Rn), ф Є C2(Rn). Обозначим х = (х,у) Є Rn. Тогда классическое решение задачи Коши (1.3.1), (1.3.2) существует, единственно и выражается Пусть Т — положительное фиксированное число, Nt, Nx, Ny — натуральные числа, т = 2T/Nt, hx = T/Nx, hy = T /Ny. Обозначим wfj — w(ih,jhy, kh), v\ = p{ih,kh), qi = q(ih), ai:j = a(ih,jhy), wx = {wki+lj - wd)/h, щ = №ij пїї1)/ 1 УУ = ( j+i " ШЬ + tfj-i)/hl и т- Д Сначала рассмотрим конечно-разностный метод [19] решения одномерной прямой задачи для уравнения акустики Решен принадлежат С4(Ді(Т))): Тогда начальные данные для конечно-разностной прямой задачи берем в виде: Таким образом, получили следующую конечно-разностную прямую задачу Алгоритм решения разностной прямой задачи (1.4.7) — (1.4.9) состоит из следующих этапов: 1) Вычисляются значения v\ — si по формуле (1.4.9) для г — 0,1,..., Nx. Таким образом, вычисление решения разностной прямой задачи осуществляется последовательно по наклонным слоям, соединяющим точки с координатами (1,1) и (0,2) , (2,2) и (0,4), (3,3) и (0,6) и так далее (см. рис. 1.1). Рассмотрим конечно-разностный метод [61] решения прямой задачи (1.2.11) — (1.2.13). Запишем прямую задачу (1.2.11) — (1.2.13) в дискретной постановке, аппроксимируя производные конечно-разностными аналогами и предполагая, что все рассматриваемые функции являются достаточно Решение (1.4.12) — (1.4.15) заключается в нахождении сеточной функции vfj ПО ИЗВеСТНЫМ фуНКЦИЯМ dij И Sij. Один из методов доказательств, который позволяет дать теорему существования обобщенного решения прямой задачи — метод Галеркина. Введем обозначения для областей: Метод состоит в следующем.
Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения Пусть г і(я:, у), г 2(, у),... — произвольная система функций из С2([0, Т] х [—7г,7г]), удовлетворяющих независимая и полная в і/1((0,Т) х (—7Г, 7г)), т.е. линейное многообразие, натянутое на эту систему, всюду плотно в іУх((0,Т) х (—7г,7г)). Для произвольного целого т в конечномерном подпространстве Vm пространства Хг((0 Т) х (—7Г, тг)), натянутом на функции Vk, к = 1, т (здесь и ниже к = т,п означает, что к пробегает все целые значения от m до п), решается задача, получающаяся из задачи (1.4.16) — (1.4.18) ортогональным проектированием на это подпространство, т.е. ищется функция wm(x,у, і), принадлежащая при каждом t Є [0,Т] подпро странству Vm, удовлетворяющая ие прямой задачи (1.4.1), (1-4.2) имеет вид где u(x,t) достаточно гладкая функция. Тогда от прямой задачи (1.4.1), (1.4.2) можно перейти к задаче Гурса Запишем прямую задачу (1.4.3) — (1.4.5) в дискретной постановке, аппроксимируя производные конечно-разностными аналогами и предполагая, что все рассматриваемые функции являются достаточно гладкими (например, принадлежат С4(Ді(Т))): Тогда начальные данные для конечно-разностной прямой задачи берем в виде: Таким образом, получили следующую конечно-разностную прямую задачу Алгоритм решения разностной прямой задачи (1.4.7) — (1.4.9) состоит из следующих этапов: 1) Вычисляются значения v\ — si по формуле (1.4.9) для г — 0,1,..., Nx. Таким образом, вычисление решения разностной прямой задачи осуществляется последовательно по наклонным слоям, соединяющим точки с координатами (1,1) и (0,2) , (2,2) и (0,4), (3,3) и (0,6) и так далее (см. рис. 1.1). Рассмотрим конечно-разностный метод [61] решения прямой задачи (1.2.11) — (1.2.13). Запишем прямую задачу (1.2.11) — (1.2.13) в дискретной постановке, аппроксимируя производные конечно-разностными аналогами и предполагая, что все рассматриваемые функции являются достаточно Решение (1.4.12) — (1.4.15) заключается в нахождении сеточной функции vfj ПО ИЗВеСТНЫМ фуНКЦИЯМ dij И Sij. Один из методов доказательств, который позволяет дать теорему существования обобщенного решения прямой задачи — метод Галеркина. Введем обозначения для областей: Метод состоит в следующем. Рассмотрим начально-краевую задачу для уравнения Пусть г і(я:, у), г 2(, у),... — произвольная система функций из С2([0, Т] х [—7г,7г]), удовлетворяющих независимая и полная в і/1((0,Т) х (—7Г, 7г)), т.