Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Краевые задачи нелинейной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах 14
1. Постановка задачи нелинейной фильтрации в двух слойном пласте 14
2. Постановка задачи теории фильтрации в трещиновато-пористых средах 17
3. Существование и единственность обобщенного решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте 24
4. Существование и единственность обобщенного решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах 39
5. Исследование регуляризованной задачи 50
6. Обоснование метода прямых для решения краевых задач теории фильтрации в трещиновато-пористых
средах 54
ГЛАВА II. Построение и исследование разностных схем для решения краевых задач нелинейной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах 70
I. Обозначения и вспомогательные результаты 70
2. Построение и исследование неявной разностной схемы для решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте 75
3. Исследование регуляризованной разностной схемы 88
4. Построение и исследование разностных схем для решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах . 100
Приложение
Заключение 126
Литература
- Постановка задачи теории фильтрации в трещиновато-пористых средах
- Существование и единственность обобщенного решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах
- Построение и исследование неявной разностной схемы для решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте
- Построение и исследование разностных схем для решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах
Введение к работе
Многие газовые и нефтяные месторождения представляют собой многопластовые и трещиновато-пористые образования. Большинство задач теории нелинейной нестационарной фильтрации в этих средах при известном начальном распределении поля давления и заданных режимах разработки месторождения в общей постановке, как известно, являются трехмерными. Однако, трехмерные задачи нестационарной нелинейной фильтрации жидкости и газа во взаимосвязанных пластах с произвольной границей весьма трудоемки для численного решения на ЭВМ, поэтому особую актуальность приобретает рассмотрение упрощенных моделей фильтрации в многослойных и трещиновато-пористых пластах путем сведения их к задачам меньшей размерности.
Упрощенные модели фильтрации в многослойных пластах предлагались многими авторами (см., напр./ijи приведенную там библиографию).
В случав трещиновато-пористой среды в каждой точке пространства приписываются два давления жидкости или газа - давление в порах и давление в трещинах, а также соответствующие им скорости фильтрации в порах и в трещинах. Это обусловлено значительной разницей в проницаемости пор и трещин. Задачи фильтрации в трещиновато-пористых средах, сформулированные в виде системы двух параболических уравнений, рассматривались, например, в работе [2],
Различные алгоритмы решения задач фильтрации как в многослойных, так и в трещиновато-пористых пластах предлагались в работах [ъ~ь]. Однако, исследование корректности предлагаемых моделей задач теории фильтрации, а также алгоритмов их решения в этих работах почти не проводилось.
Важным моментом в постановке задач фильтрации является вы- - 5 -бор закона фильтрации, т.е. зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Во многих случаях эта зависимость является нелинейной /"6-9/.
Отметим здесь нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления. При этом соответствующие задачи фильтрации формулируются в виде систем нелинейных вырождающихся параболических уравнений.
Сложность решения задач фильтрации вязко-пластической жидкости обусловлена во многом тем, что фильтрация происходит в области, границы которой заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения. В некоторых случаях такого типа задачи изучались в работах/10-22/.
Одним из наиболее распространенных и универсальных методов решения краевых задач, в том числе задач фильтрации, является метод конечных разностей. Теория этого метода для линейных, а также для весьма широких классов нелинейных параболических уравнений развита к настоящему времени достаточно полно /23-34.ЛЗначительно слабее изучены теоретические вопросы метода конечных разностей для систем параболических уравнений, допускающих вырождение по нелинейности.
Целью настоящей диссертации является построение и исследование разностных методов решения нестационарных задач фильтрации в многослойных, а также трещиновато-пористых средах в случае нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом сдвига.
Отметим работы, близкие к тематике диссертации.
В работах /"35-46/ рассматривались вопросы существования,единственности и гладкости решения линейных и нелинейных параболических уравнений, а также систем линейных уравнений (см. также /47.7 и приведенную там библиографию).
