Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Численные методы имения прямых задач грави- и магниторазведки 17
I.Постановка задачи 17
І.І.Ньютонов потенциал 17
1,2. Основные вычислительные методы и их краткая характеристика 17
2.Общее описание метода 18
2Л.Краевая задача в неограниченной области 18
2.2.Редукция к краевой задаче в ограничен ной области 19
3.Вычислительный алгоритм решения краевой задачи 21
3.1.Аппроксимация краевой задачи Дирихле для уравнения Пуассона. 21
3.2.Численные методы решения двумерной задачи 23
3.3,Численные методы решения трехмерных задач 23
3.4.Приближенное вычисление поверхностного интеграла. 24
3.5.Сравнительный анализ метода 25
4.Результаты расчетов 29
4.1.Примеры расчетов двумерных задач 29
4.2.Примеры расчетов трехмерных задач.. 31
4.3.Численное решение прямой задачи для контактной поверхности. 32
4.4. Способ учета влияния рельефа 34
ГЛАВА II. Разностные методы решения задач трансформации потенциальных полей 51
I.Постановка задачи 51
1.1.Трансформации,используемые в гравиметрии... 51
1.2.Основные вычислительные схемы. 52
2. Метод трансформации потенциальных полей на основе решения краевой задачи 54
2.1.Общее описание метода .54
2.2.Решение краевой задачи 57
2.3.Примеры расчетов двумерных задач 59
З.Метод прямых для трансформации аномальных полей. 60
3.1.Постановка задачи в полулолосе 60
3.2.Схема прямых и вычислительный алгоритм 61
4.Численные эксперименты 65
4.1.Примеры расчетов двухмерных задач. трансформации
4.2.Расчеты трехмерных задач трансформации 66
ГЛАВА III. Устойчивый разностный алгоритм продолжения потешщльных полей в сторону воэлущащих
МАСС 78
I.Постановка задачи 78
І.І.Цель продолжения потенциальных полей в сторону возмущающих гласе. 78
1.2.Задача Коши 80
2.Общее описание метода 82
2.1.Возмущенная задача 82
2.2. Исследование регуляризирущих свойств алгоритма 83
2.3.Выбор параметра регуляризации и предвари тельное сглаживание входных данных ...87
3. Численное решение нелокальной эллиптической задачи 89
3.1.Разностная задача 89
3.2.Метод разделения переменных. Алгоритм прогонки 90
3.3.Схема метода прямых 93
4. Вычислительный эксперимент 96
4.1.Выбор вспомогательной функции Ф(х) 96
4.2.Модельные расчеты 100
4.3. Примеры расчетов двумерных задач. Сглаживание 101
4.4.Аппробавдя алгоритма продолжения в трехмерном случае 107
Литература
- Основные вычислительные методы и их краткая характеристика
- Метод трансформации потенциальных полей на основе решения краевой задачи
- Исследование регуляризирущих свойств алгоритма
- Примеры расчетов двумерных задач. Сглаживание
Введение к работе
Создание вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий способствовало решению трудных прикладных задач в геофизике. Из года в год запасы полезных ископаемых на верхней части Земли (близко расположенные к земной поверхности), которые можно было обнаружить простыми классическими методами и геологоразведочной аппаратурой, исчерпываются. В настоящее время исследование и интерпретация данных разведки для более глубоких слоев Земли являются важными и актуальными. Проведение буровых работ, организация геологоразведочных партий, изобретение более точной аппаратуры требуют огромных людских и материальных затрат. Поэтому, в последние 20-25 лет, все шире используются математические методы моделирования в геофизических задачах. Создаются и все шире эксплуатируются автоматизированные системы интерпретации на базе современных ЭВМ.
Для эффективного и быстрого решения любых прикладных задач на ЭВМ требуется хорошее математическое обеспечение. Все чаще встречающиеся геофизические задачи невозможно решать с ломощью тех средств, которые традиционно излагаются в литературе по гра-ви-й магниторазведке. Использование классических формул для вычисления аномалий от тел правильной геометрической формы, номограммы, палетки и других средств ручного счета для решения сложных (линейных и нелинейных) задач теории интерпретации не дают должных результатов. Проводимые космические и другие современные съемки представляют огромный объем информации, который требуется быстро обработать и принимать решения. В последние годы основной упор в работе исследователей был сделан на применении ЭВМ при решении сложных задач, на создание эффективных алгоритмов в гра-ви-и магниторазведке. Тем не менее, еще слабо развивается мате- - б - матическое обеспечение вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, не применяются, или почти не применяются, современные быстрые методы вычислительной математики. В частности, не нашли должного отражения в задачах геофизики хорошо развитые методы теории разностных схем.
