Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Итерационные методы решения вариационных и квазивариационных неравенств 43
1. Итерационный метод решения вариационных неравенств с монотонным оператором в гильбертовом пространстве 44
2. Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов 62
3. Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве . 75
ГЛАВА 2. Исследование задач теории нелинейной фильтрации 87
4. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии точечного источника 89
5. Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких точечных источников 99
6. Задача фильтрации с многозначным законом при наличии точечных источников 108
ГЛАВА 3. Исследование задач теории мягких оболочек при наличии препятствия 119
7. Постановка задачи о равновесии мягкой оболочки, ограниченной в перемещениях препятствием 120
8. Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия 128
9. Свойства множества допустимых перемещений в задаче с препятствием выпуклой формы 136
10. Задача с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей поверхностной нагрузки 144
ГЛАВА 4. Приближенное решение стационарных задач теории нелинейной фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек 157
11. Исследование приближенных методов решения задач о равновесии сетчатой оболочки с препятствием 157
12. Численное решение модельных задач о равновесии оболочки при наличии препятствия 171
13. Исследование приближенных методов решения задач фильтрации с точечными источниками 184
14. Численное решение модельных задач фильтрации с точечными источниками 190
Литература 208
- Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов
- Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве
- Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких точечных источников
- Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия
Введение к работе
Вариационные и квазивариационные неравенства возникают при описании многих процессов механики сплошной среды, экономики, биомеханики и т.д. (см., например, [89], [115], [131], [161], [194], [197], [201]). Поскольку возникающие здесь задачи сложны и, как правило, нелинейны, то для их решения приходится использовать приближенные методы, основанные на конечномерных аппроксимациях изучаемых задач при помощи метода конечных элементов и метода конечных разностей. Эти методы развиты к настоящему времени достаточно полно для уравнений и вариационных неравенств, различные аспекты их освещены, например, в [97], [115], [157], [159], [165], [186], [196], [198], [211]-[216], [221]-[223].
Нелинейные уравнения и вариационные неравенства также давно являются объектами изучения. Эти уравнения и неравенства возникают во многих прикладных областях, к которым относятся, в частности, нелинейная теория фильтрации несжимаемой жидкости с предельным градиентом (см., например, [94], [151], [166], [164], [206]). Другой такой областью является теория мягких оболочек. Возникающие здесь задачи находят широкое применение при проектировании различного рода конструкций, изготовленных из мягких тканевых или пленочных материалов (см., например, [135], [153], [184], [185], [199], [248]).
Диссертация посвящена построению и исследованию итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств, возникающих при математическом моделировании стационарных задач теории мягких сетчатых оболочек, находящихся под воздействием поверхностных и массовых сил, при наличии препятствия и стационарных за-
дач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей разрывному закону фильтрации с предельным градиентом (в том числе при наличии точечных источников).
Математические модели сформулированы в виде вариационных и квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Доказаны теоремы существования и исследованы свойства решений этих неравенств. Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным оператором в банаховых пространствах, итерационные методы решения вариационных неравенств с обратно сильно монотонными операторами в гильбертовых пространствах. Проведено построение конечномерных аппроксимаций вариационных неравенств с псевдомонотонными операторами, конечномерных аппроксимаций квазивариационных неравенств, доказаны теоремы разрешимости и сходимости. Получены оценки точности.
Проведено численное исследование модельных задач об определении положения равновесия бесконечно длинных и осесимметричных мягких оболочек, пространственных мягких сетчатых оболочек при наличии препятствия, задач фильтрации несжимаемой жидкости с многозначным законом фильтрации и задач об определении предельно-равновесных целиков остаточной вязко-пластичной нефти при наличии точечных источников. Результаты численных экспериментов, их сравнение с имеющимися точными решениями подтвердили их эффективность.
Результаты диссертации могут быть использованы при решении задач увеличения нефтедотдачи, при проектировании строительных конструкций, а также в учебном процессе - при разработке новых учебных курсов, при выполнении курсовых и дипломных работ, курсовых проектов.
Методы теории монотонных операторов (см., например, [80], [89], [93],
[98], [99], [ПО], [161], [172], [174], [219], [242], [261] - [263]), а также выпуклого анализа (см., например, [95], [102] - [108], - [107], [111], [117], [123], [150], [152], [175], [183], [197], [204], [205], [210], [217], [239], [240], [243]) оказываются весьма плодотворными при исследовании указанного круга задач, построении и исследовании методов их решения.
Остановимся вкратце на работах, близких к тематике диссертации.
Вопросам построения и исследования итерационных методов решения вариационных неравенств с монотонными, максимально монотонными, сильно монотонными операторами посвящено большое количество работ. Следует отметить, что, как правило, рассматривались случаи конечномерного или гильбертова пространства (см. [9], [88], [93], [100], [101], [108], [114], [115], [117], [120], [121], [149], [161], [162], [163], [197], [239], [242], [249]-[252], [255], [256], [260], [264]). В случае банаховых пространств отметим здесь работы [81], [90], [110].
Задачи с точечными источниками имеют многочисленные приложения. Достаточно хорошо эти задачи для специальных областей изучены в линейном случае (см., например, [109], [148], [225] и др.). Сеточные методы решения линейных задач с точечными источниками рассмотрены в работах [10]- [14]. Одним из приложений, в котором возникают такие задачи, является теория подземной фильтрации при наличии точечных источников, моделирующих скважины (см. [92], [154], [166], [218], [228]). Эти задачи играют важную роль при решении вопросов эффективной разработки нефтяных месторождений, и, в первую очередь, вопросов повышения нефтеотдачи. В случае, когда область фильтрации О, и функция, определяющая закон фильтрации, имеют специальный вид, указанные задачи имеют точные решения (см., например, [94], [132]—[134], [166], [191], [218]). В работах [116], [156], [158], [159], [178], [179], [180] в случае произвольной ограниченной области устанавливается существование
обобщенного решения стационарной задачи фильтрации с законом, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим в случае линейного роста из соболевского пространства W 2 (ty в со~ пряженное с ним, и, соответственно, рассматривается ситуация, когда функция, описывающая плотность внешних источников, определяет ли-нейный непрерывный функционал на W 2 (Р).
В [159], [178], [156] строятся и исследуются разностные схемы для указанных задач, изучаются вопросы существования и сходимости решений разностных схем и сходимости разностных скоростей фильтрации. В [116], [159], [178] предложены и исследованы итерационные методы численного решения разностных схем.
Математические модели задач стационарной фильтрации с разрывным законом рассмотрены в работах [16], [17], [78], [155], [169], [176], где, в частности, исследованы вопросы аппроксимации разрывного закона фильтрации с предельным градиентом близким непрерывным законом без предельного градиента. В [15], [83] для задач фильтрации с разрывным законом построены конечно-разностные и конечно-элементные аппроксимации и исследована их сходимость. В [173] рассматривался вариант метода расширенного лагранжиана численной реализации конечномерной аппроксимации стационарной задачи фильтрации с разрывным законом. В [17], [18], [78], [82], [84] рассматривались итерационные методы типа Удзавы и методы, основанные на использовании расширенного лагранжиана для решения задач фильтрации с разрывным законом.
Некоторые вопросы теории разностных методов для нестационарных задач теории фильтрации в случае разрывного закона фильтрации с предельным градиентом рассмотрены в работах [170], [180]—[182], [200], где
математическая модель процесса нестационарной фильтрации формулируется в виде параболического вариационного неравенства, исследуются вопросы существования и единственности решения, регуляризации разрывного закона близким непрерывным, строятся и исследуются разностные схемы.
Описанию задач теории мягких оболочек, построению приближенных методов их решения, анализу результатов численного моделирования посвящена многочисленная литература (см., например, [4]-[6], [126], [127], [207]-[209], [224]-[235], [254]). Одномерные задачи теории мягких оболочек рассматривались в [112], [118], [189]. Плоская задача о равновесном положении нити под воздействием нагрузки и ограниченной в расположении полуплоскостью поставлена в виде вариационного неравенства в [85]. Там же установлено существование решения этой задачи. В работе [122] предлагается математическая модель и доказывается теорема существования для одной одномерной нелинейной нестационарной задачи теории мягких оболочек. В [96] построена модель сетчатой конструкции в рамках теории безмоментных оболочек. В работах [128]—[130] исследована корректность линеаризованных моделей сетчатых оболочек, находящихся в двухосном состоянии, предложены и исследованы методы их решения. В [233] для одномерной задачи теории мягких оболочек без препятствия и при других условиях на функцию, определяющую физические соотношения, получены теоремы существования.
Диссертация состоит из введения и четырех глав.
В первой главе проведено исследование итерационных методов решения вариационных и квазивариационных неравенств в гильбертовых и банаховых пространствах, установлены критерии слабой сходимости итерационных последовательностей. Естественно, что при использовании этих методов для решения аппроксимирующих задач, получается
сходимость последовательностей в нормах конечномерных пространств. Численная реализация рассмотренных итерационных процедур сводится к решению сеточных уравнений и неравенств, теория которых хорошо развита.
Рассмотрены смешанные вариационные неравенства с обратно сильно монотонными, вообще говоря, не потенциальными операторами и собственными выпуклыми полунепрерывными снизу функционалами. Для решения неравенств предложены методы расщепления, в основе которых лежат применяемые в потенциальном случае идеи двойственности с использованием расширенного лагранжиана. Отметим, что в отличие от ранее предлагаемых алгоритмов, рассмотренные итерационные процессы не требуют обращения операторов, входящих в вариационные неравенства. Исследование сходимости методов основано на применении результатов теории нерастягивающих отображений.
В заключение предложен итерационный метод решения квазивариационных неравенств в банаховых пространствах с псевдомонотонным, потенциальным, коэрцитивным оператором. Каждый шаг этого метода сводится к решению вариационного неравенства с оператором двойственности, который обладает лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором. Получены критерии сходимости итерационного процесса.
Отметим, что далее, в четвертой главе диссертации, эти итерационные методы применены для решения рассматриваемых в диссертации задач теории фильтрации и теории мягких сетчатых оболочек.
В 1 первой главы рассматривается задача поиска такого элемента и Є V, что
(Ли, г)-и)у + Ф (Лт?) - Ф (Аи) + F(tj)-F (и) >
>(f,r]-u)v Vt/єУ, (0.1)
где V, Я - гильбертовы пространства, отождествленные со своими сопряженными (соответственно (v)vj (v)# - скалярные произведения); Л : V —> Я-линейный, непрерывный оператор, F : V —* R1, Ф : Я —> R1
собственные, выпуклые, полунепрерывные снизу функционалы, / Є V
заданный элемент, А : V — V - монотонный оператор.
В случае, когда оператор А является потенциальным (с потенциалом Fa), один из подходов к построению методов решения вариационного неравенства (0.1) основывается на идеях двойственности и сводится к задаче поиска седловой точки модифицированной функции Лагранжа (см., например, [117], [249], [260]) с последующим применением алгоритма поиска седловой точки.
Следуя этому подходу, введем модифицированный лагранжиан Lr : V х Я х Я — R1 по формуле
Lr{u, у, X) = 1г(и, у, А) + F(u) + Ф(у),
lr(u,y,\) = FA(u)-(f,u)v + (\,Au-y)H + -\\Ku-y\\H.
При этом имеем
VJr{u,y,X) = Аи - f + А*\ + гА*(Аи - у),
Vy lr(u, у, А) = -Л + г(у - Аи), Vxlr(u,y,\) = Au-y. Здесь Л* : Я —» V - сопряженный к Л оператор:
(Ь*У,г))у = (уЛг))н Vt/ЄЯ, VrjGV. (0.2)
Для отыскания седловой точки функционала Lr можно использовать следующий итерационный процесс.
Зададим г > 0 и г > 0. Пусть и Є V, у Є Я и А(0) Є Я -произвольные элементы. Для к = 0,1,2,..., зная у(к\ \(к\ определим w(*+i) как решение вариационного неравенства
і (W(fc+1) - u<*>, ry -1*<*+1>) + (v„ іг(и<*>, У(*\ A<*>), 77 - W(fc+1)) +
+F(rj) - F(ti<H1>) > 0 УтуєУ". (0.3)
Затем находим y(fc+1), решая вариационное неравенство
(v^(^+1),/+1),A(fc)),^-/+1))7f +
+Ф(г) - Ф(у{к+1)) > 0 УгеЯ. (0.4)
Полагаем, наконец,
Л(*+і) = Л(*) + r Va /r(tt(Hi) f y(*+i) f Л(*)) (0.5)
Нами этот итерационный процесс применяется к решению вариационного неравенства (0.1) без предположения о потенциальности оператора А с использованием приведенных выше формальных выражений для
Vulrj Vylrj »А*г«
Исследование сходимости этого метода опирается на представлении его в виде метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора Т: VxHxH—>VxHxH, ставящего в соответствие произвольному вектору q = (qi, ft, <7з) = (и, у, А) элемент Tq = (Ті q, Т2 q, T3 q) следующим образом:
Ті q = Ptf (
Т2д = Рі/гФГлТід + г-1ф V T2q = qz + r (ATiq-T2q),
где через Pv : У —> У обозначено проксимальное отображение с функционалом <р:
P
так что итерационный процесс (0.3) - (0.5) записывается в виде
q(k+i) _ Tq(k)^ q(0) еу хНхН- произвольный элемент, (0.6)
где qW = (#), y(fc), Д<*)), к = 0,1,2...
Установлена связь между множеством решением задачи (0.1) и множеством неподвижных точек оператора Т:
Теорема 0.1. Точка q = (и,у,Х) является неподвижной точкой оператора Т в том и только том случае, когда выполнены условия
у = Аи, Л Є дФ(у), -Л* А є dF{u) +Au-f;
при этом первая компонента и любой неподвижной точки (и, у, А) оператора Т является решением задачи (0.1).
Теорема 0.2. Пусть существует решение задачи (0.1), и выполнено условие:
By* Є A(domF) П domФ : lim Ф(у) = Ф{у*).
у-^у*
Тогда множество неподвижных точек оператора Т не пусто.
На прямом произведении пространств VxHxH введена следующая билинейная форма:
(1-тг) 1
(р, q)q = —-— (рь qi)v + r (Р2, Q2)h + - (рз, дз)я >
определяющая, при условии тг < 1, скалярное произведение. Пространство с этим скалярным произведением обозначено через Q.
В дальнейшем предполагается, что оператор А является обратно сильно монотонным с константой а > 0, то есть
(Au-Arj,u-r))v>a\\Au-Ar]\\l \/u,t)EV.
Исследование сходимости итерационного процесса (0.6) опирается на следующий результат о свойствах оператора перехода Т:
Теорема 0.3. Пусть оператор А является обратно сильно монотонным с константой о > О, оператор Л* о Л является каноническим изоморфизмом, и выполнено следующее условие:
Т <
(0.7)
Тогда оператор Т является нерастягивающим.
Более того, для произвольных q = (qi,q2,qz) up = (рі,Р2,Рз) из Q справедливо неравенство
||(1 -rr)(fei -Tig) - (pi -)) -г {Aqi -APiWv < <\\Q-P\\2Q,
- 2сг-т(2аг+ї)
\\Tq-Tp\\l + 6(Aq1-Aphql-pl)v + r\\(q2-ATlq)-(p2-AT1p)\\2H +
1 - * - - ,2
т(1 — тг)
сг(1—тг) Теорема 0.4. Пусть выполнены условия теорем 0.2 и 0.3, итерационная последовательность {я^}к=0 построена согласно правилу q(k+i) — Tq^k\ q() є Q - произвольно заданный элемент. Тогда эта последовательность сходится слабо в Q при к —> +оо, ее предел q* является неподвиоісной точкой оператора Т, и справедливы равенства
(fc+1) _ Jk)
y(k) _ Au(k)
fc-++oo
= 0.
= 0, lim
Я fc—>+оо
В 2 первой главы рассмотрена задача поиска и ЄУ такого, что (Аи, г} - u)v + (Л* о В о А(и),г) - и)v +
+G (Ату) - G (Ли) + F(rj) - F{u) > 0 Vt)V, (0.8)
где Л : V —> Н - линейный, непрерывный оператор, В : Н —> Н и А : V —> V - монотонные операторы, F : V -+ R1 u G : Н -> R1
- собственные, выпуклые, полунепрерывные снизу функционалы, Л*: Я —> V - сопряженный к Л оператор.
Для решения этого вариационного неравенства предложен следующий итерационный процесс. Зададим та > О, тв > 0 и г > 0. Пусть и^ Є V, т/) Є Я и Д() Є Я - произвольные элементы. Для к = 0,1,2,..., зная у(к\ \(к\ определим и^к+1^ как решение вариационного неравенства
Та V /V
+ (Ай + А* \{к) + г Л* (Лг*Ю - у<*Л , 77 - u(*+1)) + +Ffa) - F(u{k+1)) > 0 Vr? Є V. Затем находим у^к+1\ решая вариационное неравенство
^(y(k+1)-y(k\z-yW)H + + (By - А<*>) - г (Wfc+1> - yW) , г - /+1>) +
+ед - с(/+1)) > о vzeh.
Полагаем, наконец,
А('+1) = А« + г(ли(*+1»-/+1»)
(0.9)
(0.10)
(0.11)
Так же, как и в 1, вводится оператор T:VxHxH—>VxHxH, ставящий в соответствие вектору q = (qi, q2, (7з) = (и, У, А) элемент Tq = (Tig, T2q, Тзд) следующим образом:
Tiq = PTAF( qi-TA
Aqi + A*q3 + rA*(Aqi-q2)
T2q = PTBG[ qi-тв
Bq2 ~q3 + r(q2- ATxq) T3q - Яз + r (ATiq - T2q). 14
При этом итерационный процесс (0.9) - (0.11) можно записать в виде
(0.12)
q^ — произвольный элемент
q(k+i) = Tq(k) ^ 9(*) = (tt№ уЮдЮ), = 0,1,2...,
Теорема 0.5. Точка q = (и, у, А) является неподвиоюной точкой оператора Т в том и только том случае, когда выполнены условия:
у = Аи, Л є dG(y) + By, -Л* А є OF {и) + Au;
при этом первая компонента и любой неподвижной точки оператора Т является решением задачи (0.8).
Теорема 0.6. Пусть существует решение задачи (0.8), и выполнено условие:
Зу*еА (domF) HdomG : lim G(y) = G(y*).
y-*y*
Тогда множество неподвижных точек оператора Т не пусто.
Теорема 0.7. Пусть множество неподвиокных точек оператора Т не пусто, операторы А, В являются обратно сильно монотонными с постоянными и а, о~в и выполнены условия
2 аа 2 ив
2aAr + V 'а " 2aBr + V
итерационная последовательность {q^}k=0 построена согласно (0.12). Тогда эта последовательность сходится слабо Kq* eQ при к —> +оо, q* является неподвижной точкой оператора Т, и справедливы равенства
lim.
fc->+00
уМ _ АиМ
= 0, lim
Я fc-»+oo
g(*+l) _ q(k)
= 0.
В 3 первой главы рассмотрена задача поиска элемента и Є М С V, являющегося решением следующего квазивариационного неравенства:
(Au,r)-u)>{f,r)-u) Уг]ЄМ(и), 15
(0.13)
где V - рефлексивное банахово пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным V*, || ||у - норма в У, (,)- отношение двойственности между V и V*, М - слабо замкнутое, вообще говоря, не выпуклое подмножество V; каждому элементу и Є М сопоставлено выпуклое, замкнутое множество М(и) С М, / є V* - заданный элемент, А : V —» V*
- псевдомонотонный, потенциальный, коэрцитивный оператор, удовле
творяющий условию:
\\Au-Av\\v*
где R = max{||w||v, ||u||y}j /і - неубывающая на [0,-foo) функция, Ф
- непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функция, такая, что
Ф(0) = 0, Ф () -> +оо при f -»- +00.
Относительно множества М(и) считается, что и Є М(и), и выполнено условие: пусть последовательность {и^} С М слабо сходится к элементу и (в силу слабой замкнутости М элемент и принадлежит множеству М), тогда для произвольного элемента rj Є М(и) найдется такая последовательность {г}^}, г)^ Є М(и^), что: limjb_»+00 г]^ = г], т.е. многозначное отображение и —> М(и) полунепрерывно снизу.
Для решения задачи (0.13) предложен следующий итерационный процесс, позволяющий свести ее к вариационному неравенству с оператором двойственности вместо исходного псевдомонотонного оператора.
Пусть задан произвольный элемент v№ Є М. Для к = 0,1,2,..., определим u^k+V) Є М(и^) как решение вариационного неравенства:
(J(uW-uW),v-v,W)>
> т(/ - Аи{к) .v — и <ж)) VveM(u{k)), (0.15)
где г > 0 итерационный параметр, J : V —> V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф. Доказана
Теорема 0.8. Пусть М - выпуклое множество, и выполнено условие
О < г < min{l, l//i0}, /хо = МЯо + Ф-1(#і))> (0Л6)
где Rq = sup \\u\\v, R\ = sup ||Лгі-/||у*, So = {и Є M : F(u) ^ F(uo)}.
Тогда итерационная последовательность {u^k'}, построенная согласно (0.15), ограничена eV, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (0.13).
Функционал F : V —» R1, участвующий в формулировке теоремы, определен соотношением
і F{u) = FA{u) - и), FA(u) = j {A{tu),u)dt,
0 и из его коэрцитивности вытекает, что До < +оо, а из ограниченности оператора А следует, что R\ < +00. Таким образом, 0 < //о < +оо, то есть итерационный параметр в (0.16) определен корректно.
Вторая глава посвящена исследованию математических моделей процессов установившейся фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации, в произвольной ограниченной области при наличии точечных источников. Рассматриваются случаи как непрерывного, так и многозначного законов фильтрации. Предполагается, что функция, определяющая закон фильтрации, имеет линейный рост на бесконечности.
В случае, когда область фильтрации и функция, определяющая закон фильтрации, имеют специальный вид, указанные задачи в рядом авторов исследовались на основе преобразований типа годографа области и методами теории струй.
В случае произвольной ограниченной областив ряде работ устанавливается существование обобщенного решения стационарной задачи с
законом фильтрации, задаваемым функцией, имеющей степенной (в том числе и линейный) рост на бесконечности. При этом обобщенные задачи формулируются в виде уравнений или вариационных неравенств с оператором, действующим в случае линейного роста из гильбертова Соболевского пространства в сопряженное.
В настоящей главе проведено исследование нелинейных задач фильтрации с менее гладкой правой частью: в неодномерном случае дельта-функция Дирака, моделирующая точечный источник, не принадлежит указанному сопряженному пространству. Обойти эту трудность удалось благодаря аддитивному выделению особенности, связанной с дельта-функцией.
В 1 второй главы рассматривается стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному закону фильтрации
v = -д( | Vw |) | Vw Г1 Vw, (0.17)
где v - поле скоростей фильтрации, w - поле давления жидкости. Фильтрация происходит в ограниченной области Qc.Rn,ft>2c липшиц-непрерывной границей Г, на которой давление считается равным нулю, при наличии точечного источника с интенсивностью q в начале координат (считаем, что начало координат - внутренняя точка Q). Указанный процесс фильтрации описывается следующей краевой задачей
-divv(x) = q5(x), xfi, (0.18)
w(x) = 0, хєГ. (0.19)
Считаем, что функция д, определяющая закон фильтрации (0.17), пред-ставима в виде:
Ф) = {\ -S (0.20)
I 9o{s -so), s> s0,
so > 0 - заданное число (случай So > О соответствует закону фильтрации с предельным градиентом so), функция #о '> [0,+оо) —» Я1 строго возрастает, до(0) = О,
go{s)-go(t)>k(s-t) Vs>t>s*,
\9o(s)-9o{t)\
Под обобщенным решением задачи (0.18), (0.19) понимается функция
О /IN
w Є\ і (^) такая, что выполнено следующее вариационное равенство
f(G(Vw(x)), Х?ф)) dx = qr]{0) У г] Є С0(П), (0.22)
где оператор G : Rn —> Rn определен по функции д следующим образом:
G(j,) = j «I»!"1»' v*b (0.23)
При исследовании задачи (0.22) использован частный случай этой задачи при
Q = Вг = {х Є Rn : \х\ < г}, T = Sr = {xeRn: \х\ = г}\
найти w EWi\Br):
f{G(Vw{x)),Х7ф))dx = qr}{0) V77 Є С0(БГ). (0.24)
Решение задачи (0.24) определено в явном виде:
Г -L-T
wr: В
Rl, wr(x) = рг(|х|)||, р,.W = У Л ( J|_) «, (0.25)
где G\ = mesSi, h(s) = ho(s) + so, функция До является обратной к до.
Далее г выбирается достаточно большим, так, чтобы выполнялось включение 1 С Вт , и, поскольку 0 является внутренней точкой Q,,
то существует такое є > О, что Г с Д. \ В. Установлено, что wr 6 W\ (0\Б), а значит, найдется функция юг Є W^ (О), для которой выполнено условие
wr(x) = -wr(x) ,хєГ. (0.26)
Решение задачи (0.22) ищется в виде w = wr + wr + щ где
О f-i\
U Є - неизвестная функция. Поскольку Cq}(Q) Q Co(.Br),
то задача (0.22) сведена к следующей:
найти и ЄУ : [{G{V(wr + wr + u))-G(Vwr)yri)dx = 0 V77 Є C0(Q). (0.27)
Для исследования задачи (0.27) определен оператор А : V —> V,
(Аи, r])v= (G(V(wr + wr + и)) - G(Vwr), V77) dx % r\ Є V, n
где (, -)y - скалярное произведение на V".
Установлено, что при выполнении условий (0.20), (0.21) оператор А является обратно сильно монотонным с постоянной a = 1/L и коэрцитивным, и, поскольку задачу (0.27) можно записать в виде уравнения Аи = 0, то на основе результатов теории уравнений с монотонными операторами получено существование решения задачи (0.22).
В 2 главы 2 рассмотрена стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости при наличии внешних источников, в том числе точечных с интенсивностью qi, сосредоточенных в точках х^г\ г = 1,2,.. .т. Фильтрация происходит в ограниченной области О, С Rn, п > 2, с липшиц-непрерывной границей Г = TilJ^ (Г1РІГ2 = 0, mesTi > 0, на Гі давление считается равным нулю, Гг - непроницаема). Поле скоростей фильтрации v(x), х Є О, определяется по полю давлений w в
соответствии с законом (0.17), (0.20), (0.21), описанным в предыдущем параграфе. Краевая задача имеет следующий вид:
-&vv(x) = 5^ф<*(я - ж(і))+ / (ж), х Є П, (0.28)
»=і
гу(ж) = 0, ж Є Гі, {v(x), v(x)) = 0, x Є Г2, ^ — внешняя нормаль ,
(0.29)
предполагается, что / порождает линейный и непрерывный функционал
/надИ41}(П).
Под решением задачи (0.28), (0.29) понимается такая функция
w Є W[ (ft), что w(x) = 0, х Є Гі, что выполнено следующее равенство
(G(Vw(x)),Vr)(x))dx = ]>]дгф(і))+
a i=l
+ f (x)r)(x)dx V77 Є C(fi), (0.30)
где G - оператор, определенный в (0.23), а через Cj?(ft) обозначено множество бесконечно дифференцируемых в О, функций, равных нулю в окрестности IY
По аналогии с 1 рассмотрены следующие задачи для і = 1,2,..., m:
найти w^EW^iBi):
f(G(VwP(x)), Vr)(x)) dx = дф) Уг] Є С^(В% (0.31)
w?{x)=u I hi^)^ (0-32)
где В\ = Br(x^), Br(x) = {z Є Rn : \z — x\ < г}. Решения этих задач имеют вид
\х-хЩ
Далее г выбрано достаточно большим, так, чтобы выполнялись включения Q, С Вгг, г = 1,2,..., ш, и, значит, определена функция:
= 5^w>W(a;),2;Gfi. (0.33)
г=1
Так как попарно различные точки х^г\ г = 1,2,... га, являются внутренними точками Г2, то существует такое є > 0, что В\ f] В{ = 0 при г ^ j, и
ГP| 5g = 0 для любого г, следовательно, wr Є W2 (Q\B), В = М Б*, и,
г=1
таким образом, найдется функция wr, для которой выполнены условия
-wr(x), x Є Гі. (0.34)
Решение задачи (0.30) ищется в виде w = wr + wr + и, где и Є V - неизвестная функция, V = {ц Є W^itt) : ф) = 0, х Є Гі}, относительно которой, с учетом равенств (0.31), сформулирована задача:
G(V(wr + wr + м)) - Y,G(Vw),Vri dx
*=i
= Jf(xWx)dxVr]eC?i(n). (0.35)
Далее определен оператор A : V —» V формой (Au,7])v = f ( G(V(«v + wr + «)) - J2 GWWP)> Vrf) dx> (-36)
и задача (0.35) записывается в виде уравнения: Au = /.
Доказано, что оператор А является обратно сильно монотонным и коэрцитивным, и, на основе этих свойств, установлено существование решения задач (0.35), (0.30) и единственность скорости фильтрации.
В 3 второй главы рассмотрена задача фильтрации (0.28), (0.29) в предположении, что жидкость следует многозначному закону фильтрации
-«(а?) Є (№W^P Vw(x), хе ft. (0.37)
|Vw(a:)|
Считается, что многозначная функция д может быть представлена в виде:
g(s) = g(s) + eH(s-p), s>0, (0.38)
где функция д удовлетворяет условиям (0.20), (0.21), Я определена по
формуле
H(s) = I
'О, s < 0,
[0,1], 5 = 0, (0.39)
1, s > 0, 9>Ovl/3>So- заданные числа, (so - константа из (0.20)).
Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону (0.37), при наличии точечных источников интенсивности qi понимается функция (поле давления) w Є W[ (fi), w(x) = 0, х Є Гі удовлетворяющая вариационному неравенству
[(G{Vw(x)),Vr)(x)) dx+
Л-в J [<р(\Ш*) + Ф))\-ІЇ-*(\Чф)\-0)} dx > n
> х>ф(0) + / / c^wdx v??є ^), (-4)
где оператор G определен в (0.23), а функция
является субпотенциалом многозначной функции Н:
( 0, s < 0, ф) =
{ s, s > 0,
Пусть, далее, функции гиг, iyj , г = 1,2,... т, іуг заданы согласно (0.33) и (0.34), пространство V определено так же, как и в 2 главы 2.
Решение задачи (0.40) ищется в виде w = wr + Wr + и, где и Є V -неизвестная функция, и, с учетом равенств (0.31), задача (0.40) сводится к следующей:
найти и є V : / G(V(wr + wr + и)) - ^ C?(Vto^), V?7 cfo+
n - i=1
+0
> //7? da; VtjgC^). (0.41)
n Введены в рассмотрение функционал Ф : Y = [і2(ІЇ)]п —> R1, оператор Л:У->7и сопряженный к нему Л* : Y —» V по формулам
40 = 0 J
Q,
A(u) = Vu, (A*(0, u)v = У К, Vu)dx \/ueV,e Y,
n где (x) = Кі(ж), 6(ж), . - п(ж)), 6 Є L2(Q), г = 1,2,... п.
Установлено, что функционал Ф, определенный в (0.42), конечен на всем пространстве, является выпуклым, липшиц-непрерывным и, следовательно, всюду субдифференцируемым. Доказано, что для каждого у Є дФ() С Y существует такая функция \у> чт0 Для почти всех х из О, выполнены равенство
v(x) = у (х)УЫ*) + Мх)) + № ,„ 43)
и включение
Ху(х) Є 0Я(|УК(я) + «*(*)) + (ж)| ~ /?) (0-44)
Здесь принято соглашение, что для случая z = 0 вектор z/\z\ является некоторым элементом единичного шара В\ = {Ь Є Rn : \b\ < 1} .
Далее задача (0.41) записана в виде эквивалентного вариационного неравенства:
найти и V :
(Аи, r)-u)v + Ф(Ат]) - Ф(Аи) >(f,r)-u)v Уг]ЄУ (0.45)
с оператором А, определенным в (0.36), линейным и непрерывным функ-ционалом / над V, порожденным функцией /, и доказана
Теорема 0.9. Пусть выполнены условия (0.20), (0.21). Тогда:
Множество решений задачи (0.45) не пусто, выпукло и замкнуто.
Задача (0.28), (0.29), (0.37) имеет решение в следующем смысле:
найдется такая пара функций w Є W\ (Q) : w(x) = 0, x Є Гі и
v Є [Li(Q)]n; что выполнено почти всюду на О, включение (0.37), и имеет место равенство:
/ (v(x), Vrj(x)) dx =
ХУ(* - *(i))+7 м
r)(x)dx VrjeC^ity. (0.46)
.і=і
Более того, решение w имеет следующий вид w = wr + wr + и, где и -некоторое решение задачи (0.45) .
3) Для любых решений w\, W2 задачи (0.28), (0.29), (0.37) в смысле п. 2 настоящей теоремы справедливы соотношения G(Vw\) = G(Vw2),
СІ* = Сі* = Clo с точностью до множества меры нуль,
где Cl* = {xe(l: \Vrj(x)\ > s0].
В третьей главе рассмотрены пространственные задачи о равновесном состоянии мягких оболочек, находящихся под воздействием внешних нагрузок и ограниченных в перемещении препятствием.
С точки зрения приложений важную роль играют контактные задачи. В случае мягких оболочек сложность этих задач возрастает в связи с сильной формоизменяемостью этих оболочек. Следует отметить, что наличие препятствия приводит к необходимости использовать при математическом описании этих задач квазивариационные неравенства.
В первом параграфе, исходя из уравнений равновесия, записанных в декартовой системе координат, сформулирована дифференциальная задача. Затем на основе принципа виртуальных перемещений получена вариационная формулировка. При условии достаточной гладкости решения установлена эквивалентность указанных задач.
Затем рассмотрен случай мягкой сетчатой оболочки, силовой основой которой являются два семейства взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких упругих нитей. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными. Нити, образующие разные семейства, могут описываться разными физическими законами. В предположении степенного роста функций, задающих физические соотношения в нитях, поставлена обобщенная задача в виде квазивариационного неравенства в банаховом пространстве и установлена ее разрешимость.
Для задачи с препятствием выпуклой формы установлены свойства множества допустимых перемещений, позволяющие использовать предложенный в 3 главы 1 итерационный метод для решения квазивариационных неравенств.
Наконец, рассмотрена задача с выпуклым допустимым множеством (с препятствием вогнутой формы) при наличии следящей поверхност-
ной нагрузки. При этом обобщенная задача сформулирована в виде вариационного неравенства. Получены критерии существования решения обобщенной задачи.
В 1 третьей главы рассмотрена пространственная задача о равновесном состоянии мягкой оболочки при условии, что поверхность препятствия описывается достаточно гладкой функцией. Введена декартова система координат (х\, х% х^). Считается, что в недеформированном состоянии оболочка может быть описана поверхностью:
где a = (ai,a2) Є СІ - лагранжевы координаты, СІ - ограниченная область из Я2 с непрерывной по Липшицу границей Г; предполагается, что функция удовлетворяет условиям:
Є [Сі(П)]3 , I Щ(а), ад(а)] | > о 0 Va є Й.
Через го (а) = (wi(a), W2{a), ws(a)) обозначена функция, описывающая поверхность оболочки в деформированном состоянии, G(a) = \[diw(a),d2w(a)]\ - дискриминант метрического тензора поверхности деформированной оболочки.
Здесь использованы обозначения: дк = д/до.^ к = 1,2; [,], (,) и | | - векторное, скалярное произведения и норма в В? соответственно.
Известно, что уравнение равновесия оболочки, находящейся под воздействием внешних сил, в декартовой системе координат имеет следующий вид:
Y, dm{VGTkmdkw) + VGP + VG^Q = 0, (0.47)
k,m=l
где Р, Q - вектора плотности соответственно поверхностной и массовой нагрузок, 7 ~ плотность материала оболочки в деформированном состоянии, Ткт - ковариантные компоненты тензора напряжений:
T = ]Cfc,m=i TkmRkRm , Rk(o:) = dkw{a) - вектора, образующие ковари-антный локальный базис на деформированной поверхности.
Предполагается, что расположение оболочки в пространстве ограничено препятствием, а края оболочки закреплены: 10(01,02) = (0:1,0:2), (0:1,02) Є Г.
Взаимодействие препятствия с оболочкой учтено путем внесения в уравнение (0.47) дополнительной поверхностной нагрузки Ро ~ плотности силы реакции препятствия:
D(w) + VGPo = 0,
D(w)= Y, dm{VGTkmdkw) + VGP + VG^Q. (0.48)
k,m=l
Во введенной декартовой системе координат поверхность препятствия задается в виде х% =
Предполагается также, что материал препятствия абсолютно твердый, а его поверхность - абсолютно гладкая, т.е. препятствие, при воздействии на него, не деформируется и порождает усилия только в направлении внешней нормали к своей поверхности. Тогда плотность силы реакции препятствия можно представить в виде Ро(а) = (3(a)N(w(a)), где (3 : U —» R - неизвестная функция, удовлетворяющая условиям:
(5(a) > 0, а Є I(w) = { оє U : w3(a) = F(w(a))}; (0.49)
P(a) = 0,aer(w) = {aeU: w3(a) > F(w(a))}. (0.50)
Здесь F(a;i, ^2,^3) =
N(xhx2,Xz)="{*hX2\.,xR\ (0.51)
v = [ти ъ], ті = (1,0, ді(р(хи х2)) , т2 = (0,1, d2(f(xh х2)).
Задача о равновесном положении закрепленной по краю мягкой оболочки, находящейся под воздействием нагрузки и ограниченной в пространстве абсолютно твердым и гладким препятствием, сведена к поиску функций w ЄМ и /3, удовлетворяющих уравнению
D{w(a)) + у/Ща)Р(а) N(w(a)) = 0, аеП, (0.52)
и условиям (0.49), (0.50), где
М= {v:tt^R\ v3(a) > F{v(a)), а ей, v\r = |г} , (0.53)
М - множество допустимых конфигураций оболочки, состоящее из функций описывающих поверхности, находящиеся "над препятствием". Далее осуществлен переход к вариационной формулировке этой задачи:
найти w ЄМ : / {D(w(a)),r)(a))da <0 Уг)ЄМ(іп), (0.54)
~ /~\ где М {w) - множество допустимых направлений из произвольного по-
ложения оболочки weM, достаточно малый сдвиг по которым из w при-
надлежит М-
(w) = (v:l-+R3,3sv>0',w+sveM Vse[0,sv]}. (0.55)
Установлено, что решение w задачи (0.52) и (0.49), (0.50) является решением задачи (0.54), а при соответствующей гладкости - решение w задачи (0.54) и функция
\D(w(a))\ 0
\[diw{a),d2w{a)}\
построенная по w, удовлетворяют уравнению (0.52) и условиям (0.49), (0.50).
В 2 третьей главы рассмотрена задача с препятствием о равновесии мягкой сетчатой оболочки. Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой является сетка, образованная двумя системами взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких упругих нитей. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными.
Лагранжевы координаты (а1, а2) выбраны так, что координатные линии сонаправлены с нитями, образующими оболочку. Через t\,t2 : R+ —» R+ обозначены функции, характеризующие физические свойства нитей, через рк : ^ —> R+ - количество нитей, сонаправленных с ак-& координатной осью, на единицу длины ак*-& координатной оси в недеформированном состоянии (к = 1,2, к* = 3 — к). Эти функции определены конструкцией сетчатой оболочки, и предполагается, что они удовлетворяют условиям:
tk Є C(R+), tk{s) = 0 при s < 1 (то есть нити не воспринимают сжимающих усилий), tk{s) - строго возрастает при s > 1,
существуют такие Cq, Сі, С > О, р\,Р2 > 1, что
c0sPk-a^tk(s)s^CsPk,
Рк Є C(U) и существует О 0, что pfc(cc) > о 0 для всех си ей .
Для сетчатой оболочки, поскольку считается, что ячейка сети не оказывает сопротивления повороту нитей в узлах скрепления, и в силу выбора лагранжевой системы координат для компонент тензора напряжений выполнены равенства:
1 = 1 , V G1 = j-r—: ркдк*, гдеgk = I Ok |, /г = 1,2.
Задача сформулирована в перемещениях: искомой выбрана вектор-функция и{а) = w(a) — (а), а Є U, где w, - соответственно нагру-
женное и начальное положение оболочки. Введено пространство
V =
WMUP2 (П)
,с нормой ||v||v = || |ад И г + || \д*)\ || г . (0.56)
Для рассматриваемого случая уточнены определения множеств (0.53), (0.55):
M = {veV: &(а) + г/3(а) > F((a) + и(а)) п. вс. на Щ , (0.57)
М(и) = {v Є М : Vs Є [0,1], и + s(v - и) Є М}.
Поверхностная нагрузка предполагается равной нулю: Р = 0. Плотность массовых сил Q : Q —» Л3 считается известной. В силу закона
сохранения массы имеем: vC?7 = |[^(а)>^С(а)]| 7, гДе 7: ^ —> Д -заданная плотность материала недеформированной оболочки. Относи-
о _ _ g о _
тельно Q и 7 считаются выполненными условия: Q Є {С(І)\ , 7 Є С(2);
о _
7 (а) ^ с > 0, а Є 1 Вариационная задача (0.54), в силу выше сделанных предположений, приводит к следующей задаче:
найти к Є М : / ^iV*^ ^Шї + w)> ft (* ~ w» <*<* >
> f{\ Ш,д2\ \lQ,v-u)da Vv Є M(u). (0.58)
n Далее определены операторы A,Ak : V —> F* и функционал / Є У*
формами:
А ЕЕ Лі + Л2 ,
(Aku,v) = / —. , ' pkgk*{dk{ + u),dkv)da, к = 1,2, n
(f,v) = J(\№M\\4Q,v)da, (0.59)
и с учетом этих обозначений обобщенная задача (0.58) сформулирована в виде квазивариационного неравенства:
найти ивМ : {А (и), v-u)>(f,v-u) Vv Є М(и). (0.60)
Установлено, что оператор А хеминепрерывен, монотонен, коэрцити-вен и потенциален. С учетом этого на основе результатов теории нелинейного функционального анализа доказано, что задача (0.60) имеет решение.
В 3 третьей главы функция (р, описывающая поверхность препятствия, считается вогнутой на всей области её определения:
(f(\(xh х2) + (1 - \){хъ х2)) >
>\<р(хі,х2) + (1-\)ір(хі,х2)Ч{хих2) Є Я2, УАє[0,1],
и, таким образом, множество Д^, = [х В? : х$ < ір(хі,х2)}, которое можно считать, без ограничения общности, препятствием, является выпуклым и замкнутым.
Дифференциальной задаче (0.52), (0.49), (0.50) сопоставлена вариационная задача (0.60) с множеством допустимых направлений
M(v) = {rjeV : g(a) + т](а) - Pv(a), N(Pv{a))) > 0, а Є О} , (0.61)
где оператор iV : Л3 -» Я3 задан в (0.51), функция Pv = {Р?,Р%,Р%) : Q —* А<р определена по v Є М:
Pv(a) = P((a) + v(a)) для а є О, (0.62)
при помощи оператора проектирования Р на множество Д^
Р: Л3 -> Д^, Р(х) = argmin |ж —г|.
zeAv
Множество M(v) является выпуклым и замкнутым подмножеством
м.
Далее, в этом параграфе, предполагается, что С1 является звездной областью, то есть существует внутренняя точка а* такая, что для любого единичного вектора є Є R2 выполнено условие:
a* + te Є Q при 0 < t < te,
3 U > 0 : I а* + te Є Г при t = te, (0.63)
a* + te
Для достаточно малого є определена функция в: 1 —> R1,
0е(а) = в(а* + te) = 1 f _ _ е , j064j
[ — і + te при te — є
— Q
В предположении компактного вложения пространства V в [Ci(fi)] доказана
Лемма 0.1. Пусть последовательность {vn\n=\ из М слабо сходится KveV. Тогда для произвольной функции w из M(v) существует такая константа ew > 0, не зависящая от п, что для всякого є Є (0,ew] найдется номер п, начиная с которого выполнено включение w Є M(vn), где w — и) + вез, ез = (0,0,1), функция в определена согласно (0.64).
Эта лемма используется при доказательстве следующего результата, позволяющего обосновать сходимость предложенного в 3 главы 1 итерационного метода для рассматриваемой задачи теории сетчатых мягких оболочек.
Теорема 0.10. Пусть последовательность {vn}n=i из М слабо сходится к v в V при п —» +оо. Тогда многозначное отображение v —> M(v) является полунепрерывным снизу, т.е. для произвольной функции w из M(v) найдется такая последовательность {wn}, что
wneM(vn), n = l,2,3,..., lim \\wn - w\\v = 0.
n—*+00
В 4 третьей главы рассмотрена задача теории мягких сетчатых оболочек с выпуклым допустимым множеством при наличии следящей поверхностной нагрузки.
Функция <р, описывающая поверхность препятствия, считается выпуклой на всей области её определения:
р(А(жь х2) + (1 - A)Oi, х2)) <
< \фі,х2) + (I - \)фъХ2)У{хих2) Є Я2, УАє[0,1],
и, таким образом, множество М, определенное с помощью (0.57), является выпуклым и множество M{v) совпадает с М.
Задача рассматривается при наличии поверхностной нагрузки Р интенсивности q* в случае, когда показатели степенного роста функций, характеризующих физические свойства нитей, удовлетворяют условию
min{pi,p2} > 2.
Обобщенная задача сформулирована следующим образом:
найти и Є М :
(A{u),v -u)-q* {В(и), v-u)>(f,v-u) \/veM, (0.65)
где оператор А и функционал / определены в (0.59), оператор В : V —> V* (пространство V задано в (0.56)) определен формой:
{Bu,v)= /([ft(u + Q,u(u + 0],v)(to Vu,vgV. о. Установлено, что оператор В секвенциально слабо непрерывен, пседомо-
нотонен и ограничен. Эти свойства оператора В, а также установленные ранее свойства оператора А применены для получения критериев разрешимости задачи (0.65).
В четвертой главе проведено построение и обоснование приближенных методов для решения рассмотренных в диссертации задач теории мягких оболочек и теории фильтрации. Доказаны существование
решения и сходимость конечномерных аппроксимаций указанных задач,
обосновано применение итерационных методов, предложенных в первой
главе, для их решения. Приведены результаты численных расчетов для
модельных задач, свидетельствующие об эффективности рассмотренных
в диссертации приближенных методов.
В 1 четвертой главы методом конечных элементов построены ап-
проксимационные задачи для квазивариационных неравенств (0.60) и
(0.65) с множествами М С V, М(и) определенными, соответственно,
в (0.57) и (0.61). Область О, с R2 считается многоугольником. Введены
регулярная триангуляция % семейством треугольников К и пространен
ство Xh равных нулю на границе множества О, непрерывных кусочно-линейных функций, ассоциируемое с триангуляцией. Определено конеч-
о о о
номерное пространство Vh =Xh х Xh х Xh С V с нормой, введенной в (0.56).
Множеству М С V, определенному в (0.57), сопоставлено множество Mh С Vh:
Mh={veVh: Щз(а) + щ(а) > F{Uh^{a) + v{a)), аеЭД, (0.66)
множеству М(и) С М, определенному в (0.61), сопоставлено множество Mhiuh) С Mh:
Mh(uh) = {veVh: (Щ&М + «з(«) - PUh(a), N(Pu»(a))) > 0, а Є ВД,
где Г4 = {о!/Є Q , I = 1,2,..., Nh} - множество вершин треугольников К из %, Hh,{xi) = {%i)) I = 1,2,...,Nh - интерполянт функции
( є №)]3.
Установлено, что многозначное отображение щ Є Mh : Uh —» Мн{щ) является полунепрерывным снизу.
