Введение к работе
Актуальность темы. Создание численных методов решения уравнений МГД разделяется на два этапа: построение и исследование разностной схемы и построение и исследование метода решения полученной дискретной задачи на каждом шаге по Еремени. Особую важность последний этап приобретает при использовании полностью консервативных неявных разностных схем, обладающих рядом преимуществ при решении сложных задач. Существуют различные методы построения таких схем /см. Гі-ЗІ/. В работе [4І описаны полностью консервативные лагранжевые разностные схемы на нерегулярной треугольной сетке, являющиеся дискретными моделями уравнений двумерной магнитной гидродинамики, в линейном приближении исследована их устойчивость. В этой работе использован операторный подход теории разностных схем: разностная задача, решаемая на каждом временном шаге, записывается в виде системы операторных уравнений в пространствах сеточных функций; предложены двухслойные итерационные методы решения этой системы уравнений, относящиеся к классу обобшенных линей-
ншс итерационных методов. Применение этих итерационных методов позволяет свести процедуру получения очередного итерационного приближения к последовательному решению трех взаимосвязанных групп уравнений: динамической /Д-группы/, магнитной /^-группы/ и энергетической /Е-группы/, на которые по физическому смыслу разбивается система уравнений операторно-разност-ной схемы МИ. В общем случае, Д- и Е- группы уравнений нелинейны, для их решения необходимо применить вспомогательный /внутренний/ итерационный процесс. Таким образом, итерационные методы решения на шаге разностных схем МГД имеют сложную структуру из вложенных друг в друга итерационных процессов, состоящую из двух или даже трех ступеней /поскольку для выполнения итераций по нелинейности также можно применить двухступенчатый итерационный метод; в комплексе программ, реализующем описанные в [4 J численные методы, такой вариант предусмотрен/.
В диссертации рассматриваются теоретические вопросы, возникающие при изучении сходимости итерационных методов решения на шаге неявных разностных схем МГД. -
Оель работы:
1/. исследование, с помощью линейных моделей, сходимости внешнего итерационного процесса в итерационных методах решения разностных схем МГД и возможности введения итерационных параметров, обеспечивающих безусловную сходимость этих процессов;
2/. анализ общих закономерностей взаимодйствия" двух вложенных друг в друга итерационных процессов - внешнего и внутреннего в различных двухступенчатых методах;
3/. получение достаточных условий полулокальной сходи-
мости обобщенных линейных итерационных методов, в которых учитывается специфика операторно - разностной схемы МГД как системы нелинейных операторных уравнений, то есть учитывается, что вектор неизвестных ч принадлежит линейному конечномерному пространству К , представлявшему собой прямую сумму линейных конечномерных пространств сеточных функции И;,
соответствующих физическим переменным исходной задачи МГД: скорости, температуры, давления и т.д..
Состояние вопроса. Методика исследования сходимости итерационных методов решения разностных схем МГД с помощью линейных моделей предложена и обоснована в работе Г4 ] . Там же получены теоретические оценки скорости сходимости ряда итерационных методов.
Некоторые двухступенчатые методы часто анализируются в литературе /например, метод, в котором в качестве внешнего итерационного процесса используется метод Ньютона, а в качестве очередного итерационного приближения метода Ньютона каждый раз берется т-е приближение внутреннего итерационного процесса/. При изучении такого рода методов обычно стремятся в явном виде получить оператор Gc ' Н —* К . связывающий -е и (JL+ і) -е итерационное приближение двухступенчатого метода
У*+4=0сУ* , b0,d,2
а затем изучить его свойства. Если количество итераций внутреннего процесса фиксировано, и оно больше единицы, то опера-
тор Ос имеет сложную структуру; получение условий, при которых гарантируется сходимость двухступенчатого метода, требует большой дополнительной информации об операторах внешнего :'. внутреннего процессов, и условия эти являются весьма жестки;/./.. Если же число итераций внутреннего процесса не фиксировано заранее, а критерием окончания внутренних итераций является, например, достижение заданной точности, то построить оператор С*, в явном виде вообше не удается.
Известны теоремы о локальной [5J к полулокальной [б] сходимости обобщенных линейных итерационных методов з линейных нормированных пространствах /к этому классу итерационных методов относится внешний процесс в рассматриваемых итерационных методах решения на шаге разностных схем МГЦ/.
Научная новизна, теоретическая и практическая ценность. С помощью линейных моделей исследовано атияние выбора итерационных параметров на сходимость итерационных методов решения разностных схем для задач МІД в двух случаях: изотермическом /ДМ-задача/ и в случае отсутствия магнитного поля /ЛЕ-задача/. Получены результаты, позволяющие оптимизировать вычислительные алгоритмы. Отдельно рассмотрены итерационные методы, соответствующие двум вариантам выбора основных термодинамических параметров в ДЕ-задаче: в первом варианте это давление и температура, во втором - плотность и температура. На линейных моделях показано, что если итерационные параметры в этих методах выбираются оптимальным образом, то оценки множителей сходимости одинаковы, независимо от того, давление или[плотность выбраны в качестве основного термодин&чического параметра.
При исследовании различных двухступенчатых итерационных
методов в диссертации применен следующий подход: предполагается , что на предварительном этапе внешний и внутренний процессы двухступенчатого метода рассмотрены по отдельности, получены неравенства и оценки, которым удовлетворяют итерационные приближения внешнего и внутреннего процессов. Дія изучения двухступенчатого метода в дальнейшем используются только эти неравенства и оценки, без какой-либо дополнительной информации о свойствах операторов двухступенчатого метода как единого целого. Получена ограничения на выбор начатьного приближения, гарантирушие убывание нормы погрегаости различных двухступенчатых методов, оценки числа итераций внешнего процесса, необходимых для достижения заданной точности в двухступенчатом методе.
Доказана теорема о полулокальной сходимости обобщенных линейных итерационных методов з линейных конечномерных структурно - нормированных пространствах, то есть пространствах, в которых в соответствие вектору it ставится не единственное число - его норма, а вектор с неотрицательными компонентами - абстрактная норма "Ц , обозначаемая через |гП
Рассматривается случай, когда
l^ = (iifiii,..JIyJOT^N
Существенной особенностью доказанной теоремы является то, что область, в которой итерационный метод сходится к решению исходной задачи, определяется отдельно по каждому из пространств К: > і = -f^jsi Применительно к задачам МГД это означает, что можно определить область, в которой сходится итерационный ме-
- в -
тод, отдельно для каждой сеточной функции. Полученные в работе теоретические результаты проясняют границь* применимости различных итерационных методов.
Апробашя работы. Материалы диссертации докладывались на семинаре под руководством академика А.А.Самарского, диссертация в целом докладывалась на научно-исследовательском семинаре кафедры Вычислительных методов факультета В'.ІиК :АГУ.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 3 работы. Список трудов приведен в конце реферата.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Объем работы 140 страниц, из них 3 рисунка, 2 таблицы; библиография 20 наименований.