е. линейное многообразие, натянутое на эту систему, всюду плотно в іУх((0,Т) х (—7г,7г)). Для произвольного целого т в конечномерном подпространстве Vm пространства Хг((0 Т) х (—7Г, тг)), натянутом на функции Vk, к = 1, т (здесь и ниже к = т,п означает, что к пробегает все целые значения от m до п), решается задача, получающаяся из задачи (1.4.16) — (1.4.18) ортогональным проектированием на это подпространство, т.е. ищется функция wm(x,у, і), принадлежащая при каждом t Є [0,Т] подпро странству Vm, удовлетворяющая условиям (1.4.17) с начальными функци ями — ортогональными проекциями на подпространство Vm функций ф(х: у) и ф(х,у) соответственно. Ищутся такие функции Ci(t),... ,cm(i), удовлетво ряющие условиям что функция wmtt = Ax,ywm - q(x, у) wm, где wm(x,y,t) = 2ck(t)vk(x,y), k=l для п.в. t Є [0, Т] ортогональна в Z/2((0,T) х (—7г, 7г)) подпространству Vmi т.е. // в том, что решение и задачи (1.4.16) — (1.4.18) аппроксимируется решениями wm "спроектированных"задач. Решение wm, т = 1,2,..., в некотором смысле сходится к и.
Суммирование рядов Фурье
Задача суммирования ряда Фурье [66, 67] по заданной ортонормированной системе функций (finit) состоит в нахождении функции /() по ее коэффициентам Фурье. В ряде случаев в эксперименте для определения интересующей нас функции /(), характеризующей изучаемый процесс (явление), измеряются ее коэффициенты Фурье {ап} по некоторой ортонормированной системе функций fn(t)- Измерения всегда носят приближенный характер. Таким образом, вместо {ап} получают приближенные значения коэффициентов Фурье с приближенный характер. Возникает задача суммирования рядов Фурье с приближенными коэффициентами. Известно, что задача суммирования рядов Фурье не обладает свойством устойчивости к малым изменениям (в метрике І2) коэффициентов Фурье, если уклонение суммы оценивать в метрике С, и, следовательно является некорректно поставленной задачей. Например, рассмотрим численное суммирование рядов Фурье, когда коэффициенты известны приближенно в метрике І2- Пусть Если вместо а/. брать коэффициенты с = % + є/к для к 1 и с0 = ЙО, получим ряд Коэффициенты этих рядов отличаются (в метрике І2) на величину которую выбором числа є можно сделать сколь угодно малой. Вместе с этим разность Таким образом, если уклонение суммы ряда брать в метрике С, суммирование ряда Фурье не является устойчивым. Издавна употребляемый метод суммирования рядов Фурье с приближенными коэффициентами {а } состоит в том, что в качестве приближенного значения суммы такого ряда f(t) берется сумма конечного (не слишком большого) числа его первых членов, т.е. полагают Устойчивый метод суммирования, основанный на идее регуляризации, был предложен в [66]. Следуя работе [66], будем называть метод суммирования рядов в метрике І2 коэффициентами {сп} устойчивым в смысле метрики пространства F, если для любого положительного числа є 0 можно указать такое число 6(б), что из неравенства Зафиксируем є, тогда Здесь параметр N является параметром регуляризации. Рассмотрим уравнение Предположим, что правая часть в (1.4.19) известна не точно, а приближенно, т.е. задан элемент f6, такой что где /+ — точная правая часть (1.4.19), Aq+ = f+, q+ — точное решение (1.4.19). Требуется по элементу f5 определить приближенное решение уравнения (1.4.19), т.е. определить такой элемент q, что где величина є достаточно мала при достаточно малом 8.
