Численное решение задач определения свободной поверхности жидкометаллических контактов с заданным объемом Чюпайла, Регимантас Юозович

Введение к работе

Актуальность темы. Математическое моделирование как метод теоретического исследования все шире применяется во многих областях науки и техники. Поэтому актуальной проблемой вычислительной математики является построение и обоснование экономичных алгоритмов, применяемых для решения сложных нелинейных задач, описывающих математическую модель исследуемого процесса. К их числу относится класс задач, в которых постановка математических моделей основывается на вариационном принципе энергетических функционалов, что приводит к задачам условной минимизации. В частности, задачами такого типа являются задачи определения свободной поверхности жидких контактов. Нелинейная краевая задача с дополнительным нелокальным условием, уравнения которой следуют из необходимых условий минимума исследуемого функционала, как правило, не обладает свойством эллиптичности, что затрудняет применение оЬщих методов решения. Поэтому предлагается использовать непосредственно обобщенную формулировку в виде задачи на условный минимум. Также важным является обоснование и исследование итерационных процессов, предназначенных для реализации нелинейных разностных схем. получаемых для задач минимизации невы-пуклых функционалов. Введение в краевую задачу дополнительного нелокального условия делает-решение и исследование задачи расчета свободной поверхности более сложной. Поэтому актуальной является разработка методов, позволяющих свести такие задачи к краевым задачам без дополнительных нелокальных условий. Особый интерес представляет построение и исследование консервативных разностных схем. позволяющих проводить расчет на реальных, достаточно грубых . сетках. Дополнительные требования на ак. жшичюкть алгоритмов и их применимость для всего интересующего спектра параметров задачи выдвигает и вычислительный эксперимент, предусматривающий многократное решение задачи.

Цель работы. Построение и исследование консервативных разностных схем для численного решения нелинейных задач, возникающих при условной минимизации функционалов, описывающих полную энергию рассматриваемой системы. Разработка экономичных итерационных процессов для решения нелинейных систем с дополнительным нелокальным условием. Построение специальных методов параметризации, позволяющих задачи с дополните тьным условием преобразовать к эквивалентным, краевым задачам.

Проведение математического моделирования формы свободной поверхности -кидьих контактов как в стационарной, так и в нестационарной постановках.

Научили новизна. Ни основе обобщенной (слабой) формулировки в виде задачи на условный минимум доказано существование решения вариационной

задачи, описывающей форму свободной поверхности жидкого контакте. Для нели-Uiiuiux краевых задач с дополнительным нелокальным условием предложений ме-і одітії построения консервативных разностных схем. Для их решения предложен новый класс итерационных методов, сходящихся для всего исследуемого спектра параметров задачи. Построены и исследованы'численные и итерационные ыето^ ды для паряиетризированаой вариационной задачи определения формы свободной поверхности разомкнутого контакта-капли. Предложен и обоснован новый метод ііарамеїризации нестационарной задачи расчета динамики жидкой перемычки, позволяющий' заменить задачу с дополнительным нелокальны:.! условием эквивалентном краевой задачей. С помощью разработанных алгоритмов проведен вычислительный експеримент расчета различных состояний жидкого контакта, включая определение момента разрыва.

Практическая значимость. Получе:ише результаты могут быть использо-
ааны при решении задач физики плазмы, механики жидкости, газодинамики, фор
мулировка которых основана на вариационном принципе условной минимизации
полной анергии, а также для других физико-технических задач, сводящихся к ре
шению нелинейных задач с дополнительными нелокальными, в частности, интег
ральными условиями. .' "

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на Международной конференции по математическим методам решения физических задач, математическому моделированию и програмированию (Дубна, 19S3), на Международной конференции 1MACS " Математическое моделирование ц ирішладная математика'' (Москва. 1900), на Всесоюзной школе молодых ученых ''Теоретические и прикладные проблемы вычислительной математики и математической физики'' (Рига, 1985), на Всесоюзном семинаре "Математическое моделирование в естествознании и технологии" (Светлогорск, 1988), на Межреспубликанской семинаре по вычислительной математике (Минск, 1D89), на ежегодных конференциях Литовского математического общества, на семинарах Ннститу-іл siduiianiwi АН Беларуси, Пиетиста математики и кибернетики АН Литвы, fill Вильнюсского Университета.