В работе /*48/ рассматривались некоторые разностные схемы для - б - нелинейного вырождающегося параболического уравнения, описывающего распространение температурных волн. Исследованию неявных разностных схем для уравнений такого типа посвящены работы В.Н. Абрашина /"32-35/\
В работах /4-9-54/ исследована сходимость метода конечных разностей для некоторых вырождающихся параболических уравнений теории фильтрации при некоторых достаточно сильных ограничениях на гладкость исходных данных.
Итерационные методы решения одномерного параболического урав-нения с вырождением (типа температурной волны) рассматривались в /55/.
Разностные методы решения стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом изучались в работах А.Д.Ляшко, М.М. Карчевского и др. /56-60./.
Разностным методам решения нестационарных задач нелинейной фильтрации в многослойных пластах посвящены работы/"1,10,17-22/.
В работе М.М.Карчевского, А.Д.Ляшко и М.Ф.Павловой /із/ исследованы явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для решения квазилинейного параболического уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в пористой среде при упругом режиме фильтрации. Доказаны теоремы существования и единственности решения первой краевой задачи.
Исследованию разностных схем решения нелинейных краевых задач посвящены также работы/"16, 61-64/.
В настоящей диссертации проводится построение и исследование математической модели задачи нестационарной фильтрации в многослойных пористых средах. Для этой модели, сформулированной в виде нелинейного вырождающегося параболического уравнения со специальными граничными условиями построены и исследованы разностные схемы.
Для нестационарной задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах построена и исследована математическая модель в виде системы из двух нелинейных параболических уравнений. Для решения этой задачи построен метод прямых [8-77] и исследована его сходимость.
Разностные схемы, построенные в диссертации использовались при проведении численных экспериментов для расчета конкретных нефтяных месторождений.
Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.
Первая глава, содержащая шесть параграфов, посвящена постановке и исследованию краевых задач нестационарной фильтрации в двухслойных пористых и трещиновато-пористых средах в случае нелинейного непрерывного закона фильтрации с предельным градиентом и обоснованию применимости метода Роте для нелинейной задачи фильтрации газа в трещиновато-пористых средах. Исследование краевых задач фильтрации проводится при минимальных требованиях на гладкость исходных данных. При доказательстве существования и единственности решения задач фильтрации существенно используется метод теории монотонных операторов (см.,например, [4-і]).
В I главы I рассмотрена постановка нестационарной задачи фильтрации в двухслойной пористой среде, состоящей из хорошопро-ницаемого и плохопроницаемого пластов. За основу выбрана физическая модель Хантуша,которая описывается системой двух нелинейных параболических уравнений.Эта система сведена к одному квазилинейному уравнению параболического типа,описывающему процесс фильтрации в плохопроницаемом пласте.Фильтрация же в хорошопро-ницаемом пласте учтена в граничном условии специального вида.
В 2 приведена физическая постановка одномерных нелинейных задач нестационарной фильтрации газа и жидкости в трещиновато-пористых средах. В случае фильтрации газа граничные условия яв- -,8-ляются неоднородными, что не позволило исследование вопроса разрешимости аналогично случаю однородных граничных условий. Поэтому путем введения новых неизвестных задача фильтрации газа в трещиновато-пористой среде сведена к системе нелинейных параболических уравнений с однородными граничными условиями, благодаря чему удалось доказать теорему разрешимости.
В случае фильтрации жидкости систему параболических уравнений удалось свести к одному уравнению с помощью так называемого метода "вспомогательной области" (см. /"39./, а также /"78-79_/) путем введения фиктивной области фильтрации.
Заметим, что в случае фильтрации газа рассматривается линейный закон фильтраций, в случав жидкости - нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления.
В 3 приведена математическая модель задачи фильтрации в многослойных пластах.
Пусть У - сепарабельное банахово пространство с нормой где Q - область фильтрации, %} - часть границы Q , разделяющая хорошо- и плохопроницаемых пластов, У - сопряженное к У пространство, HOJ) *\и:и*1,Ш; У),]Цеіл(О, Г; У*)г и(я.О)шо\
Решение задачи фильтрации в многослойных пластах определяется как функция UQti) е IVCfyT) удовлетворяющая при произвольной функции 4 (&,{) 1*(ОгТ;У) интегральному тождеству liSt'b'Lb'b]*1
О Si *ґ0 г. 9 - * 5У1* «. ?<*»' <** * сод) - ~Я"v $ ГД9 К: (Xi, 9? ) f ( і = /7^) - Функция определяющая закон фильтрации. Доказана теорема I.I существования и единственности решения задачи (0.1). При этом существенно используются свойство непрерывности, монотонности и коэрцитивности оператора jC порождаемого формой
Доказательство теоремы I.I проводится с помощью метода Галер-кина. Доказана разрешимость галеркинской системы. Для галеркин-ских приближений получены априорные оценки, которые играют важную роль при доказательстве сходимости этих приближений к решению задачи (0.1).
В Ц- сформулирована математическая модель задачи фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде. Решение задачи также,как и в 3 определено при помощи интегрального тождества ой* 0 Si. (0.2) т r - 10 -Доказана теорема 1.2 существования и единственности обобщенного решения задачи (0.2).
В 5 наряду с исходным законом фильтрации и предельным градиентом рассматривается близкий закон без предельного градиента. Задачам (0.1) и (0.2) соответствуют в этом случае регуляризован-ные задачи.
Доказано, что решения регуляризованных задач сходятся к решениям задач (0.1) и (0.2) сильно в^С^Л/^С^)) со скоростью
В б рассматривается задача фильтрации газа в трещиновато-пористой среде.
Наличие нелинейных коэффициентов при производных по временной переменной / здесь не позволяет применить методы, разработанные в 3,4- для доказательства разрешимости этой задачи. Для исследования решения задачи применяется метод прямых (Роте), благодаря чему удалось доказать теорему существования. Заметим, что одновременно построен итерационный алгоритм численного решения задачи.При этом получены оценки для последовательности итерационных приближений. Доказана также двусторонняя сходшлость итерационного метода.
Вторая глава, содержащая четыре параграфа,.посвящена построению и исследованию разностных схем для задач нестационарной нелинейной фильтрации жидкости в двухслойных пористых и трещиновато-пористых ередах.При доказательстве сходимости разностных схем используются минимальные предположения о гладкости исходных данных,обеспечивающие лишь обобщенную разрешимость дифференциальной задачи.Исследование сходимости разностных схем основано на получении априорных оценок для восполнений сеточных функ -ций в последующем предельном переходе в сумматорном тождестве, определяющим разностную схему. При этом существенно использует- - II - ся свойство монотонности разностного оператора по пространственным переменным.
В I главы I, носящей вспомогательный характер, вводятся необходимые обозначения различных сумм и норм сеточных функций, определяются некоторые восполнения сеточных функций.
В этом параграфе приводятся ряд необходимых в дальнейшем результаты о компактности множеств восполнений сеточных функций в Соболевских пространствах.
В 2 для задачи (0.1) при помощи метода сумматорных тождеств /65/ построена и исследована неявная разностная схема
У і < Ay = У, (0.3) где у - значение сеточной функции I/ на верхнем временном слое, а оператор / - является разностной аппроксимацией оператора А .
Доказана однозначная разрешимость разностной схемы (0.3).
Для решения разностной схемы получены априорные оценки,которые используются при доказательстве сходимости разностной схемы (0.3).
Доказано, что последовательность кусочно-постоянных воспол- . нений разноотной схемы сходится слабо в i.(QT) к решению t/&i) дифференциальной задачи (0.1).
В 3 рассмотрена регуляризованная разностная схема/24/ для задачи (0.1): [ + rrfjfy + Ay = У, (ОЛ) где /) - самосопряженный, равномерно ограниченный по /t оператор.
В случае, когда $ является положительно определенным оператором, для решений разностной схемы (ОЛ) получены априорные г 12 -оценки.
Б случае же, когда оператор Q лишь неотрицателен, априорные оценки удалось установить при условии где С - постоянная, не зависящая от к и. 7* .На основе априорных оценок доказана слабая сходимость последовательности кусочно-постоянных восполнений решений разностной схемы (0.4) к решению задачи (0.1) при % h -*- О9 T/h* -*- #
В 4 построены и исследованы явная и неявная разностные схемы для решения задачи (0.2), описывающей процесс фильтрации жидкости в трещиновато-пористых средах.
Доказано, что построенные разностные схемы однозначно разрешимы, а последовательности кусочно-постоянных восполнений решений разностных схем сходятся слабо к решению задачи (0.2).
В приложении приводятся результаты численного решения на ЭВМ двумерной нелинейной задачи фильтрации для нефтяных месторождений "Ханкыз" и "Чаур-Яркутан" на территории УзССР и справка о внедрении полученных результатов. Полученные результаты расчетов достаточно хорошо согласуются с фактическими промысловыми данными.
Перечислим основные результаты диссертации.
Построены математические модели нелинейных задач нестационарной фильтрации в двуслойных и трещиновато-пористых средах в случае нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом. Доказаны теоремы существования и единственности решений задач.
Построены явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для нелинейных задач нестационарной фильтрации в двухслойных и трещиновато-пористых средах. Доказаны теоремы существования и единственности решений разностных схем и теоремы о сходи- - ІЗ -мости кусочно-постоянных восполнений решений разностных схем к решению дифференциальных задач.
3. Построен и исследован итерационный метод для решения нестационарной задачи фильтрации газа в трещиновато-пористых средах.
Основные результаты диссертации докладывались на заседаниях научного семинара кафедры вычислительной математики КГУ, научного семинара лаборатории "Алгоритмизация" НПО "Кибернетика" (г. Ташкент), городского семинара по алгоритмизации (г.Ташкент),городского семинара по уравнениям математической физики (г.Ташкент), на конференциях молодых ученых Узбекистана 1977-1982 гг., на У Всесоюзном семинаре "Численные методы решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (г.Ташкент - 1980), на семинарах Ш, УП, УШ Всесоюзных школ молодых ученых "Численные методы решения задач математической физики" (Минск - 1978,Львов-1983, Минск - 1984) и опубликованы в [80-85] .
В работе 81] Мухидинову II.М. принадлежит содержательная постановка задачи и построение математической модели.
Постановка задачи теории фильтрации в трещиновато-пористых средах
Как известно, уравнение неразрывности потока в случае трещиновато-пористой среды при перетоке жидкости или газа из одной среды в другую интенсивностью имеют вид где пористость трещины и блока соответственно; Р - плотность жидкости или газа. Функция перетока Q определяется следующим образом: в случае однородной жидкости в случае идеального газа здесь - плотность и вязкость жидкости или газа; Рп - давления в трещинах и блоках; без-размерная характеристика трещиновато-пористой среды, пропорциональная проницаемости пористых блоков и площади поверхности тре щин; (Г - удельная поверхность трещин.
В дальнейшем будем предполагать, что отношение плотности к вязкости р /л/О пластовой жидкости или газа, а также безразмерная характеристика трещиновато-пористой среды #/ не зависят от давления. Подставляя в уравнение неразрывности потока(1.2.1) выражения для скоростей фильтрации [і,II] и выражения для функций перетока (1.2.2), (1.2.3), получаем основные уравнения неустановившейся фильтрации в трещиновато-пористом пласте; в случае жидкости в случае газа где Я =1 /, ] - параметр формализации - ji,, 0; / / $ # значения начального градиента; Kf , - коэффициент проницаемости; jv - вязкость; j8 , f - упругоемкость; flf -Р - искомые поля давления.
Рассмотрим изолированный трещиновато-пористый пласт, который разрабатывается скважиной с заданным дебитом. Так как совершенная галерея вскрывает блоки и трещины по разделу пластов,то дебит ее состоит из суммы локальных дебитов,протекаемых на стенки галерей из блоков и трещин. Кроме того считаем, что давления в блоках и трещинах на стенке скважины равны между собой в каждый момент движения. Предположим, что до начала разработки пласт находился в невозмущенном состоянии. В этом случае приходим к следующим задачам в безразмерных переменных: в случае газа Рассмотрим задачу (I.I.2) - (I.I.5). Определим пространство как совокупность всех функции получаемых в результате замыкания множества бесконечно дифференцируемых финитных в /" функций в норме
Заметим, что по построению пространство У является сепа-рабельным банаховым пространством. Кроме того,введем в рассмотрение следующие пространства: // - гильбертово пространство со скалярным произведением
Доказательство. I) Непрерывность и ограниченность оператора I следует из непрерывности функций / и ij и условий (1.1,6), (I.I.7).