Определение 1. Оператор R(y,a) : F — Q, зависящий от параметра а, называется регуляризирующим для уравнения (1.4-19) в окрестности q = q+, если он обладает следующими свойствами. 1) Существует такое число 8\ 0, что оператор R(y, а) определен для всякого а 0 и любого q Є Q, для которого 2) Существует такая функция а — а( 5), что для любого є 0 най дется такое 5{є) 5і, что если pQ{qs:q+) 5(e) и q6 = R(f6,a(8)), то PQ(q\q+) e. Если для уравнения (1.4.19) построен регуляризирующий оператор, то в качестве приближенного решения уравнения, построенного по приближенным данным, можно взять элемент где значения параметра а согласовано с погрешностью данных 8. Числовой параметр а называется параметром регуляризации. Таким образом, задача определения приближенного решения по приближенным данным сводится к нахождению регуляризирующего оператора и параметра регуляризации. Отметим,что выбор параметра регуляризации должен быть согласован не только с величиной погрешности 8, но и с определенным априори заданными свойствами искомого решения q+. Метод линеаризации в обратных динамических задачах для гиперболических уравнений, начиная с работы М.М. Лаврентьева и В.Г. Романова [41], применялся многими авторами (см. монографии В.Г. Романова [56], М.М. Лаврентьева, В.Г. Романова, СП. Шишатского [43] и др.). Одной из основных особенностей исследованных ранее линеаризованных обратных задач являлось то обстоятельство, что дополнительную информацию (2.2.7) требовалось задавать на всей гиперплоскости z = 0 [43]. Рассматривается задача определения скорости распространения волн в полупространстве (z,y) Є R+ х Rn в случае, когда скорость представима в виде c2(z, у) = CQ(Z) + c\(z,y), функция с\ много меньше CQ И отлична от нуля лишь в конечной области полупространства. Здесь R+ — множество положительных вещественных чисел. Будем исследовать линеаризованный вариант обратной задачи, для которого докажем теорему единственности, получим оценку условной устойчивости, построим регуляризирующее семейство, сходящееся к точному решению линеаризованной обратной задачи и построим конечно-разностный алгоритм решения обратной задачи.
Изучение структуры решения одномерной прямой задачи .
Тогда, используя формулу Даламбера для представления решения задачи Коши (2.4.3), (2.4.4), приходим к интегральному уравнению Вольтерра второго рода относительно р(х, t) Здесь Учитывая четность q(x), свойства функции Хевисайда и совершая очевидные преобразования, получим полезные в дальнейшем равенства Лемма 2.4.1. Предположим, что q є C(R). Тогда при любых XQ Є R, t Є R+ решение интегрального уравнения (2.4.2) существует и единственно в C(A2(Xo,to)), Доказательство Решение интегрального уравнения (2.4.2) будем искать в виде ряда слагаемые которого определим индукцией по к. При к = 0 полагаем Ро(х, t) = I(x, t). Пусть рк{х, і) известно, тогда полагаем Обозначим Индукцией по к докажем оценку Действительно, при к = 0 оценка (2.4.10) очевидна. Пусть (2.4.10) выполнена для некоторого к 0. Докажем, что тогда она выполнена и для к-\-1. Оценим \\І\\С(А2(хо,іо)): Теперь имеем В силу того, что правая часть установленного неравенства не зависит от х, заключаем, что оценка (2.4.10) верна для всех к, откуда следует равномерная по (ж, t) Є А2( 0; о) сходимость ряда (2.4.9) и неравенство (2.4.8). Введя обозначение приходим к очевидному равенству Переходя в этом неравенстве к пределу при п — оо, получ обозначение приходим к очевидному равенству Переходя в этом неравенстве к пределу при п — оо, получаем, что p(x,t) есть непрерывное в А2(хо, to) решение интегрального уравнения (2.4.2). D Лемма 2.4.2. Пусть q Є C(R), C(RxR+) — множество функций р(х, і) непрерывных в RxR+ всюду, кроме, возможно линии t = \х\. Тогда решение интегрального уравнения (2.4-5) имеет частные производные первого порядка по t и х, принадлежащие классу C(R х R+) и удовлетворяющие неравенствам sup р{т)( г) 7Ш4[1 + (7/2)t2M4e ], (,т)єД2(а:,і),К т Доказательство В силу леммы 2.4.1 и вида функции I(x,t) правую часть равенства (2.4.5) можно один раз продифференцировать по ж и по , например: С учетом (2.4.6) и леммы 2.4.1 из (2.4.11) следует, что утверждение леммы 2.4.2 верно. Лемма 2.4.3. Если q Є C(R), то решение уравнения (2.4-2) имеет частную производную по х