ІІуй.шьицші- Основные результаты диссертации опубдпговаиы в работах

іі-.з|. . . ^:

ґ'ір)к»ура и ооьєіі работ. Диссертация состоит из введший и трех і .4ui> i'(,;;v jJijL.tiг 1:Л і'траніщу -машинописного текста, в том числе 3 тг-.Слнцы и 15 І т}іцче Си::, ак цитируемой лщературы ьглючаст 1 IS работ.

Во введении даегся обзор современного состояния проблем, имеющих непосредственное отношение к диссертационной работе, кратко представляются И'-еле дуемые вопросы и полученные; результаты.

В первой гладе на основе вариационного принципа мшнімуил полной чнергин строятся и исследуются континуальная и дискретная модели со; ікну того жидкого контакта-перемычки, приводятся итерационные методы их решения. Предлагаемая методика построения и исследования консерпптилгшт реэноегных схем дтп нелинейной задачи условной минимизации энергетических функционалов, ОПИСЫВАЮЩИХ форму Свободной ПОНерХНОСТИ, ЯВЛЯеГСЯ оГІЩеІІ Д.'Щ Пгеіі дмсгсрТПНИмттоп

работы.

В первом параграфе предложена методика построения" вариационной модели равновесной жидкой перемычки с нелокальным условием сохранения оПммп. Интегральная модель полной энергии перемычки учитывает MteprtH" ПоВерЯІИЧТНоГЧ) натяжения и потенциальную энергию:

(«)=„(») + „(«). <П

,11 [II

Е_н(и)=2ло иу/Г+(Оп/д!і)'<Ііі. E„{ii)^*pvl "Vf/.
Jo .'о

Апприорные оценки показывают, что в данной ситуации, обусловленной особо малыми величинами объемов жидкости и коммутируемых токов, другими энергетическими слагаемыми, в том числе и элекгромагнетическими. можно пренебречь. Учет в модели дополнительных сил проводится по аналогичной методике.

Дифференциальные уравнения для определения свободной поверхности жид кой перемычки следуют из условия минимума полной энергии С{и) (1) при условии сохранения полного объема

Г=ж /" іЛ/0=Г_о, ' (2)

где \'о — заданное число. Методы, предлагаемые для преодоления трудностей.

возникающих при исследовании модели (1).(2). легко обобщаются и для моделей,

включающих дополнительные энергетические слагаемые.

Полная диффергнциальнал модель равновесной жидкой перемычки имеет вид:

-С

и(0) = Л, «(Я) = Д. п / u^rdy = V_a.

Полученная краевая задача является сильно нелинейной с дополнительным нелинейны:.! условш-м.

Во второл параграфе с целью построения консервативной разностной схемы дискретной модели перемычки предложенна методика аппроксимации іштеграла полной энергии дискретными суммами:

Необходимые условя минимума функционала (3) приводят к разностной схеме:

|-^Ц«Л + (рду, т- А)и. = - (y'l + «Ї + ifr+Щ .

(4)

= 11, „_л = л, _r*f;±!^kji-r_g. - (5)

=0

Аиироксиыациокная точность дискретных энергетических функционалов и построенной разностной схемы - 0(f.⁵).

Далее во btojjo.w параграфе исследаетея разрешимость ьр&ёаоЦ. задачи (4), (5). Показано, vro оператор разностной схемы {4),(3) не обладает свойством сильной монотонности. Поэтому вместо исследования непосредственно разностной схемы предлагается Исследовать вопрос существования решения обобщенной дискрет-вой задачи на условный минимум. Яри тэ*ой постановке сходимость разностного решения покидается в смысле сходимости энергетических функционалов. Доказана теорема.

Теорема 1. Для задачи условной минимизации функционала * (3) справедливы утверждения:

l)E* = mf*(ii)>-oo,

2)множество U. - {щ : {и*} U,E^h(u) = 1-') не сусто И компактно,

3)любая минимизирующая последовательность {iif} сходится ь множеству

и.. ''.. .... . . ,

Так как минимизируемый функционал является дифференцируемым, то из необходимых условий минимума следует, что обобщенное решение является и решением разностной схемы.

В треіьем параграфе первой главы для решения нелинейной краевой задачи (4),(5) применяется и исследуется ряд'итерационных методов. Проведено срав-цєеио обла'стей.схсдамости, а также экономичности их реализации. Предложен

новый класс итерационных методов, сходящихся при Полег широком спектре параметров задачи.

Для рєпісшіл задачи (4),(5) применим известный двухступенчатый итерационным метод *. Внешний итерационный процесс »того метода строится для ргцгс ния нелинейного трансцендентного уравнения относительно Л:

*(A)sl'*('4(»)-'o = 0,

для чего использовался итерационный метод деления интерналп пополам. Знате ниє функционала. Ф(А) при фиксированном А находилось путем решения пелнн-11 ной краевоіі задачи (4).(5), что в свог> очередь трс5угт построения птгряііиопної о процесса, который по отношению ко всей задаче; ячлпетея внутренним.

Показано, что такой метод для задачи (4),(5) имеет только ограниченную область прткненип:

Утверждение 1.2. Двухступенчатый итерационный процесс сводится только длп ограниченных значений параметра V > V,,(ll,Fi, К).

Предлагается новый двухступенчатый итерационный метод, позволяющий избежать данного недостатка. Решается линейная краевая задача

с дополнительным нелинейным условием

«(A'^+I) = K^h(u*^+,P*^+l))-l'o =0. (7)

Итерационный процесс (6),(7) является внешним. D этом случае псе итерационные приближения принадлежат к классу допустимых функций, удовлетворяющих условию неотрицательности н|-' > 0,« =0,1,...,Л и условию Ф(А) = 0. На каждом шаге реализации строится внутренний итерационный процесс определения значения параметра А, для чего использовался тот же метод деления интервала пчполам. Достаточные условия сходимости внутреннего итерационного процесса следуют іи леммы:

Л мша 1.2. Для решения задачи (0),(7) выполнена монотонная зависимость от параметра Л. т.е. ^(Х) < 0.

* Беликов В., Голопизнин В., Коптслова Н. //Дифф. урави. и их применение. Вильнюс, ИМК. 1082, Оып 31. С.9-Ю: Наприте Г., Сапаговас М.. Слпаговене Д.. СимокаНтсне Р. //Дифф. урачн. и их применение. Вильнюс, ИМК, 10S6, Вьш 30 С.34-47.

Численный дксперхшент показал, что такая модификация двухступенчатого итерационного процесса сходится дли всего г чтересующего спектра параметров задачи.

Применительно к системе нелинейных уравнений (4),(5) построены также итерационные процессы, порожденные методом Ньютона и методом штрафных функции. Ириведеяы результаты численного расчета свободной поверхности жидкой перемычки.

Вторая глава посвящена построению и исследованию численных алгоритма расчета, формы свободной поверхности параметриэированноИ капли. Известно, что кривая, описывающая гребень капли, в общей случае не пожег быть представлена однозначной функцией; Исходя I» ртого, на основе вариационного пришут-д минимума полной энергии получены непрерывная и дискретная модели параметризованной' капли. Проведено сравнение с ^параметризованной моделью. Построены и исследованы итерационные методы решения задачи. Приведены ре-з$ льтады аычисдительного зкеперішента разрыва жидкого контакта.

В первом параграфе в виде интеграла полной анергии построена параиет-ризнрэвшшая модель капли

Е = 2ло / г(з)^(дг/да)* + (dujda)²ds + irpg f г{s)(dr/Оз)и^}(s)d3,

(8).

где и(з) - высота точек гребня капли, >(-а) - радиус горизонтального* сечения, а 6 [0,1).

Уравнения равновесия капли следуют из условия минимума полной ввергни [и,г) (8) при условии сохранения объема капли,

*V(>* + (ft)

9 г& \ . „ -Л- ' Вт

= ) + Аги-=-- Лг- =0,

(9)

~ds

;) -*кт) / ^{v ч}

Г¹ дг

,(1))-^1),.-(1)=: П,«1(0) = 0, ц(1)~ 0, 2тг / t(s)u{*)j-ds - V₀. (10)

Диалогично строчтел интегральные и дифференциальные модели висящей
ііо.^гл Ji.i.i.-KocT'-K* капли.

npiu!e].cu.ic дія задачи (8) просгейиюй параметризации г = si? лрішодит к ii'sni сн:иїі i'ii:i«u'i иелі(Чейчьгу дифференциа чьиых урааниіиїі

--— I —====— I +Au- X= 0, (U

«(Л) = o, ii'_r(o) = о, 2л- / н« * = v„. (m

Численная реализация модели (11),(12) является боле'е простой по сровн^-нию с параметризованной моделью (9),(10). В работе получены оцінки на параметры Vo,H,K, при которых параметризгіцил вида г = sli применима пг.л эядачи (9),(10).

Второй параграф главы II п«свящн построению разностных схем и ирсчє дованию разрешимости краевой задачи. Следуя общей методике інші ралы полной внергии аппроксимируются дискретными суммами. Конссппативппп разногт пая с.чема является уравнением Эйлера для полученного дигкретпої о іііункциопалп полной внергии:

— ^ГУ'^Л + -ЦіКуо - A)rr..₀ '= 0, ул,=0, r_P = Ufl, глг = ії, (14)

j 2^V о

у/гІл+УІ.

N-l

Разностная схема непараметризованной задачи имеет вид:

^2я2-^г'+'—9 її—^А-ї»-⁰- <^ld-

Дгі=0,

/v-i

ryf |₀ = 0, JW = 0, HK^jTri/h - V„ = 0.

(10)

Реализация разностной схемы (16) является более простой по сравнению со схемой (13)-(15), так как приводит к решению линейной системы с трехдиагональ-ішіі окаймленной матрицей. При реализаци.. разностной схемы (13)-(15) решается система линейных уравнений с блочнотрехдиагональной окаймленной матрицей. Доказано, что возможность применения более простой модели ограничеаа 1ккоторым соотношением параметров \а, К, К, Это следует из нижеприведенных результатов о разрешимости краевых задач (13)-(15) и (16).

Лемма 2.1. Краевая задача (16) имеет единственное решение и пространстве
функций la. . .

Если потребовать, чтобы решение дифференциальной задачи (14) принад
лежало классу С*¹ [О, Я], тогда (12) разрешима только для ограниченной области
значений параметров. ......

Лемма 2.2. Решение задачи (12) при Л' = 0 существует в классическом смысле;, т.е.,|и' j < М < со, для значений заданного объема жидкости

\'₀< V - 2ігЯ³/3-

Лемма 2-3. При К > О критическое значение объема удовлетворяет условию Y'(K) < V'*(0).

Если параметры задачи (12) выбираются таким образом, .что не удовлетворяют условиям лемм 2.2, 2,3, тогда существует только обобщенное решение задачи (12), для которого |и^.(Я)| = оо. В атом случае решение разностной задачи (16) как раз и сходится к этому обобщенному решению.

Связывая эти результаты с экспериментальными исследованиями формы свободной поверхности капли, можем утверждать, что реальную физическую интерпретацию имеет поверхность капли, расчитанной при параметрах, определенных леммами 2.2, 2.3. Когда параметры задачи не удовдетворяеют условиям лемм 2.2, 2.3, для получения гладкого решения необходимо перейти к параметризованной модели (13)-(15)! :'',.