Для доказательства монотонности оператора сначала вычислим производную Гато этого оператора. По.определению производной Гато, имеем Лемма 1.2. Система (I.3.3) имеет хотя бы одно решение, определенное для всех ъ 6 [0.TJ. Доказательство леммы 2 можно провести используя известную лемму (см.напр.работу /477, с.67, лемма 4) о разрешимости систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений.
При исследовании разрешимости задачи (1,3.1) нам потребуется априорная оценка на решение Для получения этой оцен-ки V -е уравнение системы (1.3.3) умножим на Су (.i) , просуммируем по У и проинтегрируем по / от 0 до і (0,Т] Покажем, что U(#,0) -О . Для этого произведем в (1.3.8) интегрирование по частям по переменной , вычитая получившееся выражение из (1.3.10) и учитывая, что получим соотношение из которого следует, что U(зс,0) -0 в смысле пространства Докажем; теперь,что функция U(xJ) удовлетворяет интегральному тождеству Для этого запишем следующее очевидное неравенство
Разделив последнее неравенство на ./ / -и устремив «//-»- , будем иметь, что Из последнего соотношения и соотношения (1.3.10) вытекает, что Ц(х,і) удовлетворяет интегральному тождеству обобщенное решение задачи (I.I.2) - (I.I.5). Докажем, что функция vC tO определяется единственным образом. Пусть функции Z/f С&, /) и j r;/j удовлетворяют (1.3.1).Тогда для разности будем иметь
Следовательно, функция У невозрастающая неотрицательная функция аргумента t , к тому тУ(О) = 0\ таким образом УСі) - 0 почти для всех . Теорема доказана. дочти всюду, назовем обобщенным решением задачи (1.2.II), если для любого справедливо следующее интегральное тождество:
Заметим, что здесь и в дальнейшем выражение в. случае, когда понимается как значение функционала ТУ на элементе Для исследования разрешимости задачи (1.2,10) или (1.2.II) нам потребуется следующая Лемма 1.3. Оператор определяемый соотношением является непрерывным ограниченным оператором, действующий
Существование и единственность обобщенного решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах
Многие газовые и нефтяные месторождения представляют собой многопластовые и трещиновато-пористые образования. Большинство задач теории нелинейной нестационарной фильтрации в этих средах при известном начальном распределении поля давления и заданных режимах разработки месторождения в общей постановке, как известно, являются трехмерными. Однако, трехмерные задачи нестационарной нелинейной фильтрации жидкости и газа во взаимосвязанных пластах с произвольной границей весьма трудоемки для численного решения на ЭВМ, поэтому особую актуальность приобретает рассмотрение упрощенных моделей фильтрации в многослойных и трещиновато-пористых пластах путем сведения их к задачам меньшей размерности.
Упрощенные модели фильтрации в многослойных пластах предлагались многими авторами (см., напр./ijи приведенную там библиографию).
В случав трещиновато-пористой среды в каждой точке пространства приписываются два давления жидкости или газа - давление в порах и давление в трещинах, а также соответствующие им скорости фильтрации в порах и в трещинах. Это обусловлено значительной разницей в проницаемости пор и трещин. Задачи фильтрации в трещиновато-пористых средах, сформулированные в виде системы двух параболических уравнений, рассматривались, например, в работе [2],
Различные алгоритмы решения задач фильтрации как в многослойных, так и в трещиновато-пористых пластах предлагались в работах [ъ ь]. Однако, исследование корректности предлагаемых моделей задач теории фильтрации, а также алгоритмов их решения в этих работах почти не проводилось.
Важным моментом в постановке задач фильтрации является вы - 5 -бор закона фильтрации, т.е. зависимости скорости фильтрации от градиента давления. Во многих случаях эта зависимость является нелинейной /"6-9/.