второго порядка, принадлежащую классу C(R+ х R-), имеющую вид Доказательство леммы 2.4.3 следует из лемм 2.4.1 и 2.4.2, в силу которых правую часть равенства (2.4.11) можно дифференцировать по х всюду, кроме ломаной t — \х\. Теорема 2.4.1. Предполоэюим, что Со удовлетворяет условию Ао- Тогда решение задачи 2.3.6, 2.3.7 существует, принадлеэюит классу С2 (t ijj{z) 0) и имеет структуру Следовательно, вместо задачи (2.5.1) — (2.5.3) можно ограничиться исследованием задачи Здесь Г Є (0,ГЛі/2); А4(Г) = {(х, t) \ х Є (-Г, Г), t Є (я, 2Г - s)}. Предположим, что классическое решение задачи (2.5.6) — (2.5.8), т. е. функция удовлетворяющая уравнению (2.5.6) и граничным условиям (2.5.7) и (2.5.8), существует. Умножим обе части (2.5.6) на wt и проинтегрируем по области
Применяя после стандартных преобразований формулу Остроградского, получим тождество Лемма 2.5.1. Предполоэюим, что CQ(Z), Ci(z,y) удовлетворяют условиям Ао и Ai соответственно, а коэффициенты оператора L и начально-краевые условия задачи (2.5.6) — (2.5.8) построены по функциям CQ{Z), Ci(z,y) указанным выше способом. Тогда классическое решение задачи (2.5.6) —- (2.5.8) единственно и удовлетворяет неравенству itr {ос, y,t) = — а2(х, у) + 2 / ги(ж, у, т) — гу(ж, у, т) dr по х, у в пределах области и, используя неравенство Гёльдера, получим Объединяя (2.5.11) и (2.5.12) и используя неравенства а также неравенство Гронуолла, приходим к (2.5.10). Для определения обобщенного решения задачи (2.5.6) — (2.5.8) и доказательства его существования воспользуемся некоторой модификацией метода Фурье: разделим переменные не как обычно — на пространственные и временную, а будем искать решение в виде суммы функций типа X(x,t)-Y(y). Будем говорить, что функция w(x,y,t) принадлежит классу V(T,D), если w(x,y,t) непрерывна в L2{Kn{T )) по переменным (x,t) Є Д Т), т.е. если для любой пары (#,) Є А(Т) выполняется условие аем, что p(x,t) есть непрерывное в А2(хо, to) решение интегрального уравнения (2.4.2). D Лемма 2.4.2. Пусть q Є C(R), C(RxR+) — множество функций р(х, і) непрерывных в RxR+ всюду, кроме, возможно линии t = \х\. Тогда решение интегрального уравнения (2.4-5) имеет частные производные первого порядка по t и х, принадлежащие классу C(R х R+) и удовлетворяющие неравенствам sup р{т)( г) 7Ш4[1 + (7/2)t2M4e ], (,т)єД2(а:,і),К т Доказательство В силу леммы 2.4.1 и вида функции I(x,t) правую часть равенства (2.4.5) можно один раз продифференцировать по ж и по , например: С учетом (2.4.6) и леммы 2.4.1 из (2.4.11) следует, что утверждение леммы 2.4.2 верно. Лемма 2.4.3. Если q Є C(R), то решение уравнения (2.4-2) имеет частную производную по х второго порядка, принадлежащую классу C(R+ х R-), имеющую вид Доказательство леммы 2.4.3 следует из лемм 2.4.1 и 2.4.2, в силу которых правую часть равенства (2.4.11) можно дифференцировать по х всюду, кроме ломаной t — \х\. Теорема 2.4.1. Предполоэюим, что Со удовлетворяет условию Ао- Тогда решение задачи 2.3.6, 2.3.7 существует, принадлеэюит классу С2 (t ijj{z) 0) и имеет структуру Следовательно, вместо задачи (2.5.1) — (2.5.3) можно ограничиться исследованием задачи Здесь Г Є (0,ГЛі/2); А4(Г) = {(х, t) \ х Є (-Г, Г), t Є (я, 2Г - s)}. Предположим, что классическое решение задачи (2.5.6) — (2.5.8), т. е. функция удовлетворяющая уравнению (2.5.6) и граничным условиям (2.5.7) и (2.5.8), существует. Умножим обе части (2.5.6) на wt и проинтегрируем по области Применяя после стандартных преобразований формулу Остроградского, получим тождество Лемма 2.5.1. Предполоэюим, что CQ(Z), Ci(z,y) удовлетворяют условиям Ао и Ai соответственно, а коэффициенты оператора L и начально-краевые условия задачи (2.5.6) — (2.5.8) построены по функциям CQ{Z), Ci(z,y) указанным выше способом. Тогда классическое решение задачи (2.5.6) —- (2.5.8) единственно и удовлетворяет неравенству itr {ос, y,t) = — а2(х, у) + 2 / ги(ж, у, т) — гу(ж, у, т) dr по х, у в пределах области и, используя неравенство Гёльдера, получим Объединяя (2.5.11) и (2.5.12) и используя неравенства а также неравенство Гронуолла, приходим к (2.5.10). Для определения обобщенного решения задачи (2.5.6) — (2.5.8) и доказательства его существования воспользуемся некоторой модификацией метода Фурье: разделим переменные не как обычно — на пространственные и временную, а будем искать решение в виде суммы функций типа X(x,t)-Y(y). Будем говорить, что функция w(x,y,t) принадлежит классу V(T,D), если w(x,y,t) непрерывна в L2{Kn{T )) по переменным (x,t) Є Д Т), т.е. если для любой пары (#,) Є А(Т) выполняется условие