Исследуя разрешимость параметризованной разностной задачи (13)-(15) доказано, что решение задачи (j/(.s;), г(а;)} не является единственным. Лля выделения локально едішетвенного решения использована регуляризация по Тихонову.

В третьем параграфе главы II построены итерационные методы решения задачи (J3j-(15). ,Для атого. применялся полный метод Ньютона, реализация :<ою-рого сподійся к использованию модифицированной матричной прогонки.

Предадим новый двухступенчатые итерационный метод, позволяющий и ь с.цчае параметризованной модели использоиать скалярный вариант метода ыоди фшлфола.шой прогонки. Во внешнемитерационном процессе атего метода решая

- и -

задачу мишшизациии

ДЛ**)= iiiiu J(Jl'), где і(Я*)=*шіи $(«,«*),

например, методом деления интервала пополам, определяем максимальную дійну Л* радиуса г ^ г(л) свободной поверхности капли.

Значение функционала J{W) при фиксированном Я* определяется с помощью внутреннего итерационного процгеса, в качестве котирогоисюльз'.ван метод Ньютона.

Приведены результаты численного аксперпменга, и котсром ерлппени иь\іь метризованная и непараметризоваютн модели свободно)! поверхности кап ті і при различных наборах параметров задачи.

В четвертом параграфе приведены результаты вычислительного «жетс ршп-и та. моделирования разрыва жидкого контакта. Для установлення условий разрыва перемычки (сомкнутый контакт) идее отдельные капли (разомкнуты)! контакт) используется вариационный принцип, осдовмшы)! на сравнении noiurux. ашprint обоих исследуемых состояний. Ситуация смоделирована в двух парцантак: 1) увеличение зазора при постоянном объеме и;идкости и 2) уменьшение объема при неизменной величине зазора контакта.

В третьей главе рассмотрены «іестациицарние модели расчета форми сао-бодной поверхности жидко!! перемычки. Тик коде в атом случае исследуемая область сама'зависит от времени, то естественным является переход or аНлсровин системы координат к лягранд;еной. Предлагается способ параметризации, основанный на заданном распределении плотности жидкости, позволяющий сцепи задачу с дополнительным нелокальным условием к гьыщалешиоМ краевой задаче. Исследуется и решается как стационарная, так и несцционарнаи задачи. Лап их решения рассмотрены и исследованы экономичные консервативные разностные схемы. В случае, когда не выполняется предположение о равномерном распределении плотности жидкости по сечению строится и решается двумерная нестационарная задача.

Решение нестационарных задач требует аведентш кинематических внерк.-щ ческих слагаемых и использования параметризации. Оба -jtu вопроса ;„««.;;<;\.ц ваются отдельно. В первом и втором пераграфах главы для стационарно)! задачи предлагается и обосновывается новый способ параметризации, позволяющий снести задачу с дополнительными ограничениями к краевоіі задач»-., а в іретьем параграфе предложена методика построения и исследовчыо; разностной аппроксимации для кщемагич^ских слагаемых.

В первом nopal рафе отро:г:сл ц исследуется етац.-юнарлан і.тді'Ч і р.і' "> і--

г. ({тцгчрттпчис!! модели перемычки

к(и) = 2-а / xy/tfrtda)¹ + {dy/da)⁷de,,

I ./о

Е„М - »_W /' !/.t²^-do, Ггт/' ** J'-rfcv = V₀.

П^'ЧПО'Чеи спосіб параметризации, когда удельная плотность объема жш*-гогш <((о) іюлпгаегся зптісдщсії только от лагранжевой переменной о:

п(о)-=жх²дц/да, аЄ[0,1|, (17)

мі(о 1 > > 0, / w(n)da к V₀. /о

Испс ль\\ я условие (17) милаю выразить переменную т, что приводит к зависимо! гг. еморгич'скид фуньшюччлов только от одноЧ функции у. Далее, на основе оощеи методики строиюі дифференциальная краевая задача

2 j?

IT f)ft

\

..

и (о) Па

xdrjda

./(й)'+(йіУ

zdy/dat

)4) J

+ A'uj(q) = 0, (18)

«(0)

= 0. ^(0)= (40) = Л),

IT it'

И1)

l*»>

УраЬнаше (lSj, в которо*і переменные ./,5/ сшианы условиями

«KoS cfc _LJL/ / ^lrfo) \

является уравнением четЕерюто сицсдкг. озъ-м-ительчо функции j/ = j;(

Получеішая задача (18),(10) является краевой задачей ni« доіїояріп<:;иі<окі нелокального условия. Для нее, аналогично Теоргме 1 главы /, доказана порцій о существовании решения.

Второй параграф главы посвящен построению и исслецопанню puauociuux схем для параметризованной стационарной задачи (18), (19). Интеграл полной анергии аппроксимируется разностными '.уммами, что приводит ;j консирватші-ным разностным схемам. Отметим, что функция у{ас) определяется в полунелых точках Oj+i/j, а функции х(о), w(n) - в целых точках о*. При такой г.ппрокгима ции разностная схема

АЕ* _я BE* 3j ₊ OBk Л*±_ ._ 3_±^_{L :: и (},„_;

%-м/» h'.-u/г "'Г.чі/2 і¹'. '\чі/!^Т^;і%іі/і

y-i/г T-t/i/з _ tw-i/г + УіУ-и/а .. jj

(21,

2 ' 2 —і

t/i/з - У-1/г _ Vo У;і+ії* - У/v-і/і _ _К)_

Л тгЯ*' А "" л-Я²

является лятиточечной системой нелинейных разностных уравнений относительно

t/i-t-i/2 После определения j/jnyj значения о;,- вычисляются по формуле

ГЦ ~- — = wj, u>₍- >t, ! = \, 2, ..., JV.

Для реализации разностноіі схеми (20),(21) использовался модифицирсван-ньііі метод Ньютона.

В третьем параграфе строится и исследустси параметризованная математическая модель нестационарного жидкого контакта. Делаются предположения, по зволяющие рассматривать задачу как одномерную. В частности, расімаїривастси' ситуация, в которой вертикальные составляющие скорости v являются однородными по сечению, а горизонтальные составляющие скорости и в ка*до; і сечении являются линейной функцией радиуса.

Дифференциальное уравнение, описывающее эволюцию жидкой ш-ремпчьи, следует из принципа наименьшего действия для фукьционала

(Е_к-„- Е_Н),Н,

где, согласно предлагаемому способу mtpnm-ірнзацни it еделашнім предложили паям о скоростях,

Ei=,»J (у t ~ ) 'ф»М<*. ,. = іч /_f (і і

{<)

_wto4a>

.⁴ чіітмипя кинематические соотношения

""л^{1 ,;=}л ⁽²²⁾

и приравнивая Первую вариацию функционала 5 пулю, получаем дифференциальное уравнение ьволюции жидкой перемычки

о гіг т u \ 4

'-T' Q(,V(<»). г(у(^гО!) - Л'"взгі ч..гть уравнения (18).

Для кчго, что5ы ішимениті. мск.дику построения консервативных разностных еден, п;>' дчия.<'iinn.i и первых дяух глазах, необходимо її в случлс несгаци-"ііг\;пн>Н задачі, определить фунмптпал. минимум которого достигался Ьы на решении разнос rioii сломы. Поэтому п начале на основании метода Роте строится Л>)і)іфе]ігішип.і>>н()-рл?іісіі'птл ладяча

pv — v рд(і^лкй~п\
а т сг с* \ 4 ті

(24)

но і орли дополняется г.пггроічсіпчіропані'ьіми кинематическими связями

-— ^о,6 + (1-(г,)«. ^-^=<7it"+(l-. (25)

г T '

Дифференциально-разностная схема (24).(25) аппроксимирует с первым порядком точности неходкую эволюционную задачу (23). (25), (17).

