Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор публикаций по искусственным граничным условиям 10
1.1 Введение 10
1.1.1 Предварительные сведения 10
1.1.2 Модельные примеры 11
1.1.3 Общие комментарии 13
1.2 Общий обзор 15
1.2.1 Глобальные методы 15
1.2.2 Локальные методы 32
1.2.3 Поглощающие слои 55
1.2.4 Заключение к общему обзору 56
1.3 Обобщенные потенциалы 57
1.4 Нелокальные ИГУ-МРП 63
2 Искусственные граничные условия для задач обтекания тел вязкой жидкостью 70
2.1 Введение 70
2.1.1 Предварительные замечания 70
2.1.2 Цели и методы 71
2.2 Внешнее обтекание 73
2.2.1 Постановка задачи 73
2.2.2 Вопросы геометрии и основы дискретного алгоритма 80
2.2.3 Основы методов ИГУ-МРП 83
2.2.4 Вычисление ИГУ-МРП 89
2.3 Результаты вычислений 101
2.3.1 Двумерная задача 101
2.3.2 Трехмерная задача 110
2.3.3 Обтекание трехмерного тела с реактивной струей 119
2.3.4 Затраты на вычисление ИГУ-МРП 128
2.4 Заключение 130
3 Искусственные граничные условия для нестационарных задач акустики 132
3.1 Введение 132
3.2 Лакуны волнового уравнения 133
3.3 Система уравнений акустики 135
3.4 Интегрирование системы уравнений акустики, основанное на использовании лакун 137
3.5 ИГУ, основанные на лакунах 145
3.6 Численные примеры , 152
3.7 Выводы 162
4 Искусственные граничные условия для нестационарных задач электродинамики 164
4.1 Введение 164
4.2 Уравнения Максвелла и соленоидальные токи 165
4.3 Конструктивный способ получения соленоидальных токов 169
4.4 Интегрирование вспомогательной задачи с использованием лакун . 173
4.5 Искусственные граничные условия для уравнений Максвелла 177
4.6 Вычислительные эксперименты 180
4.7 Обсуждение результатов 186
Литература 189
Список иллюстраций 214
Список таблиц 217
- Модельные примеры
- Обобщенные потенциалы
- Вопросы геометрии и основы дискретного алгоритма
- Интегрирование системы уравнений акустики, основанное на использовании лакун
Введение к работе
Для подавляющего большинства задач, изначально поставленных в неограниченной области, применение численного метода решения с необходимостью требует перехода к некоторой конечной расчетной подобласти. Наиболее часто переход этот осуществляется посредством усечения исходной области. При этом на внешней границе расчетной подобласти возникает потребность конструирования искусственных граничных условий (ИГУ), которые обеспечили бы необходимое замыкание "усеченной" постановки задачи, и более или менее равносильно заменили бы влияние всей отбрасываемой (неограниченной) части исходной области. Вышеупомянутую внешнюю границу часто называют искусственной (так же, как и требующиеся на ней граничные условия), подчеркивая тем самым ее происхождение от ограничений численного метода решения (дискретная система не может иметь более чем конечное число переменных), а не от первоначальной постановки задачи.
По теме ИГУ в литературе существует большое количество публикаций, см., например, обзорные работы Гиволи [1,2] и Хагстрома [3], а также нашу статью [4]. Кроме того, подробный обзор различных методов постановки ИГУ содержится в главе 1 представляемой диссертации. Целью же настоящего введения является не столько обзор технического характера, сколько обсуждение установившихся в литературе стереотипов касательно ИГУ. Мы увидим, что в ряде случаев эти стереотипы не имеют под собой достаточных оснований.
Одновременно с обсуждением сложившихся в литературе представлений, общая точка зрения на ИГУ, предлагаемая в настоящем введении, объясняет конкретный выбор материала и распределение его по главам диссертации. Окажется, что построенные нами граничные условия позволяют объединить ключевые достоинства различных подходов к получению ИГУ, которые ранее считались едва ли не противоречащими друг другу. Важно, что это удается сделать для ряда задач, постановки которых, во всяком случае на первый взгляд, весьма далеки друг от друга, а именно, для стационарных задач внешнего обтекания тел сжимаемой вязкой жидкостью (глава 2), и для нестационарных задач акустики (глава 3) и электродинамики (глава 4). При этом с технической точки зрения разница в постановках вышеупомянутых задач приводит также и к существенно различным вычислительным алгоритмам ИГУ.
В целом, при построении ИГУ можно выделить две основные тенденции. Обеспечение высокой точности как правило требует, чтобы ИГУ имели нелокальный характер. В частности, точные ИГУ, то есть те, что не привносят никакой дополнительной ошибки за счет усечения области, всегда оказываются нелокальными, если количество пространственных измерений в задаче больше одного.
с. в. цынков
В нестационарном случае, обычно имеет место нелокальность также и по времени. Общепринятая концепция состоит в том, что нелокальность приводит к большим вычислительным затратам, а также создает труднопреодолимые препятствия при практической реализации ИГУ. Поэтому в качестве альтернативы (высоко)точным нелокальным ИГУ рассматриваются различные локальные подходы, которые могут быть получены как независимо, так и путем аппроксимации нелокальных ИГУ. Такие локальные ИГУ обычно дешевле и проще в реализации, чем нелокальные методы, но могут обладать недостаточной вычислительной точностью.
