Содержание к диссертации
Введение
Состонние исследуемой проблемы 12
1.1. Метод конечных элементов. Решение задач теории пластин и оболочек 12
1.2. Анализ СМКЭ для бигармонической задачи 20
Постановка задачи. основнан и смешаннае вариационные формулировки 28
2.1. Постановка задачи. Существование
и единственность решения 28
2.2. Смешанная вариационная формулировка 34
2.3. Некоторые абстрактные результаты о существовании и единственности седловой точки 41
2.4. Расширенные задачи о седловой точке 48
Дискретная задача. абстрактные результаты 54
3.1. Существование и единственность решения дискретной задачи 54
3.2. Абстрактные оценки погрешности для первой компоненты решения 56
3.3. Абстрактные оценки погрешности для второй компоненты решения 63
Смешанный метод конечных элементов. оценки скорости сходимости 68
4.1. Схема Германа-Мийоси . 68
4.2. Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Мийоси 72
4.3. Схема Германа-Джонс она 78
4.4. Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Лжонсона 84
4.5. Сходимость в случае меньшей гладкости решения 92
Заключение 97
Литература
- Анализ СМКЭ для бигармонической задачи
- Некоторые абстрактные результаты о существовании и единственности седловой точки
- Абстрактные оценки погрешности для первой компоненты решения
- Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Лжонсона
Введение к работе
При проектировании многих народно-хозяйственных объектов, инженерных сооружений, летательных аппаратов и в судостроении необходимым этапом является.расчет напряженно-деформированного состояния обол очечных конструкций. Большое распространение в задачах такого рода получил метод конечных элементов, обладающий большой универсальностью, удачно сочетающий в себе положительные качества вариационных и разностных методов и.позволяющий достаточно точно описывать геометрические и физические параметры конструкций. Метод оказался наиболее эффективным при решении более сложных задач, как, например, нелинейные задачи, задачи об устойчивости и колебаниях тонкостенных конструкций. Метод позволяет проводить расчет напряженно-деформированного состояния не только отдельных элементов, но и конструкций в целом, учитывая взаимодействие отдельных элементов на линиях сопряжения, тонкостенных элементов со стержневыми или трехмерными элементами, а современные возможности ЭВМ позволяют создавать пакеты программ как узкого, так и широкого назначения для расчета конструкций, обладающие простотой в эксплуатации и широкими сервисными возможностями.
Большую роль в теории и практике метода конечных элементов играет проблема разработки и математического обоснования эффективных и экономичных схем, дающих удовлетворительную точность решения при малых затратах ресурсов ЭВМ. Особое значение эта задача приобретает при решении сложных задач механики твердого деформируемого тела, которые описываются дифференциальными уравнениями высокого порядка, какими, например, являются задачи расчета напряженно-деформированного состояния оболочек. Создание и использование эффективных и экономичных алгоритмов метода является необходимым условием при разработке программ, когда расчет напряженно-деформированного состояния является лишь промежуточным и многократно выполняемым этапом, а также в разработке пакетов программ, расчитанных на мини-ЭВМ, которые становятся основным средством расчетов в инженерной практике.
Решение задач теории пластин и оболочек при помощи метода конечных элементов связано с трудностями, возникающими за счет присутствия производных высокого порядка в уравнениях, описывающих эти задачи. Имеется множество схем метода конечных элементов для решения таких задач, однако большинство их приводит к разрешающим системам линейных алгебраических уравнений большой размерности и требует больших ресурсов ЭВМ как при формировании матрицы системы, так и при ее решении. В связи с этим, в последнее время для решения задач с уравнениями четвертого порядка широкое распространение получили смешанные и гибридные методы, которые основаны на смешанных вариационных принципах типа принципа Рейсснера в теории упругости, заключающихся в нахождении стационарной точки некоторого смешанного функционала, соответствующего исходной краевой задаче. В таких вариационных формулировках понижается порядок производных от искомой функции за счет того, что сама функция и ее некоторые производные считаются независимыми переменными. Это позволяет использовать простые конечные элементы для аппроксимации неизвестных, так что, хотя в задаче и добавляются новые неизвестные, общее количество неизвестных в разрешающей системе уменьшается. Кроме того, в результате решения разрешающей системы уравнений наряду с неизвестной функцией (в задачах теории пластин и оболочек это, обычно, перемещения) получаются и значения некоторых ее производных. Это очень важно для приложений, так как определение напряжений, являющихся линейными комбинациями производных от перемещений и получаемых здесь независимо от перемещений, является основной целью расчетов.
