Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Численное исследование течения бингамовской вязкопластической жидкости 18
1.1. Модель бингамовской жидкости 18
1.2. Вспомогательные результаты 21
1.3. Дискретная задача 27
1.4. Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода 31
1.5. Выводы 43
Глава 2. Численное исследование течения обобщённой ньютоновской жидкости 44
2.1. Постановка задачи 44
2.2. Предварительные результаты 45
2.3. Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода 48
2.4. Выводы 56
Глава 3. Алгоритм поиска итерационных параметров трехпараметрического метода 58
3.1. Формулировка алгоритма 58
3.2. Выводы 68
Глава 4. Практическая реализация трехпараметрического итерационного метода 70
4.1. Задача о каверне 70
4.2. Течение Пуазейля 72
4.2.1. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса 79
4.2.2. Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе переменного радиуса 82
4.2.3. Течение Пуазейля бингамовской жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса 84
4.3. Выводы 86
Заключение 88
Литература 89
- Вспомогательные результаты
- Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода
- Формулировка алгоритма
- Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса
Введение к работе
Актуальность темы. Задача численного решения уравнений гидродинамики имеет важное практическое значение, так как в подавляющем большинстве случаев (например, в случае уравнений Навье-Стокса, описывающих течение вязкой несжимаемой жидкости) нахождение аналитического решения в явном виде не представляется возможным. При этом, как правило, при дискретизации исходных дифференциальных уравнений, рассматриваемых в переменных скорость-давление, приходят к системам нелинейных алгебраических уравнений с седловыми операторами.
В настоящее время разработано достаточно много методов решения седло-вых задач, среди которых можно выделить класс итерационных методов, полученный различными модификациями хорошо известного алгоритма Эрроу-Гурвица. Заметим, что в отличие от линейных симметричных седловых задач, для которых эффективность оригинального алгоритма Эрроу-Гурвица не уступает многим другим алгоритмам, при решении нелинейных задач метод Эрроу-Гурвица начинает сходиться крайне медленно, а во многих случаях вообще перестаёт сходиться. Таким образом, с практической точки зрения интерес представляют обобщения метода Эрроу-Гурвица, среди которых следует отметить двухпараметрический [3 — т метод Г.М. Кобелькова, а также особо выделить трёхпараметрический итерационный метод, предложенный в работе Ю.В. Быченкова и Е.В. Чижонкова. Основными отличительными особенностями этих алгоритмов является простота реализации, минимальные требования к объёму памяти, а также гораздо более высокая скорость сходимости для нелинейных задач по сравнению с методом Эрроу-Гурвица.
Наибольший прогресс в теоретических исследованиях упомянутых итерационных методов удалось добиться в случае линейных симметричных задач: доказаны окончательные теоремы о сходимости алгоритмов и получены аналитические формулы для оптимальных итерационных параметров. Были также предприняты удачные попытки обоснования применения двухпа-раметрических и трёхпараметрического итерационных методов для решения
нелинейных задач. В частности, Ю.В. Быченков обосновал трёхпараметриче-ский итерационный метод для кососимметричной (как в уравнениях Навье-Стокса) и сильно монотонной нелинейностей. Представляется важным обобщение упомянутых методов на новые, более сложные нелинейные задачи, в частности— на задачи, описывающие течения бингамовской и обобщённой ньютоновской жидкостей.
Бингамовская жидкость — это модель вязкопластической среды, уравнение состояния которой имеет следующий вид:
Здесь Sij — символ Кронекера, g,v — положительные константы, характеризующие физические свойства среды, а — тензор напряжений, D(u) — тензор скоростей деформаций, a |-D(u)| — его второй инвариант. С математической точки зрения уравнения, описывающие течение бингамовских сред, представляют обобщения уравнений Навье-Стокса, отличающиеся от последних наличием нелинейного слагаемого, моделирующего пластические свойства среды. Теоретические исследования данных уравнений были проведены в работах Ж. Дюво, Ж.-Л. Лионса и др., результатами которых являются теоремы существования и единственности обобщённых решений в двумерном случае, а также теорема существования решения в трёхмерном случае. С вычислительной точки зрения основная трудность, связанная с моделированием течения бингамовской жидкости, заключается в недифференцируемости дополнительного нелинейного слагаемого. Одним из способов обхода этой трудности является рассмотрение различных регуляризации исходной задачи. Однако это не избавляет от вычислительных проблем, так как применение многих классических методов (например, ньютоновских и квази-ньютоновских) к регуляризованной задаче даёт крайне плохие результаты в силу плохой обусловленности получаемых уравнений. Таким образом, задача разработки эффективных методов расчёта течений бингамовской жидкости является актуальной.