Конечно же, приведенная выше "черно-белая" классификация ИГУ является лишь приближенной. В действительности, существует множество промежуточных методов (между локальными и глобальными), таких, например, как аппроксимации высокого порядка или идеально подобранные поглощающие слои (perfectly matched layers — PML), см. главу 1. Однако вышеприведенная концепция в основном сохраняется, видоизменяясь лишь незначительно. Именно, во всем спектре граничных условий, от чисто локальных до полностью глобальных, каждый конкретный метод можно теперь рассматривать как некоторое равновесие между требованиями точности, которые ведут к нелокальности и, как следствие, трудноприменимым на практике алгоритмам, и требованиями практической эффективности, которые зачастую не позволяют получить высокую точность. Заметим однако, что тогда как указанное стандартное представление о локальных методах, как недостаточно точных, основывается на большом количестве теоретических результатов и экспериментальных (расчетных) наблюдений, представление о глобальных ИГУ, как громоздких и неэффективных, связано в основном лишь с весьма ограниченным ранее набором средств для их получения (интегральные преобразования и разделение переменных, что требует границ правильной формы), а также с относительно небольшим количеством описанных в литературе случаев их полномасштабного применения в практических вычислениях.
Предлагаемые в настоящей диссертации ИГУ обладают высокой вычислительной
точностью. Более конкретно, граничные условия на внешней (искусственной) границе
строятся непосредственно для дискретной задачи, и точность их всегда может
быть сделана как минимум не хуже, чем точность разностной аппроксимации
уравнений внутри расчетной области. Постановка ИГУ сразу для разностной схемы,
а не для исходного дифференциального уравнения (системы), является одним из
краеугольных камней разрабатываемого нами подхода. Во-
первых, это позволяет избежать (иногда значительных) сложностей, связанных с аппроксимацией непрерывных ИГУ, даже если последние уже известны. Действительно, точные нелокальные ИГУ часто могут быть выписаны лишь в форме, содержащей даже не интегральный, а псевдодифференциальный оператор, см. главу 1. Поэтому их дискретная аппроксимация является нетривиальной задачей, что в большой степени и послужило созданию "психологического барьера" предубеждения против глобальных методов. Во-вторых, при постановке ИГУ непосредственно для дискретной задачи точность на границе автоматически подстраивается под точность внутри расчетной области, с одной стороны, не ухудшая последнюю, а с другой стороны, не приводя к излишним затратам на создание чересчур точной граничной процедуры. В-третьих, разработка ИГУ сразу для схемы позволяет учитывать специфику конкретного
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 7
численного алгоритма, например, такую важнейшую его характеристику, как форма искусственной границы, которая в приложениях как правило определяется структурой сетки, используемой внутри расчетной области. И, наконец, немаловажным является следующее соображение, которое с одной стороны трудно формализуемо, но с другой стороны все же достаточно очевидно. Поскольку сама необходимость постановки ИГУ объясняется лишь ограничениями численного характера и только ими, то по сути ИГУ и требуются только в дискретной постановке задачи. Поэтому при их получении следует, по возможности, избегать потенциально ненужных шагов, таких, как предварительный вывод непрерывных граничных условий, а затем их разностная аппроксимация.
Вышеупомянутая возможность постановки ИГУ на внешней границе заданной (не обязательно правильной) формы является чрезвычайно важной для приложений. В литературе геометрическая универсальность метода, то есть его применимость к реальным, а не только специально подобранным модельным искусственным границам, отмечается как одно из необходимых условий общей эффективности и практической ценности ИГУ. Общепринятая точка зрения, опять же, состоит в том, что нелокальные методы обладают геометрической универсальностью лишь в незначительной степени. Эта точка зрения, однако, основывается не столько на ограничениях, присущих самим ИГУ (действительно, интегральные и псевдодифференциальные операторы могут быть получены для границ любой формы), сколько на ограничениях, присущих методам получения этих ИГУ (использование преобразования Фурье для вычисления псевдодифференциальных операторов требует границ правильной формы, таких, например, как прямая или окружность, см. главу 1). В представляемой диссертации высокоточные нелокальные разностные ИГУ получены для границ произвольной формы, причем это не требует никаких специальных свойств разностной сетки, таких, например, как адаптация к искусственной границе.
Собственно нелокальность граничной процедуры часто ассоциируется с высокими вычислительными затратами, в особенности если речь идет о нестационарных задачах. Мы считаем, что это верно лишь отчасти, и надеемся, что весь материал представляемой диссертации дает убедительное обоснование нашей точке зрения. Конечно же, нельзя отрицать, что по сравнению с простейшими локальными ИГУ (см. главу 1), и при прочих равных условиях, применение любого нелокального метода приведет к заметным дополнительным затратам вычислительных ресурсов. Однако сравнение "при прочих равных условиях" далеко не всегда бывает адекватным. Оказывается, что во многих случаях высокая точность, свойственная нелокальным ИГУ, позволяет очень существенно уменьшить размер расчетной области, см. главу 2. Более того, нелокальные ИГУ могут оказывать благоприятное воздействие на алгоритм решения внутренней задачи, именно, заметно ускорять сходимость многосеточных итераций, см. главу 2. Наконец, в нестационарном случае правильный учет структуры решения позволяет получать точные нелокальные ИГУ лишь с ограниченной и невозрастающей степенью нелокальности по времени. В литературе возможное возрастание степени временнбй нелокальности с течением времени, и связанное с ним возрастание вычислительных затрат, до настоящего момента рассматривалось как основное препятствие к использованию точных нелокальных ИГУ в нестационарных задачах. В нашем же случае (см. главы 3 и 4), требуемые вычислительные ресурсы
С. В. цынков
оказываются пропорциональными всего лишь первой степени времени (т.е. прямо пропорциональными числу шагов явной схемы). Вышеупомянутый правильный учет структуры решения состоит в явном использовании лакун гиперболических уравнений. Наличие лакун есть достаточно тонкое свойство последних, но, к счастью, оно имеет место в задачах, которые важны для приложений (акустика и электродинамика).