Несмотря на то, что имеется достаточно много работ, доказывающих эффективность смешанных схем метода конечных элементов (обзор имеется в главе I), возможности их исследованы недостаточно-особенно в задачах о деформации оболочек. Кроме того, на сегодняшний день нет полного и обстоятельного математического анализа таких схем метода конечных элементов для задач о деформации оболочек, какой, например, имеется для смешанных методов в задаче об изгибе пластины. Эти вопросы, имеющие большой интерес в теории и практике метода конечных элементов, являются целью настоящего исследования.
Работа состоит из четырех глав, заключения, списка литературы и приложений.
В первой главе дается обзор работ по методу конечных элементов, его применению и математическому анализу в задачах теории пластин и оболочек, сформулированы основные предпосылки и задачи настоящего исследования. Здесь также отражены основные результаты анализа смешанных методов конечных элементов для задачи об изгибе пластины, которые в той или иной мере будут использованы в исследовании смешанных методов для задач о деформации пологих оболочек.
Во второй главе рассматривается постановка задачи о деформации пологой оболочки. На основе общих положений теории двойственности в выпуклом анализе выводится смешанная вариационная формулировка, которой три компоненты перемещения серединной поверхности оболочки и вторые производные от нормальной компоненты перемещения считаются независимыми переменными. Здесь доказано существование и единственность решения как основной вариационной задачи минимизации функционала энергии, соответствующего исходной краевой задаче, так и смешанной задачи о седловой точке полученного смешанного функционала. Здесь же вводятся абстрактные "расширенные" вариационные задачи, являющиеся исходными для построения смешанных схем метода конечных элементов, дан анализ вопросов существования и единственности решений таких задач.
В третьей главе вводится абстрактная дискретная задача, являющаяся дискретизацией абстрактной "расширенной" задачи о седло-вой точке, полученной в предыдущей главе. Доказаны .теоремы существования и единственное ти. решения дискретной задачи,, получены абстрактные оценки погрешности для двух.компонент седловой точки.
В четвертой главе описываются две схемы смешанного метода конечных элементов, являющиеся дискретизацией полученных во второй главе вариационных задач в конкретных пространствах конечных элементов. Получены теоремы существования и единственности конеч-ноэлементных решений таких задач. На основании абстрактных результатов, полученных в третьей главе, и.известных результатов по конечноэлементной аппроксимации в пространствах Соболева получены оценки скорости сходимости для двух схем смешанного метода конечных элементов, которые в задачах об изгибе пластин получили названия схем Германа-Мийоси и Германа-Джонсона.
В приложениях описан алгоритм схемы Германа-Джонсона, структура программы, реализующей данный алгоритм. Здесь же помещены текст программы на языке ФОРТРАН, результаты численных расчетов на ЭВМ для модельных задач, где оценивается фактическая погрешность результатов в зависимости от шага сетки, результаты решения задач с концентрацией напряжений, в том числе задач , в которых решение имеет особенность, задач с различными параметрами оболочки, геометрически нелинейных задач и примеры численного исследования реально существующих оболочечных конструкций.
Анализ СМКЭ для бигармонической задачи
Состояние равновесия оболочки описывается системой трех дифференциальных уравнений четвертого порядка относительно функции перемещения, в которой присутствуют производные четвертого порядка от нормальной и второго порядка от тангенциальных компонент . Сложность решения задач теории оболочек с помощью МКЭ состоит в том, что так же как и в задаче об изгибе пластины, требуется высокая гладкость функций из пространства конечных элементов. Кроме того, билинейная форма, соответствующая функционалу потенциальной энергии оболочки, имеет сложный вид и, так как разрешающая система уравнений имеет большую размерность, вычисление элементов матрицы является трудоемким процессом. Задача усложняется еще и тем, что в общем случае произвольной непологой оболочки приходится аппроксимировать серединную поверхность, что вносит новые трудности вычислительного характера и увеличивает погрешность решения. При использовании модели пологой ободочки система.дифференциальных уравнений имеет более простой вид. Здесь только одно уравнение четвертого порядка, а два остальных -второго, коэффициенты при неизвестных функциях и их производных простые, что облегчает применение МКЗ и его реализацию на ЗВМ.
Применению МКЭ в задачах о деформации оболочек посвящено большое число работ. Примеры использования некоторых схем метода и обзор других работ можно найти в [13,20,37,38,39,61,103] и др. Остановимся лишь на некоторых из большого числа работ в этом направлении. Одним из первых исследований, в котором дана классификация МКЭ, основанных на различных вариационных принципах, является б9]. Некоторые общие концепции применения в нелинейных задачах даны в [82,9lJ, где приводятся также результаты численных экспериментов, и зависимость точности решения от геометрических параметров оболочки, [l03j содержит построение квадратичного конечного элемента для оболочки, работающего на изгиб, в р98] обсуждается вопрос аппроксимации поверхности оболочки, предлагается новый тип криволинейного элемента большой кривизны.
Среди множества схем МКЭ в расчетах напряженно-деформированного состояния оболочек особое место занимают смешанные методы, оказавшиеся здесь очень эффективными. В [10,40,85,119] даны примеры применения методов, основанных на вариационном принципе Рейсснера, в линейных и геометрически нелинейных задачах, приведены результаты численных расчетов и их анализ. Применение конформных смешанных схем в задачах о деформации пологой оболочки описано в [11,67,81,112]. Особо следует отметить работы В.Виссе-ра.[б], Й.М.Тригорёнко и С.С.Кокошина [l4j, Л.Германа и О.М.Кам-белла [88], где рассматривается смешанный конечный элемент с минимальным количеством степеней свободы - 12, в котором по три степени свободы приходятся на каждую компоненту перемещения и три степени - на аппроксимацию изгибающих моментов. Здесь, так же как в смешанных методах Германа-Джонсона для задачи об изгибе пластины, перемещения линейные а моменты постоянные на каждом треугольнике. В [63,64,65,89] приводятся результаты применения такого метода в задачах о деформации пологих оболочек. Заметим, что хотя работ по применению СМКЭ в задачах о деформации оболочек имеется достаточно много, результаты приводятся лишь для модельных задач. Возможности метода в различных нестандартных задачах, например, в задачах с концентрацией напряжений, чрезвычайно важных для практики, где решение обладает меньшей гладкостью, не исследованы. Что касается математического анализа, то в отличие от смешанных методов для бигармонического уравнения имеется весьма мало работ в этом направлении.
В [24,43] исследуется оператор краевой задачи теории оболочек и существование решения, в [6I,72j проведен анализ конформных методов перемещений, в [25J-метода сил для произвольных не - 19 пологих оболочек. Л.Мэнсфилд [100] анализирует конформный смешанный метод для нелинейных уравнений теории оболочек. В [102], [ііб] исследуется сходимость некоторых схем смешанного метода для цилиндрических оболочек, Ф.Кикути [93], Ф.Кикути и Й.Андо [9б] описывают применение и сходимость упрощенного гибридного метода для задачи об арке и пологой оболочке. Однако математический анализ смешанных методов в задачах о деформации оболочек (в том числе и пологих) проведен не полностью и создание общей теории смешанных методов конечных элементов для оболочек, подобной той, которая разработана для бигармонического уравнения, остается открытой проблемой.
