Введение к работе
Актуальность темы исследования. Метод конечных элементов (МКЭ), наряду с методом конечных разностей, в настоящее время является одним из самых распространенных и эффективных методов решения задач математической физики и техники. Теория этих методов для линейных краевых задач основательно разработана. Ей посвящены монографии и учебники А.А. Самарского, В.Б. Андреева и А.А. Самарского, А.А. Самарского и Е.С. Николаева, А.А. Самарского А.А. и А.В. Гулина, Г.И. Марчука, Г.И. Марчука и В.В. Шайдурова, Н.Н. Яненко, Е.Г. Дьяконова, O.K. Зенкевича, Л.А. Оганесяна, В.Я. Ривкинда и Л.А. Руховца, В.Г. Корнеева, Ж.П. Обэна, Г. Стренга и Дж. Фикса, Ф. Сьярле, Г.И. Марчука и В.И. Агошко-ва, В.В. Шайдурова и другие. Значительные результаты получены и в теории сеточных методов для нелинейных задач математической физики. Различные аспекты этой проблематики отражены в монографиях Р. Гловински, Главачека И., Е.Г. Дьяконова, М.М. Карчевского и А.Д. Ляшко, Ф. Сьярле, Дж. Одена, Р. Темама и многочисленных статьях.
Современная теория МКЭ базируется на вариационных принци-naqx и теории обобщеных решений краевых задач (включая теорию регулярности обобщенных решений), на теории аппроксимации функций и численных методах алгебры. Процесс решения конкретной задачи математической физики с использованием этого метода обычно прпредполагает реализацию следующих основных этапов:
-
вариационная (обобщенная) формулировка задачи;
-
выбор аппроксимирующих сплайнов и пространства конечных элементов, базис в котором образуют функции с малым носителем, и определение понятия приближенного решения;
3. решение соответствующей конечномерной задачи.
Несмотря на большое и постоянно увеличивающееся число работ по МКЭ, на каждом из этих этапов возникают проблемы, которые недостаточно полно исследованы с теоретической точки зрения, даже для классических задач, не говоря уже о новых задачах, для которых само построение приближенного метода является не очевидным. Кратко перечислим наиболее важные и актуальные, на наш взгляд, проблемы, решению которых посвящена диссертация.
В настоящее время известно, как определять обобщенные решения для широкого круга задач. Для таких задач актуальной является разработка таких новых вариационных формулировок, которые были бы более эффективными с вычислительной точки зрения при определении основных неизвестных задачи. Например, в последние годы все более важное значение приобретают различные формулировки краевых задач со свободными границами в виде вариационных неравенств и дифференциальных включений. Естественно, актуальным по-прежнему является определение обобщенных решений задач, для которых вариационные формулировки до сих пор не были известны.
Благодаря успехам в теории аппроксимации в настоящее время достаточно хорошо известно, как эффективно выбирать пространство конечных элементов, если решение задачи обладает достаточной регулярностью (гладкостью). Значительно слабее разработан вопрос о том, как выбирать аппроксимирующие функции в случае, когда решение задачи не обладает достаточной регулярностью и имеет различного типа особенности. С такой ситуацией приходится сталкиваться, когда рассматриваются задачи в областях с угловыми точками, задачи с многозначными или разрывными операторами и т.п.. Использование в этих случаях стандартных аппроксимаций, не учи-
тывающих специфику решаемой задачи, как правило приводит к существенному понижению точности получаемых приближенных решений (по сравнению с регулярным случаем) и, в конечном итоге, приводит к существенному понижению эффективности всего метода в целом. Поэтому актуальным является построение таких конеч-ноэлементных аппроксимаций задач с особенностями решения, которые бы имели повышенную точность по сравнению со стандартными. Это может быть достигнуто только в том случае, когда конструкция приближенного решения основана на априорной информации об особенностях решения аппроксимируемой задачи. Естественно, актуальным также является построение и исследование конечноэлементных аппроксимаций новых, ранее не решавшихся задач.
Эффективность МКЭ существенно зависит и от выбранного метода решения полученной конечномерной задачи, которая обычно является разреженной системой и имеет большую размерность. На размерность системы главным образом влияет качество аппроксимаций, использованных на втором этапе. Как правило, увеличение точности аппроксимаций приводит к уменьшению размера решаемой системы уравнений. В этой связи актуальным является построение аппроксимаций повышенной точности, приводящих к конечномерным задачам с той же структурой разреженности и обусловленностью, что и у стандартных методов.
Цель работы.
Построении и исследовании конечно-элементных схем повышенной точности для линейных эллиптических краевых задач второго порядка в областях с угловыми точками и для задач с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами.
Исследование устойчивости свободных границ в задачах с препят-
ствием внутри области, формулируемых в виде вариационных неравенств первого рода для сильно монотонных квазилинейных эллиптических операторов второго порядка, построение и обоснование сеточных схем их решения и для определения с повышенной точностью возникающих при этом неизвестных границ.
Теоретическое исследование, построение и обоснование приближенного метода решения эволюционного дифференциального включения, возникающего при математическом моделировании кавитаци-онного течения ньютоновской вязкой жидкости в тонком зазоре.
Научная новизна результатов диссертационной работы состоит в следующем.
1. Для линейных эллиптических краевых задач второго порядка
на плоскости в областях с угловыми точками
предложен и исследован способ мультипликативного выделения особенности решения в окрестности угловой точки;
построена и исследована новая схема МКЭ на регулярной триангуляции, обладающая повышенной точностью по сравнению со стандартными методами.
2. Для линейных эллиптических краевых задач второго поряд
ка в областях с периодической структурой (быстро осциллирующие
коэффициенты, перфорированные области) построена и исследована
схема МКЭ той же точности, что и у первого приближения в методе
осреднения (гомогенизации).
3. Для краевых задач со свободной границей, сводящихся к эллиптическим вариационным неравенствам с препятствием внутри области с квазилинейными оператороми 2-го порядка
- даны эквивалентные определения решения в виде вариационных
неравенств 2-го типа с выпуклым лшшшц-непрерывным функциона-
лом и в виде уравнения с разрывной слабой нелинейностью;
построены новые методы регуляризации, для которых получены оценки точности, лучшие известных ранее;
доказаны оценки устойчивости по мере коинцидентного множества к возмущению правой части неравенства, существенно улучшающие известные оценки;
построена и исследована новая схема МКЭ для приближенного решения задачи, основанная на аппроксимации эквивалентного операторного уравнения с разрывной нелинейностью;
предложен и обоснован более точный чем известные метод приближенного определения свободных границ.
4. Сформулированы математические модели для описания явления кавитации при стационарных и нестационарных течениях ньютоновской жидкости в тонких зазорах, сохраняющие баланс массы. Для них
доказаны теоремы о существовании обобщенных решений;
исследованы качественные свойства решений;
построены и исследованы схемы МКЭ для их приближенного решения.
Теоретическая и практическая ценность. Теоретическая значимость работы заключается в том, что в ней разработаны новые методы решения ряда важных задач математической физики, относящихся к классу задач с особенностями решения, со свободными или подвижными границами. Разработанные алгоритмы показали высокую эффективность при решении модельных задач.
Построенная в работе математическая модель для описания явления кавитации при течениях ньютоновской жидкости в тонких зазорах и алгоритмы его решения могут быть использованы в инже-
нерной практике при расчете, например, подшипников и уплотнений различных конструкций.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на 5-ой Всесоюзной конференции "Вариационно-разностные методы в математической физике", Москва, 1983, на Всесоюзной конференции "Численные методы решения задач теории упругости и пластичности", Саратов, 1985, на Всесоюзной конференции "Современные проблемы вычислительной математики", Москва, 1986, на Всесоюзной школе "Математическое моделирование в науке и технике", Пермь, 1986, на 5-ой Всесоюзной конференции "Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики", Новосибирск, 1987, на VII совместном Франко-итало-советском симпозиуме по вычислительной математике и приложениям", Москва, 1987, на VI Сибирской школе "Вычислительная математика. Теория и практика", Новосибирск, 1989, на Всесоюзном научно-координационном совещании "Газовая смазка в машинах и приборах", г.г. Ростов-на-Дону -Новороссийск, 18-20 сентября 1989 г., на Международной научной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Н.Г. Чеботарева, Казань, 1994, на Международной научной конференции АМСА-95: Advanced Mathematics, Computations and Applications, Novosibirsk, Russia, June 20-24, 1995, на Международной научной конференции OFEA-95: Optimization Of Finite Element Approximations, St.-Pete-rsburg, Russia, June 25-29, 1995, на Международной научной конференции Advanced Numerical Analisys, Moskow, August 16-22, 1995, на школе-конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Б.М. Гагаева, Казань, 1997, на семинаре кафедры вычислительной математики МГУ (руководитель Н.С. Бахвалов), на семинаре кафедры математического моделирования МЭИ (руководитель Ю.А. Дубинс-
кий), на семинаре НИИММ при Казанском университете (руководитель А.В. Костерин), на семинарах кафедры вычислительной математики КГУ (руководитель А.Д.Ляшко), на итоговых научных конференциях Казанского университета.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 18 работах.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех глав. Основной текст работы изложен на 271 страницах, содержит библиографию из 138 наименований.