Обобщённая ньютоновская жидкость — это модель нелинейно-вязкой жидкости, уравнение состояния которой имеет вид:
i,j = -p6ij + (p(\D(u)\)Dij(u),
где на функцию tp накладываются специальные ограничения, обеспечивающие существование и единственность обобщённых решений уравнений движения. Отметим, что данная модель является обобщением широкого класса физических постановок задач, в частности, при tp = const > 0 из неё следуют уравнения Стокса.
Целью диссертационной работы является исследование вопросов применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного решения двух классов нелинейных задач, а именно: задач, описывающих течение бингамовской вязкопластической и обобщённой ньютоновской жидкостей.
На защиту выносятся:
Доказательство локальной теоремы сходимости трёхпараметрического метода расчёта течений бингамовской жидкости.
Доказательство теоремы сходимости трёхпараметрического метода расчёта течений обобщённой ньютоновской жидкости.
Формулировка алгоритма поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров трёхпараметрического итерационного метода.
Научная новизна. В работе впервые проведено теоретическое обоснование сходимости трёхпараметрического итерационного метода для двух специальных классов нелинейных задач с седловыми операторами: в терминах указанных норм получены оценки скорости сходимости и исследованы их предельные свойства. Предложен и реализован алгоритм поиска практически приемлемых для счёта итерационных параметров в зависимости от параметров дискретизации и физических констант задачи.
На основе результатов численных экспериментов проведён сравнительный анализ трёхпараметрического метода с другими алгоритмами этого же класса.
Теоретическая и практическая ценность работы. Основная теоретическая ценность работы заключается в строгом математическом обосновании применимости трёхпараметрического итерационного метода для расчёта течений бингамовской и обобщённой ньютоновской жидкостей. Практическая ценность заключается в демонстрации на большом количестве тестовых примеров работоспособности исследуемого метода, а также в формулировке практического алгоритма поиска итерационных параметров.
Методы исследований. При доказательстве сходимости трёхпараметрического итерационного метода была использована теорема Каратеодоре, а также теорема о среднем. Для дискретизации уравнений движения использовался метод конечных элементов, а также метод конечных разностей на смещённых сетках
Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ ( [1 — 5]), из которых две ( [1 — 2] )— в журналах из "Перечня ведущих рецензируемых журналов и изданий, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание степени доктора и кандидата наук".
Апробация работы. Результаты работы докладывались автором на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. Г.М. Кобелькова (Москва, 2009), на ежегодных научных конференцях "Ломоносовские чтения "(Москва, 2008,2009), на международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики"(Москва 2009), на семинаре "Вычислительные и информационные технологии в математике "под руководством проф. В.И.Лебедева, д.ф.-м.н. Ю.М.Нечепуренко, чл.-корр. Е.Е.Тыртышникова (ИВМ РАН, Москва, 2009), на семинаре сектора "Вычислительная аэроакустика "под руководством к.ф.-
м.н. Т.К. Козубской (ИММ РАН, Москва, 2009) а также на 7-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2007).
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения. Библиография содержит 38 наименований. Общий объём диссертации 92 страницы. В работе содержится 14 рисунков и 15 таблиц.
Вспомогательные результаты
Глава 1 посвящена обоснованию применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного моделирования течений бингамовской жидкости. В разделе 1.1. формулируется двумерная стационарная первая краевая задача, описывающая течение несжимаемой изотермической бингамовской жидкости в переменных скорость-давление, а также рассматривается её регуляризация. В разделе 1.2. исследуются основные свойства операторов регуляризации. В разделе 1.3. выписывается формальная дискретизация уравнений движения бингамовской жидкости вида (2), для которой указывается выбор априорной информации. В разделе 1.4. доказывается основная теорема о локальной сходимости трёхпараметрического итерационного метода (6) для численного расчёта течений бингамовской жидкости, а также устанавливается асимптотическая оценка скорости сходимости рассматриваемого алгоритма. Глава 2 посвящена обоснованию применимости трёхпараметрического итерационного метода для численного моделирования течений обобщённой ньютоновской жидкости. В разделе 2.1. формулируется трёхмерная стационарная первая краевая задача для уравнений течения обобщённой ньютоновской жидкости, для которой приводятся известные теоремы существования и единственности решения. В разделе 2.2. выписывается формальная дискретизация уравнений движения обобщённой ньютоновской жидкости, для которой указывается выбор априорной информации. В разделе 2.3. изучается сходимость трёхпараметрического итерационного метода (6) для решения системы вида (2), полученной при дискретизации уравнений движения обобщённой ньютоновской жидкости. Доказывается теорема сходимости, а также устанавливается асимптотическая оценка скорости сходимости рассматриваемого алгоритма. Глава 3 посвящена особенностям реализации трёхпараметрического итерационного метода. В разделе 3.1. обсуждаются основные свойства трёхпараметрического итерационного метода, на основании которых фор 17 мулируется практическая процедура поиска приемлемых для счёта (квазиоптимальных) итерационных параметров. На примере двух модельных задач демонстрируется работоспособность предложенного алгоритма поиска итерационных параметров. Глава 4 посвящена обсуждению численных экспериментов, демонстрирующих работоспособность трёхпараметрического итерационного метода. В разделах 4.1,4.2. приводятся результаты численных экспериментов, среди которых расчёты течений в квадратной каверне, а также расчеты течения Пуазейля для цилиндрических труб как постоянного, так и переменного радиусов. По результатам диссертации опубликовано 5 работ ([34]— [38]).
Результаты работы докладывались автором на 7-ом Всероссийском семинаре "Сеточные методы для краевых задач и приложения" (Казань, 2007), на ежегодных научных конференцях "Ломоносовские чтения"(Москва, 2008,2009), на международной конференции "Современные проблемы вычислительной математики и математической физики" (Москва 2009), на семинаре "Вычислительные и информационные технологии в математике"под руководством проф. В.И.Лебедева, д.ф.-м.н. Ю.М.Нечепуренко, чл.-корр. Е.Е.Тыртышникова (ЙВМ РАН, Москва, 2009), на семинаре сектора "Вычислительная аэроакустика"под руководством к.ф.-м.н. Т.К. Козубской (ИММ РАН, Москва, 2009), а также на научно-исследовательском семинаре кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ им. М.В.Ломоносова под руководством проф. Г.М. Кобелькова (Москва, 2009). Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Евгению Владимировичу Чижонкову за постановку задачи и помощь в работе. Автор также выражает признательность коллективу кафедры вычислительной математики Механико-математического факультета МГУ. В главе исследуется применимость трёхпараметрического итерационного метода (б) для решения систем алгебраических уравнений вида (2), полученных в результате дискретизации уравнений, моделирующих течение бингамовской жидкости. Рассмотрим в ограниченной области ft С М2 стационарную первую краевую задачу для уравнений, описывающих течение несжимаемой изотермической вязкопластической жидкости Бингама в переменных скорость-давление [7] (1.1) Здесь f = (/і(ж, у); /2(37,2/)) — заданная вектор-функция правой части, u = (ui(x,y)]U2(x,y)) — неизвестный вектор, соответствующий скорости, р = р(х, у) — скалярная функция давления, определённая с точностью до константы. Для однозначности будем предполагать, что JpdQ = 0. При п этом или в покомпонентной форме: Положительные параметры р, v и д характеризуют физические свойства, а именно — плотность, вязкость и пластичность среды соответственно. Остановимся подробнее на физическом смысле параметра д. Введём следующее обозначение: В [9] показано, что уравнение состояния бингамовской жидкости может быть записано в следующем (эквивалентном) виде:
Доказательство сходимости трехпараметрического итерационного метода
Пусть U и Р— конечномерные аппроксимации пространств W и Z/2(0)/R соответственно, размерностей NJJ и Np, причём Nu Np. Будем считать, что в пространствах U и Р введены нормы, которые согласованы с нормами пространств W и L2(f2)/R соответственно. Пусть задача (2.3) аппроксимируется системой нелинейных алгебраических уравнений вида: { А(ч) + Bp = f где и Є U, р Є Р. Перечислим свойства входящих в неё операторов. Нелинейный оператор А{и) представим в виде А(и) = Ju + K(u), где J : U — U — линейный, самосопряжённый, положительно определённый оператор, К : U —» U — нелинейный оператор, удовлетворяющий условию: {K(v),v) 0 VveU. (2.5) В этом случае линейный оператор Ки представляет собой производную К в точке и. Он является самосопряжённым, положительно определённым оператором, для которого выполнено О Ки «л J, (2.6) где 0"i — сеточно-независимая константа. В : Р — U — линейный оператор, причём будем считать, что выполнено неравенство: Ki(p,p) supi i VpeP,«i 0, (2.7) иєи \\U\\j являющееся аналогом LBB-условия [12]. Отметим, что конечномерные операторы J, К и В являются дискретными аналогами операторов -абЛ, -V )р (\D(-)\2) D(-) V соответственно. Условия (2.5)-(2.6), которые накладываются на нелинейный оператор М, являются "естественными"в том смысле, что их аналоги справедливы в непрерывном случае (лемма 10). Для рассматриваемой постановки имеет место следующая далее теорема. Теорема 5. Пусть выполнены условия (2.5), (2.6). Тогда для произвольной правой части f Є U существует по крайней мере одно решение системы (2.4) Доказательство.
Введём следующие обозначения: Я = КегВТ, Fi(y,p) = Jv + K{v) + Вр- f. Тогда в силу уравнения Вти = 0, система (2.4) эквивалентна уравнению Fi(u,p) = 0, иєН, р Є Р. Пусть Р# : U —» Н — проектор, тогда (м) = PjfFi(u,p) определяет векторное поле в Н, не зависящее от р. Аналогично тому, как это делалось в доказательстве теоремы 2, применяя принцип Лерэ-Шаудера нетрудно видеть, что у поля F2{u) существует по крайней мере один ноль, который мы обозначим через й. Тогда Fi(u, 0) Є Н±, но в силу того, что imB = Ях, существует р Є Р такой, что Вр — —FI(TL, 0). Теорема доказана. Задачу (2.4) будем решать с помощью трехпараметрического итерационного метода (6). Будем предполагать, что для системы (2.4) и алгоритма (6) выполнены следующие условия: 0 OiQ J 0iQ, (2.8) 0 7iC BTQ lB ГіС, (2.9) где 0 #і Оі, 0 7і 5 Гі — сеточно-независимые константы. Условие (2.9) является аналогом LBB условия, а (2.8) связано с задачей построения эффективного предобусловливателя для оператора J. Пусть zk = (uk;ph)— приближение на к—ой итерации к решению z = (и;р). Рассмотрим норму H = \/(Qu, и) 4- та (Ср,р) (для v = (и;р)) и будем устанавливать сходимость трехпараметрического метода со скоростью геометрической прогрессии 0 q 1 в норме Ц-Ц , то есть доказывать неравенство \\zk - z\\n qk\\z z\\n. (2.10) Зафиксируем некоторый линейный оператор А Є conv{ 9A(u)} и изучим его свойства. Имеют место следующие леммы. Лемма 11. Оператор А представим в виде A = J + Ки, причем для его элементов справедливы неравенства 0 KU VlQ, где щ = о"101. Доказательство. Применим к линейному оператору А теорему Ка-ратеодоре: существуют линейные операторы АІ Є дА(щ) и А; 0, г = 1... NIJ -f 1 такие, что А = у j \АІ, у Xi = 1. і=1 і=1 При этом в силу дифференцируемости А во всех точках и легко заметить, что Ai = J + Кщ. Тогда нетрудно видеть, что в качестве Ки можно взять "%2 ККщ- В самом деле: І=І г=і Лемма доказана.
Лемма 12. Для операторов L = Q-1 2 (j + Ки) Q-V2, G = Q-l 2BC-l \ справедливы следующие двусторонние оценки: ej L (Єї + 771)/, ці GTG Гі/. Доказательство. Результат леммы немедленно следует из неравенств (2.5), (2.6), (2.8), (2.9), а также — леммы 11. Рассмотрим вспомогательный итерационный метод с линейным оператором А вместо А: fc+l к Q- — + Аик + j3BC lBTuk + Врк = /, (2.11) - а т С - — + BTuk+l = 0. г Пусть _( I Q-1AJ3Q-1BC-1BT Q XB Т= \ \С ХВТ (/ - TQ 1A - TPQ-1BC-1BT J І - lC lBTQ-lB оператор перехода в (2.11). Нас будет интересовать оценка 7?.—нормы оператора Т. В этой связи справедлива следующая лемма. Лемма 13. Пусть итерационные параметры трёхпараметрического метода удовлетворяют следующим условиям: 01 - 0, а
Формулировка алгоритма
Как уже отмечалось во введении, основная сложность, связанная с практическим использованием трёхпараметрического итерационного метода (равно как и двухпараметрического (3 — т метода, а также алгоритма Эрроу-Гурвица), заключается в нахождении приемлемых для счёта итерационных параметров г, (3, а. К сожалению, в отличие от линейных, симметричных, положительно определённых задач, для которых найдены аналитические формулы оптимальных итерационных параметров, для нелинейных задач не существует подобных результатов. Данное обстоятельство делает крайне важным нахождение конструктивной процедуры поиска параметров г, Р, а, без которой отсутствовала бы практическая ценность трёхпараметрического итерационного метода. Будем называть оптимальными итерационными параметрами такие г, а, Р, для которых норма невязки убывает в заданное количество раз за минимальное количество итераций. Прежде всего сделаем несколько предварительных замечаний. 1. Метод (6) крайне чувствителен к изменению итерационных параметров. Если физические параметры задачи {у,р,д в случае расчёта течений бингамовской жидкости) и параметр дискретизации h фиксированы, то уже в относительно небольшой окрестности оптимальных параметров т , а , Д метод либо перестаёт сходиться, либо сходится очень медленно. 2.
При небольших изменениях физических параметров задачи (например, v,p,g в случае расчёта течений бингамовской жидкости) оптимальные значения т ,а , (3 также меняются слабо, что позволяет при малом изменении v, р, д локализовать окрестность поиска новых оптимальных значений т, а, (3. 3. Оптимальные итерационные параметры метода (6) слабо зависят от параметра дискретизации исходной дифференциальной задачи, что позволяет эффективно определять т ,а , Д на сетке с крупным шагом, для их последующего уточнения, если это необходимо. На основании свойств метода 1)—3) предлагается практический алгоритм поиска оптимальных итерационных параметров. Без ограничения общности будем проводить описание для задачи расчёта течений бингамовской жидкости. Предположим, что удалось найти оптимальные значения т, а, (3 для некоторых щ, ро, до- Обозначим их через то, ао, До- На следующем шаге рассмотрим v\ = щ + Av, pi = ро + Ар, д\ = до + Ад и с помощью какого-либо алгоритма оптимизации (например, циклического метода покоординатного спуска) найдём новые оптимальные значения т\, а\, (3\, причём область поиска сузим до некоторого BR(TQ, ао, До) — шара радиуса R с центром в то, ао, До- Отметим, что конкретные значения АР, Ар, Ад, R, а также точность алгоритма оптимизации подбираются для каждой задачи экспериментально. Соответственно, на следующем шаге данного алгоритма рассматриваются v-i — v\ + Av, р2 = р\ + Ар, д2 = д\ + Ад и уже для них находятся оптимальные итерационные параметры в некоторой окрестности ті, а\, (3\. В качестве отправной точки предложенного алгоритма может служить некоторая линейная задача. В случае бингамовской жидкости, а также обобщённой ньютоновской жидкости такой является задача По функции тока строились компоненты вектора скорости: 9Ф дФ ду ох
Функция давления бралась вида: р(х, у)=х + у + с, где константа с выбиралась из условия ортогональности единице JрсШ = 0. По функциям щ, U2 up строилась правая часть f, после чего трех-параметрическим итерационным методом находилось численное решение Щ = (uih ,U2h), Ph системы (2). В трёхпараметрическом итерационном методе в качестве матрицы С использовалась единичная матрица, а в качестве Q — матрица S — дискретный аналог оператора (—А). Квазиоптимальные итерационные параметры метода находились с помощью процедуры, описанной выше, с Ар = 0.1 ий= 1.2. Критерием окончания итераций трёхпараметрического метода было уменьшение сеточной J&2 нормы невязки в 105 раз. В качестве начального приближения рассматривалось численное решение задачи Стокса с нормой невязки меньшей, чем 10 10. На каждой итерации трёхпараметрического метода линейная система с матрицей Q решалась с помощью метода BiCGStab [16] с предобусловливателем ILU(O) [14]. В таблице 3.1 приведены квазиоптимальные параметры, найденные при h\ = / = h — \.Таблица 3.2 демонстрирует зависимость числа итераций от размерности задачи при фиксированных итерационріьіх параметрах (таблица 3.2 построена для параметров г, а, (3, взятых из таблицы 3.1). Анализируя таблицу 3.2 можно сделать вывод, что в случае небольших р поиск квазиоптимальных параметров можно сильно упростить, находя их для задачи меньшей размерности. Прокомментируем прочерки, присутствующие в таблице 3.2. При увеличении параметра р окрестность квазиоптимальных параметров т, а, /3 (при фиксированном /і), в которой метод (6) сходится, уменьшается. Квазиоптимальные параметры из таблицы 3.1, вычисленные при h = \, не являются таковыми для случая других h. Причина в том, что к (константа из неравенства (1.12)) и соответственно 7 (из условия (1.14)) различны при различных h (при этом, согласно LBB-условию, все к ограничены снизу сеточно-независимой константой).
Таким образом, наличие прочерков в таблице 3.2 означает, что при достаточно больших р квазиоптимальные т, а, Р для h = не принадлежат Л-окрестности квазиоптимальных итерационных параметров для случая h = - (и h = ), в которой бы метод (6) сходился. В таблице 3.3 приведены квазиоптимальные итерационные параметры трёхпараметрического метода, посчитанные для случая h = .В качестве второго модельного примера будем рассматривать задачу (1.2) с фиксированными параметрами v и р равными 1 и 0 соответственно на области Г2 = (0;1)х(0;1).В контексте рассматриваемой задачи интерес представляет поведение трехпараметрического метода, а также алгоритма поиска итерационных параметров при изменении параметра д. Для дискретизации (1.2) воспользуемся методом конечных элементов [31]. В качестве VL будем, как и ранее, рассматривать единичный квадрат. Зафиксируем некоторое h такое, что hN = 1 (где N — натуральное число) и рассмотрим "северо-восточную"триангуляцию Т области Г2 прямоугольными треугольниками с длинами катетов равными h. Затем каждый треугольник триангуляции Th разобьем средними линиями на четыре треугольника и полученную триангуляцию обозначим T/j/2 (см. рис 3.2.).