Кратко остановимся на основных классах задач в грави-й магнитометрии.
Основной задачей в грави-и магнитометрии является определение аномальных тел, лежащих в толще Земли, по априорным данным, полученным в результате измерений и съемок, проводимых, главным образом, на земной поверхности. Эта задача называется обратной задачей грави-и магниторазведки и она принадлежит к классу некорректно поставленных [1,2,3] . Решение обратной задачи предполагает определение формы и расположения тел, их плотности и объема. Решение этой сложной задачи обычно проводится в несколько этапов.
Аномальное поле, создаваемое неоднородными массами, характеризуется потенциалом (гравитационный и магнитный), его первыми производными, а также производными более высоких порядков по всем направлениям.
Первым этапом в процессе решения обратных задач и моделирования геофизических процессов является решение прямой задачи. Она состоит в определении аномального поля (гравитационный и магнитный потенциалы и их производные), создаваемого телами определенной формы, плотности при известных условиях залегания.
Другой класс задач это задачи трансформации (пересчета) поля на некоторый другой уровень в полупространство, свободное от аномальных масс. Такие задачи являются корректно поставленными и широко используются при интерпретации данных грави-и магниторазведки. Пересчет поля на другой уровень уменьшает шумы, случайные помехи, сглаживает ошибки измерений. Трансформация поля позволяет определить другие элементы аномальных полей (например, производные по направлениям и т.д.).
Наиболее важным этапом является продолжение потенциала или его производных, заданных на поверхности Земли или на каком-либо другом уровне, в сторону аномальных (возмущающих) масс. Задача продолжения в сторону возмущающих масс является неустойчивой относительно входных данных, поэтому она некорректно поставлена [3]. Эта задача играет большую роль в практике, так как ее решение дает ценную информацию об условиях залегания возмущающих масс, позволяет получить качественную информацию об аномальных телах, а иногда даже решить обратную задачу.
Существуют другие классы задач, типа задач о контактной поверхности, продолжения полей в вертикальную плоскость, приведение к уровню относимости, учета влияния рельефа местности, сглаживания априорной информации, обработки входных данных и т.д. [I, 2J.
Приведем краткий обзор применяемых методов решения тех или иных задач в геофизике на современном этапе.
I. Прямая задача грави-и магнитометрии
Прямая задача грави-и магниторазведки является классической. Решению таких задач посвящено множество работ (см.библиографию в [і] я [2І ) Тем не менее интерес к ним очень высок, так как успешное решение обратных задач требует умения быстро и с хорошей точностью решать прямые задачи. Здесь особо отметим работы [4-19] , посвященные наиболее важным методам решения прямых задач грави-и магнитометрии. Существуют два основных подхода к решению прямых задач. I. Использование и дальнейшая модернизация существующих точных аналитических формул. 2. Создание высокоэффективных быстрых приближенных методов, основанных на применении вычислительной техники.
Если первый подход развивался на протяжении всего существования постановки этих задач, то методы второго подхода особенно сильное развитие получили с началом применения ЭШ в теории и практики интерпретации данных грави-й магниторазведки.
Класс точно решаемых прямых задач грави-и магниторазведки ограничен простейшими телами и в большинстве своем однородными по плотности. Зачастую получаемые аналитические выражения для элементарных тел весьма громоздки и не учитывают сложное распределение плотности. Даже для такого простого тела, как конечный горизонтальный круговой цилиндр,поле выражается через эллиптические интегралы. Решение более сложных задач требует развития приближенных методов. Что же касается задач грави-и магниторазведки, то обзор применяемых методов можно найти в [1,2] . Здесь уместно напомнить работы [12,13] , где даны характеристики основных приближенных методов решения прямых задач грави-й магниторазведки. Существующие численные методы решения прямых задач можно разделить на две группы. В первой из них подынтегральная функция разлагается в некоторый сходящийся ряд и число удерживаемых членов согласуется с требованиями необходимой точности.Второй класс методов, наиболее широко развиваемых в настоящее время, это аппроксимационные методы, в которых возмущающая масса разбивается на простые геометрические тела, поле от которых можно вычислить аналитически. Предлагаемые различными авторами аппроксимационные методы решения прямых задач по существу отличаются способом аппроксимации исходного тела более простыми [14] .