Сведение к интегральному уравнению
В данной главе на основе проекционного метода исследуется задача восстановления двумерного параметра в уравнении колебаний и уравнении акустики. В обоих случаях обратная задача рассматривается в виде нелинейной системы интегральных уравнений Вольтерра. Доказывается сходимость проекционного метода и показывается оценка скорости сходимости. Основная идея проекционного метода [19] заключается в выделении двух переменных — временной t и выводящей z — в качестве основных. Если при этом главной целью является доказательство теоремы единственности и получение оценок условной устойчивости, то оставшиеся переменные х, у временно принимаются за параметры, а обратная задача с переменными z, t приводится к системе нелинейных интегродифференциальных уравнений вольтерровского типа относительно неизвестных коэффициентов. Входящие в систему частные производные функции по х, у оцениваются, например, при помощи энергетических неравенств, через частные производные искомых коэффициентов, что позволяет сформулировать и доказать теоремы единственности и получить оценки условной устойчивости решения в специальных классах функций. Если же основной целью является получение численного алгоритма, то многомерная задача проектируется на конечномерное подпространство, порожденное какой-либо ортогональной системой функций. Полученная при этом конечная система одномерных обратных задач может быть решена численно, например, с использованием метода обращения разностной схемы.
Основной проблемой на этом пути является обоснование существования решения конечной (вообще говоря, нелинейной) системы одномерных обратных задач и получение оценки сходимости решения конечной системы одномерных обратных задач к точному решению исходной многомерной обратной задачи при стремлении к бесконечности параметра N — длины (3.2.3) Обратная задача (3.2.1), (3.2.2) сводится к решению системы интегро-дифференциальных уравнений (3.2.5), (3.2.9), в которой требуется найти функции й(х, у) и и(х, у, і) по известным h(x, у, t), h(x, у), ф(х, у) и р(х, у). Предположим, что ф(х,у) = 0, р(х,у) = — 1 (для произвольных данных ф и (р исследование проводится аналогично). Предположим, что для (x,t) Є Дз(Т) есть разложение в ряд Фурье по переменной у функций и и и: Далее мы исследуем единственность решения системы (3.2.12), (3.2.13) в Т(р,Т). Покажем, что если существует решение (3.2.10), (3.2.11) в Т(р,Т), то при N — оо решение (3.2.17) аппроксимирует решение системы (3.2.10), (3.2.11). Теорема 3.2.1. Пусть N 0 и для некоторых р 0 и Т 0 коэффициенты Фурье функций (и,й) Є Т(р,Т) удовлетворяют (3.2.10), (3.2.11). Тогда существует постоянная р! 0 такая, что для всех Т Є (0, Т) удовлетворяющих р Т р существует единственное решение V Є L2(T ) системы (3.2.12), (3.2.13), где Т заменено на V. Более того, существует константа М\ := М\(Т , р) такая что Доказательство теоремы 3.2.1. Предположим, что V удовлетворяет (3.2.12) и (3.2.13). Полагаем Вычитая из (3.2.10), (3.2.11) уравнения с номером п, уравнения (3.2.12) Закончим доказательство теоремы 3.2.1. В силу леммы 3.2.2 и леммы 3.2.3 отображение V является сжатием и тогда по теореме о сжимающем отображении можем заключить, что существует единственное решение W Є Вцн(С,е Р,ТГ), где константы // И Т удовлетворяют Более того, выполняется неравенство Следовательно существует решение V — U—W системы уравнений (3.2.12), (3.2.13). Неравенства теоремы 3.2.1 следуют из (3.2.24) и (3.2.33). В этом пункте рассмотрим обратную задачу для уравнения акустики. Исследуем проекционный метод для следующей обратной задачи Как уже было показано в пункте 1.2, решение прямой задачи (3.3.1) — (3.3.4) имеет вид где u(x,y,t) - непрерывная функция при х 0 и достаточно гладкая при t х 0. Тогда можно перейти от обратной задачи (3.3.1) — (3.3.5) к решению Дополним систему интегральных уравнений (3.3.12), (3.3.13), (3.3.14), (3.3.15) и (3.3.18). Таким образом, мы получим систему из шести интегральных уравнений:
