Содержание к диссертации
Введение
1 Формулировка задачи крупномасштабной динамики океана в обобщённой s-системе координат 9
1.1 Постановка задачи в тензорной форме 9
1.2 Метрические коэффициенты 10
1.3 Запись уравнений в z-системе координат 11
1.3.1 Геофизическая система координат 14
1.3.2 Специальная система координат со смещённым северным полюсом . 15
1.3.3 Специальная система координат со смещёнными северным и южным полюсами 17
1.4 Уравнения в s-системе координат 18
1.4.1 Примеры 5-систем 26
1.5 Начальные и граничные условия 29
1.6 Выводы 33
2 Некоторые новые оценки для решения уравнений динамики океана 34
2.1 Введение 34
2.2 Вспомогательные утверждения 36
2.3 Новые априорные оценки для решения задачи динамики океана 45
2.4 Выводы 50
3 Методы регуляризации уравнений динамики океана 51
3.1 Постановка задачи 51
3.2 Метод стабилизации давления 53
3.2.1 Связь метода стабилизации и схем дискретизации по времени . 53
3.2.2 Вспомогательные утверждения 55
3.2.3 Теорема о сходимости метода 58
3.3 Альтернативный метод регуляризации 61
3.3.1 Связь метода и схемы расщепления 61
3.3.2 Сходимость альтернативного метода регуляризации 63
3.4 Выводы 65
4 Исследование сходимости разностных схем по времени для уравнений динамики океана 66
4.1 Введение 66
4.2 Вспомогательные утверждения 68
4.3 Сходимость одношаговых схем 70
4.3.1 Полностью неявная схема 70
4.3.2 Полунеявная схема 72
4.4 Сходимость двухшаговых схем 75
4.4.1 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на первом этапе расщепления 75
4.4.2 Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе расщепления 77
4.5 Сходимость трёхшаговой схемы 80
4.6 Схема второго порядка точности 82
4.7 Замечание о линейной задаче 85
4.8 Исследование схемы расщепления для полной системы уравнений 86
4.9 Выводы 92
Заключение 93
Приложения 95
- Специальная система координат со смещёнными северным и южным полюсами
- Новые априорные оценки для решения задачи динамики океана
- Связь метода стабилизации и схем дискретизации по времени
- Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе расщепления
Введение к работе
Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений крупномасштабной динамики океана (примитивных уравнений) [11], [13], [34]. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели [27], [3], включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.
Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов [2], [4], [16], [26], так и с точки зрения теоретического математического анализа [21], [25], [19]. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности, в [25] была доказана теорема существования "в малом", а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях и существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения "в целом" (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого промежутка времени оставалась открытой. Существование решения "в целом" было доказано для ряда частных случаев. Например, в [21] существование решения "в целом" было доказано в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в области теоретического исследования задачи стала доказанная в работе [23] теорема существования и единственности решения задачи "в целом" (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.
При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные [16], [20], так и неявные схемы по времени [26]. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных (в случае использования линеаризованных схем — линейных) уравнений с огромным (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей очень сложную структу-
ру. Прямое решение такой системы известными на данный момент методами практически невозможно даже с использованием новейшей вычислительной техники и последних программных комплексов. Более того, разработка специальных алгоритмов, позволяющих получить решение всей системы уравнений, также представляется затруднительной. В этой ситуации в основу алгоритма решения задачи в модели, разрабатываемой в ИВМ РАН [2], [4], [26], была положена техника методов расщепления [10]. Идея методов расщепления заключается в разбиении оператора задачи на аддитивные составляющие и последовательное обращение более простых операторов с использованием дробных шагов по времени.
Для параболических систем эволюционных уравнений с линейным оператором (зависящим или не зависящим от времени) достаточно давно была построена общая теория методов расщепления (иначе называемых аддитивными схемами) — см., например, работы [10], [15]. Для систем уравнений, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской и для систем с нелинейным дифференциальным оператором исследование применимости таких методов носит индивидуальный характер. Для системы уравнений Навье-Стокса применение схем расщепления (наиболее известной из которых является схема Чорина) было обосновано в работах [18], [28], [31] и [33]. Однако до настоящего времени аналогичных исследований схем расщепления для уравнений динамики океана проведено не было. Система уравнений крупномасштабной динамики океана имеет ряд существенных отличий от системы уравнений Навье-Стокса (иная структура неизвестных функций, отличающаяся структура нелинейных членов, присутствие членов, обусловленных наличием силы Кориолиса), которые делают полученные для системы уравнений Навье-Стокса результаты не переносимыми непосредственно на рассматриваемую задачу и требуют проведения дополнительных исследований. Восполнение этого пробела являлось центральной задачей данной диссертации. Задача в целом решена и в некоторых предположениях, представляющихся естественными, была доказана сходимость решения, получающегося по методу расщепления, к решению исходной задачи при уменьшении шага по времени.
