Введение к работе
Актуальность рассматриваемой тематики объясняется в основном следующими причинами: в связи с потребностями приложений и математического моделирования нередко возникает
новые классы граничных задач, к которым применение существующих методоз невозможно или является недостаточно эффективным. В связи с этим появляется необходимость распространения существующих методов на более общие дифференциальные задачи к построение новых вычислительных алгоритмов, которые охватывали бы более широкие классы задач с пограничным слоем. Такие методы должны обладать большой универсальностью, гибкими вычислительными свойствами, дол:::ны предоставлять вычислителю разнообразные возможности выбора подходящих ехем: которые помогли бы обойти или ослабить трудности решения систем численных уравнений высокого порядка и, следовательно, давали бы возможность, в частности, избегать многих трудных вопросов, связанных с организацией итерационных процессов и обеспечением их сходимости.
Цель работы. Построение и исследование численных мзто-дов для решения граничных задач в случае дифференциальных уравнений и систем с пограничным слоем, обладающих такими основными качествами, как устойчивость, достаточно высокая точность, универсальность и удобная реализуемость на ЭВМ. Проведение вычислительных экспериментов по решению ряда прикладных и модельных задач в области физики.плазмы, гидродинамики, теории упругости.
Научная новизна. Длк реления граничных задач с пограничным слоем разработан вариант метода дифференциальной ортогональной прогонки с введением регулирующих множителей, моделирующих поведение решений в зонах пограничных слоев. Выполнены численные эксперименты по решению типичных задач с пограчело-ем. Даны сравнительные характеристики полученных результатов с существующими. Доказана устойчивость в калом для варианта метода дифференциальной ортогональной прогонки и получены оценки погрешностей. Предложен.нозый класс вычислительных алгоритмов для решения систем линейных о.д.у. второго порядка с погранслоеы, основанный на методе унитарной прогонки. Дія ре- ' гулирования роста градиентов решений ь зонах погранслоёв построены специальные алгоритмы, основанные на введении в областях погранслоёв регулирующих матриц-множителей, обеспечивающих нормальный рост решений и градиентов решений. Для решения системы линейных о.д.у. первого порядка с пограничным слоем
исследован алгоритм метода множественной двусторонней пристрелки. Изучены сзойства матрицы Якоби и возможности их регулирования. Исследован рад важных вычислительных характеристик, определяющих качественную сторону вычислений. Дано обобщение результатов на некоторые нелинейные граничные задачи с псгран-слоем. Даны сравнительные характеристики вьяислительньх свойств предлагаемых методов с другими родственными методами. Проведено изучение спектральных свойств матриц замыкающих систем, полученных при применении метода множественной двусторонней пристрелки. При этом проведён анализ чисел обусловленности матрицы Якоби для различных разбиений области интегрирования. Выполнено .численное решение задачи, списывающей модель удержания плазменного столба с применением множественной двусторонней пристрелки, задачи о расчёте критической нагрузки колонны, задачи о движении жидкости между двумя.цилиндрами с проницаемыми стенками бесконечной длины и нескольких типичных задач с одним и двумя пограничными слоями с применением различных вычислительных алгоритмов, предлагаемых в диссертации.
Практическая ценность. Прозэдённые в диссертации исследования и разработанные на их основе алгоритмы позволяют достаточно эффективно репать широкие классы задач с погранслоя-ми или внутренними переходными слоями. Кроме того, методика, предложенная в диссертации, позволяет решать ряд жёстких задач в случае линейных и нелинейных дифференциальных уравнений. Эффективность полученных модификаций подтверждена рядом вычислительных экспериментов. Полученные алгоритмы и программы могут быть использованы для практического решения подобных задач, а также в спецкурсах и спецсеминарах по теории решения граничных задач с пограничным слоем.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научных конференциях профессорско-преподавательского состава БГУ им. В.И.Ленина, ВТИ им. С.М.Кирова, на семинарах по вычислительной математике в БГУ им. В.И.Ленина, Институте математики АН БиСР, на республиканской научной конференции "Математическое моделирование и вычислительная математика" в г. Гродно.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [І-І4].
Структура и объём -работы. Диссертация состоит из введения, четырёх глав и заключения, содержит 184 страницы машинописного текста С без списка литературы). Полный объём диссертации, включая 38 таблиц, 9 рисунков и список литературы из 117 наименований, составляет 196 страниц.
Во введении приводится обзор основных работ по гсследу-еыои теме, обоснована актуальность темы и дано краткой содержание диссертации.
Первая глава посвящена изучению линейных граничных задач с мальм параметром при старшей производной и с возникающими при огом пограничными либо внутренними переходными слоями.
В наиболее общей форме такие задачи имеют вид:
у*(х)+а(х)у'(я)-6[я}у(х) ={(.-), 04X
f4(U + fy'u)=Jbt >о% <3)
где а , 6 , / - гладкие на [Otl] функции, Л Ъ Q(x) $а*>0 .
Ьтн условии являются типичными, если иметь в виду приложение к такого рода задачам метода подгоночных коэффициентов и родственных методик.
В Я предложен вариант метода дифференциальной ортогональной прогонки (м.д.о.п.) с введением регулирующих множителей.
Суть м.д.о.п- для решения граничных задач вида (1-3) состоит в следующем.
Рассматриваетса граничная задача для системы о.д.у.
1 % = ** (*) У і * вг* tt/% + '/г (*) U)
с граничными условиями:
где сіІК(х)) і,к=і,&,^іх)х{я(ос) непрерывны на fa, &J , при атом diKlx)n ji (X) , і" і, S могут зависеть от 4 ; <4#Д-, }\ — заданные постоянные. Предполагается, что существует и единст-
бонно искомое решение yt(xj, У;.(х) заДачи (4і5). Введём вспомогательную функцию 0(х) к новые неизвестные функции y~fijvi "J(-) по ферулам:
V* т1 (ц S) fi(z)
где >; "гг^1(Х-1С)7 0> ^.(^,^)^0- функции- множители, з известной мере моделирующие профили пограничных слоев. Их выбор в зонах лограчолоёв долнен быть согласов&н с поведением функций у,(х) , У^С02) и должен быть таким, чтобы произведения
"^"ірУіУ<СХ) и ,/Г'г.С^)"^гС^) ^^11 Q необходимой мере стабилизированы. Ях можно, например, подобрать таким образом, чтобн выполнялись условия П,(Х,&)у((Х)^ЄР^іг *\(Я,і>)уй(х)і!Є0піі или
і">Пі(х,ї/ Уі(хі\ 4. , = /,5 , где ^-некоторая константа. Из соотношений (6,?) получим:
V*.-;
(8)
Дія U'('i'j и 7a.*J имеют место следующие уравнения:
^ - Ь„(я)и. +- <а^ж;^ +
У' = 4г (Я) и * hz. &) 'J' *" ^і 6^ - (п)
Эти уравнения можно разделить, если полечить равным нулю с #гJ тогда получим следующее уравнение для. 0(~) '.
Дифференциальные уравнения для функций ^2?J , г'ї~,' , &(%) таковы, что их можно численно решать последовательно, сначала (12). затем (1С) и, наконец, (II). Начальные знгтеник при этом будут иметь вид:
*:*. & со.) = j| , ^ *w - ij-, (із)
где є; =—%-,T , г =:_^1., ^ = ^.^--
Для уравнения (II),'предназначенного для обратной прогонки, начальное условие определим следующим образом:
в предположении, что
После определении функций б^г»;, И(Х), У(х> искомое рзілениа -функции ;^/^,) , у'?(сс) находятся по формулам (Ь,9).
Здрсь жз описан вариант м.д.о.п. в случае, когда по гран-слой находится на левом конце отрезка. Рассмотрен такта "тучай, когда граничная задача имеет два пограничных слоя4 и построена форма двусторонней ортогональной прогонки, г. которой компромиссно ссоцячяются правая и левая оптогоначьныз прогонки е некоторой внутренней точке „tf-,»J. Дано приложение ого? модификации м.д.о.п. к численному рзпенио граничной задачи с двумя пограничными слоями ка концах инїерпала с ве,і<ением в зонах обо'лл пограничных слоев регулирующих множителей
Ксслздозаіг.и:, проведённые в fr?.. связаны с устойчивостью в малом варианта м.д.о.п. Доказана теорема.
Тпордма I. Если граничная задача (1,3) устойчива относительно малых изменений величин, определявших зё, то устой-чче а рассматриваемый вариант и.д.о.п. .
Здесь же получены оценки погрешностей по схеме предлагаемого м.д.о.п. Окончательные оценки погрешностей имеют вид:
El. - fl - у'Г^)--^ ^(yfaJW V у'(**)Ьъ ?f)r
+ /Z а: &W - ** p:n &- h P* >
-,/ . n. "/
где у,,, и y^ - погрешости округлений при кы-шслении |''>г,|^
B_S3_ на основе м.д.о.п. строится алгоритм дія решения задачи о критических длинах в специальных лиг.змннх граничных задачах с подвижным правим концом. Дано численное решение задачи о расчёте критической нагрузка колоїди с шарнирным концом, на кгтеруя действует сила /' .
Для целей иллюстрации возможностей метода приведём тао'-лицу 1.1, где 5* - приближённое значение критической длины.
Таблица I.I
L ! q , , 'критическая Іточн! $u + c%
_f «_ „i_„Z S2i2 знач. _„_ .
4.71238879537 ! 1.00000098 I 1.0! 4.7I238898G
1.99 ! 7.G43978306?.I
-
! 7.85398126399 ! 2.00000174 ! 2.0! 7.853981624
-
! 7.8G398422III
2.99 ! 10.9855707734
33.00 ! 10.9955737313
3.01 ! 11.0055766882
3.000002913! 3.0 10.995574287
В 4 выполнен ряд численных экспериментов по решению типичных граничных задач с погранслоем, проведён их анатаз и получено рсшпние задачи о /,/мкенки кидкэсти iwerjr/ двумя цилиндрами с проницаемыми сменками бесконечной дкичы.
Во второй глаье исследуются методы решения грэничкых задач для линейных систем о.д.у. первого порядка с мальм параметром при производной, основанные на методе множественной двусторонней пристрелки (м.м.д.п.)
В 5 строятся вычислительные схемы м.м.д.п. для случал линейных задач общего вида с пограничным слоем, содержащие в себе процедуру решения задач Копій в прямом и обратном направлениях и решение замыкающей системы численных уравнений.
Рассматривается система линейных о.д.у. первого порядка:
с разделённом граничными услезиямк
(17) (18)
е?а) = п
где у: [o.il-VА(хЛ)-(а;;(*Л))і fa&)-(ft(*.l.J«&
&>0 - малый параметр,Я=(5$'Я^ *(%)!.'%г<р%?f* Шґір &=, "iSlntf t? = {, функции ay (я- ), /^ /у, ) имеэт зависимость от , характерную для задач с малым параметром при старшей производной к погранслоем.
Вычислительная схема предлагаемого алгоритма состоит из следующих этапов.
Решаются пристрелочные задачи Коии:
где //.... ,yiM.t- параметры пристрелки, для определения которых обычным путём может быть получена система уравнений:
которую можно записать в общем виде:
Же*) -О (22)
где ЇЄ:Г^Ж[ У"п.п, Z~(y,\ y;,....yJr
В зонах пограничных или переходных слоев поведение решения сильно усложняется, и, чтобы получить возможность точно г-і-'ілешвать пристрелочные траектории, необходимо регулировать вчбор пристрелочные параметров %;..< , гибко определять длину іюлозкительнкх^-./и отрицательных.^-./ подынтервалов пристрелки и правильно выбирать подходящие методы для численного решения задач Коши, в том числе и жёстких задач.
Обозначим Z^WOi), -,y**(Um-$i где У'Ы)- решение задачи (16-18), тогда будет выполняться условие %-(Z )~Сх Пусть 2ГЛ,-^/*;Г., ViSif- к-є приближение к 2*, (к4)-е ггзкблюкеняе вычисляется по методу Ньютона:
Xа'" > -= Z(<) + дГ'4 (23)
'ІЇЦ*Ї2І1. А г(с-' « - ^ ( X" f*-y * = с л «г . ..
*=.*<, —о?— *= ьи, Я ),
(19)
(20)
Определение 5. Г. М.м.д.п. называется сходящимся, если
сходится итерационная последовательность}/.' ч{* и иллХ1<)к *
Справедлива следующая теорема. к->=-
Теорема 5.1. Если тэеионие задачи (16-13) иьоливованное. то Ж (д%(І )/д*)*0 и Щі\КҐ, - О при Уг Є К ?
_3Jj6 изучаются свойства матриць: Якобл для замыкаиц^й системы уравнений и свойства пристрелочных задач Коти.
В $7 на примере исходной гранитной задачи поясняется механизм проявления жёсткости в рамкам вычислительных схем методов редукции граничных задач к задачам Коши» в том числе и з вычислительной схемо м.м.д.п.
В третьей главе в случае грагмчнъх задач для линейных систем о.д.у. второго первдка с погранслозм построены и исследованы модификации мзтода унитарной прогонки (м.у.и.).
5 8 представлена модификация м.у.п. для реления задач вада
Lу(я)=-,у*;х)+Ар)у'(х)і*>(х)ур!) =/(&;, лх*Д (25)
AJ/'V) *ЛгуС-<)"аг (26)
"VW + .S4KA)=i (27)
в предположении, что А (ее) , &(х) - произвольные квадратные матрицы порядка (ъ > n) , элементы которых кусочно-непрерывные функции х ,4: [cJt рJ-»(fа, Лі , Лг » &і . Я> - известные квадратные матрицы порядка (л * *ij, такие, что прямоугольные матрицы (Ліі Л&) и (>ь ^)имеют ianffJl1t Ilz]=-п, iano[&fi %^-= П1 &7(?- малый параметр при старшой производной.
Вычислительная схема предлагаемого алгоритма для решения задач вида (25-27) состоит в следующем.
Бводятся регулирующие матрицьі-мно;кителиі'//с:^^/'и Mgfc^) и рассматриваются данеє преобразованные вектор-функции
Вводятся в рассмотрение вспомогательные зектор-функции 1(3!), х'/> определённые на L*,fil и матрицы Wi(?!)> 1=1,й по правилу:
г(х)*Щ*(я)(Мг(хЛ)у'(я)]+ W6*(х)1М,(г)%&)}, (28)
S(xi--Щх)[&(*.&)%'&)] + K№[k\l*.)'
u//rr^- Ги*<*2 и^'*)] ^W- [vvi(«) ^ро.!
для ^^.P.BJ обладала свойством унитарности.
Решаются задачи Кози:
ч'+[$*№*ПЩТ№*cCWЧ~*<К (30, w' t ^;Т^ л- ^ ня;7(-«; W - ^з^ (31)
г'=
Матрицы ^Сх), У(х), *^"^ выбираются таким образом, чгобы выполнялись следующие условия, издуцируюцие унитарность /^^0:
В обратном ходе метода прогонки решаются следующие задачи Копи:
v<+ [f+ОСЖГН + ЮХ^- *;#%иу; об)
^ . . >
^(Я=^* (ЗО)
W4(fi)=Vh\ -fi9X*Jt (3S)
5'- ^tc;t * ^ж;л t и//M | (40)
PCp)" i, fi» z *d . (4I)
Искомое решение yCz), у(х) исходной системы о.д.у. с погранслоем находится по формулам:
MiCx/')Vl*) * Я1СХ)ЦК) * Щ(*)$(з.'){ (42)
^ (*. ) V^ * ^^*^+ ^(Я)& (я) . (43)
Достроены вычислительные схемы м.у.п. в случае, когда пограничный слой находится на левом конце отрезка, на правом,
а такхе при наличии погранолоя на обоих концах отрезка.
Ь $9 доказаны лемлы S.I и 9.2 о свойствах решений задач Копи и теорема 9.I об устойчивости в малом пррдіагаемой модификации м.у.п.
Теорема 9.I. Если задача (25-27) устойчива относительно малые изменения Еелпчга, определяющих её, то устойчив и рассматриваемый метод решения этой задачи.
Четвсртал заключительная глава посвящается изучению ррэ-личных модификаций мр'.одов пристрелки для решения нелинейных граничные задач с погранлчньми слоями.
_В_ііШ расематряваеїсч нелинейная двухточечная граііичная задача общего вада:
У'=т'Сі,у).. a*i*6t (44)
(46)
где у:[а6]-*3:/:Га6]<^: п?и сп-.мых общих предполокени<эс относительно отображений J , $ и области fa. 6 J . Исследуется метод множественной двусторонней пристрелки для нелинейных задач вида (44-45). йормулк, характеризующие этот мсітод, имеют вид:
^, Ц-і))і = ^.., --* Щ-і>
CI =t0*if * іг*. ..-* І^ПЧ 1 ^м^С.Где Zgj.f - течки приехг
релки, -tj - точки сшиза решений, 6/.., - параметры пристрелки к замыкающая сгстема уравнений запишется в виде
и ( Ч> Щ-, ) - * ^ *V* <)~;> ї*"' І (48)
где Х:3:--У />.:>,, Л'^у/...,ГЛ-,/.
Тіустьх(і-)- искомое решение граничной задачи (44-45). Обозначим ,/, - У( i^_<) , тогда Z'-fyT У?]. ...y/Zf -решение замыкающей системы уравнений (48). Искомое решение p't) представляется формулой
(47)
(-)
(50)
Практическая реализагда м.м.д.я. ч его качества зависят главным образом от того, аакие имеотоя возможности влияния на вычислительные свойства метода на следующих его основных этапах: выбор числа подынтервалов пристрелки; определение длин подынтервалов пристрелки; определение параметров пристрелки и их локализация; регулировка свойств замыкающей системы уравнений и её оптимизация по числу уравнений; определение пристрелочных траекторий; организация итерационных процессов и их оптимизация.
Дія решения замнкалщей системы (49) использовался катод Ньютона. Матрица Яхоби ±1^[*Ув случае системы (49) имеет зид:
дЩг)_
> 4(W.-v/; о,..., о. о
\ о, с, о о, п'**;'* -усг^
О 0О..0 ?-
* % І > )
гдз 4^ , *г.-.., , ^ . '-ггт-і~ соответствующие частные производные, блочные, подматрицы Яксби.. Здесь же даны сравнительные характеристики алгоритмов м.м.д.п. с некоторыми родственными методами.
В 11 представлены результаты вычислительных экспериментов по решению граничной задачи, деиащза в основе физической модели, описывающей процесс ограничения столба плазмы.
„В_Т2 на основе вычислительных экспериментов по реаіению упомянутой вьше задачи дако подробное изучение спектральных свойств матриц Якобм для замыкаюцей системы. Характер зависимости чисел обусловленности VY#») замыкающей системы от зыбо-ра длин подынтераапов Уг^'\ и J^".y от разбиений Я подынтервалов пристрелки, а также возможность их регулирования можно проследить по таблицам 12.I и 12.2 для случая Л - О,
Таблица 12.I
I2"IZjSZIiniJZII3ZI2~I~2IiIIIIIIZ^ZILZIIIIZIriZIIZI
1 ' ?i 0 .25 .50 .75 I
-
1 0 .50 .67 .84 I
-
P3 0 .17 .34 .50 I
-
P,, 0 .10 .20 .25 I
-
,o4- 0 .50 .30 .90 I
-
Pc 0 .65 .90 .95 I
_7 P%_ 0 ЛЮ Л75 .95 I
Таблица 12.2
1 "UT.llz" ~~14?7o99 7512802 ІбТзббї
-
495.049 495.352 .497650 31.5560
-
173.254 173.109 .144516 34.6243
-
313.138 313.063 .075313 64.4790
-
469.0Э9 459.031 .067596 83.3050
Изучались случаи, когда число точек пристрелки 0^і * і Л *-1 фиксировалось, л наиболее выгодная стратегия определялась, как компромисс между расположением точек пристрелки и внутренними свойствами замыкающих систем уравнений и их порядком.
Результаты ."экспериментов иллюстрируют высокую точность метода, возмокность регулирования спектральных свойств матриц Якоби с помощью изменения положения точек пристрелки, некоторые закономерности их поведения.
В заключении приведены основные результаты диссертации.