Отметим здесь нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления. При этом соответствующие задачи фильтрации формулируются в виде систем нелинейных вырождающихся параболических уравнений.
Сложность решения задач фильтрации вязко-пластической жидкости обусловлена во многом тем, что фильтрация происходит в области, границы которой заранее неизвестны и должны быть определены в процессе решения. В некоторых случаях такого типа задачи изучались в работах/10-22/.
Одним из наиболее распространенных и универсальных методов решения краевых задач, в том числе задач фильтрации, является метод конечных разностей. Теория этого метода для линейных, а также для весьма широких классов нелинейных параболических уравнений развита к настоящему времени достаточно полно /23-34.ЛЗначительно слабее изучены теоретические вопросы метода конечных разностей для систем параболических уравнений, допускающих вырождение по нелинейности.
Целью настоящей диссертации является построение и исследование разностных методов решения нестационарных задач фильтрации в многослойных, а также трещиновато-пористых средах в случае нелинейного закона фильтрации с предельным градиентом сдвига.
Отметим работы, близкие к тематике диссертации.
В работах /"35-46/ рассматривались вопросы существования,единственности и гладкости решения линейных и нелинейных параболических уравнений, а также систем линейных уравнений (см. также /47.7 и приведенную там библиографию).
Построение и исследование неявной разностной схемы для решения первой краевой задачи нелинейной фильтрации в двухслойном пласте
В работе рассматривались некоторые разностные схемы для нелинейного вырождающегося параболического уравнения, описывающего распространение температурных волн. Исследованию неявных разностных схем для уравнений такого типа посвящены работы В.Н. Абрашина
В работах /4-9-54/ исследована сходимость метода конечных разностей для некоторых вырождающихся параболических уравнений теории фильтрации при некоторых достаточно сильных ограничениях на гладкость исходных данных.
Итерационные методы решения одномерного параболического урав-нения с вырождением (типа температурной волны) рассматривались в /55/.
Разностные методы решения стационарных задач теории фильтрации с предельным градиентом изучались в работах А.Д.Ляшко, М.М. Карчевского и др. /56-60./.
Разностным методам решения нестационарных задач нелинейной фильтрации в многослойных пластах посвящены работы/"1,10,17-22/.
В работе М.М.Карчевского, А.Д.Ляшко и М.Ф.Павловой /із/ исследованы явные, неявные и регуляризованные разностные схемы для решения квазилинейного параболического уравнения, описывающего нелинейную фильтрацию жидкости в пористой среде при упругом режиме фильтрации. Доказаны теоремы существования и единственности решения первой краевой задачи.
В настоящей диссертации проводится построение и исследование математической модели задачи нестационарной фильтрации в многослойных пористых средах. Для этой модели, сформулированной в виде нелинейного вырождающегося параболического уравнения со специальными граничными условиями построены и исследованы разностные схемы.
Для нестационарной задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах построена и исследована математическая модель в виде системы из двух нелинейных параболических уравнений. Для решения этой задачи построен метод прямых [8-77] и исследована его сходимость.
Разностные схемы, построенные в диссертации использовались при проведении численных экспериментов для расчета конкретных нефтяных месторождений.
Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.
Первая глава, содержащая шесть параграфов, посвящена постановке и исследованию краевых задач нестационарной фильтрации в двухслойных пористых и трещиновато-пористых средах в случае нелинейного непрерывного закона фильтрации с предельным градиентом и обоснованию применимости метода Роте для нелинейной задачи фильтрации газа в трещиновато-пористых средах. Исследование краевых задач фильтрации проводится при минимальных требованиях на гладкость исходных данных. При доказательстве существования и единственности решения задач фильтрации существенно используется метод теории монотонных операторов (см.,например, [4-і]).
В I главы I рассмотрена постановка нестационарной задачи фильтрации в двухслойной пористой среде, состоящей из хорошопро-ницаемого и плохопроницаемого пластов. За основу выбрана физическая модель Хантуша,которая описывается системой двух нелинейных параболических уравнений.Эта система сведена к одному квазилинейному уравнению параболического типа,описывающему процесс фильтрации в плохопроницаемом пласте.Фильтрация же в хорошопро-ницаемом пласте учтена в граничном условии специального вида.
Построение и исследование разностных схем для решения краевой задачи нелинейной фильтрации в трещиновато-пористых средах
В случае фильтрации жидкости систему параболических уравнений удалось свести к одному уравнению с помощью так называемого метода "вспомогательной области" (см. /"39./, а также путем введения фиктивной области фильтрации.
Заметим, что в случае фильтрации газа рассматривается линейный закон фильтраций, в случав жидкости - нелинейный закон фильтрации с предельным градиентом давления.
В 3 приведена математическая модель задачи фильтрации в многослойных пластах. Пусть У - сепарабельное банахово пространство с нормой где Q - область фильтрации, %} - часть границы Q , разделяющая хорошо- и плохопроницаемых пластов, У - сопряженное к У пространство,
Решение задачи фильтрации в многослойных пластах определяется как функция UQti) е IVCfyT) удовлетворяющая при произвольной функции 4 (&,{) 1 (ОгТ;У) интегральному тождеству
Функция определяющая закон фильтрации. Доказана теорема I.I существования и единственности решения задачи (0.1). При этом существенно используются свойство непрерывности, монотонности и коэрцитивности оператора JC порождаемого формой
Доказательство теоремы I.I проводится с помощью метода Галер-кина. Доказана разрешимость галеркинской системы. Для галеркин-ских приближений получены априорные оценки, которые играют важную роль при доказательстве сходимости этих приближений к решению задачи (0.1).
В сформулирована математическая модель задачи фильтрации жидкости в трещиновато-пористой среде. Решение задачи также,как и в 3 определено при помощи интегрального тождества
Доказана теорема 1.2 существования и единственности обобщенного решения задачи (0.2). В 5 наряду с исходным законом фильтрации и предельным градиентом рассматривается близкий закон без предельного градиента. Задачам (0.1) и (0.2) соответствуют в этом случае регуляризован-ные задачи. Доказано, что решения регуляризованных задач сходятся к решениям задач (0.1) и (0.2) сильно в С Л/ С )) со скоростью В б рассматривается задача фильтрации газа в трещиновато-пористой среде.
Наличие нелинейных коэффициентов при производных по временной переменной / здесь не позволяет применить методы, разработанные в 3,4- для доказательства разрешимости этой задачи. Для исследования решения задачи применяется метод прямых (Роте), благодаря чему удалось доказать теорему существования. Заметим, что одновременно построен итерационный алгоритм численного решения задачи.При этом получены оценки для последовательности итерационных приближений. Доказана также двусторонняя сходшлость итерационного метода.
Вторая глава, содержащая четыре параграфа,.посвящена построению и исследованию разностных схем для задач нестационарной нелинейной фильтрации жидкости в двухслойных пористых и трещиновато-пористых ередах.При доказательстве сходимости разностных схем используются минимальные предположения о гладкости исходных данных,обеспечивающие лишь обобщенную разрешимость дифференциальной задачи.Исследование сходимости разностных схем основано на получении априорных оценок для восполнений сеточных функ -ций в последующем предельном переходе в сумматорном тождестве, определяющим разностную схему. При этом существенно использует - II ся свойство монотонности разностного оператора по пространственным переменным.
В этом параграфе приводятся ряд необходимых в дальнейшем результаты о компактности множеств восполнений сеточных функций в Соболевских пространствах.
В 2 для задачи (0.1) при помощи метода сумматорных тождеств /65/ построена и исследована неявная разностная схема где у - значение сеточной функции I/ на верхнем временном слое, а оператор / - является разностной аппроксимацией оператора А .
Доказана однозначная разрешимость разностной схемы (0.3).
Для решения разностной схемы получены априорные оценки,которые используются при доказательстве сходимости разностной схемы (0.3).
Доказано, что последовательность кусочно-постоянных воспол- . нений разноотной схемы сходится слабо в i.(QT) к решению t/&i) дифференциальной задачи (0.1).