Анализ работ по исследованию смешанных схем МКЭ в задачах теории оболочек позволил сформулировать цель настоящего исследования: провести математический анализ, обоснование и опробование смешанных схем МКЭ в задачах о деформации пологих оболочек. Для осуществления поставленной цели необходимо решить следующие задачи: 1) исследовать свойства билинейных форм, входящих в вариационную формулировку задачи о деформации пологой оболочки, вывести смешанную вариационную формулировку: задачу нахождения седловой точки смешанного функционала, компонентами которой являются векторы моментов и перемещений. 2) Получить теоремы существования и единственности седловой точки. 3) Рассмотреть "расширенную" задачу о седловой точке, в которой ослаблены требования гладкости на функции из пространств, в которых ищется седловая точка. Получить теоремы существования и единственности седловой точки.
Некоторые абстрактные результаты о существовании и единственности седловой точки
В предыдущем параграфе было показано, что задача нахождения седловой точки функционала (2.26), связанного с краевой задачей (2.1),(2.3), имеет единственное решение и сводится к решению вариационных уравнений (2.31),(2.32) на пространствах И( )
Согласованные схемы метода конечных элементов сме шанного типа основываются на построении конечномерных про странств и замене "непрерывной" зада чи (2.31),(2.32) соответствующей дискретной. Обзор и анализ та ких схем для задачи об изгибе пластины имеется в [бі]. Заметим, что вложение Wfi - \ЛД0/в нашем случае требует построения ко нечных элементов класса С \Я2) для аппроксимации нормальных перемещений VX ., что приводит к трудностям в численной реали зации метода. В данной работе мы рассмотрим метод конечных эле ментов, основанный на дискретизации уравнений (2.31),(2.32) и являющийся неконформным относительно перемещения W . При дискретизации задачи будут использоваться конечные элементы ма лой гладкости, для которых выполняется только вложение в Н (Q) и, следовательно, вложение выполняться не будет. Для последующего анализа нам потребуются некоторые абстрактные результаты, которые будут получены в этом параграфе.
Задача (Р) является промежуточным вариантом задачи (Р) при переходе к дискретной задаче. Заметим, что в задаче (Р) первая компонента с едловой точки ищется на более узком пространстве, а вторая компонента - на более широком, причем на этом пространстве -билинейная форма і(- , ) вообще может не иметь смысла. В этом заключается несогласованность схем метода конечных эле-ментов, которые будут основаны на дискретизации задачи (Р). Следующий результат отвечает.на вопрос о существованииПусть существует решение задачи (Р) и первый аргумент решения (Wl uS) задачи (Р) принадлежит пространству М . Тогда (Wl uS) является единственным решением задачи (Р).
Доказательство. Пусть (Wl- U)) является решением задачи (Р). Покажем, что, если ИИ.6 И , то из предположений (2.4 0-(2.47) следует, что пара (т,си) есть решение задачи (Р). Так как (wi,Lo) есть решение задачи (Р), то выполняются равенства
Таким образом, мы показали, что точка (m,tu) являясь решением задачи (Р) является также решением задачи (Р). Покажем, что это решение задаЗамечание 2.3. Задача (Р) по сравнению с задачей (Р) яв ляется "суженной" по пространству М и "расширенной" по про странству W . Заметим, что так как пространство М по своему смыслу соответствует пространству а простран ство w является пространством или (Н1(й)хНЧ 0 Н2(3/& ), то в задаче (Р) мы сможем использовать менее гладкие функции для аппроксимации элементов про-странства W(Q) , накладывая дополнительные требования на элементы М (Q) » что существенно упрощает практическую реализацию метода, так как потребуются более простые пространства конечных элементов. Однако, требование, относящееся к первой компоненте решения задачи (Р) в теореме 3.2, т.е. точки Wl , сужает класс, которому должно принадлежать решение задачи (Р). чи (Р) единственно. и един-ственности решения задачи (Р).
Абстрактные оценки погрешности для первой компоненты решения
В настоящей главе будет введена дискретная задача (PL), аппроксимирующая задачу (Р) на пространствах М И HW{LCW Здесь будут получены абстрактные результаты, касающиеся существования и единственности решения задачи (Р ), а также будут выведены абстрактные оценки погрешности II М-УКЦІІм Дсо-Ю Нф, где (WiyOo) - решение расширенной задачи (Р), Oflfo,GJIi) - решение дискретной задачи (Р ). Введем два конечномерных пространства , связан ные с параметром -ті , такие что М-Кс М Wft с W » причем, W-K" Ylt Y Vit і Y i cY1VjlcV . Рассмотрим задачу, которую будем называть дискретной задачей (Р ): найти такое (WinlOkU М W . , что Следующий результат отвечает на вопрос о существовании решения задачи (Р ) на пространстве для некоторых cC 0 , p 0 , 0 , где At (W,M) -оператор, связанный с билинейной формой С( ; ) условиями (2.48),(2.49). Тогда задача (Р ) имеет единственное решение доказательство. Заметим, что система вариационных уравнений (3.1),(3.2) является необходимым условием существования сед-ловой точки (wihfWb) функционала на пространстве \Д/ х Mlv Так как билинейные формы непрерывны на пространствах М М ,M V, W W соответственно, то функционал Ь является непрерывным mWkx k Очевидно, что функция 0 —» {_, (.Vk f к) строго вогнута на Мк , а функция Vk -+ L (Ч/к) к) выпукла на Wk в силу условий (3.3)-(3.5). Кроме того, из (3.3) следует, что # такое что L (4 , ) - - . если Н Им" 00, а из (3.4),(3.5) следует, что 3 J е М , , такое что LO , Ю - + оо , если llTU - 00. Так как M(t с И с М и W c W , то из теоремы 2.3 следует, что существует хотя бы одна седловая точка (w u/ ,) функционала L , удовлетворяющая системе (3.1),(3.2), причем, в силу неравенства (3.3) ее компонента Wi единственна. Покажем, что Ш также единственна, т.е. покажем, что, если (nth k) есть решение задачи
Таким образом, в результате теорем 3.2, 3.3 и следствия 3.1 оценка погрешности ІІИг- сводится к оцен-ке погрешности аппроксимации пространств И и W элементами из М и W{t . Эти оценки зависят от конкретного выбора пространств М к и Wit и будут рассмотрены в следующей главе.
Абстрактные оценки погрешности для второй компоненты решения В этом параграфе будут получены абстрактные оценки для величины Ci7-U Ml в норме пространства yj , а также, при дополнительных предположениях в норме некоторого пространства % такого что W с 5
Следующий результат дает оценку погрешности Ц CJ - СО k II в норме пространства W" . Теорема ЗЛ. Пусть справедливы условия (3.3)-(3.5) и пусть ( 4.,00 ) - решение задачи (). (fH,Cd)- решение задачи (Р). Тогда существует константа С С(11а(1,Ш,Ш1,Ш1,с,В,у) 0, не зависящая от h , такая что
В настоящей главе рассматриваются схемы метода конечных элементов Германа-Мийоси и Германа-Джонсона смешанного типа для задачи о деформации пологой оболочки. Эти схемы основаны на дис кретизации расширенной задачи (Р), полученной в двух вариантах в параграфе 2.4. На основе результатов, полученных в третьей главе, классических результатов теории интерполяции в методе конечных элементов j48,6lj, а также результатов, связанных с ин терполяцией в весовых пространствах Соболева получим оцен ки погрешности конечно элементных решений.
Оценки скорости сходимости решения схемы Германа-Лжонсона
Выбирая теперь Мц1" из Р получаем пространство (4.30), элементы которого удовлетворяют условию (2.74). Впервые такие конечные элементы-для .задачи об изгибе пластины были введены в [86,87, ИВ] и исследованы в [78,83,90]. Заметим, что здесь используются наиболее простые конечные элементы для задачи четвертого порядка. Так, например, в случае конечный элемент данной схемы для решения задачи о деформации пологой, оболочки имеет всего 12 степеней свободы, причем три из них приходятся на задание нормальных моментов к трем сторонам треугольников, которые являются константами на каждом треугольнике, и по три -на задание каждой компоненты перемещения CJ » которые линейны на каждом треугольнике и определяются своими значениями в вершинах треугольников.
Покажем далее, что задача (Р ) с введенными выше пространствами М/й. и VA/fv. имеет единственное решение. Для этого приведем сначала вспомогательные результаты, полученные в [78,90] и отно-сящиеся к свойствам билинейной формы /( ) (2.77) и пространств М и. Wit»
Лемма .4.7. Пусть для () выполнены условия (4.6)-(4.8). Тогда задача 0). соответствующая схеме Германа-Джонсона для задачи о деформации.пологой оболочки, имеет единственное решение Получим далее систему линейных алгебраических уравнений, к которой сводится решение задачи (Р ). Рассмотрим для простоты случай k = 4 . Заметим, что в этом случае интеграл ) (. jokcoty в определении $()) обращается в нуль, т.к. компоненты вектора VHfa являются константами на каждом треугольнике. Кроме того, применяя интегрирование по частям в интеграле ) ( ) СКВ и учитывая то, что CPiim - константы на каждом треугольнике, получаем
Пусть теперь 1т - общее количество сторон триангуляции / Базисные нормальные моменты, отнесенные к серединам сторон треугольников, берутся равными на первой, второй и третьей стороне соответственно. Под Wi -h и fVinh буДем понимать кусочно постоянные функции, сужения ко торых на каждый треугольник являются значениями нормальных мо ментов к его сторонам и зависят от направления нормалей-к сторо нам. Обозначим через - базис пространства нормальных моментов, {WiJ - базис пространства Vfi , \v//j - базис про странства Yi.» которому принадлежат U , Я , \ \ } - базис пространства Yfc,» которому принадлежат V , /И4 . Заметим, что на. каждом треугольнике Wiy\.{i принимает три значения, соот ветствующие значениям ЇЛПІ , Пи.2 » п.г где L нормали к трем его сторонам. Запишем разложение ИИ , VYlnM.» k fc. и . по элементам базисов соответствующих пространств где l otiwiYin Iv oUmYk, lw = oUm,V , lm - общее количество сторон треугольников. Тогда система Ритца-Галеркина (3.1),(3.2) примет следующий вид где І і(Мл) в билинейной форме а(. ,.) и выражении (-/( Pf) вычисляются с помощью преобразования (4.33), коэффициенты ОС » Of С & величины () , [»3 »{, } означают то же, что и в (4.5). Общее количество уравнений в системе равно 1 .+1 + + Iu + 1 . Матрица системы имеет такую же структуру, что и мат -рица системы (4.5), где А - симметричная матрица размерности Im "ta В - матрица размерности lm Iw ВГ - транспонированная матрица В , С - матрица размерности (Jw + Iu+ \г) (1цг+1и.+ Iir) . Матрица системы (4.39) обладает теми же свойствами, что и матрица системы (4.5), В результате решения системы (4.39) получаем значения перемещений U , U"5 . 1С1 в вершинах треугольников и нормальных моментов Win на сторонах треугольников. Для того, чтобы получить векторы Wl на каждом треугольнике нужно еще раз применить преобразование (4.33).
Здесь, также как и в параграфе 4.2, будем предполагать, что семейство триангуляции () обладает свойствами (4.6)-(4.8) При получении оценок скорости сходимости мы будем пользоваться теоремами 3.3,3.4, следствием 3.1, а также некоторыми результатами из [78,83,9QJ, касающимися свойств билинейной формы $( ) и аппроксимрующих свойств пространства М . В предыдущем параграфе мы привели утверждения (леммы 4.5 и 4.6), из которых следует существование интерполянта П , удовлетворяющего (4.36)-(4.38).