В методах первого класса основные достижения были получены с привлечением аппарата теории функции комплексного переменного, что впервые было предложено в работе [IB] . Дальнейшее развитие этот подход получил в [7-Ю] . Особо отметим работу Г.Г.Кравцова, где даны общие решения прямой задачи грави-и магниторазведки для произвольных неоднородных многогранников с линейно изменяющейся плотностью (намагниченностью). В І8,9] приводятся аналитические выражения, полученные на основе использования аппарата теории функций комплексных переменных для потенциалов и их производных в двумерных задачах.
Исследование прямых задач для аномальных тел со сложным распределением плотности, учет влияния сферичности Земли намного повышает точность решения этих задач. Из поздних работ отметим [7] , где комбинированы методы приближенного и точного решения прямых задач, и работу [Г7] , где учитывается шарообразность Земли. Следует отметить также работы Страхова В.Н.,Лапиной М.И., Голиздры Г.Я., Балка П.И. и других авторов, посвященные развитию методов решения существенно трехмерных задач. В работе [20] , где изложены основные тенденции развития теории интерпретации до 80-х годов, приведен обширный список литературы, посвященный решению прямых задач гравичз магниторазведки и сформулированы основные проблемы на данном этапе.
2. Трансформация полей в верхнее полупространство
Большое значение при интерпретации данных грави-и магниторазведки имеет задача трансформации (пересчета) аномальных полей. К такого класса проблемам, в частности, относится задача вычисления вертикальных производных аномальных гравитационных и магнитных полей на земной поверхности и в верхней полуплоскости, свободной от возмущающих масс. В случае горизонтальной поверхности наблюдения задача трансформации состоит в решении- задачи Неймана (если на этом уровне задана производная потенциала и тре- - ID - буется находить сам потенциал) или задача Дирихле (в этом случае восстанавливается на другом уровне исходное, заданное только на поверхности наблюдения, поле) для уравнения Лапласа в полупространстве. Известны [1,2] различные методы трансформации потенциальных полей в грави-и магниторазведке.
Используемые вычислительные алгоритмы в геофизике для пересчета аномальных полей отличаются, по существу, способами решения исходной краевой задачи для уравнения Лапласа в полупространстве. В работе [21,22] исходят из точного решения краевой задачи, которое имеет особенность при небольших высотах трансформации, поэтому в используемых квадратурных формулах коэффициенты вычисляются специальным образом.
Если же рельеф наблюдения неровный, то исходная задача решается приближенно с помощью интегрального уравнения %юдгольма первого рода [23,24,25] , или же на основе разложения приближенного решения по неортогональной системе функций \26] .
В последнее время широкое распространение получил метод построения интерполирующих конструкций, развитый Ароновым В.И., Гординым В.М. [27] . Основное положение такого подхода заключается в том, что в некоторой области исходное поле аппроксимируется, вообще говоря, произвольным набором тел, после чего процесс построения модели сводится к решению прямой задачи. Эта идея, обоснованная теоретически Ароновым В.И. и Гординым В.М., принадлежит Маловичко А.К. [28,29].
При использовании метода граничных интегральных уравнений, решение задачи трансформации ищется в виде потенциала простого слоя с неизвестной плотностью. Основной проблемой при применении методов второго класса является то, что в результате получаем некорректную задачу (интегральное уравнение Шредгольма первого рода), которая отличается неустойчивостью и требует привлечения - II - методов регуляризации [3]. При применении метода разложения по неортогональной системе функций, приходим к плохо обусловленной системе линейных алгебраических уравнений, для решения которой также необходимо применять регуляризирующие алгоритмы.
3. Продолжение потенциальных полей в сторону возмущающих масс
Другой наиболее важный класс задач - это задачи продолжения полей в сторону возмущающих масс. Первые работы в этом направлении относятся к началу 30-х годов, но бурное развитие (как теоретическое, так и с точки зрения приложений) получили после разработки А.Н.Тихоновым метода регуляризации для приближенного устойчивого решения некорректных задач [30] . Широкое применение метод регуляризации в задачах геофизики нашел после работы [31] и других более поздних работ. В [32] обращается внимание на возможность использования разностных методов для решения задач продолжения. Здесь регуляризация решения осуществляется с использованием сглаживающих кубических сплайнов. Идея сглаживания разностного решения рассмотрена в работах [33 , 34] , где для решения задачи продолжения в сторону аномальных масс применяются разностная аппроксимация повышенного порядка точности. В монографиях Недялкова И.П. [35] и Старостенко В.И. [36] , посвященных устойчивым методам решения задач теории интерпретации в разведочной геофизике, приведены основные вычислительные алгоритмы, применяемые для продолжения поля в сторону аномальных масс (см.также библиографию в [1,2,20] ).