Помимо общего взгляда на свойства и характеристики, которыми должны обладать ИГУ, еще одним, и ничуть не менее важным, объединяющим моментом для всех предложенных в диссертации численных алгоритмов, является метод, с помощью которого нам удалось достичь поставленных целей. А именно, речь идет об аппарате обобщенных разностных потенциалов и граничных уравнений с проекторами1, который является центральным элементом метода разностных потенциалов (МРП) В. С. Рябенького [5]. Укажем впрочем, что если в случае стационарных течений вязкой жидкости (глава 2) используются собственно конструкции МРП, то в случае распространения нестационарных акустических и электромагнитных волн (главы 3 и 4), применение для расчетов явных схем позволяет существенно упростить рассмотрение и получить ИГУ непосредственно. Центральным тогда становится вопрос ограничения временнбй нелокальности и эффективного вычисления ИГУ, при решении которого основную роль играют лакуны линеаризованных уравнений Эйлера и уравнений Максвелла. В действительности же наш нестационарный подход из глав 3 и 4, в той его части, что касается именно постановки, а не вычисления ИГУ, может быть интерпретирован как использование вышеупомянытых операторов граничного проектирования в специальной, разрешенной относительно верхнего слоя, форме. Это следует из анализа, приведенного в работе [6], где излагается современное состояние общего нестационарного аппарата МРП, охватывающее также и случай неявных схем.
Таким образом, на единой основе нам удалось построить эффективные алгоритмы постановки высокоточных нелокальных ИГУ для стационарных задач обтекания конечных тел потоком сжимаемой вязкой жидкости, а также нестационарных задач распространения акустических и электромагнитных волн. При этом избранная последовательность расположения материала в диссертации — сначала стационарные, а потом нестационарные задачи — соответствует исходной хронологии работы, которая, в свою очередь, отражает произошедшее за последние годы в ряде прикладных областей заметное увеличение интереса именно к нестационарным задачам.
В дополнение следует отметить, что фундаментальные различия в постановке задач о стационарном обтекании и о нестационарном распространении волн приводят к тому, что вопросы, требующие основного внимания при конструировании ИГУ для этих задач, также принципиально отличаются друг от друга. В стационарном случае требует обоснования собственно линеаризация в дальнем поле, которая является ключевым моментом, предшествующим применению МРП. Кроме того, само построение граничного проектора для линеаризованных уравнений Навье-Стокса представляет определенные технические трудности, в особенности когда речь идет о применении ИГУ совместно с готовым промышленным алгоритмом решения внутренней задачи (глава 2). В нестационарном же случае основную трудность представляет эффективное вычисление граничного условия, для чего мы и пользуемся наличием лакун (главы 3 и
1 Обобщение граничных проекторов Кальдерона.
НЕЛОКАЛЬНЫЕ ИСКУССТВЕННЫЕ ГРАНИЧНЫЕ УСЛОВИЯ 9
4). При этом ни для системы уравнений акустики (линеаризованные уравнения Эйлера), ни для системы уравнений Максвелла, присутствие лакун в исследуемых решениях не гарантировано автоматически. В случае электромагнитных волн, например, для этого требуется поставить и решить специальную обратную задачу о восстановлении источников поля в заданной форме (глава 4).
Модельные примеры
Простой пример одномерной постановки с точными ИГУ дает следующая задача на полупрямой, где функция f(x), стоящая в правой части (ПЧ), финитна: Уравнение (1.1а) является однородным при х XQ И имеет два линейно независимых решения. Первое из них, и (х) = е Мх, убывает при х — +оо, а второе, v№{x) = е , — неограниченно возрастает при х — +оо. Граничное условие (1.1с) выполняется тогда и только тогда, когда растущая мода и (х) = е 4 не вносит никакого вклада в решение уравнения (1.1а) на всем полубесконечном интервале [XQ, +ОО). Для того, чтобы подавить эту Очевидно, что формула (1.2Ь) дает искомое точное ИГУ на искусственной границе х = XQ. Подчеркнем еще, что соотношение (1.2Ь) в точности переносит граничное условие (1.1с) из бесконечности на конечную границу х = XQ. Другими словами, соотношение (1.2Ь) полностью учитывает структуру внешнего решения задачи (1.1) (т.е. решения вне интервала [0, XQ)) без проведения каких-либо явных вычислений при х XQ. Здесь также следует отметить, что возможен и другой способ отбора соответствующих мод для решения в дальнем поле. Дифференциальный оператор уравнения (1.1а) можно факторизовать следующим образом: где первый сомножитель в правой части формулы (1.3) тождественно обращается в нуль при подстановке возрастающей моды и (х) и не может быть равен нулю при подстановке и (х), тогда как второй сомножитель, наоборот, тождественно обращается в нуль для и (х) и не равен нулю для г№{х). Поэтому левая часть соотношения (1.2Ь) совпадает именно со вторым сомножителем (1.3), равенство нулю в (1.2Ь) тем самым означает, что возрастающая мода и (х) не допускается. Хотя предыдущий пример и дает некоторое представление о том, как можно получить точные ИГУ, тем не менее, в силу своей одномерности, он недостаточен для полного понимания проблемы. Поэтому мы рассмотрим еще один пример, а именно, уравнение Пуассона с финитной ПЧ на R3: Граничное условие для уравнения (1.4а) состоит в требовании, чтобы решение убывало до нуля на бесконечности, Ясно, что трехмерная задача (1.4) однозначно разрешима, и ее решение дается ньютоновским объемным потенциалом с плотностью f(x). Для того, чтобы вычислить это решение и(х), мы сначала формально разложим его, а также и правую часть /(ж), в ряд по сферическим функциям, и таким образом получим следующий набор обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), описывающих радиальные моды (г = \х\): Так как все //(г) = 0 при г RQ, решение каждого из уравнений (1.5), / = 0,1,2,..., на интервале г RQ является суперпозицией двух линейно независимых решений, составляющих фундаментальную систему: щ (г) = г +х (стремится к нулю при г — со) и щ (г) = г (не убывает при г — со). Чтобы выполнялось граничное условие (1.4Ь), мы должны исключить неубывающую моду щ \г) и оставить только убывающую моду uf(r) для каждого / при г — со.
Следовательно, надо потребовать, чтобы при (1.6Ь) Формулы (1.6Ь) дают точные ИГУ для уравнения (1.4а) на сферической искусственной границе {г = Ro}. Другими словами, решение задачи (1.4а), (1.6Ь) на шаре {г Ro} в точности совпадает с соответствующим образом усеченным решением исходной задачи (1.4) для бесконечной области (т.е., упомянутым выше ньютоновским потенциалом), которое мы получили бы, если бы сначала решали эту задачу. (Заметим, что для каждого /, / = 0,1,2,..., имеется 21 + 1 линейно независимая сферическая функция; это, впрочем, не влияет на построение ИГУ (1.6Ь), так как граничное условие одно и то же для всех 21 + 1 компонент.) Легко видеть, что граничные условия (1.6Ь) пространственно нелокальны (относительно исходных переменных), так как обратное преобразование Фурье соотношений (1.6Ь) приведет к некоторому глобальному выражение, которое будет содержать псевдодифференциальный оператор (ФДО) и будет связывать значения переменных вдоль всей сферической поверхности Кроме того, заметим, что факторизация дифференциального оператора уравнения (1.5), аналогичная (1.3), также возможна: оператор в левой части граничного условия (1.6Ь) можно получить, поделив второй сомножитель в правой части выражения (1.7) на г. Подчеркнем, что ситуация, рассмотренная в последнем примере раздела 1.1.2, является довольно общей. Как уже отмечалось во Введении, во многих различных задачах, включая те, что возникают в физических приложениях, точные ИГУ нелокальны, в стационарном случае — по пространству, а в нестационарном случае — еще и по времени. Исключения довольно редки и, как правило, ограничиваются одномерными модельными примерами. Кроме того, так как стандартный подход к выводу точных ИГУ включает интегральные преобразования вдоль границы и псевдодифференциальные операторы, то такие граничные условия можно получить относительно без труда только для границ правильной формы. Действительно, возвращаясь ко второму примеру, рассмотренному в разделе 1.1.2, мы видим, что если бы искусственная граница не имела сферической формы, то разделение переменных, основанное на разложении в ряд Фурье по сферическим функциям, не было бы возможным. Для широкого класса задач, в методах построения ИГУ, а также в способах их классификации и оценки, можно выделить общие тенденции. Как уже упоминалось ранее во Введении, распространенный взгляд на глобальные ИГУ состоит в том, что они являются громоздкими и дорогими в реализации. Мы считаем, что этот взгляд обусловлен в основном имевшей место до недавнего времени ограниченностью средств получения (высоко)точных нелокальных ИГУ, и, как следствие, недостаточным опытом их применения в практических задачах. Тем не менее, указанная точка зрения пока преобладает в литературе, во всяком случае в прикладной. Поэтому разрабатываются различные приближенные локальные методы постановки ИГУ, которые справедливо считаются легкими и недорогими в применении, в частности, в индустриальных программных пакетах, но при этом не всегда обеспечивающими достаточную точность. Хорошей иллюстрацией такого положения дел является область вычислительной гидродинамики (ВГД), см. главу 2. Настоящая глава является обзором различных методов постановки ИГУ, предложенных в литературе за последние годы. Обзор состоит из двух частей. В первой части (раздел 1.2), мы рассматриваем работы, выполненные различными авторами в области построения ИГУ, т.е., описываем, сравниваем и оцениваем различные существующие методы, которые приводят как к локальным, так и к глобальным граничным условиям. Вторая часть обзора посвящена методу разностных потенциалов, разработанному Рябеньким [5]. Сперва мы кратко излагаем основные понятия, касающиеся обобщенных потенциалов и граничных проекторов (раздел 1.3). Затем, в разделе 1.4, мы даем обзор некоторых методов ИГУ, основанных на применении МРП; в частности, этот раздел включает наши собственные первые работы в этой области. Раздел 1.4 предваряет подробное изложение полученных в наших более поздних работах подходов к построению ИГУ для задач обтекания тел вязкой жидкостью (глава 2), задач распространения нестационарных звуковых волн (глава 3) и задач распространения нестационарных электромагнитных волн (глава 4). Все методики, излагаемые в главах 2, 3 и 4, в той или иной степени используют концепции, восходящие к разностным потенциалам. ИГУ-МРП являются глобальными. Однако, при решении стационарных внешних задач ВГД, см. главу 2, они обладают преимуществами как глобальных, так и локальных подходов. Другими словами, основная выгода, получаемая при использовании МРП, состоит в том, что метод одновременно позволяет получить высоко точные ИГУ и удовлетворяет требованиям геометрической универсальности и простоты в применении. При решении нестационарных задач, см. главы 3 и 4, основное преимущество предложенных нами ИГУ состоит в том, что степень их временнбй нелокальности оказывается ограниченной и невозрастающей с течением времени, и что это свойство получается не за счет какого-либо приближенного рассмотрения, а
Обобщенные потенциалы
Наша цель состоит в том, чтобы построить ИГУ, которые могли бы в существенной степени объединить преимущества как локального, так и нелокального подходов. Именно, новая методика должна обеспечивать высокую точность, присущую нелокальным методам, и, в то же время, быть геометрически универсальной и алгоритмически простой, что свойственно многим локальным методам. Для достижения этой цели мы воспользуемся аппаратом обобщенных разностных потенциалов и граничных проекторов, составляющим ядро МРП [5,20]. В настоящем разделе мы лишь очерчиваем основные идеи, касающихся обобщенных потенциалов и граничных уравнений с проекторами, а также их применения для постановки ИГУ, используя при этом модельный пример для уравнения Пуассона. Подробное описание МРП содержится в оригинальных работах Рябенького [5, 20]. В следующем разделе 1.4 мы рассматриваем ряд примеров построения ИГУ с использованием МРП. Сначала вернемся ко второму примеру из раздела 1.1. Там мы рассмотрели усеченную формулировку задачи (1.4), исходно поставленной в неограниченной области, и получили точные ИГУ (1.6Ь) на сферической искусственной границе {г = Но}. Очевидно, задача выработки ИГУ становится более трудной, если, по какой-либо причине, нам нужно рассматривать искусственную границу более сложной формы. На практике, форма искусственной границы часто задается внутренним алгоритмом (более точно, сеткой, которая строится внутри расчетной области). Серия соответствующих постановок из реальной вычислительной практики подробно исследуется в главе 2 диссертации. Что же касается изучаемого в этом разделе модельного примера, мы просто предполагаем, что имеется неправильная искусственная граница Г, отделяющая конечную расчетную область І„ ОТ ее бесконечного дополнения Dex. Мы также предполагаем, что Din полностью содержит носитель В правой части /(ж), см. формулу (1.4а). Геометрическая структура задачи в проекции на плоскость схематически показана на рис. 1.1, замкнутая пунктирная линия на этом рисунке представляет искусственную границу Г. Сфера {г = RQ} будет необходима нам для дальнейших построений как некий вспомогательный элемент; без ограничения общности, мы всегда можем предполагать, что Дп С {г RQ}. Теперь напомним классическую формулу Грина для гармонических функций. Именно, пусть функция иех(х), х Є R3, является гармонической в Dex и стремится к нулю на бесконечности, иех(х) — 0 при ж — оо. Тогда, при х Є Dex, где 0г(ж) — характеристическая функция множества Г, 0г(ж) равна единице на Г и нулю на К.3\Г; G(x,y) = —(47г)-1аг — у\ х\ п — внешняя нормаль на Г; s — площадь поверхности; а нижний индекс у обозначает переменную, по которой ведется дифференцирование или интегрирование. Заметим, что первый член в правой части (1.17) учитывает скачок потенциала двойного слоя на границе, и после добавления этого члена формула (1.17) становится верной на всей замкнутой области Dex. Подчеркнем, что представление иех(х) в виде суммы потенциалов двойного слоя и простого слоя по формуле (1.17) возможно только для гармонических функций на Dex.
Однако, если мы зададим две произвольные (скалярные) функции на Г и подставим их в правую часть (1.17) в качестве плотностей потенциалов, то полученная функция будет, очевидно, гармонической на DeXf но ее граничные значения, как и граничные значения ее нормальной производной, вообще говоря, не будут совпадать с исходными значениями плотностей потенциалов двойного слоя и простого слоя, соответственно. Введем в рассмотрение обобщенный потенциал с векторной плотностью г = (o,i) заданной на Г. Мы будем применять формулу, аналогичную (1.17), но не будем заранее требовать, чтобы о и i были граничными значениями какой-либо гармонической функции и ее нормальной производной, соответственно. Именно, обобщенный потенциал для х Є Dex задается следующим выражением: Мы также введем операцию взятия векторного граничного следа скалярной функции, заданной на Dex: Наконец, мы определим граничный оператор Рр, который отображает пространство следов г в себя; этот оператор является композицией обобщенного потенциала Рех и следа Тг, Заметим, что оператор Рр в (1.20) имеет нетривиальную структуру, так как он, в частности, содержит нормальную производную потенциала двойного слоя. Соответствующая особенность может заметно осложнить непосредственное вычисление Ргг поэтому для практических расчетов требуется специальный альтернативный подход, который описан ниже. Однако, сам по себе оператор Рр оказывается чрезвычайно полезным при анализе краевых задач. Он играет важнейшую роль в наших последующих рассмотрениях. Операторы, аналогичные Рг, были впервые введены Кальдероном [225], и позже изучались Сили [226]. Оказывается, что Рг — это оператор проектирования, Рг = Pp. Иногда его называют граничным проектором Кальдерона. Рябенький (см. [5, 20, 21] и приведенные там ссылки) модифицировал и обобщил исходную конструкцию Кальдерона и развил эффективный метод численной реализации операторов граничного проектирования.
Можно показать, что те и только те вектор-функции г, которые удовлетворяют следующему граничному уравнению с проектором (ГУРП): могут быть дополнены на Dex до гармонической функции иех, которая обращается в нуль на бесконечности и имеет след г на Г, Truex = г. Действительно, если функция иех(х) является гармонической на Dex и обращается в нуль на бесконечности, и, то мы можем записать формулу Грина (1.17) в виде и«,( ) = .(«_, ) применяя оператор следа Тг из (1.19), получить (1.21). Обратно, если равенство (1.21) выполняется для некоторой г, то гармоническая функция Рехг обращается в нуль на бесконечности (как сумма двух классических потенциалов) и имеет след г. Другими словами, те и только те г, которые принадлежат образу оператора проектирования Рр, г Є ImPp, могут быть дополнены на Dex так, чтобы дополнение было гармоническим, обращалось в нуль на бесконечности, и имело след г. Таким образом, уравнение (1.21) приобретает ключевое значение, поскольку оно предоставляет исчерпывающую классификацию тех и только тех векторных плотностей г, которые имеют гармоническое продолжение на Dex. Другими словами, уравнение (1.21) эквивалентно уравнению Лапласа на Dex вместе с условием обращения решения в нуль на бесконечности. Поэтому уравнение (1.21) дает нам искомое точное ИГУ на неправильной границе Г. Вместо того, чтобы решать задачу (1.4) на R3 или уравнение (1.4а) на {г RQ} С граничными условиями (1.6Ь), мы теперь можем решить уравнение (1.4а) с граничным условием (1.21) и получить в точности то же решение на Дп. Очевидно, что оператор Рг нелокальный. Кроме того, мы пока еще не пытались преодолеть вероятные вычислительные трудности, связанные с наличием особенностей в его структуре. Поэтому теперь мы переопределим Рр более практичным способом. Во-первых, напомним классическое тождество Грина ( г — объем):
Вопросы геометрии и основы дискретного алгоритма
Поверхность Гі С Dex (см. рис. 2.1) представляет собой слой дополнительных узлов (или центров дополнительных ячеек в случае дискретизации на конечных объемах). Ее можно рассматривать как слой самых внешних узлов исходной С-О сетки. В таком случае, поверхность Г становится предпоследним слоем узлов. Далее мы полагаем, что линеаризация (2.1) справедлива в Dex, т.е., вне Г, так что Гі содержится уже в области линейности. Допустимый размер области Din, при котором возмущения можно считать достаточно малыми, и, тем самым, предположение о линейности в Dex — выполненным, заранее, конечно же, не известен. Справедливость линеаризации в Dex подтверждается апостериори серией вычислительных экспериментов, см. раздел 2.3. Очевидно, что для применения шаблона схемы, используемой в Din к произвольному узлу из Г в общем случае потребуются данные из дополнительных ячеек. Заметим, что для центрально-разностной схемы второго порядка (подобной тем, что задействованы в кодах FL0MG, см. [66-68] и TLNS3D, см. [69,249]) достаточно рассмотрения лишь одного слоя дополнительных ячеек IV (Случай большего шаблона, для которого требуется большее число дополнительных ячеек, может быть рассмотрен аналогично.) Если данные из дополнительных ячеек отсутствуют, т.е., не получены с помощью ИГУ, то дискретная система, решаемая внутри вычислительной области, недоопределена; другими словами, она содержит меньше уравнений, чем неизвестных. Как указывалось в пункте "Краткое описание алгоритма" раздела 2.2.1, средства МРП [5,20,21] дают нам исчерпывающее описание граничных следов всех внешних решений. Так как область линейности Dex начинается от Г и далее, захватывая Гі, уходит на бесконечность, то естественно предложить следующий метод постановки ИГУ. Первым делом, на мы действуем оператором проектирования на граничные данные поставляемые изнутри Din. Получающаяся проекция будет, по определению допускать продолжение на Dex, являющееся решением (2.1), (2.2). Это продолжение может быть вычислено в виде обобщенного потенциала и рассмотрено на поверхности Гі. В целом, эта процедура дает нам недостающие соотношения между значениями решения на Г и Гі. Другими словами, мы получаем желаемое замыкание решаемой внутри Дп дискретной системы, т.е., ИГУ.
Обычно алгоритм решения внутри D{n состоит из итераций на установление (см. раздел 2.3). Тогда вышеупомянутая замыкающая процедура применяется на каждой итерации, а точнее, каждый раз когда данные из дополнительных ячеек должны быть пересчитаны перед следующим шагом по времени. Теперь мы приступим к описанию обобщенных потенциалов и граничных проекторов, равно как и их конечно-разностных аналогов, необходимых при построении ИГУ-МРП. Заметим, что если потенциалы и проекторы вычисляются для истинного оператора L из (2.1а) (он действует на функции и, определенные на всей области Dex и удовлетворяющие краевым условиям (2.2)), то соответствующее ГУРП оказывается равносильным исходной линейной задаче (2.1), (2.2) (см. [5, 20, 21]). Нам, тем не менее, потребуется ввести определенные упрощения и сконструировать ИГУ-МРП для некоторого приближения задачи (2.1), (2.2) (см. разделы 2.2.3 и 2.2.4), а не для нее самой. Несмотря на это, соответствующее приближенное решение может быть получено с любой наперед заданной точностью (см. [246], а также далее по тексту). Следовательно, в пределах точности линеаризации в дальнем поле, получающиеся ИГУ могут быть сделаны сколь угодно близкими к точным. В этом разделе формулируется и решается вспомогательная задача (ВЗ) для неоднородного варианта системы (2.1) с краевыми условиями (2.2). Эта ВЗ является ключевым элементом при построении граничных проекторов и обобщенных потенциалов Кальдерона. В действительности, решение ВЗ можно рассматривать как аналог свертки с фундаментальным решением в классической теории потенциалов. Рассмотрим финитную вектор-функцию {/ } = / = f(x, у, z), supp/ С Din, с четырьмя (і = 1,... ,4 для (2.lb)) или пятью (г = 1,... ,5 для (2.1с)) компонентами, пока не определяя ее конкретный вид. Функция / будет служить ПЧ вспомогательной задачи. Исходно, ВЗ формулируется на всем пространстве R3 — мы ищем решение и системы Lu = / (2.14) удовлетворяющей граничным условиям (2.2) на бесконечности. В дальнейшем мы, при необходимости, будем предполагать, что решения, принадлежащие классу регулярных обобщенных функций, представимы их интегралами Фурье. Для обоснования предложения 2.1 мы используем стандартный подход, основанный на преобразовании Фурье по всему R3 (см., например, [44]). Для доказательства разрешимости (2.14) в X (R3) достаточно показать локальную принадлежность обратного символа оператора L (см. (2.1)) к Li(R3). Обозначив двойственные к (х, у, z) переменные через (, 77, С,), мы можем записать символ Q оператора L так: Тогда элементы q jk = q kj, j = 1,--. ,4, к = 1,... ,4, обратной матрицы Q l для несжимаемого потока (2. lb) записываются в следующем виде: где д = 2+772 + С2- Из (2.16) легко видеть, что Q x имеет единственную вещественную особенность, расположенную в начало координат (, п, ) = (0, 0, 0). Очевидно, что все 5ut, к = 1,... ,4, абсолютно интегрируемы в окрестности начала координат, и следовательно q ik Є Llc(R3) для к = 1,... ,4. Для рассмотрения других q введем сферические координаты: f = gcosO, п = gsin9cos(p, = дsin9sin p, 0 0 7Г, 0 у? 27Г, и заметим, что при достаточно малых д выполнено из чего мы заключаем, что q Є L]C(R3) при всех j = 1,...,4, Л; = 1,...,4. Таким образом мы показали, что предложение 2.1 действительно справедливо в несжимаемом случае (см. (2.lb)). Отметим, что в [245] подобное утверждение приводится для двумерного сжимаемого течения. Предложение 2.2 Пусть f Є Li(R3). Тогда система (2.14), (2.1b) не может иметь более одного решения и Є Т (Ш3) в классе регулярных обобщенных функций, обращающихся в нуль на бесконечности, т.е., удовлетворяющих условию (2.2). В самом деле, в этом случае преобразование Фурье / правой части непрерывно на R3. Регулярная функция и, являющаяся решением (2.14), (2.2), задается обратным преобразованием Фурье: и = ( Q lf). Так как Q xf имеет лишь одну вещественную особенность (в начале координат), то любое другое решение может быть отличаться от и не более чем на обратное преобразование Фурье обобщенной функции с носителем в начале координат. Последнее же есть ничто другое как сумма 5-функций и их производных, что после преобразования Фурье соответствует полиномам.
Таким образом, предложение 2.2, по сути являющееся условием единственности, доказано. Отметим, что легкость, с которой мы установили единственность, обеспечивается наличием единственной изолированной вещественной особой точки у обратного символа Q"1. В случае, например, уравнений Эйлера, которые можно получить формально положив Re 1 = 0, это уже будет не так. Предложение 2.3 Пусть f финитна и f Є L2(R3). Тогда решение (2.14), (2.1b) представляется в виде и = и1 + иП, где и1 — бесконечно гладкая на R3 функция, т.е., и1 Є C(R3), удовлетворяющая краевому условию (2.2), а и11 Є L2(R3). Более того, для любого е 0, можно найти представление и = и1+иП такое, что \\un\\L (R3) е. Рассмотрим разбиение единицы 1 = gQ + g$, где обе (скалярные) функции g0 and д$ являются бесконечно гладкими на R3, до = 1 в шаре Uj с центром в начале координат и фиксированным радиусом RQ, И до = 0 вне шара Ufo+ft большего радиуса RQ + ц,
Интегрирование системы уравнений акустики, основанное на использовании лакун
С практической точки зрения, равномерная по времени сходимость по сетке, вытекающая из оценок (3.23), означает, что точность численного решения системы (3.10), полученного с использованием лакун [т.е., путем решения множества подзадач (3.18) с последующим использованием представления (3.21)] не будет ухудшаться даже в том случае, когда система (3.10) интегрируется на сколь угодно длинном отрезке времени. Другими словами, можно ожидать, что не будет происходить накопления ошибки на больших временах. В этом, собственно говоря, и заключается коренное различие между предлагаемыми алгоритмами, основанными на использовании лакун, и стандартными методами интегрирования по времени, которые могут применяться для расчетов нестационарных звуковых полей. Действительно, явление накопления ошибок на больших временах хорошо известно в контексте построения численных методов для нестационарных задач. Это явление признано в литературе в качестве одной из основных остающихся трудностей при численном решении уравнений с частными производными со времени выполнения первых систематических исследований сходимости дискретных аппроксимаций в начале пятидесятых годов. В рамках теоретического анализа эта трудность проявляется в росте констант устойчивости со временем. Например, если систему (3.10) необходимо проинтегрировать по времени на интервале [0,Tfinai], то константа устойчивости будет, вообще говоря, зависеть от Тцпа : К = К(-,Tfina), и будет действительно увеличиваться с ростом Tfinai- Это, очевидно, есть то же самое явление, что и зависимость величин Kj от Tint в формулах (3.22). Увеличение констант устойчивости с ростом Tfinai равносильно неравномерности сеточной сходимости по времени, и хорошо известно, что все стандартные дискретные аппроксимации, которые могут быть использованы (и реально используются) в современных численных методах, страдают от этого дефекта. С практической точки зрения это означает, что любая аппроксимация может быть использована лишь на ограниченном интервале времени, если допустимая величина ошибки задана изначально. Для дальнейшего продвижения по времени без потери точности необходимо использовать с самого начала аппроксимацию с более мелким шагом, что, очевидно, потребует существенного увеличения вычислительных затрат. Такое увеличения вычислительных затрат, как правило, быстро приводит к невозможности проведения дальнейших вычислений. Используя язык и термины волновой физики, можно, например, объяснить накопление ошибок при вычислениях на больших временах либо численной диссипацией, либо дисперсией (фазовой ошибкой), либо обоими этими механизмами одновременно. Но независимо от истинной природы явления накопления ошибок, оно может приводить к неприемлемой потере точности решения на сравнительно коротком промежутке времени. Методы, основанные на использовании свойств лакун, позволяют обойти указанные трудности благодаря равномерной сходимости по времени (3.23). Более того, применение любого стандартного метода интегрирования системы (3.10) по времени на большом интервале [0,Тцпаі] потребовало бы также и большой пространственной области, размер которой можно грубо оценить величиной 2сТдпаі. Обычно такие подходы нереализуемы.
С другой стороны, применение алгоритмов, основанных на использовании лакун, позволяет проводить интегрирование в области фиксированного размера Z, который определяется по формуле (3.13) и не возрастает. Важно отметить, что гладкость играет ключевую роль при построении алгоритмов, основанных на лакунах. В частности, функцию S(t), которая определена формулой (3.15) и используется в разбиении единицы (3.14), следует выбирать настолько гладкой, чтобы зависимость констант устойчивости Kj от индивидуальных свойств правых частей 7 ,{ и Ь 2 [см. (3.22)] была бы не хуже, чем зависимость в исходной схеме, в которой источники не подвергались процедуре разбиения. Подробный анализ, учитывающий количественные характеристики гладкости, остается за рамками настоящей главы, так как его можно найти в нашей работе [289]. Рассмотрим теперь вопросы реализации алгоритмов, основанных на лакунах. С теоретической точки зрения, для каждого заданного номера j = 0,1,2,... система (3.18) должна быть проинтегрирована на своей вспомогательной области размера Z [см. (3.13)], расположенной вокруг S(t$ ), где ц = (aj — \)Т, а положение S(IQ ), в свою очередь, определяется точкой отсчета Хо{ц ) [см. формулу (3.9)]. Однако, намного более удобно использовать периодические граничные условия с периодом Z по всем координатным направлениям. В этом случае закон движения (3.9) следует рассматривать как движение по трехмерной тороидальной поверхности, а расположение всех объектов в пространстве должно быть переопределено с использованием периодической постановки: х »-) х = (#і,2 #з) где Xi = Xi — [ ]Z, г = 1,2,3. В таком случае все системы (3.18) могут решаться на одной и той же области с периодическими граничными условиями, так как ясно, что конкретное расположение "начальной" области в(ц ) внутри периода для каждого значения j = 0,1,2,... не может играть никакой роли. Более того, тогда как наиболее общая постановка задачи предполагает выбор одного и того же значения Z для всех координатных направлений, то в случае, когда движение (3.9) характеризуется некоторым доминирующим направлением, величины периодов в направлениях, ортогональных этому направлению, могут быть выбраны меньшими. Весь последующий анализ в данной главе основан именно на периодической постановке. Далее, для каждой из формул (3.21) выпишем ее дискретный аналог (дискретные величины обозначены нижним индексом "Л") в виде разности двух конечных сумм:
