Введение к работе
Актуальность темы
Раздел вычислительной математики, связанный с построением и исследованием численных методов интегрирования уравнений газовой динамики, развивается давно и весьма успешно. Здесь получено много важных и интересных результатов, которые плодотворно внедряются и в другие сферы вычислительного естествознания. Однако исследования в этом направлении активно продолжаются и в настоящее время. Связано это со сложностью системы газодинамических уравнений, обусловленной прежде всего ее нелинейностью. Кроме того наука и техника постоянно выдвигают разнообразные актуальные прикладные задачи, основу математических моделей которых составляют уравнения газодинамики. Для их решения, как правило, необходима модификация известных или конструирование новых вычислительных алгоритмов.
Учет в газодинамике дополнительных физических факторов может заметно изменить структуру математической модели. Это в свою очередь порождает новые эффекты, для надежного воспроизведения которых в расчете требуются адекватные алгоритмические приемы. Так, учет нелинейной теплопроводности приводит к появлению.двух новых типов тепловых волн (тепловые волны 1 и II рода). Присутствие магнитного поля в проводящем газе приводит к появлению трех скоростей звука, большого количества разнообразных разрывов, необычных с газодинамической точки зрения альфвеновских волн и т.д.
Одним из классических объектов для применения методов математического моделирования является современная астрофизика. Возможности прямых наблюдений, а тем более натурного эксперимента, здесь ограничены и поэтому роль теоретических исследований традиционно высока. На современном этапе математические модели в астрофизике становятся весьма сложными и их эффективное исследование, невозможно без использования всего арсенала средств математического моделирования. Необходимо также подчеркнуть, что на основании результатов расчетов здесь делаются выводы, существенные для астрофизической науки в целом. Поэтому требования к надежности расчетов возрастают.
Наличие тяготения и вращения, что характерно для задач астрофизики, порождает специфический класс математических моделей ( гравитационная газовая динамика ). Разработка, исследование и применение вычислительных методов для этой области газодинамики и составляет предмет рассмотрения настоящей работы, что обуславливает ее актуальность.
При численном решении система уравнений газовой динамики (и соответственно, гравитационной газодинамики) аппроксимируется разностной схемой, которая представляет собой некоторую дискретную модель изучаемого объекта. Дискретная и "дифференциальная" модели не тождественны друг другу. Дискретная модель может оказаться неконсервативной, то есть в ней не выполняются разностные аналоги законов сохранения. В дискретной модели проявляются диссипативные и дисперсионные факторы, имеющие чисто разностную природу. В силу отмеченных причин, решения, полученные численно на основе дискретной модели, могут заметно отличаться от решений дифференциальной задачи. При этом поведение численного решения зависит от шагов разностной сетки, способа аппроксимации отдельных членов исходных дифференциальных уравнений, аппроксимации граничных условий, способа представления области, в которой решается задача и т.д. Поэтому задача вычислительной математики состоит в разработке таких численных методов, где искажающее влияние указанных схемных факторов было бы минимальным. Кроме того метод должен быть эффективным, то есть требовать для реализации не слишком большого объема вычислительной работы. Для достижения этих целей существует широкий круг идей и подходов, который постоянно расширяется.
В мировой вычислительной практике при расчетах газодинамических задач, в том числе и задач гравитационной газодинамики, широко используется разностная схема Роу (P.L. Roe 1). Схема Роу принадлежит к классу эйлеровых явных разностных схем сквозного счета годуновско-го типа и удовлетворяет свойству монотонности, то есть не допускает осцилляции нефизического характера. При построении этой схемы для аппроксимации потоков на вводимой пространственной разностной сетке используется решение задачи о распаде произвольного разрыва (Rieman problem). В отличие от схемы Годунова2, где эта задача решается точно, в схеме Роу она решается приближенно (Approximate Rieman Solver), и нет необходимости находить решение нелинейных алгебраических уравнений в каждом узле сетки.
Однако, необходимо отметить, что наряду с отмеченными достоинствами схема Роу обладает рядом известных недостатков, которые негативно влияют на качество численного решения. Так, например, известны варианты начальных данных одномерной задачи, при которых в численных решениях, полученных с использованием схемы Роу, появля-
1 Roe P.L Characteristic-based schemes for the euler equations - Ann.Rev. Fluid Mech., 1986,
V.18, P. 337-365.
2 Годунов C.K. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений
гидродинамики. - Матем. сб., 1959, Т.47, вып. 3, С.271-306.
этся ударные водны разрежения (B.Einfeldt3). Заметим также, что моно-онность схемы Роу можно строго обосновать только для случая линей-гой гиперболической системы уравнений, и известны примеры, когда хема Роу дает немонотонное решение (К.В.Вязников и др.4). В связи с тим представлялось важным провести исследование схемы Роу и более [етально изучить ее свойства. При расчете задач, рассматриваемых в ра-юте, с целью обеспечения большей надежности результатов считалось (елесообразным параллельно использовать альтернативный численный ієтод. В качестве такового была выбрана разностная схема, построения в работе на основе метода крупных частиц. Данный метод является >дним из методов построения разностных схем для системы уравнений азовой динамики в эйлеровых переменных. При построении схем по тому методу используется идея расщепления исходной нестационарной истемы уравнений газовой динамики по физическим процессам. В этом лучае схема строится по этапам, на каждом из которых аппроксимиру-тся соответствующий газодинамический процесс.
Одним из первых численных методов, в котором реализована идея юэтапной аппроксимации газодинамических процессов, является метод истиц в ячейках, предложенный Харлоу з. Особенность этого метода юстоит в применении совместного эйлеро-лагранжева подхода для іредставления движущейся среды. В области решения вводится непо-цзижная (эйлерова) расчетная сетка, состоящая -из ячеек, а среда заме-іяется дискретной моделью, состоящей из совокупности частиц фикси-юванной массы (яагранжева сетка частиц). На первом этапе вычислений эассчитывается изменение параметров жидкости за счет сил давления в ілементарном объеме, фиксированном в жидкости (лагранжевой ячей-се), который первоначально совпадает с эйлеровой ячейкой. При этом іроисходит изменение границ лагранжевой ячейки. На втором этапе мо-їелируется движение потока частиц через границы эйлеровых ячеек. В зезультате происходит перераспределение частиц по эйлеровой сетке. На заключительном этапе происходит окончательное перераспределение лассы, импульса и энергии на основе аппроксимации законов сохране-тая.
В результате дальнейшего развития подхода, описанного выше, воз--іик метод крупных частиц, предложенный О.М. Белоцерковским и
; Emfeldt В On Godunov-type methods for gas dynamics. - SIAM J. Nurrier Anal., 1988, V.24, P. 294-318.
1 Вязников K.B., Тишкин В.Ф., Фаворский А.П., Численные примеры квазимонотонных схем газовой динамики. - М.'. преперинт ИПМ АН СССР им. М.В. Келдыша, 1988, №121.
' Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. - В сб.: Вычислительные методы в гидродинамике. - М: Мир, 1967, с. 316-342.
Ю.М. Давыдовым 6. В этом методе, в отличие от метода Харлоу, вместо дискретной совокупности частиц в ячейках рассматривается масса всей эйлеровой ячейки и непрерывные потоки массы через границы ячеек. Эти потоки вычисляются на основе аппроксимации закона сохранения массы, записанного для каждой эйлеровой ячейки.
В данной работе на основе метода крупных частиц строились разностные схемы, которые обладают свойством монотонности и консервативности. Схемы исследовались аналитически с использованием метода дифференциальных приближений. Проведено исследование устойчивости схем, а также их внутренних диссипативных свойств. На основе проведенного исследования предложен способ выбора оптимального шага по времени. В двумерном случае были построены схемы с автомагическим выбором шага по времени для декартовой и полярной систем координат. Схема для случая декартовой системы координат позволяет вести однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел достаточно произвольной формы.
Схемы, построенные в работе, сравнивались со схемой Роу на основе тестовых расчетов. В одномерном случае сравнение проводилось на примере задачи о распаде произвольного разрыва. В двумерном случае -на основе задач об обтекании плоскопараллельным потоком газа цилиндрического тела (такие течения являются одним из часто встречающихся элементов в задачах гравитационной газодинамики). В работе проведена серия численных расчетов задач этого класса в декартовой и полярной системах координат. В результате проведенного исследования были отмечены неизвестные ранее негативные особенности схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в расчетах и более сложных задач. Показано, что построенные в работе разностные схемы метода крупных частиц не обладают отмеченными недостатками, присущими схеме Роу. Исследовано влияние криволинейности системы координат на свойства разностных схем и, соответственно, на вид получаемых численных решений. Проведено сравнение результатов расчетов задач в декартовой и полярной системах координат.
Конкретной сферой приложения рассмотренных в работе численных методов решения задач гравитационной газовой динамики является задача об образовании спиральных волн в аккреционном диске двойной звездной системы. Для обеспечения надежности проводимых расчетов при решении данной задачи использовалась как схема метода крупных частиц, построенная в работе, так и схема Роу. Это дало возможность осуществить взаимный контроль методов и повысить достоверность результатов.
6 Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике. -М.: Наука, 1982.
Из астрономии известно, что более 70% всех звезд являются двойными или кратными. Поэтому большие усилия ученых сосредоточены на исследовании двойных звездных систем, состоящих, из двух компонент, вращающихся относительно общего центра масс. Характерным для двойных систем является перетекание газа между компонентами и его поглощение одной из них. Этот процесс обычно сопровождается образованием газового облака вокруг поглощающей компоненты. Такое образование в астрофизике называют аккреционным диском, а процесс поглощения - аккрецией.
Если аккрецирующая компонента двойной звездной системы является нейтронной звездой или черной дырой, то исследование процессов в аккреционном диске- единственный способ получения информации о свойствах этих уникальных объектов. Поэтому изучение процессов в аккреционных дисках имеет фундаментальное значение.
Большой интерес в теории аккреционных дисков представляет изучение механизмов потери веществом углового момента, которые определяют темпы аккреции и интенсивность связанного с ней излучения. Процессы аккреции приводят к изменению массы аккрецирующей компоненты и являются существенным фактором, влияющим на эволюцию системы в целом. Наблюдения свидетельствуют, что структура аккреционных дисков может быть весьма сложной и разнообразной из-за наличия газодинамических, гравитационных, ротационных и других процессов. Поэтому механизмы потери веществом углового момента также чрезвычайно сложны. Показано, что к потере углового момента могут приводить такие факторы, как турбулентная и магнитная (при наличии магнитных полей) вязкости.
В работах последних лет (K.Sawada и др.7, D.Molteni и др.8) проводилось математическое моделирование процессов в аккреционном диске. На основе анализа полученных в этих работах результатов была, в частности, высказана идея о том, что одной из причин потери веществом углового момента может являться образование спиральных ударных волн, названных так по форме своего фронта.
Проводились расчеты (K.Sawada, H.Spruit и др.9), в которых аккреционный диск выделялся в качестве самостоятельного элемента, и исследовалось влияние на него только гравитационного взаимодействия с компонентами двойной звездной системы и ее вращения. При этом не
7 Sawada К., Sekino N., Sawada К., Shima Е. Instability of accretion discs with spiral shocks.-
KEK Progress Report, 1990 ,V.89, PI 97-206
8 Molteni D., Bejvedere G., Lanzfame G. Three-dimensional simulation of polytropic
acrection discs. - Monthly Notices Roy. Astron. Soc, 1991, V.249, P.748.
> Matsuda Т., Sekino N.. Shima E., Sawada K., and Spruit К Mass transfer by tidally induced spiral shocks in an accretion disk. - Astroa Astrophys, 1990, V.235, P.211-218.
-%-
учитывались такие эффекты, как перетекание газа между компонентами самогравитация газа, влияние излучения и магнитных полей. Однако необходимо отметить, что рассматривался только частный случай исходного состояния диска, и в качестве начальных данных задавалась двумерная конфигурация газа с постоянной плотностью и числом Маха, скорость вращения которой распределена по Кеплеровскому закону. В этом случае давление в газовой конфигурации убывает пропорционально радиусу и является максимальным на внутренней границе диска. Кроме того, как показано в диссертации, в трехмерном случае не существует дискообразных равновесных конфигураций политропного газа с Кеплеровским распределением скорости вращения. Таким образом, вопрос об обоснованном с физической точки зрения выборе начального состояния диска представляет самостоятельный интерес.
Равновесные газовые конфигурации вблизи гравитирующих тел изучались многими авторами10 еще со времен Пуанкаре, которому принадлежит рад интересных результатов в этой области11. В диссертации этот вопрос рассматривался в связи с построением модели равновесного аккреционного диска. Была решена задача о равновесии цилиндрически симметричной конфигурации идеального политропного газа, стационарно вращающегося вокруг гравитирующего центра, и получены некоторые неизвестные ранее результаты. Доказаны теоремы о существовании и единственности решения этой задачи. Детально изучены частные случаи Кеплеровского и твердотельного движения. Показано, что для таких законов распределения скорости вращения газа не существует равновесных конфигураций, имеющих дискообразную (по форме напоминающую тор) форму. Доказана теорема о том, что заданием формы границы газовой конфигурации (или, что тоже самое, пространственной области заполненной газом), удовлетворяющей сформулированному в работе условию гладкости, а в остальном произвольной, однозначно определяются газодинамические параметры конфигурации в целом. Исследован вопрос об использовании рассматриваемых в работе трехмерных стационарных конфигураций газа, вращающихся вокруг гравитирующего центра, при математическом моделировании процессов в аккреционных дисках в двумерном приближении. Равновесность построенных двумерных равновесных конфигураций подтверждена численными расчетами.
При выборе в качестве начального состояния диска равновесной газовой конфигурации процессы в нем определяются исключительно взаимодействием со второй компонентой двойной системы и вращением
1(1 Лихтенштейн Л. Фигуры равновесия вращающейся жидкости. - М.: Наука,1965. "Аппель П. Фигуры равновесия вращающейся однородной жидкости. - ОНТИ.Л.-М.,1936.
системы в целом. В диссертации была проведена большая серия численных расчетов следующей задачи. Рассматривалась двойная звездная система, заданная массами своих компонент и расстоянием между ними, вращающаяся вокруг своего центра масс. Вводилась полярная неинер-циальная система координат с центром в первичной компоненте, вращающаяся вместе с двойной системой. Расчетная область представляла собой кольцо с центром в начале координат. В качестве начального состояния аккреционного диска выбиралась одна из стационарных газовых конфигураций построенных в диссертации. Самогравитация газа не учитывалась.
Численные расчеты данной задачи показали, что процесс изменения исходной стационарной конфигурации диска имеет три основные стадии развития. На первой стадии исходная стационарная конфигурация под воздействием гравитации вторичной компоненты и вращения системы разрушается. При этом газ под действием внешних сил начинает двигаться в положительном радиальном направлении. Далее возникает волна разрежения, вызывающая отток газа к центру области и его остановку (в смысле радиального движения). Образующаяся в результате ударная волна, фронт которой имеет почти круговую форму, распространяется на периферию области. За ее фронтом зарождается новая квазиравновесная конфигурация с радиальной составляющей скорости, близкой к нулю, и возникают спиральные ударные волны. На следующей стадии радиальная волна покидает границы расчетной области и устанавливается структура, содержащая спиральные ударные волны, которая качественно не меняется в течение времени порядка полного оборота системы. На третьей стадии форма фронтов спиральных ударных волн меняется, и фронты начинают двигаться против направления движения частиц газа.
Проведен анализ полученных результатов, который позволяет сделать вывод о том, что спиральные волны являются эффективным механизмом потери веществом углового момента. Изучено также влияние на характер процессов в аккреционном диске параметров двойной системы, начальной конфигурации диска, а также способов задания граничных условий.
В диссертации проведено сравнение результатов расчетов описанной задачи, полученных по схеме крупных частиц, построенной в работе, и схеме Роу. Сравнение показало, что оба метода дают весьма сходные результаты, что может служить дополнительным аргументом в пользу их достоверности. Также проведено сравнение результатов математического моделирования, полученных в диссертации и работах других авторов.
-10.-
Цель работы
-
Построение и исследование разностных схем метода крупных частиц и их сравнение со схемой Роу на основе тестовых расчетов модельных задач об обтекании цилиндрического тела плоскопараллельным потоком, газа. Исследование особенностей схемы Роу при расчетах задач, рассматриваемого в работе класса, в декартовой и полярной системе координат.
-
Применение схем метода крупных частиц, построенных в работе, и схемы Роу для математического моделирования задачи об аккреционном диске, двойной звездной системы , начальное состояние которого представляет собой стационарную газовую конфигурацию. Исследование влияния на процессы в аккреционном диске параметров двойной системы. Сравнение результатов, получаемых по схеме метода крупных частиц и схеме Роу, для обеспечения большей достоверности результатов.
Научная новизна
-
На основе метода крупных частиц построены новые консервативные разностные схемы для одномерного и двумерного случая, обладающие свойством монотонности. Получено условие устойчивости этих схем и предложен способ автоматического выбора шага по времени. В двумерном случае в декартовой системе координат построенная схема позволяет проводить однородные вычисления при наличии в расчетной области обтекаемых тел достаточно произвольной формы.
-
Изучены неизвестные ранее негативные особенности схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в численных расчетах.
-
Решена задача о равновесии цилиндрически симметричной конфигурации идеального политропного газа, вращающегося вокруг грави-тирующего центра. Доказаны теоремы существования и единственности ее решения. Рассмотрены частные случаи и построены решения с заранее заданными свойствами.
-
Проведено численное моделирование процессов в аккреционном диске двойной звездной системы с физически обоснованными начальными данными. Изучены механизмы возникновения спиральных ударных волн и связанной с ними потери веществом углового момента.
Практическая значимость
1.В.работе построены и обоснованы монотонные консервативные разностные схемы, которые могут быть использованы при численном решении широкого класса задач гравитационной газодинамики.
-
Отмечены неизвестные ранее негативные особенности разностной схемы Роу, которые необходимо учитывать при ее использовании в численных расчетах.
-
Построены равновесные цилиндрически симметричные конфигурации идеального политропного газа, вращающиеся вокруг гравити-рующего центра, которые могут быть использованы при математическом моделировании процессов в аккреционных дисках в двумерном и трехмерном приближении.
-
Проведено математическое моделирование процесса возникновения спиральных ударных волн в аккреционном диске двойной звездной системы, начальное состояние которого представляет собой равновесную, физически обоснованную газовую конфигурацию. Изучено влияние на процессы в диске параметров двойной системы, а также способов выбора начальных и граничных условий.
-
Предложен усовершенствованный метод построения и идентификации линий уровня функции двух переменных, заданной аналитически или таблично в декартовой и полярной системе координат, который реализован в виде пакета прикладных программ.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на:
семинарах отдела №11 ИПМ им. М.В.Келдыша РАН;
заседании кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова;
семинаре института Астрономии РАН ;
семинаре ГАИШ при МГУ им. М.В. Ломоносова.
Публикации
По материалам диссертации опубликовано пять научных работ, список которых приведен в конце автореферата.
Объем и структура диссертации.
Диссертация состоит из четырех глав, введения, приложения и списка литературы, содержащего 55 наименований. Работа изложена на 125 страницах машинописного текста, содержит 75 рисунков.