Из числа работ зарубежных ученых отметим монографию В.Баранова [37] , которая посвящена вопросам математической теории интерпретации потенциальных полей. В ней освещен ряд численных методов решения задач продолжения полей, приведен набор программ на ЭВМ. Однако, здесь не отражены фундаментальные исследования - 12 -советских авторов, нет эффективных методов, основанных на идее регуляризации А.Н.Тихонова, широко применяемые при решении практических задач.
4. Некоторые другие задачи грави-й магниторазведки
Из наиболее важных проблем теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий отметим следующие. При решении обратных задач одним из наиболее сложных и основных вопросов является исследование единственности обратных задач [38] .В работах [39-57] для определенного класса задач с некоторыми ограничениями рассмотрены вопросы единственности решения обратных задач (см.более подробную библиографию [1,2,3,39,57] ). Особо отметим работу В.Б.Гласко [39] , в которой наиболее полно и последовательно изложены основные положения теории обратных задач.
В общей постановке обратные задачи гравиметрии и магнитометрии имеют не единственное решение. Поэтому исследования проводятся на модельных классах источников, для которых единственность имеет место. В работах [40,41] при известной плотности доказано существование и единственность решения трехмерной задачи в таких классах областей. Следует отметить исследования Ци-рульского А.В., Пруткина И.Л. [42] , Чередниченко В.Г. [43,44] , в которых для тел с постоянной и некоторой переменной плотностью в двумерном случае приведены необходимые условия разрешимости. Серия работ В.Л.Данилова и И.И.Шульмина посвящена численным алгоритмам решения обратных задач в некотором классе [45,46] .Для аномальных тел определенной формы теоремы существования доказаны М.А.Бродским и В.И.Страховым [47-50] .
Список работ, посвященных вопросам единственности и разрешимости обратных задач, можно было продолжить. фугой важный класс обратных задач - это задачи об определе- - ІЗ - ний параметров контактной поверхности. К параметрам контактной поверхности относятся: глубина контакта, эффективная плотность, форма контакта (включая размеры зоны контакта).
Регуляризовэнный метод решения обратной задачи для контактной поверхности впервые для линейного случая был предложен А.Н.Тихоновым и В.Б.Гласко [51] . Дальнейшее развитие этот алгоритм получил в работе [52] для нелинейного случая с некоторыми ограничениями. В последующих работах В.Б.Гласко и его учеников, а также других ученых эти ограничения были ослаблены [53,54,55, 56] . Ряд работ посвящен другим классам обратных задач (см. [1,2, 20] ).
Таким образом, рассмотрены основные классы задач в грави- и магниторазведке. Следует отметить, что более активное применение богатого арсенала вычислительной математики при решении прикладных задач геофизики несомненно даст большие возможности для решения самых разнообразных и трудных задач, будет способствовать комплексному исследованию строения земной коры.
Данная работа посвящена вопросам математического моделирования в некоторых задачах грави-и магнитометрии и применению современных методов теории разностных схем для численного решения этих задач. Предложены эффективные и экономичные методы решения прямых задач грави-и магниторазведки для тел произвольной формы и переменной плотности, алгоритмы пересчета полей в верхнее полупространство, свободное от возмущающих масс, и устойчивые методы продолжения аномальных полей в сторону аномальных масс.
Содержание работы отражается в трех главах. Первая глава посвящена прямым задачам грави-и мегниторазведки. В I приводится физическая постановка задачи, даны аналитические выражения для потенциала притяжения и его производных, описаны существующие методы приближенного решения прямых задач. Второй параграф посвящен математической формулировке прямой задачи. Она заключается в решении первой краевой задачи для уравнения Пуассона в неограниченной области.Эта задача сводится к двум краевым задачам в ограниченной области. Краевые условия на границе области для второй задачи вычисляются специальным образом. Краевые задачи решаются в условиях, когда рассматриваемая область целиком содержит аномальные тела.В 3 рассмотрены вопросы численной реализации предложенного алгоритма решения прямых задач грави-и магниторазведки. Проводится сеточная аппроксимация оператора Лапласа,строится разностная схема для двумерных и трехмерных задач, изучены вопросы аппроксимации граничных условий. Четвертый параграф посвящен вычислительному эксперименту. Приведены модельные расчеты для различных двумерных и трехмерных тел правильной геометрической формы. Дан сравнительный анализ предложенного алгоритма с другими существующими методами. Анализ показал,что применение сеточных методов при решении прямых задач ( равно и обратных) весьма целесообразно, т.к. в этом случае поле определяется по всей расчетной области, что позволит получить более ясную картину при решении обратных задач. фугой класс задач, рассматриваемых в данной работе - это задачи пересчета поля на другой уровень и нахождения требуемых неизвестных элементов аномальных полей. Обычно поле измеряется на поверхности Земли. В I дана физическая постановка задачи пересчета в общем случае, здесь же строится математическая модель. Задача сводится к решению задачи Дирихле для уравнения Лапласа. Если на земной поверхности задана производная потенциала и требуется восстановить сам потенциал, то решается задача Неймана для уравнения Лапласа.
Предложенный метод трансформации строится на основе комбинации сеточных методов решения краевых задач и квадратурных фор- мул. На верхней границе области трансформации граничные условия ставятся исходя из точных известных формул. Для решения полученной краевой задачи предложены два численных алгоритма.
В 2 рассмотрен метод решения краевой задачи по всей области трансформации. При этом трансформанта определяется во всех узлах сетки. Разностная задача решается современным, наиболее быстрым и эффективным прямым методом. 3 посвящен применению схемы метода прямых для решения задачи пересчета поля в полупространство, свободное от аномальных масс. При использовании этого алгоритма трансформированное поле определяется на одном уровне. Метод экономичен, эффективен и позволяет проводить численные расчеты на большом количестве узлов. Результатам двумерных и трехмерных расчетов тестовых задач трансформации посвящен 4. Здесь изучалось влияние выбора граничных условий, зависимость относительной погрешности от размеров выбранной области, от высоты пересчета, от количества узлов сетки.
Основные вычислительные методы и их краткая характеристика
Создание вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий способствовало решению трудных прикладных задач в геофизике. Из года в год запасы полезных ископаемых на верхней части Земли (близко расположенные к земной поверхности), которые можно было обнаружить простыми классическими методами и геологоразведочной аппаратурой, исчерпываются. В настоящее время исследование и интерпретация данных разведки для более глубоких слоев Земли являются важными и актуальными. Проведение буровых работ, организация геологоразведочных партий, изобретение более точной аппаратуры требуют огромных людских и материальных затрат. Поэтому, в последние 20-25 лет, все шире используются математические методы моделирования в геофизических задачах. Создаются и все шире эксплуатируются автоматизированные системы интерпретации на базе современных ЭВМ.
Для эффективного и быстрого решения любых прикладных задач на ЭВМ требуется хорошее математическое обеспечение. Все чаще встречающиеся геофизические задачи невозможно решать с ломощью тех средств, которые традиционно излагаются в литературе по гра-ви-й магниторазведке. Использование классических формул для вычисления аномалий от тел правильной геометрической формы, номограммы, палетки и других средств ручного счета для решения сложных (линейных и нелинейных) задач теории интерпретации не дают должных результатов. Проводимые космические и другие современные съемки представляют огромный объем информации, который требуется быстро обработать и принимать решения. В последние годы основной упор в работе исследователей был сделан на применении ЭВМ при решении сложных задач, на создание эффективных алгоритмов в гра-ви-и магниторазведке. Тем не менее, еще слабо развивается мате - б матическое обеспечение вычислительных комплексов для интерпретации гравитационных и магнитных аномалий, не применяются, или почти не применяются, современные быстрые методы вычислительной математики. В частности, не нашли должного отражения в задачах геофизики хорошо развитые методы теории разностных схем.
Кратко остановимся на основных классах задач в грави-й магнитометрии. Основной задачей в грави-и магнитометрии является определение аномальных тел, лежащих в толще Земли, по априорным данным, полученным в результате измерений и съемок, проводимых, главным образом, на земной поверхности. Эта задача называется обратной задачей грави-и магниторазведки и она принадлежит к классу некорректно поставленных [1,2,3] . Решение обратной задачи предполагает определение формы и расположения тел, их плотности и объема. Решение этой сложной задачи обычно проводится в несколько этапов.
Аномальное поле, создаваемое неоднородными массами, характеризуется потенциалом (гравитационный и магнитный), его первыми производными, а также производными более высоких порядков по всем направлениям.
Первым этапом в процессе решения обратных задач и моделирования геофизических процессов является решение прямой задачи. Она состоит в определении аномального поля (гравитационный и магнитный потенциалы и их производные), создаваемого телами определенной формы, плотности при известных условиях залегания.
Другой класс задач это задачи трансформации (пересчета) поля на некоторый другой уровень в полупространство, свободное от аномальных масс. Такие задачи являются корректно поставленными и широко используются при интерпретации данных грави-и магниторазведки. Пересчет поля на другой уровень уменьшает шумы, случайные помехи, сглаживает ошибки измерений. Трансформация поля позволяет определить другие элементы аномальных полей (например, производные по направлениям и т.д.).
Наиболее важным этапом является продолжение потенциала или его производных, заданных на поверхности Земли или на каком-либо другом уровне, в сторону аномальных (возмущающих) масс. Задача продолжения в сторону возмущающих масс является неустойчивой относительно входных данных, поэтому она некорректно поставлена [3]. Эта задача играет большую роль в практике, так как ее решение дает ценную информацию об условиях залегания возмущающих масс, позволяет получить качественную информацию об аномальных телах, а иногда даже решить обратную задачу.
Существуют другие классы задач, типа задач о контактной поверхности, продолжения полей в вертикальную плоскость, приведение к уровню относимости, учета влияния рельефа местности, сглаживания априорной информации, обработки входных данных и т.д.
Метод трансформации потенциальных полей на основе решения краевой задачи
Прямая задача грави-и магниторазведки является классической. Решению таких задач посвящено множество работ (см.библиографию в [і] я [2І ) Тем не менее интерес к ним очень высок, так как успешное решение обратных задач требует умения быстро и с хорошей точностью решать прямые задачи. Здесь особо отметим работы [4-19] , посвященные наиболее важным методам решения прямых задач грави-и магнитометрии. Существуют два основных подхода к решению прямых задач. I. Использование и дальнейшая модернизация существующих точных аналитических формул. 2. Создание высокоэффективных быстрых приближенных методов, основанных на применении вычислительной техники.
Если первый подход развивался на протяжении всего существования постановки этих задач, то методы второго подхода особенно сильное развитие получили с началом применения ЭШ в теории и практики интерпретации данных грави-й магниторазведки.
Класс точно решаемых прямых задач грави-и магниторазведки ограничен простейшими телами и в большинстве своем однородными по плотности. Зачастую получаемые аналитические выражения для элементарных тел весьма громоздки и не учитывают сложное распределение плотности. Даже для такого простого тела, как конечный горизонтальный круговой цилиндр,поле выражается через эллиптические интегралы. Решение более сложных задач требует развития приближенных методов. Что же касается задач грави-и магниторазведки, то обзор применяемых методов можно найти в [1,2] . Здесь уместно напомнить работы [12,13] , где даны характеристики основных приближенных методов решения прямых задач грави-й магниторазведки. Существующие численные методы решения прямых задач можно разделить на две группы. В первой из них подынтегральная функция разлагается в некоторый сходящийся ряд и число удерживаемых членов согласуется с требованиями необходимой точности.Второй класс методов, наиболее широко развиваемых в настоящее время, это аппроксимационные методы, в которых возмущающая масса разбивается на простые геометрические тела, поле от которых можно вычислить аналитически. Предлагаемые различными авторами аппроксимационные методы решения прямых задач по существу отличаются способом аппроксимации исходного тела более простыми [14] .
В методах первого класса основные достижения были получены с привлечением аппарата теории функции комплексного переменного, что впервые было предложено в работе [IB] . Дальнейшее развитие этот подход получил в [7-Ю] . Особо отметим работу Г.Г.Кравцова, где даны общие решения прямой задачи грави-и магниторазведки для произвольных неоднородных многогранников с линейно изменяющейся плотностью (намагниченностью). В І8,9] приводятся аналитические выражения, полученные на основе использования аппарата теории функций комплексных переменных для потенциалов и их производных в двумерных задачах.
Исследование прямых задач для аномальных тел со сложным распределением плотности, учет влияния сферичности Земли намного повышает точность решения этих задач. Из поздних работ отметим [7] , где комбинированы методы приближенного и точного решения прямых задач, и работу [Г7] , где учитывается шарообразность Земли. Следует отметить также работы Страхова В.Н.,Лапиной М.И., Голиздры Г.Я., Балка П.И. и других авторов, посвященные развитию методов решения существенно трехмерных задач. В работе [20] , где изложены основные тенденции развития теории интерпретации до 80-х годов, приведен обширный список литературы, посвященный решению прямых задач гравичз магниторазведки и сформулированы основные проблемы на данном этапе.