Далее строится полностью разностная схема. Для атого методом динамических потенциалов строится функционал, минимум которого достигается иа решении уравнения (24) на (/1-і- !)-вом временном слое. Дифференциально-разностная ваолк;івюі:ипя Зодачл, жидкой перемычки сводится к задаче нахождения минимумов последопательности функционалов S„4 ь полученных для каждого временного слоя и сия»анных между собой кинематическими связями(25):

S.+xiv) = J\iM«) U (^- + ^-7^) + m + 2***y/H+ui)do. (2С)

Фунщнонали S_n+i млнщтзнруютт на функциях, удовлетворяющих граничним условиям

j(0, *„-ц)=0, $1(1, <„+i) = Я, Я ==//(<„ и),

!/_о(0, <„+і) = -^j-, у„(1, f,_Hi) -= -^-.

Далее, как и во втором параграфе настоящей главы, функционал S„+i апп
роксимируется разностным функционалом ! уразнением Эйлера для которого
является консервативная разностная схема ...

/>и-(о,)-І ("ііі/ї - "Hi/l) + rl ("і - Vi)— + (Ui-f, - 'Чп)-^. ) ) +

(27)

Нелинейная разиостаал схема (27) реализуется используя модифихшроо&ч-ныИ метод Ньютона. Приведены результаты числетгого расчета свооодаой поверхности динамики перемычки при различных способах вывода ос из равновесного Положения.

В четвертой параграфе третьей глава рассматриваются вопросы построения it исследования двумерной нестационарной параметризованной модели перемычки. Обобщения к двумерному случаю необходимы е ситуациях, когда не оыполяяютгя Предположения, принятые при построении одномерных моделей.

Дифференциальные уравнеиия эволюции двумерной перемычии следуют из Принципа наименьшего действия для функционала S:

. S= Г {Е*(«)-.,(<)-«(t) + .X(V-V_e)}rft, Л,

.Здесь

»(«)= / J P^—^dad^, E_H(i) = pgj f^ydocl?.

д(х,у) (дхду <1х0у\

¹ *^Хд(а,іЗ) *\дадр двда)

пг.-оПипн пгр»-хо,ч« от иЧлгрових перс: :-ч«вдх к лпгрянжсвым.

Симема иолученнмх дифференциальных уравнений имеет вид

Іі'ол¹, /'-ял' ^й І -^т0*їм 1 . ay „

[a)^J

(29)

К системе урпш:сций (28)-(29) добав лпютсп соответствующие граничгше и начальные условия, ктемптнчесмк? свпзи (22), я также уравнение неразрывности

Д=*Д„(п /?). (30)

Рялкн-тнаг схеми для Діїффсргнцнальноіі задачи (28)-(30) строилась аналогично м" тоду ногтрогчі'я разностной схемы (2"). При получении соответствующего функционала 5„₊₎ нелокальное условие сохранения объема учитывалось с помощью метода штрафных функций:

Похожие диссертации на Численное решение задач определения свободной поверхности жидкометаллических контактов с заданным объемом

Двухслойный итерационный метод решения обратной задачи определения диэлектрической проницаемости тела в волноводеВасюнин, Денис Игоревич

Численные решения задач оптимального управления для параболических и гиперболических уравнений Мохаммад Мансур Субх

Численный метод решения задач дискретного оптимального управления со смешанными ограничениями Валуев Андрей Михайлович

Некоторые методы решения задач динамики излучающего газа Милюкова Ольга Юрьевна

Численное решение задач грави- и магниторазведки Пулатов Пулат Атаевич

О зарождении и развитии численных методов решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Чальцева Ирина Васильевна

Исследование и численное решение задачи электростатики в случае слоистых средМанова, Наталия Васильевна

Устойчивый метод решения задачи коши для уравнения лапласа в приложении к задаче аналитического продолжения температурных полейЛанеев, Евгений Борисович

Численные решения задач оптимального управления квантовомеханическими системами типа ШредингераСилла, Наби

Применение рядов с ускоренной сходимостью при решении задач на собственные значения для механических систем пакетной компоновкиВоронков, Владимир Николаевич