Задаче (0.60) поставлена в соответствие аппроксимирующая задача:
Найти uhGMh : (Auh,vh - uh) > (f,vh - uh) Vvh Є Mh{uh). (0.67)
Установлена ограниченная липшиц-непрерывность (см. определение (0.14)) оператора А, определенного в (0.59).
Для решения задачи (0.67) рассмотрен следующий итерационный процесс:
Пусть uh - произвольный элемент из Mft. Для к — 0,1,2,..., определим uh Мн{щ') как решение вариационного неравенства:
(j(4fc+1)-4fc))^-4H1)>>
> т(/ - Auf\v - 4"+1)) Vv Є Mh(uf), (0.68)
где г > 0 итерационный параметр, J : V —> V* - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф из определения (0.14).
Исследована сходимость итерационного процесса (0.68): на основании теоремы 0.8 установлено, что все предельные точки ии итерационной
Г (к)\+0 последовательности
неравенства (0.67).
Далее доказано, что если оператор А в задаче (0.60) - псевдомонотонный, а последовательность {и^}* решений задачи (0.67) слабо сходится к и* в V, то при hi —> 0 ее предел является решением задачи (0.60); установлена равномерная ограниченность по h в пространстве V множества щ решений задачи (0.67). На основании этих результатов доказана сходимость конечномерных решений ин к решению задачи (0.60) при h —> 0. Затем рассмотрен случай, когда правая часть и решение задачи (0.60) обладают дополнительной гладкостью. Доказано, что если решение и задачи (0.60) и правая часть / удовлетворяют условиям и Є [Wp (fi)]3, (/— Аи) Є L*, то выполнена оценка (множество М предполагается выпуклым и М(и) = М ):
\\Т& + и)- Г*(ПА{ + uh)\\Lqk < Ch, k=i
ад = "~1^ИГ"РШ fc( }'
где р = min{pi,p2} > 2, g = р/(р— 1), через LJ обозначено пространство, сопряженное к Lp = [Lp(fi)]3, а поле ТЦгу) - это усилия в нитях к-го семейства деформированной поверхности w.
В 2 четвертой главы предложенные в настоящей диссертации итерационные методы применены для численного решения модельной задачи об определении положения равновесия бесконечно длинной цилиндрической оболочки, находящейся под воздействием следящей поверхностной нагрузки и ограниченной в перемещениях препятствием. Эта задача сводится к "одномерной" {О, = [0,1]) в плоскости сечения. Следует отметить, что данная задача интересна с той точки зрения, что она отражает основные особенности рассматриваемых в диссертации задач с препятствием. В ряде случаев построены точные решения, что оказалось весьма полезным при оценке эффективности предложенных в диссертации приближенных методов.
Обобщенная задача сформулирована в виде неравенства (0.60) с псевдомонотонным и потенциальным оператором А : V —> V*, A = T+q*B и множеством допустимых конфигураций М, задаваемых соотношениями
(Tu,v) = [t{]61 + U'he1 + u',v')ds,
1 <*«,«> = /(4 + 1)^-4^1 = (1,0),
" о
M = {veV: ф)>ф + ьі(8)1ф))8Є[0іІ]}1У= Wj([0,l])
где функция w = (w\, W2) описывает поперечное сечение оболочки в деформированном состоянии (начальное состояни (s) = sei, s Є [0,1]),
функция t : R+ —> R+ характеризует физические свойства оболочки, функция ip : R1 —> R1 описывает границу препятствия в R2. Постоянная q* задает интенсивность следящей нагрузки, массовые силы отсутствуют (/ = 0). Множество допустимых направлений M(v) определено по аналогии с (0.61) в "плоском" варианте.
Для описанной задачи в случае, когда t(X) = (Л—1)+ (таким образом, р = 2), проведены численные расчеты. Аппроксимация осуществлена по "одномерному" аналогу ( - пространство непрерывных кусочно-линейных на отрезке [0,1] функций) схемы, описанной в (0.66)-(0.67). Конечномерная задача решалась итерационным методом (0.68), критерий выхода - достижение заданной точности нормы разности соседних итераций. Наблюдалось, в частности, что количество итераций, необходимых для достижения заданной точности, практически не зависит от числа узлов сетки.
В 3 четвертой главы проведено построение конечноэлементных аппроксимаций задачи фильтрации (0.45) с использованием регулярной триангуляции. При этом аппроксимирующее пространство построено на основе треугольных конечных элементов первого порядка. Доказаны теоремы существования решения конечномерных задач, теоремы сходимости итерационных методов для их решения. В случае сильной монотонности оператора А из неравенства (0.45) (это свойство выполняется, когда в законе фильтрации (0.38) константы so, s* из (0.20), (0.21) равны нулю) и дополнительной гладкости решения ( и Є W\ ifi) )> получена оценка точности ||w — Uh\\v — О (/г1/2), аналогичная оценкам, имеющимся для задач фильтрации с более гладкой, чем в настоящей диссертации, правой частью.
В 4 четвертой главы проведено численное моделирование некоторых модельных задач фильтрации и сравнение приближенных решений
с аналитически построенными характеристиками точных решений, известными из литературы. В частности, рассмотрена задача о цепочке равноудаленных скважин, расположенных на одной прямой с известным расходом q и многозначным законом фильтрации следующего вида:
As, s < 1,
g{s) = < [A, 1], s = 1, 0 < A < 1. (0.69)
ks, s > 1, Приближенное решение указанной задачи фильтрации сводится к следующей краевой задаче (считается, что выполнено условие Z » 1): уравнение (0.18) на области
П = {(х,у) GR2:0
с источником интенсивности q/A в начале координат, с многозначным законом (0.37), (0.69) и краевыми условиями (0.29), где
Гі = {0<а:<1,у = Я},
Г2 = {ж = 0, 0 < у < Z} (J{0 < а; < 1, у = 0} |J{a; = 1, 0 < у < Z}.
Аппроксимация этой краевой задачи построена в соответствии со схемой, изложенной в 3. Полученные конечномерные задачи решались итерационным методом (0.1) с Н — Y = [1^(^)] п(см. определение (0.42)). При этом решение задачи (0.3) (в силу того, что F = 0) свелось к решению сеточного уравнения Лапласа с соответствующими краевыми условиями, а решение задачи (0.4) реализовано по формуле: у(к+1) = УФ*(гЛи^+1) + А^), где Ф* - функционал, сопряженный к функционалу Ф(-) = г/2 ||'||у+ Ф(*) (для рассматриваемой задачи получен явный вид градиента УФ*).
В результате проведенных численных экспериментов подтверждена эффективность предложенных приближенных методов решения задач фильтрации.
Перечислим основные результаты диссертации.
Предложены итерационные методы с расщеплением для решения вариационных неравенств с операторами монотонного типа в гильбертовых пространствах, не требующие обращения операторов исходной задачи. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, использующие параметры операторов вариационных неравенств.
Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, формулируемые в терминах исходных данных задач.
Предложены обобщенные постановки нелинейных стационарных задач фильтрации в произвольной ограниченной области при наличии точечных источников в виде вариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.
Предложены обобщенные постановки нелинейных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий в виде квазивариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.
Построены конечноэлементные аппроксимации для стационарных задач фильтрации с разрывным законом фильтрации с предельным градиентом при наличии точечных источников. Доказана сходимость и получены оценки точности.
Построены конечноэлементные аппроксимации для задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек, ограниченных в перемещении препятствиями. Доказана сходимость и получены оценки точности.
Результаты диссертации докладывались на I - III Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых за-
ГОСУДАРСТВЕННАЯ
Библиотека"
дач"(Казань, 24-28 июня 1996 г., 18-21 сентября 1998 г., 18-21 сентября 2000 г.), на Международной школе - конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева "Алгебра и анализ"(Казань, 16-22 июня 1997 г.), на VII - IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 8-13 сентября 1997, 5-17 сентября 1999 г., 8-13 сентября 2001 г.), на Международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск 5-7 февраля 1998 г.), на Международных конференциях "Optimization of Finite Element Approximations"(С.-Петербург, 25-29 июня 1995 г., 25-29 июня 2001 г.), на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (Казань, 30 января-06 февраля 2002 г.), на IV - VI Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(Казань, 13-16 сентября 2002 г., 17-21 сентября 2004 г., 1-4 октября 2005 г.), на Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения акад. А.Ф.Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.), на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIV", "Понтрягинские чтения - XV"(Воронеж , 3-9 мая 2003 г., 3-9 мая 2004 г.), на XII, XIII Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г., Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г.), на Международной конференции "Ломоносов-2004"(Москва, 10-13 апреля 2004 г.), Международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (Новосибирск, 21-25 июня 2004 г.), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики "(Казань, 27-30 сентября 2004 г.), на Minisymposium "Recent Advances in Multi-phase flow in porous media (Kazan, 24-26 August 2004), на Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического мо-
делирования "(Воронеж, 12-17 декабря 2005 г.), на III Международной научной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2006 г.), на VII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 17-21 мая 2006 г.), на Международной научной конференции "Тихонов и современная математика"(Москва, 19-25 июня 2006 г.), на научной конференции "Теория управления и математическое моделирование "(Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), на научном семинаре Института математического моделирования РАН под руководством чл.-корр. РАН Четверушкина Б.Н., на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством Ляшко А.Д., на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1997-2006 г.г.
В совместных работах [67], [68] Скворцову Э.В. принадлежит получение характеристик точных решений для задач фильтрации с многозначным законом. В остальных совместных работах результаты принадлежат авторам в равной степени.
Автор искренне благодарен проф. Бадриеву Ильдару Бурхановичу за внимание и большую помощь в работе, а также всем участникам научного семинара кафедры вычислительной математики Казанского университета под руководством проф. Анатолия Дмитриевича Ляшко за полезные обсуждения.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 01-01-000616, 03-01-00380, 06-01-00633).
Итерационный метод решения вариационных неравенств в гильбертовом пространстве в случае суммы монотонных операторов
Аппроксимация этой краевой задачи построена в соответствии со схемой, изложенной в 3. Полученные конечномерные задачи решались итерационным методом (0.1) с Н — Y = [1 ( )] п(см. определение (0.42)). При этом решение задачи (0.3) (в силу того, что F = 0) свелось к решению сеточного уравнения Лапласа с соответствующими краевыми условиями, а решение задачи (0.4) реализовано по формуле: у(к+1) = УФ (гЛи +1) + А ), где Ф - функционал, сопряженный к функционалу Ф(-) = г/2 у+ Ф( ) (для рассматриваемой задачи получен явный вид градиента УФ ).
В результате проведенных численных экспериментов подтверждена эффективность предложенных приближенных методов решения задач фильтрации. Перечислим основные результаты диссертации.
1. Предложены итерационные методы с расщеплением для решения вариационных неравенств с операторами монотонного типа в гильбертовых пространствах, не требующие обращения операторов исходной задачи. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, использующие параметры операторов вариационных неравенств.
2. Предложены итерационные методы решения квазивариационных неравенств с операторами монотонного типа в банаховых пространствах. Получены критерии сходимости этих итерационных методов, формулируемые в терминах исходных данных задач.
3. Предложены обобщенные постановки нелинейных стационарных задач фильтрации в произвольной ограниченной области при наличии точечных источников в виде вариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.
4. Предложены обобщенные постановки нелинейных задач теории мягких сетчатых оболочек при наличии препятствий в виде квазивариационных неравенств. Доказаны теоремы существования обобщенных решений.
5. Построены конечноэлементные аппроксимации для стационарных задач фильтрации с разрывным законом фильтрации с предельным градиентом при наличии точечных источников. Доказана сходимость и получены оценки точности.
6. Построены конечноэлементные аппроксимации для задач об определении положения равновесия мягких сетчатых оболочек, ограниченных в перемещении препятствиями. Доказана сходимость и получены оценки точности.
Результаты диссертации докладывались на I - III Всероссийских семинарах "Теория сеточных методов для нелинейных краевых за ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТЕКА" дач"(Казань, 24-28 июня 1996 г., 18-21 сентября 1998 г., 18-21 сентября 2000 г.), на Международной школе - конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева "Алгебра и анализ"(Казань, 16-22 июня 1997 г.), на VII - IX Всероссийской школе-семинаре "Современные проблемы математического моделирования "(Абрау-Дюрсо, 8-13 сентября 1997, 5-17 сентября 1999 г., 8-13 сентября 2001 г.), на Международной конференции "Математическое моделирование в науке и технике" (Ижевск 5-7 февраля 1998 г.), на Международных конференциях "Optimization of Finite Element Approximations"(С.-Петербург, 25-29 июня 1995 г., 25-29 июня 2001 г.), на научной конференции "Актуальные проблемы математического моделирования и информатики" (Казань, 30 января-06 февраля 2002 г.), на IV - VI Всероссийских семинарах "Сеточные методы для краевых задач и приложения"(Казань, 13-16 сентября 2002 г., 17-21 сентября 2004 г., 1-4 октября 2005 г.), на Всероссийской конференции, посвященной 70-летию со дня рождения акад. А.Ф.Сидорова (Екатеринбург, 3-7 февраля 2003 г.), на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIV", "Понтрягинские чтения - XV"(Воронеж , 3-9 мая 2003 г., 3-9 мая 2004 г.), на XII, XIII Международных конференциях по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (Владимир, 30 июня - 5 июля 2003 г., Алушта, Крым, 25-31 мая 2005 г.), на Международной конференции "Ломоносов-2004"(Москва, 10-13 апреля 2004 г.), Международной конференции по вычислительной математике МКВМ -2004 (Новосибирск, 21-25 июня 2004 г.), на Международной научной конференции "Актуальные проблемы математики и механики "(Казань, 27-30 сентября 2004 г.), на Minisymposium "Recent Advances in Multi-phase flow in porous media (Kazan, 24-26 August 2004), на Международной научной конференции "Современные проблемы прикладной математики и математического мо делирования "(Воронеж, 12-17 декабря 2005 г.), на III Международной научной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложения к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2006 г.), на VII международной конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения"(Саранск, 17-21 мая 2006 г.), на Международной научной конференции "Тихонов и современная математика"(Москва, 19-25 июня 2006 г.), на научной конференции "Теория управления и математическое моделирование "(Ижевск, 3-8 июля 2006 г.), на научном семинаре Института математического моделирования РАН под руководством чл.-корр. РАН Четверушкина Б.Н., на научных семинарах кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета под руководством Ляшко А.Д., на итоговых научных конференциях Казанского государственного университета за 1997-2006 г.г.
Итерационный метод решения квазивариационных неравенств с псевдомонотонным потенциальным оператором в банаховом пространстве
Поскольку к тому же оператор Т по условиям настоящей теоремы имеет непустое множество неподвижных точек и является в силу теоремы 2.3 нерастягивающим, то слабая сходимость итерационной последовательности к некоторой неподвижной точке оператора Т вытекает теперь из теоремы 1.4 (с. 54). Теорема доказана.
Отметим, что если выполнены условия теоремы 2.1, то из теорем 2.2, 2.4 вытекает, что последовательности {u }k=Q, {у }к=0, построенные согласно методу (2.3) - (2.5), сходятся слабо к«иЛ«в7иЯ соответственно при к —» +оо, где и - решение вариационного неравенства (2.1).
Квазивариационные неравенства возникают при математическом описании многих прикладных задач (см., например, [89], [138], [201] и цитируемую там литературу). В данном параграфе исследуется итерационный метод для решения квазивариационного неравенства с псевдомонотонным потенциальным оператором, действующим из банахова пространства в сопряженное к нему.
Пусть V - рефлексивное банахово пространство, строго выпуклое вместе со своим сопряженным пространством V , у - норма в V, (, ) - отношение двойственности между V и V , М - замкнутое в слабой топологии, вообще говоря, невыпуклое подмножество пространства V. Каждому элементу и Є М сопоставлено выпуклое, замкнутое множество М(и) С М, причем и Є М(и), и выполнено условие: пусть последовательность {и } С М слабо сходится к элементу и (и Є М в силу слабой замкнутости М), тогда для произвольного элемента г\ Є М{и) найдется такая последовательность {rj } , rfk Є M(u ), что: lim rj{k) = г]. (3.1) k +oo
Рассматривается задача поиска элемента и. Є М С V, являющегося решением следующего квазивариационного неравенства: {Au,ri-u) {f,ri-u) Ут]ЄМ(и). (3.2) где / Є V - заданный элемент, А : V — V - псевдомонотонный, потенциальный, коэрцитивный оператор, удовлетворяющий условию: \\Au-Av\\v fi(R)V(\\u-v\\v) Vu,veV, (3.3) R = max{uv, \\v\\v}, A4 неубывающая на [0, +oo) функция, Ф - непрерывная, строго возрастающая на [0,+оо) функция такая, что Ф(0) = О, Ф () — +оо при — +00. Напомним (см. [174, стр. 190]), что оператор А называется псевдомонотонным, если А - ограниченный оператор, и из слабой сходимости последовательности {u }k=Q CV KUBV и неравенства
Для решения задачи (3.2) рассмотрим следующий итерационный процесс, позволяющий свести ее к вариационному неравенству с оператором двойственности, обладающим существенно более лучшими свойствами по сравнению с исходным псевдомонотонным оператором. Пусть w - произвольный элемент из М. Для к = 0,1,2,..., определим irfc+1) Є М(и ) как решение вариационного неравенства: (J(W(fc+1)-w(fc)),V-W(fc+1)) ,v — и (fc+1 ) УувМ(и{к)), (3.10) где г 0 итерационный параметр, J : V —» У - оператор двойственности, порождаемый функцией Ф и удовлетворяющий условиям (см. [174, стр. 185]): (Jv,v) = \\Jv\M\v\\v = 4\\v\\v)\\v\\v Vv Є V, (3.11) Существование и единственность решения вариационного неравенства (3.10) следует из строгой монотонности и хеминепрерывности оператора двойственности [174, стр. 186-187]. Справедлива следующая Теорема 3.1. Пусть оператор А, функционал F и множество М удовлетворяют сформулированным выше условиям, и, кроме того, 0 г тіп{1,1// ,}, //0 = fi(d0 + Ф_1№)), (3.12) где d0 = sup \\u\\v, di = sup \\Au - f\\v , ueS u ZS S = {u(EM: F(U) F(vf)}. (3.13)
Тогда итерационная последовательность {u } , построенная согласно (3.10), ограничена в V, и все ее слабо предельные точки являются решениями задачи (3.2).
Доказательство. Отметим, что из коэрцитивности функционала F вытекает, что do +оо, а из ограниченности оператора А следует, что d\ +00. Таким образом, 0 цо +оо, то есть итерационный параметр т в (3.12) определен корректно.