Исследование регуляризирущих свойств алгоритма
Из наиболее важных проблем теории интерпретации гравитационных и магнитных аномалий отметим следующие. При решении обратных задач одним из наиболее сложных и основных вопросов является исследование единственности обратных задач [38] .В работах [39-57] для определенного класса задач с некоторыми ограничениями рассмотрены вопросы единственности решения обратных задач (см.более подробную библиографию [1,2,3,39,57] ). Особо отметим работу В.Б.Гласко [39] , в которой наиболее полно и последовательно изложены основные положения теории обратных задач.
В общей постановке обратные задачи гравиметрии и магнитометрии имеют не единственное решение. Поэтому исследования проводятся на модельных классах источников, для которых единственность имеет место. В работах [40,41] при известной плотности доказано существование и единственность решения трехмерной задачи в таких классах областей. Следует отметить исследования Ци-рульского А.В., Пруткина И.Л. [42] , Чередниченко В.Г. [43,44] , в которых для тел с постоянной и некоторой переменной плотностью в двумерном случае приведены необходимые условия разрешимости. Серия работ В.Л.Данилова и И.И.Шульмина посвящена численным алгоритмам решения обратных задач в некотором классе [45,46] .Для аномальных тел определенной формы теоремы существования доказаны М.А.Бродским и В.И.Страховым [47-50] .
Список работ, посвященных вопросам единственности и разрешимости обратных задач, можно было продолжить. фугой важный класс обратных задач - это задачи об определе ний параметров контактной поверхности. К параметрам контактной поверхности относятся: глубина контакта, эффективная плотность, форма контакта (включая размеры зоны контакта).
Регуляризовэнный метод решения обратной задачи для контактной поверхности впервые для линейного случая был предложен А.Н.Тихоновым и В.Б.Гласко [51] . Дальнейшее развитие этот алгоритм получил в работе [52] для нелинейного случая с некоторыми ограничениями. В последующих работах В.Б.Гласко и его учеников, а также других ученых эти ограничения были ослаблены [53,54,55, 56] . Ряд работ посвящен другим классам обратных задач (см. [1,2, 20] ).
Таким образом, рассмотрены основные классы задач в грави- и магниторазведке. Следует отметить, что более активное применение богатого арсенала вычислительной математики при решении прикладных задач геофизики несомненно даст большие возможности для решения самых разнообразных и трудных задач, будет способствовать комплексному исследованию строения земной коры.
Данная работа посвящена вопросам математического моделирования в некоторых задачах грави-и магнитометрии и применению современных методов теории разностных схем для численного решения этих задач. Предложены эффективные и экономичные методы решения прямых задач грави-и магниторазведки для тел произвольной формы и переменной плотности, алгоритмы пересчета полей в верхнее полупространство, свободное от возмущающих масс, и устойчивые методы продолжения аномальных полей в сторону аномальных масс.
Содержание работы отражается в трех главах. Первая глава посвящена прямым задачам грави-и мегниторазведки. В I приводится физическая постановка задачи, даны аналитические выражения для потенциала притяжения и его производных, описаны существующие методы приближенного решения прямых задач. Второй параграф посвящен математической формулировке прямой задачи. Она заключается в решении первой краевой задачи для уравнения Пуассона в неограниченной области.Эта задача сводится к двум краевым задачам в ограниченной области. Краевые условия на границе области для второй задачи вычисляются специальным образом. Краевые задачи решаются в условиях, когда рассматриваемая область целиком содержит аномальные тела.В 3 рассмотрены вопросы численной реализации предложенного алгоритма решения прямых задач грави-и магниторазведки. Проводится сеточная аппроксимация оператора Лапласа,строится разностная схема для двумерных и трехмерных задач, изучены вопросы аппроксимации граничных условий. Четвертый параграф посвящен вычислительному эксперименту. Приведены модельные расчеты для различных двумерных и трехмерных тел правильной геометрической формы. Дан сравнительный анализ предложенного алгоритма с другими существующими методами. Анализ показал,что применение сеточных методов при решении прямых задач ( равно и обратных) весьма целесообразно, т.к. в этом случае поле определяется по всей расчетной области, что позволит получить более ясную картину при решении обратных задач.
Примеры расчетов двумерных задач. Сглаживание
Оценки (І.В) и (1.19) близки (а по порядку и совпадают) к оптимальным оценкам для других методов решения прямой задачи. В самом деле, пусть вычисляется двумерный потенциал WfxJ по какой-то формуле, использующей разбиение тела Ю k = d,2,... ,К . Их число K N и вычисляется потенциал в Л1 N точках наблюдения. Вычислительные затраты будут оцениваться в случае двух измерений величиной fiOCM) = КМ %хНг. а»)
Однако, если необходимо вычислить потенциал на L глубинах oca = co st , то число арифметических действий растет пропорционально L , в, то время, как в описываемом алгоритме не более, чем в 4 раза; Если оценить число арифметических действий на одну точку наблюдения, то оно в нашем случае ( n = 2) не зависит от числа точек, а в случае (1.20) пропорционально числу точек разбиения 1С границы тела Ю ,
Отметим также, что в предложенном методе решения прямых задач гравиметрии несущественным является характер изменения плотности 6(ос) . Область залегания 2) может быть произвольной, единственное ограничение связано с тем, чтобы D была ограниченной. В случае, когда это требование не выполнено, применяются комбинированные методы, сочетающие предложенный алгоритм с другими. Метод экономичен относительно использования машинной памяти. Необходимо хранить лишь один массив самого сеточного решения ъц-(сс). Это позволяет решать задачи на достаточно подробных сетках, например, оперативная память ЭВМ БЭСМ-6 позволяет решать задачу с числом узлов больше Ю .
Программа, реализующая данный алгоритм в двух- и трехмерном вариантах, является универсальной, пригодной для решения самых разнообразных задач грави-и магнитометрии. Простая обработка разностного решения позволяет находить первые и вторые производные потенциала WW часто используемые при решении задач поиска полезных ископаемых, а также при решении прямых и обратных задач магниторазведки.
При решении трехмерных прямых задач грави-и магниторазведки, повышенные требования предъявляются к оперативной памяти используемой ЭВМ. Кроме того, значительные ресурсы машинного времени затрачиваются для приближенного вычисления потенциала на границе области Q по формуле (I.12), При применении данного алгоритма имеются большие резервы улучшения качества используемых разностных схем, квадратурных формул и т.д., которые позволяют повысить точность разностного решения.
Решение прямой задачи магниторазведки в случае однородного намагничения и постоянной плотности тела Ю непосредственно связано [1,2] с гравитационным потенциалом Wfoc) . А именно магнитный потенциал 17 выражается формулой Пуассона Г2] , где с - направление намагничения, а У -напряженность намагничения. Следовательно, решение прямой задачи магниторазведки является лишь обработкой разностного решения прямой задачи гравираз-ведки,
Вышеизложенный метод решения прямых задач грави-и магниторазведки тестировался на некоторых модельных задачах, В приведенных выше примерах область Q. - квадрат (L± l,L2 l) , а плотность 6(х) 0.5. Результаты для величин потенциала и его производных приведены в единицах при f I. На рис.2 показана сходимость разностного решения ъг(о) к точному W(cc) при измельчении сетки. Решалась прямая задача для области залегания с круговым сечением ) с координатами центра сс=0,33, сх =0,бб и радиусом поперечного сечения ЛС=0,25, Точность разностного решения иллюстрирует табл.1, где представлены в некоторых узлах точные Wpc) и приближенные значения потенциала "Urfoc) на сетке (17x16) и более подробной - (129x92). Соответствующая относительная погрешность вычисляется по формуле
Таким образом,на сетке (129x92) достигается точность 0,44 . Зависимость потенциала W(x) и его производных от Xj_ при различных глубинах xz consi , рассчитанных на основе предложенного метода на сетке 129x92, изображена на рис.3 для того же аномального тела, что и на рис.2. С увеличением глубины сс2 (при приближении к аномальному телу) кривые для потенциала и его производных более четко характеризуют расположение возмущающих масс.
Поведение сеточных функций ъУ 9 t acz , wbcz-xz вычисленных предложенным алгоритмом на различных глубинах для случая, когда аномальное тело имеет прямоугольное сечение, показано на рис.4. Расчеты проводились на сетке (129x92). (ширина прямоугольника 0,44, высота 0,33, координаты центра 3 =0,55, 3 =0,495).
На рис.5 приведены характерные кривые на различных глубинах для задачи с двумя близко расположенными телами 0 {% = Ъ±± ) В качестве аномальных масс для тестовой задачи выбраны два цилиндра, причем радиус большего цилиндра Я) равен 4=0,15, а меньшего =0,1, координаты центров расположены в точках oMi(0933s 0,66), М2\09В99 0,66) соответственно. Расчеты проводились на сетке (129x92).