Другим направлением, по которому велись исследования, результаты которых также представляют предмет диссертации, является так называемая проблема полюса. Суть проблемы заключается в трудностях решения задач гидродинамического моделирования на сфере при использовании широтно-меридианной системы координат таким образом, что полюс системы попадает в расчётную область, как это имеет место в случае Мирового океана. При численных расчётах модель динамики океана, использующая в качестве системы координат обычную широтно-меридианную систему, даёт существенные искажения вблизи северного полюса (южный полюс, как известно, попадает на материк): на части границы, соответсвующей полюсу, ставят "нефизичные" искусственные граничные условия. Одним из возможных путей решения этой проблемы является предъявление такой системы координат, в которой особенность (полюс) попадала бы на материк, по возможности дальше от расчётной области. Преимуществом данного пути является возможность адаптации существующих программных комплексов к новой постановке задачи.
В результате появилась идея конформного преобразования сферы с целью переноса полюса на материковую область и соответствующего новой координатной системе преобразования уравнений модели. Первым шагом в данном направлении стали координатные сетки с перенесённым на материковую сушу северным полюсом, а южным полюсом оставленным на месте. Однако практика использования данных сеток в модели динамики океана ИВМ РАН выявила один их существенный недостаток: новый "экватор" на таких сетках не совпадает с обычной линией экватора, и на новой карте географический экватор представляет собой кривую линию, не совпадающую с координатной линией. При использовании конечно-разностной модели это обстоятельство затрудняет исследование
важных геофизических феноменов, связанных с осевым вращением Земли [13]. Поэтому автором был предложен ещё один класс координатных систем, в которых Северный и Южный полюс смешаются на одинаковое количество градусов вдоль одного меридиана в направлении друг к другу. В таких координатных системах экватор остаётся на месте. Важным условием практической реализуемости системы является наличие материковых точек, имеющих одну и ту же долготу и симметричную широту, в которые можно было бы перенести полюса. К счастью, такие точки на Земле имеются, и их удалённость от акватории Мирового океана представляется достаточной для проведения практических расчётов. По данному направлению необходимо упомянуть работы [32], [24] , в которых независимо были получены похожие результаты.' Таким образом, задача диссертации является актуальной и имеет прямое практическое значение.
Результаты диссертации представлены в четырёх главах и трёх приложениях. Первая глава диссертации содержит формулировку задачи крупномасштабной циркуляции океана в так называемой обобщённой s-системе координат, представляющей собой обобщение различных координатных систем на многообразии, на котором формулируется и решается задача крупномасштабной циркуляции океана. В частности, широко применяемая в ИВМ РАН cr-система координат также входит в класс s-систем. Для исключения "проблемы полюса" предлагаются два класса систем, также являющихся s-системами — со смещённым северным полюсом и с обоими смещёнными полюсами. Последние системы имеют то преимущество, что, как было сказано выше, линия их экватора совпадает с обычной линией экватора на земном шаре. Рассмотрены конкретные примеры новых координатных систем, со смещением полюса в ту или иную точку на материке.
Вторая глава диссертации посвящена получению новых априорных оценок для решения задачи крупномасштабной динамики океана, необходимых для исследования сходимости методов приближенного решения. В фундаментальной работе [23] получены следующие априорные оценки решения задачи крупномасштабной динамики океана:
шах (НІ! + Ііад|4 + Н«з|| + ІІРІІі + Ы + ||Л||) < с,
(Ы1?+1Ы1? + над|?)л<с.
Однако этих оценок оказывается недостаточно для доказательства сходимости приближенных решений к точному. Поэтому в диссертации получены новые априорные оценки:
/
max (||u||W2 + IHIi + ||Vp|| + ||V'Pl|| + ||p||„,|) ^ с, г
(Wuttf^dt + WpuW^dQ^c,
о где
Pi =Р-Р2,
z \ z
p2(t,x,y,z)= I gp(t,x,y,)d - / gp(t,x,y,)ddz.
Данные оценки получены в предположении, что область удовлетворяет некоторому условию регулярности. Следует отметить, что эти оценки являются более сильными по сравнению с полученными ранее, и существенным образом опираются на них.
Третья глава посвящена теоретическому исследованию методов регуляризации системы уравнений динамики океана. Известная проблема устойчивости численных методов для уравнений Навье-Стокса, связанная с присутствием уравнения несжимаемости, имеет ряд решений, основанных на введении в уравнения добавочных членов с малым параметром. В главе исследуются аналогичные подходы для системы уравнений крупномасштабной динамики океана. А именно, рассмотрены два метода регуляризации системы уравнений, для которых с использованием полученных во второй главе априорных оценок доказаны теоремы о сходимости методов. В частности, рассмотрен аналог известного метода стабилизации давления, в котором в качестве регуляризирующего члена в уравнение несжимаемости добавляется величина —єАр. Доказано, что при є —+ 0 решения регуляризованной задачи сходятся к решению исходной задачи со скоростью s/є.
Четвёртая глава содержит наиболее значимые теоретические результаты и посвящена исследованию сходимости разностных по времени схем для уравнений крупномасштабной динамики океана, в том числе схем расщепления, применяемых на практике. В главе последовательно рассматриваются схемы дискретизации по времени уравнений крупномасштабной динамики океана, начиная с полностью неявной схемы и заканчивая схемой трёх-этапного расщепления. Кроме того рассмотрена схема второго порядка аппроксимации — схема Кранка-Николсон, а также отдельно рассмотрена линейная задача, для которой получен любопытный результат точного решения задачи при помощи схемы расщепления. В концы главы развитая для гидродинамического блока задачи техника переносится на исследование полной системы уравнений и доказывается сходимость решений применяемой на практике схемы к точному решению задачи. Стоит отметить, что исследования схем расщепления для уравнений крупномасштабной динамики океана отличается от исследования схемы Чорина для системы уравнений Навье-Стокса рядом факторов. Это и иная структура неизвестных функций, и принщшиально меньшая гладкость компоненты «з вектора скорости течения, для определения которой имеется только уравнение первого порядка — уравнение неразрывности. Важным отличием также является наличие членов, обусловленных действием силы Кориолиса, что заставляет рассматривать разные варианты двухэтапных схем расщепления, один из которых, наиболее интересный с точки зрения практического применения, принципиально отличается от схемы Чорина присутствием дополнительного члена на этапе проекции на подпространство, существенно усложняющего рассмотрение. Кроме того, наличие силы Кориолиса приводит к потребности рассмотрения трёхэтапной схемы расщепления:
1/Аип+ф + в(ип-1'\ип+1/3) = fn+1,
'„п+1
+ V'p
( уП+2/З _ и«+1/3 Г
II. {
f div'un+2/3dz = О,
ип+1 _ ип+2/3
III. + un+1 = О,
B{u,v) = и Vv - f div'и dzdzv, un+l = (-kv%+\ kv%+1) , r = T/N, n = 1,..., JV.
Для этой схемы на основании априорных оценок из второй главы, получен следующий результат: существует постоянная с, зависящая только от исходных данных задачи, такая,
что для любого достаточно малого г выполнено неравенство:
(IK*n) - un~2'z\\ + \\u(tn) - u^/l + ||tx(tn) - ti»||) ^ су^.
Такая трёхэтапная схема в теоретических работах рассматривается впервые.
В приложениях А и В приводятся расчётные формулы для перехода к новым координатным системам со смещённым северным и смещёнными обоими полюсами соответственно и вычисления метрических коэффициентов этих координатных систем и производных метрических коэффициентов, участвующих в уравнениях модели.
Результаты, представленные в приложении С, получены совместно с группой моделирования динамики океана ИВМ РАН: В.Б. Залесным, Н.А. Дианским, А.В. Гусевым. Данные этих численных экспериментов получены при использовании новой версии модели крупномасштабной динамики океана на основе уравнений, записанных в специальной криволинейной системе координат с обоими смещёнными полюсами.
Результаты, изложенные в диссертации, были представлены на конференциях "Ломоносовские чтения 2008" и на международной конференции "Математические идеи П.Л. Че-бышева и их приложение к современным проблемам естествознания" в 2008 году. Результаты также неоднократно докладывались на научно-исследовательских семинарах механико-математического факультета МГУ, факультета Вычислительной математики и кибернетики МГУ, Института математического моделирования РАН, факультета математического моделирования Московского энергетического института, Института вычислительной математики РАН, Вычислительного центра РАН в 2007 - 2009 годах.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Георгию Михайловичу Кобелькову, за постановки задач, за помощь и поддержку на протяжении долгих лет научно-исследовательской деятельности, приведшей к получению результатов, изложенных в настоящей диссертации. Автор также выражает глубокую благодарность ведущему научному сотруднику Института вычислительной математики РАН Владимиру Борисовичу Залесному за постановку задачи построения специальной системы координат, постоянный интерес к работе и плодотворные обсуждения получаемых результатов. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, в особенности Чижонкову Е.А., Корне-ву А.А., Ольшанскому М.А., Попову А.В., Лапшину Е.А., Арушаняну О.Б., Арушаняну И.О., Григорьеву PLC, Богачёву К.Ю., Валединскому В.Д., Староверову В.М. и ныне, к сожалению, покойному РІщенко С.Я., в прекрасном коллективе которых сформировалось его профессиональное видение проблематики современной науки и методики её преподавания в университете. Автор выражает признательность всему коллективу сотрудников н аспирантов РІВМ РАН за многочисленные плодотворные дискуссии и проводимые совместные исследования, в особенности Дианскому Н.А., Агошкову В.PL, Гусеву А.В. и Ботвиновскому Е.А.
Специальная система координат со смещёнными северным и южным полюсами
Одной из наиболее крупных и важных задач математического моделирования геофизических процессов является задача моделирования крупномасштабной динамики мирового океана. Наряду с моделями динамики атмосферы модели динамики океана играют важнейшую роль в решении задач долгосрочного прогноза изменения климата, краткосрочного прогноза погоды, а также моделирования развития катастроф, в том числе техногенного характера. В настоящее время общепринятой основой моделирования крупномасштабных океанических явлений служит широко известная система уравнений крупномасштабной динамики океана (примитивных уравнений) [11], [13], [34]. На основе последней во многих мировых научных центрах созданы модели [27], [3], включающие большие программные комплексы, результаты вычислений по которым служат основой для выработки рекомендаций правительствам государств в связи с угрозой глобальных климатических изменений.
Система уравнений динамики океана вызывает интерес как с точки зрения прикладного моделирования геофизических процессов [2], [4], [16], [26], так и с точки зрения теоретического математического анализа [21], [25], [19]. В течение ряда лет с момента появления математической модели крупномасштабной динамики океана предпринимались попытки строго математического обоснования её корректности. В частности, в [25] была доказана теорема существования "в малом", а именно, было показано, что при любом коэффициенте вязкости и любых достаточно гладких начальных условиях и существует интервал времени, зависящий от исходных данных задачи, на котором существует решение. В то же время, проблема существования решения "в целом" (на произвольном промежутке времени) при любом коэффициенте вязкости в течение долгого промежутка времени оставалась открытой. Существование решения "в целом" было доказано для ряда частных случаев. Например, в [21] существование решения "в целом" было доказано в предположении малости размера области в вертикальном направлении. Отсутствие завершённых результатов в этой области не позволяло получить строгое обоснование численных методов используемых при решении задачи. Серьёзным продвижением в области теоретического исследования задачи стала доказанная в работе [23] теорема существования и единственности решения задачи "в целом" (т.е. при любом положительном значении коэффициента вязкости, любых достаточно гладких начальных данных, произвольном интервале времени и произвольной области). Это позволило строго обосновать применение численных методов решения задачи.
При численном решении начально-краевой задачи для системы уравнений крупномасштабной динамики океана используются как явные [16], [20], так и неявные схемы по времени [26]. В последнем случае перед исследователями встаёт задача решения сложной по структуре системы эволюционных уравнений в частных производных с большим количеством неизвестных, что в совокупности со сложной геометрией расчётной области приводит после дискретизации задачи к системе нелинейных (в случае использования линеаризованных схем — линейных) уравнений с огромным (порядка сотен миллионов) количеством неизвестных на каждом шаге по времени, имеющей очень сложную структуру. Прямое решение такой системы известными на данный момент методами практически невозможно даже с использованием новейшей вычислительной техники и последних программных комплексов. Более того, разработка специальных алгоритмов, позволяющих получить решение всей системы уравнений, также представляется затруднительной. В этой ситуации в основу алгоритма решения задачи в модели, разрабатываемой в ИВМ РАН [2], [4], [26], была положена техника методов расщепления [10]. Идея методов расщепления заключается в разбиении оператора задачи на аддитивные составляющие и последовательное обращение более простых операторов с использованием дробных шагов по времени.
Для параболических систем эволюционных уравнений с линейным оператором (зависящим или не зависящим от времени) достаточно давно была построена общая теория методов расщепления (иначе называемых аддитивными схемами) — см., например, работы [10], [15]. Для систем уравнений, не являющихся системами типа Коши-Ковалевской и для систем с нелинейным дифференциальным оператором исследование применимости таких методов носит индивидуальный характер. Для системы уравнений Навье-Стокса применение схем расщепления (наиболее известной из которых является схема Чорина) было обосновано в работах [18], [28], [31] и [33]. Однако до настоящего времени аналогичных исследований схем расщепления для уравнений динамики океана проведено не было. Система уравнений крупномасштабной динамики океана имеет ряд существенных отличий от системы уравнений Навье-Стокса (иная структура неизвестных функций, отличающаяся структура нелинейных членов, присутствие членов, обусловленных наличием силы Кориолиса), которые делают полученные для системы уравнений Навье-Стокса результаты не переносимыми непосредственно на рассматриваемую задачу и требуют проведения дополнительных исследований. Восполнение этого пробела являлось центральной задачей данной диссертации. Задача в целом решена и в некоторых предположениях, представляющихся естественными, была доказана сходимость решения, получающегося по методу расщепления, к решению исходной задачи при уменьшении шага по времени.
Другим направлением, по которому велись исследования, результаты которых также представляют предмет диссертации, является так называемая проблема полюса. Суть проблемы заключается в трудностях решения задач гидродинамического моделирования на сфере при использовании широтно-меридианной системы координат таким образом, что полюс системы попадает в расчётную область, как это имеет место в случае Мирового океана. При численных расчётах модель динамики океана, использующая в качестве системы координат обычную широтно-меридианную систему, даёт существенные искажения вблизи северного полюса (южный полюс, как известно, попадает на материк): на части границы, соответсвующей полюсу, ставят "нефизичные" искусственные граничные условия. Одним из возможных путей решения этой проблемы является предъявление такой системы координат, в которой особенность (полюс) попадала бы на материк, по возможности дальше от расчётной области. Преимуществом данного пути является возможность адаптации существующих программных комплексов к новой постановке задачи.
Новые априорные оценки для решения задачи динамики океана
Здесь и далее наряду с общепринятыми обозначениями для дифференциальных операторов, функциональных пространств и норм в этих пространствах будут использованы вслед за [23] некоторые специфические удобные для исследования уравнений динамики океана обозначения. Так, обозначим V = I - -, - -- ) , div t; = — (- -г— для v = (vi,v2), \дх ay J ox ay д2 д2 A = —- + -г—г. Также введём оператор, соответствующий действию силы Кориолиса: охА ау1 v = (—kv2, kvi) для v — (vi,v2), где к = const 0 (при этом условие к О не существенно и все получаемые в работе результаты справедливы также и для случая к 0, это условие введено лишь для удобства обозначений, чтобы в производимых оценках можно было писать к вместо \к\). Для векторов а = (ах, а2), b = (&i, b2) обозначим axb = a\b2 — a2b\. Под n и ——, как обычно, будем понимать внешнюю нормаль к рассматриваемой области и прост изводную по направлению нормали. Основными интересующими нас функциональными пространствами будут выступать пространства L2, W2, L4, W 1, W2 для областей двух и трёх пространственных переменных и соответствующие нормы будут обозначаться, как II 11 II Hi) II 11 ь II " 11-1) II " \\w2- Нормы в каких-либо других пространствах будут обозначаться с указанием этого пространства в качестве индекса. Под Ц иЦ будем понимать, \ 1/2 как обычно, \ I У [ т.—7z— J dxdydz , где х± = х,х2 = у, х3 — z. Пространства [J {dx xj векторных и скалярных функций будут обозначены одними и теми же символами, поскольку из контекста всегда понятно о скаляре или векторе идёт речь. Через (-, ) будет обозначено скалярное произведение в L2. Отдельно следует остановится на природе коэффициента к в силе Кориолиса. В работе, как уже было сказано, для простоты записи везде принимается к = const 0. Однако доказательства почти всех наиболее важных результатов остаются справедливыми и для практически важного случая к = к(х, у), \к\ к . Постоянство коэффициента к существенно используется лишь в утверждении 2.2.3 и замечании 2.2.2, а также в их следствиях: первом неравенстве леммы 3.2.2 (которое в действительности не используется при доказательстве теоремы 3.2.1) и теореме 4.7.1. При этом утверждение 2.2.3 по-видимому является справедливым и в случае к = к(х,у), \к\ к , хотя исследование этого момента требует изменения доказательства. Следуя [23], рассмотрим систему уравнений крупномасштабной динамики океана в следующей упрощённой постановке, сохраняющей все основные свойства исходной задачи: ди vAu + и + V p + и Vu + u3dzu = О, где и — (щ,и2), коэффициенты и, [і предполагаются произвольными положительными постоянными. Система уравнений рассматривается в области fi = Г2 х [0,1] - цилиндр в R3, где Q, - область в плоскости переменных х, у, регулярность которой будет оговорена особо; в общем же случае предполагаем, по крайней мере, границу области Q состоящей из конечного числа гладких кривых, пересекающихся под ненулевым углом (см. [23]). Границу области Q. представим в виде 9fi = SuSi, где S — дО, х [0,1], S\ = dQ/S. Система уравнений (1.1) дополняется следующими начальными и граничными условиями: ди и п = —— х п = 0 на S, on ди — = 0, щ = О наь on до — = 0 на дП, (1.2) і и(0, х, у, z) =uQ(x,y,z), / &iv u{Q,x,y1z)dz = О, о p(0,x,y,z) = pQ{x,y,z). і Условие dlv «(0, ,y,») = 0 представляет собой условие корректности задания на О чальных условий задачи. Относительно начальных данных задачи будем предполагать, что «о Є Wi(Q), ро Є W%(Q). Представленная задача крупномасштабной динамики океана отличается от полной физической постановки прежде всего отсутствием метрических коэффициентов (т.е. соответствует многообразию, для которого все метрические коэффициенты тождественно равны единице). Другим существенным отличием является использование наряду с приближением твёрдой крышки приближения плоского дна, отражённое в цилиндричности области VL. Кроме того произведён ряд других, менее существенных упрощений: коэффициенты к силы Кориолиса и коэффициенты и и /х вязкости и диффузии считаются постоянными. Стоит отметить, что в целях упрощения записи в уравнениях не фигурирует нормирующий множитель /v, вместо его введения можно просто считать, что коэф фициент д имеет размерность не м/с , а м4/(кг с2), при этом размерность величины р считается изменённой соответствующим образом (\р] — м2/с2). Вслед за [23] мы будем представлять р в виде р = Pi + Р2 Под буквой с будем понимать постоянные в неравенствах, не зависящие от входящих в эти неравенства функций, но зависящие, в общем случае, от входных данных задачи. Теорема существования и единственности решения задачи (1.1)-(1.2) в достаточно общих предположениях впервые доказана в работе [23], в которой, в частности, получена априорная оценка Однако для безусловного обоснования сходимости разностных схем к решению дифференциальной задачи этих оценок недостаточно. Основной целью этой главы будет доказательство ограниченности величин max ІМІтуг, max V pi, а также получение некоторых других оценок, являющихся следствием этой ограниченности. Полученных оценок окажется достаточно для полного безусловного обоснования схем численного решения уравнений динамики океана, что будет показано далее. Упомянутые результаты об ограниченности решения задачи будут получены в рамках предположения регулярности решения задачи Стокса для уравнений динамики океана (см. следующий раздел). Для классической двух- и трёхмерной задачи Стокса с граничным условием прилипания такой результат известен для достаточно широкого класса областей (в частности, для областей с дважды непрерывно дифференцируемой границей) [8], [18]. Подобное исследование задачи Стокса для уравнений динамики океана оставлено за рамками данной работы, и в следующем параграфе доказан лишь элементарный результат о справедливости данного предположения регулярности решения этой задачи для области Q , являющейся прямоугольником.
Связь метода стабилизации и схем дискретизации по времени
Перейдём непосредственно к изучению сходимости разностных схем по времени к точному решению дифференциальной задачи. В предыдущей главе была сформулирована сокращённая система уравнений динамики океана в следующей форме: где и = (u\,U2), u = (—ku2,kui). Задача рассматривается в области Q = fl х [0,1] -цилиндр в 1R3, где ГУ - область с кусочно-гладкой границей в плоскости (х,у). В случае, если для тех или иных результатов потребуются дополнительные предположения о границе области ГУ, это будет оговорено особо. Систему (1.1) замыкают следующие граничные и начальные условия - верхняя и нижняя "крышки" цилиндра, a S = dO\Si — боковая поверхность цилиндра.
Задача (1.1) - (1-2) является основным объектом исследования в настоящей главе. Основным рассматриваемым вопросом является вопрос сходимости различных разностных (по временной переменной) схем к точному решению дифференциальной задачи.
Исследование построено по принципу последовательного усложнения схемы. В параграфах 4.3 - 4.5 последовательно рассматриваются различные схемы дискретизации таким образом, что каждая следующая рассматриваемая схема вносит какой-то новый элемент с точки зрения анализа её сходимости по сравнению с предыдущей. При этом последовательность устроена таким образом, что каждый очередной шаг оказывается не слишком большим. В результате удаётся проделать достаточно ясный путь от полностью неявной схемы к трёхэтапной схеме расщепления. Таким образом, оказываются рассмотренными полностью неявная схема, полунеявная схема (параграф 4.3), две двухэтапные схемы расщепления: с учётом действия силы Кориолиса на первом и втором этапах (параграф 4.4) и трёхэтапная схема расщепления (параграф 4.5). Отдельно рассмотрена схема второго порядка аппроксимации - схема Кранка-Николсон (параграф 4.6). Однако полученные при её рассмотрении результаты слабее, чем основные результаты главы: теорема носит условный характер, то есть предполагается дополнительные к известным результаты об ограниченности решения исходной дифференциальной задачи. Наконец, в параграфе 4.8 рассматривается полная система уравнений крупномасштабной динамики океана и схема расщепления для неё. Изучение ведётся па основе полученных при рассмотрении сокращённой системы уравнений результатов. Рассмотренная для полной системы уравнений схема расщепления строится на основе рассмотренной в пункте 4.4.2 схемы расщепления для сокращённой системы уравнений — именно такая схема хорошо зарекомендовала себя на практике. Полученные результаты обосновывают применение такой схемы расщепления. Напомним прежние обозначения: о Pj — ортогональный проектор на J в L2(l). Нелинейные члены обозначим через о и введём следующие трилинейные формы: Исследование сходимости разностных схем для системы уравнений Навье-Стокса проведено в работах [18], [28], [30], [31], [33]. Система уравнений (1.1) имеет ряд отличий от системы уравнений Навье-Стокса. Основное отличие заключается в структуре неизвестных функций: неизвестными выступают две функции трёх пространственных переменных и одна функция двух пространственных переменных. Вид зависимости и от и і и и2 в исходной системе уравнений вносит трудности в оценку нелинейных конвективных членов: для получения оценки «з в Lq необходима оценка щ и и2 в Wq. В рассматриваемой системе уравнений (1.1) это обстоятельство проявляется в усложнении получения оценок для трилинейной формы b2(u,v,w) по сравнению с трилинейной формой для классических уравнений Навье-Стокса. Это делает результаты для системы уравнений Навье-Стокса непосредственно непереносимыми на случай рассматриваемой задачи динамики океана. Тем не менее, используя разработанную в [23] технику работы с нелинейными членами и учитывая ограниченность норм решения (в частности, ограниченность maxt ЗггіІ4), удаётся преодолеть эти трудности и получить соответствующие результаты. При этом техника получения оценок потребовала некоторой доработки. При этом следует отметить, что в предположении регулярности области, удалось получить завершённые результаты. Другим отличием рассматриваемых уравнений от классических уравнений Навье— Стокса в декартовой системе координат является присутствие силы Кориолиса. В двух-шаговых схемах в случае, если действие силы Кориолиса учитывается на первом этапе расщепления, присутствие соответствующих членов в уравнениях не оказывает никакого влияния на получаемые оценки. Однако при этом оператор Кориолиса связывает уравнения для двух компонент скорости, что существенно усложняет задачу их решения. Вынесение действия силы Кориолиса на второй этап расщепления привносит некоторые изменения в технику получения оценок. Аналогичные постановки в работах, посвященных изучению схем расщепления для уравнений Навье—Стокса ранее не рассматривались. В связи с присутствием оператора Кориолиса возникает также необходимость рассматривать трёхшаговые схемы расщепления, имеющие наиболее простую численную реализацию (действие силы Кориолиса выносится на отдельный этап). Трёхэтапные схемы расщепления для задач этого класса также рассматриваются впервые. В настоящей главе, как и ранее, под буквой с будут пониматься величины, зависящие только от входных данных задачи и не зависящие от номера шага схемы п и величины шага по времени т. В проводимых выкладках многократно будет использовано известное равенство: дрп-Положим г = TIN, tn = пт. Уравнение - - = 0 в дискретных схемах будем опускать, oz всегда его неявно подразумевая.
Двухшаговая схема с учётом действия силы Кориолиса на втором этапе расщепления
В главе рассмотрены различные варианты схем дискретизации по времени для уравнений динамики океана и получены результаты о сходимости получаемых решений к точному решению дифференциальной задачи. Показано, что схемы расщепления позволяют получать приближенное решение уравнений динамики океана с точностью О (у/т).
Изучение климата Земли и, в частности, изучение влияние Мирового океана на климат представляет огромный интерес для исследователей, специализирующихся в различных областях естествознания. Математическая модель крупномасштабной динамики мирового океана порождает множество практически значимых и интересных в своих постановках математических задач, предоставляя широкое поле для деятельности исследователя-математика. Одним из первых шагов в направлении исследования системы уравнений динамики океана стали локальные теоремы существования и теоремы существования в различных предположениях малости исходных данных [25], [18]. Для численного решения задачи были предложены алгоритмы, основанные на схемах расщепления [6], [9]. Некоторое время назад в работе [23] был доказан важный фундаментальный результат о существовании и единственности решения "в целом" на произвольном промежутке времени в сильной норме по времени. Это продвижение позволило поставить новые задачи, связанные с системой уравнений динамики океана и её численном решении и перейти к их изучению. В частности встал вопрос обоснования использования методов расщепления для системы уравнения динамики океана. Его решение составляет важную часть диссертации.
Параллельно с развитием теоретического знания о математической модели динамики океана практика численного моделирования развивалась и ставила свои задачи. Вопрос построения системы координат, позволяющей обойти трудности, связанные с присутствием полюса в расчётной области, имел важное практическое значение, поскольку результаты расчётов задачи глобальной циркуляции Мирового океана на сетках, построенных на основе обычной широтно-меридианной системы признавались неудовлетворительными. Задача существенно усложнялась требованием сохранения экватора как линии сетки. Тем не менее, благодаря идее смещения не только северного, но и южного полюса такую координатную систему удалось построить и сформулировать задачу глобальной широкомасштабной циркуляции океана в новой системе координат. При этом потребовалось провести значительный объём технической работы по переформулировке системы уравнений и вычислению метрических коэффициентов и других величин, необходимых для использования новой координатной системы. Результаты этих исследований составляют другую часть диссертации.
Уравнения динамики океана в специальной криволинейной системе координат и сама специальная координатная система служат на сегодняшний день основой для последней версии модели глобальной циркуляции Мирового океана, разрабатываемой в ИВМ РАН. С использованием формул, приведённых в приложениях к диссертации, сотрудниками ИВМ РАН разработаны и внедрены соответствующие программные модули. Основные результаты диссертации: Предложена специальная ортогональная криволинейная система координат на сфере, не имеющая особенностей в виде полюса в расчётной области (акватории Мирового океана) и сохраняющая земной экватор в качестве координатной линии. Задача крупномасштабно! ! динамики океана сформулирована в этой системе координат. Получены новые априорные оценки для решения системы уравнений крупномасштабной динамики океана. В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений, получающихся в результате применения методов регуляризации системы уравнений крупномасштабной динамики океана, к точному решению задачи. В некоторых предположениях регулярности области доказана сходимость решений дискретных по времени схем (в том числе схем расщепления, применяемых на практике) для уравнений крупномасштабной динамики океана к точному решению задачи. В пункте 5 предъявлены формулы (5.1) - (5.8) связывающие геофизическую и специальную системы координат, а в пункте 2 в формулах (2.14) показано, как вычислять метрические коэффициенты произвольной ортогональной криволинейной системы координат, если известны формулы перехода между этой и геофизической системами. Задача вычисление дифференциала отображения в специальную систему координат (т.е. вычисление преобразования векторного поля при переходе к специальным координатам) и вычисление метрических коэффициентов, по сути, сводятся к вычислению частных производных Явные формулы, как упоминалось ранее, выглядят чересчур громоздко, поэтому ниже предлагается способ их вычисления по частям. Для этого перепишем преобразования (5.1) - (5.8) в действительной форме, введя функции промежуточных преобразований a, b, s, t как действительные и мнимые части w и z :