Течение Пуазейля вязкой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса
Рассмотрим ламинарное течение вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе постоянного радиуса. Уравнения движения в цилиндрических координатах примут вид (4.1) с параметром g = 0. Известно, что закон распределения скоростей по сечению трубы является параболическим (см. рис. 4.3) и выражается формулой: Без ограничения общности будем полагать, что R = 1, а длина трубы / = 1. Поскольку в рассматриваемой задаче мы имеем дело с осисиммет-ричным случаем, то нам достаточно решать задачу в двумерной области Q = (0; 1) х (0; 1). Рассмотрим следующие граничные условия: Для численного решения задачи будем использовать трёхпараметриче-ский итерационный метод. Критерием остановки итераций будем считать уменьшение L i нормы невязки в 105 раз. В качестве матрицы Q рассматривается дискретный аналог оператора Лапласа, а в качестве С — единичная матрица. Вычисления будем проводить на квадратной сетке с шагами hr = hz = j j. Поиск квазиоптимальных итерационных параметров трёхпа-раметрического метода проводился с помощью алгоритма из главы 3, на более крупной сетке с hr = hz = - .
В таблице 4.3 приведены квазиоптимальные итерационные параметры трёхпараметрического метода для различных значений параметра р, а также количество итераций, необходимых для достижения критерия оконча ния итераций. Анализируя таблицу 4.3 можно сделать вывод, что для вязкой жидкости трёхпараметрический метод сходится крайне быстро. Причём с ростом влияния нелинейности задачи количество итераций трёхпара-метрического метода увеличивается, однако не столь значительно.
Также следует отметить, что с ростом параметра р значение итерационного параметра Р также увеличивается. Этот факт свидетельствует о существенном влиянии (3 на улучшение сходимости трсхпараметрического итерационного метода в случае нелинейных задач. На рис. 4.4 представлен график компоненты скорости uz рассчитанный при р = 150. Поскольку для течения Пуазейля в цилиндрической трубе постоянного радиуса известно аналитическое решение, интерес представляет анализ сходимости численного решения, полученного с помощью трёхпараметри-ческого метода, к точному решению задачи (см. таблицу 4.4). При вычислении параметров, представленных в таблице 4.4, параметр р принимался равным 10, а квазиоптимальные итерационные параметры выбирались из таблицы 4.3. Анализируя таблицу 4.4 можно сделать вывод, что норма ошибки для компоненты скорости uz убывает как 0(/i2). несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе переменного радиуса (система (4.1) с д = 0). Конфигурация рассматриваемого эксперимента представлена на рис. 4.5. Пусть 2. = - = 1, длина трубы 1 = 1. Будем предполагать, что на участках трубы постоянного радиуса перепад давления постоянен. Тогда для задания граничных условий мы должны приравнять расход жидкости в трубах радиуса Ri и В,2- Формула для расхода жидкости, текущей в круглой прямой трубе радиуса R при постоянном перепаде давления Ар Параболы на границах области согласованы из условия равенства расходов жидкости. Дискретный аналог (4.1) будем решать с помощью трёхпараметриче-ского итерационного метода. Критерий окончания итераций, матрицы Q и С, а также рассчётная сетка брались такими же, как и в предыдущем эксперименте. Расчёты проводились для тех же значений /?, что позволило использовать уже рассчитанные квазиоптимальные итерационные параметры трёхпараметрического метода. Анализируя таблицу 4.5 следует отметить, что с изменением граничных условий задачи скорость сходимости трёхпараметрического метода изменилась незначительно. Приведём теперь результаты расчёта течения
Пуазейля для бингамовской жидкости. Будем рассматривать течение в круглой трубе постоянного радиуса (см. рис. 4.7). Известно [4], что выражения для скорости в сдвиговой и пластической областях течения среды в случае стационарного изотермического течения однородной бингамовской жидкости в круглой трубе под действием постоянного перепада давления имеют следующий вид: где / — длина трубы, R — радиус трубы, a RQ — радиус области пластического течения, который определяется по формуле Предложенная физическая постановка задачи описывается системой уравнений 4.1. В качестве области Г2 будем рассматррівать единичный квадрат (0; 1) х (0;1). Для расчёта предложенной задачи будем использовать трёхпараметрический итерационный метод с теми же матрицами Q и С а также критерием остановки итераций, что и в предыдущем пункте. Пара
Похожие диссертации на Исследование трёхпараметрического итерационного метода, ориентированного на решение двух классов задач с нелинейными седловыми операторами