Докажем сначала ограниченность итерационной последовательности, а именно, проверим, что выполнено условие: Из ограниченности итерационной последовательности и рефлексивности пространства V следует существование подпоследовательности {W } =IJ сходящейся слабо к и в V при т — +оо, а в силу слабой замкнутости множества М получаем, что и Є М. Покажем, что и является решением задачи (3.2). Из определения функционала F в виде (3.8) и условия (3.3) следует, что
Задача фильтрации с непрерывным законом при наличии нескольких точечных источников
В данном параграфе рассматривается стационарная задача фильтрации несжимаемой жидкости при наличии внешних источников, в том числе, точечных с интенсивностью qi, сосредоточенных в попарно различных точках , г = 1,2,...т. Фильтрация происходит в ограниченной области О, С Rn,n 2,c липшиц-непрерывной границей давление считается равным нулю, Гг -непроницаема). Считаем, что точки х г\ г = 1,2, ...т, являются внутренними точками Q, а жидкость подчиняется закону фильтрации (4.1), описанному в предыдущем параграфе, то есть для функции д выполнены условия (4.4) - (4.7). Краевая задача имеет следующий вид: т &vv{x) = ]Г] ft S(x - ж(і))+ f(x), хЄП, (5.1) w{x) = 0, х Є Гь (5.2) (v(x), v (х)) = 0, х Є Гг, v — внешняя нормаль к Г2, (5.3) предполагается, что функция / порождает линейный и непрерывный функционал / над W2 ( ) Под решением задачи (5.1) - (5.3) будем понимать такую функцию О /i\ w EW і (П), w(x) = 0, х Є Гі, что выполнено следующее интегральное тождество f(G(Vw(x)),Vr){x))dx = о. т = х ( (0) + / / ом )dx v??e c?№ (5-4) i=1 n где через Cp(fi) обозначено множество бесконечно дифференцируемых в П функций, равных нулю в окрестности Гі, G - оператор, определенный в (4.8).
Рассматривается установившийся процесс фильтрации несжимаемой жидкости в пористой среде, занимающей ограниченную область О, С Rn, п 2, с липшиц-непрерывной границей Г = TilJI , (ГхрГг = 0, mesTi 0, на Гі давление считается равным нулю, Гг - непроницаема), при наличии источников, в том числе, точечных, с интенсивностью qi, сосредоточенных в попарно различных внутренних точках х г\ г = 1,2,... т области П.
Необходимо найти стационарные поля давления w и скорости v жидкости, удовлетворяющих уравнению неразрывности (5.1) и граничным условиям (5.2), (5.3), в предположении, что жидкость следует многозначному закону фильтрации (см., например, [7], [155])
Итак, мы установили, что если функции w, v удовлетворяют соотношениям (5.1) - (5.3), (6.1), то w удовлетворяет неравенству (6.6). В связи с этим введем следующую вариационную формулировку рассматриваемой задачи.
Под решением стационарной задачи фильтрации несжимаемой жидкости, следующей многозначному закону (6.1) при наличии точечных источников интенсивности qi, г = 1,2,...т, будем понимать функцию (поле давления) w Є W[ (Q), w(x) = 0, x T\, удовлетворяющую вариационному неравенству
Очевидно, что оператор Л является линейным и непрерывным. Относительно функционала Ф имеет место следующая
Лемма 6.1. Функционал Ф, определенный в (6.9), конечен на всем пространстве, является выпуклым, липшиц-непрерывным и, следовательно, всюду субдифференцируемым.
Для каоїсдого элемента у Є 9Ф() С Y существует такая функция Ху Є А»{О), что для почти всех х из Q выполнено равенство
Итак, поскольку в неравенстве (6.15) функция т\ произвольна, то в силу (6.13), найдется такая функция Ху чт0 для почти всех х из Q выполнено (6.11), (6.12). Лемма доказана. Основным результатом данной главы является следующая Теорема 6.1. Пусть выполнены условия (4-5) - (4-V- Тогда: 1) Множество решений задачи (6.8) не пусто, выпукло и замкнуто. 2) Задача (5.1) - (5.3), (6.1) имеет решение в следующем смысле: найдется такая пара функций w Є W\ (Q) : w (x) = 0, x Є Гі и v Є [Li(0)]n, что выполнено почти всюду на Q включение (6.1), и имеет место равенство:
Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия
Тогда вариационная задача относительно перемещений оболочки сводится к следующей: найти функцию и из множества М, удовлетворяющую условию: [ {D((a) + u(a)),v(a)-u(a))da 0 УьеМ(и). (7.32) n Докажем, что задачи (7.21) и (7.32) эквивалентны. Действительно, пусть и - решение задачи (7.32). Тогда равновесное положение оболочки задается функцией w — ,+и. Для произвольного ту из М (w) имеем, что v = и-\-Цт) принадлежит множеству М(и), и из (7.32) получаем, что w является решением задачи (7.21). Аналогично доказывается что, если w - решение вариационной задачи (7.21), то и = w — является решением (7.32).
Заметим, что если множество М выпукло, то М(и) = М для любого и из М, и квазивариационное неравенство (7.32) становится вариационным. Отметим, что, в частности, множество М является выпуклым, если функция (р, описывающая поверхность препятствия, выпукла во введенной декартовой системе координат. Существование решения обобщенной задачи для мягкой сетчатой оболочки при наличии препятствия.
В настоящем параграфе рассматривается обобщенная задача в перемещениях об определении положения равновесия мягкой сетчатой оболочки, закрепленной по краям, находящейся под воздействием массовых сил, ограниченной препятствием, и устанавливается существование решения этой задачи.
Под сетчатой понимается оболочка, силовой основой которой является сетка, образованная двумя семействами взаимно перекрещивающихся, абсолютно гибких, упругих нитей. Предполагается, что узлы сети фиксированы, материал, заполняющий промежутки между нитями, не сопротивляется деформации, и, ни в начальном состоянии, ни в процессе деформации, соседние нити не соприкасаются. Ячейки сети считаются малыми и не сопротивляющимися сдвиговым деформациям. Деформации и перемещения допускаются конечными.
Лагранжевы координаты (а1, а2) выберем так, что координатные линии станут сонаправленными с нитями, образующими оболочку; функция по-прежнему удовлетворяет условиям (7.2).
Введем также следующие обозначения (для к = 1,2): к = 3 — к; 9к = \дк,\, Gk = \dkw\ - параметры Ламе соответственно недеформи-рованной и деформированной поверхности оболочки ; Я1, R2 - вектора, образующие контравариантный локальный базис на деформированной поверхности: (Rk, Rm) = Skm Обозначим через Fk внутреннюю силу, действующую на единицу длины ак - Pi координатной линии (ак = const) деформированной оболочки, с той стороны оболочки, куда направлен вектор Rk, к = 1,2, через Fkm - коэффициенты разложения этой плотности сил по единичным векторам локального базиса:
Тогда компоненты тензора напряжений связаны с погонными усилиями Fkm соотношениями (см. [209]): VGTkm = FkmGk /Gm.
Для сетчатой оболочки в силу того, что в выбранной лагранже вой системе координат направления осей совпадают с направлениями нитей, имеем (см. [96], [209]): F12 = F21 = 0 (то есть ячейка сети не оказывает сопротивления повороту нитей в узлах скрепления), Fkk = tk{Xk) Pk9k /Gk t где Afc = Gk/gk относительные степени удлинения.
Здесь t\,t2 : R+ —» R+ - функции, характеризующие физические свойства нитей, рк : Г2 — R+ - количество нитей, сонаправленных с ак- й координатной осью, на единицу длины ак - й координатной оси в недеформированном состоянии. Эти функции определены конструкцией сетчатой оболочки, и относительно них считаем выполненными условия: Є С(Я+), (8.1) tk(X) = 0,
Заметим, что, вообще говоря, при Л 1 (8.2) (то есть нити не воспринимают сжимающих усилий), tkW tk(u), при А і/ 1, (8.3) существуют c,co,Ci,C2 0,pi 1, Р2 1 5 такие, что при А 0 для к = 1,2 СЙАЙ - ci tk(X)X СЙАЛ , (8.4) Рк Є C(ft), (8.5) р (а) с 0 VaGft. (8.6)направления Rk не являются главными для тензора Т, хотя смешанные компоненты Ткт (к Ф-т) и равны нулю. Плотность массовых сил Q : Q — Я3 считаем известной. В силу за-кона сохранения массы имеем: vG y = \[ді(а), д2 (а)]\ 7, где 7: 1 —» Я - заданная плотность материала недеформированной оболочки. Относи о тельно Q и 7 считаем выполненными условия: Теорема 8.1. Пусть выполнены условия (8.1) - (8.7), (8.20). Тогда квазивариационное неравенство (8.22) имеет решение.
Доказательство. Докажем слабую замкнутость множества М. Пусть последовательность {v }i=0, принадлежащая множеству М, слабо сходится к v в V. Из компактности вложения И ДО) при р 1 в Li(O) следует, что последовательность {v }i=0 сходится сильно к г; в [Ii(fi)] , а значит, у нее найдется подпоследовательность, сходящаяся почти всюду кИз установленных выше свойств функционала Ф, множества М и рефлексивности пространства V следует, по теореме Вейерштрасса [99], существование решения задачи минимизации функционала Ф на множестве М. Пусть и - решение этой задачи: Ф{и) = ттФ(у).
Установим, что и является решением квазивариационного неравенства (8.22). Пусть v - произвольный элемент множества М(и). Из определения множества М(и) следует, что u+s(v—и) Є М для всех s Є [0,1]. Элемент и является точкой минимума Ф на множестве М, значит Ф(и + s(v - и)) Ф(и), s Є [0,1]. (8.28) В силу дифференцируемости Ф имеем равенство: Ф(и + s(v - и)) - Ф(и) = s {Х7Ф(и + 9ss(v - u)), v - и) , где 0 в3 1, следовательно, из (8.28) получаем: {А(и + 6ss(v -u))-f,v-u) 0. Устремляя s к нулю и учитывая хеминепрерывность оператора А, получаем неравенство (8.22). Теорема доказана.
В этом параграфе будем предполагать, что функция , описывающая поверхность препятствия, является вогнутой на всей области её определения, то есть для всех (#1,:) Є Я2 и для любого Л из отрезка [0,1] выполняется неравенство:
