Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Метод Фаэдо - Галеркина приближенного решения начально - краевых задач для параболических уравнений в областях с границей, зависящей от времени
1. Постановка начально - краевой задачи для линейного параболического уравнения. Теорема существования 14
2. О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для линейного параболического уравнения 20
3. О сходимости метода Фаэдо - Галеркина для квазилинейных параболических уравнений 40
4. Результаты численных экспериментов 52
ГЛАВА 2. Начально - краевая задача для двумерных уравнений Бюргерса в нецилиндрических областях
1. Постановка начально - краевой задачи для системы двумерных уравнений Бюргерса 62
2. Теорема существования и единственности 65
3. Численная реализация метода сеток для системы уравнений Бюргерса 81
Литература 87
- О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для линейного параболического уравнения
- О сходимости метода Фаэдо - Галеркина для квазилинейных параболических уравнений
- Постановка начально - краевой задачи для системы двумерных уравнений Бюргерса
- Численная реализация метода сеток для системы уравнений Бюргерса
Введение к работе
Актуальность темы. Одними из наиболее важных методов исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно - сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [2], Б.Г. Галеркина [13], В.Ритца [81], Н.Н. Боголюбова [1], Н.М. Крылова [38], М.Б. Келдыша [31], Г.И. Петрова [48], [49], Л.В. Канторовича [27] и других авторов.
Современное изложение проекционных методов можно найти в книгах С.Г. Михлина [42] - [44], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. За брейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [35], Г.И. Марчука, В.И. Агош-кова [41], Г.М. Вайникко [5], [6], X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариуса [12], Ж-П. Обэна [45], Р. Варги [8], R. Glowinski [75], К. Флетчера [63].
Для нестационарных уравнений метод Галеркина был обобщен С.Фаэдо [41], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаз до - Га ц леркина.
Как процесс доказательства существования решения метод Фаэдо -Галеркина использовался в работах М.И. Вишика [10], М.И. Вишика и О.А. Ладыженской [11], ЮА. Дубинского [17], [18] и др.
Метод Фаэдо - Галеркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [7], М.А. Велиева [9], А.Г. Зарубина [21], [22], В.Р. Кардашова [29], П.Э. Оя [46], [47], СВ. Поборчего [51], В.В. Смагина [54] - [57], П.К. Соболевского [58] - [60] и других, например, [3], [14], [20], [69], [76], [82].
Краевые задачи для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени, возникают в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [50], [79], [84]; при изучении процесса горения в твердотельных ракетных двигателях [19]; при ис кЧї пользовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [52] и других задачах естествознания.
Начально - краевые задачи для различных классов нестационарных линейных и квазилинейных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [15], [24] - [26], [32] - [34], [36], [37], [66], [68], [70] - [74], [77], [78], [80], [83].
Естественно поставить вопрос о нахождении приближенных решений таких задач. В связи с этим, представляются актуальными разработка и обоснование возможности применения итерационных и проекционных методов нахождения приближенного решения начально - краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа в областях, граница которых зависит от времени.
Цель работы. Получить следующие результаты:
- доказать разрешимость нахально - краевых задач в пространствах С.Л. Соболева для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков, а также разрешимость в пространствах Гельдера одной квазилинейной системы параболических уравнений в нецилиндрических областях;
- обосновать возможность применения метода Фаэдо - Галеркина для параболических уравнений высших порядков и получить оценки быстроты сходимости;
- провести численную реализацию метода Фаэдо - Галеркина для некоторого класса задач;
- для квазилинейной системы построить сходящийся итерационный процесс, в котором не использовался бы принцип сжатых отображений;
- найти оценки быстроты сходимости предложенного итерационного процесса;
- для системы двумерных уравнений Бюргерса, используя итерационный процесс, с помощью метода сеток построить численное решение.
Методы исследования. В диссертации используются методы функ JqH ционального анализа, теория пространств С.Л. Соболева, методы теории линейных и квазилинейных параболических уравнений, вычислительные методы математики.
Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический и практический характер. В диссертации получены следующие результаты:
- доказаны теоремы существования сильных решений начальнокра левых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков в пространствах Соболева в нецилиндрических областях с одной пространственной переменной;
- установлена сходимость приближенных решений, построенных по методу Фаэдо - Галеркина, к точному решению в норме пространства;
- получены оценки быстроты сходимости приближенных решений; - доказана теорема существования и единственности для системы двумерных уравнений Бюргерса в пространстве Гельдера #2+a 1+f;
- построен сходящийся в Л"2+а 1+2 итерационный процесс, и получены оценки быстроты сходимости приближенных решений;
- выполнена численная реализация указанных выше вычислительных методов.
Основные результаты диссертации являются новыми и могут быть использованы для дальнейшей разработки вычислительных методов в теории параболических уравнений в областях с подвижными границами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Дальневосточной математической школе - семинаре им. Е.В. Золотова (г. Владивосток 2002, 2003), на международной конференции " Байкальские чтения II по моделированию процессов в синерге тических системах" (г. Улан - Удэ, Томск 2002), на международной кон ференции "Современные проблемы функционального анализа и дифференциальных уравнений" (г. Воронеж 2003), на 49 научной конференции Хабаровского Государственного Педагогического Университета (2003), а также на научном семинаре " Дифференциальные уравнения" при Хабаровском Государственном Техническом Университете и семинаре при Ч ВЦ ДВОРАН (г. Хабаровск).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [88] - [92].
Структура и объем диссертации. Диссертация изложена на 96 страницах машинописного текста, состоит из введения, двух глав и списка литературы из 92 наименований.
Благодарности. Автор благодарен научному руководителю Анатолию Георгиевичу Зарубину за постановку задачи и помощь в работе, администрации Хабаровского края за финансовую поддержку.
Содержание диссертации. Во введении приведен краткий обзор литературы по теме диссертации, указаны актуальность темы исследования, цель и новизна полученных результатов, изложено краткое содержание работы.
О скорости сходимости метода Фаэдо - Галеркина для линейного параболического уравнения
Одними из наиболее важных методов исследования и приближенного решения краевых задач для линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных, разных задач механики и т.д. являются методы, которые принято называть проекционными и проекционно - сеточными. Эти методы восходят к известным исследованиям И.Г. Бубнова [2], Б.Г. Галеркина [13], В.Ритца [81], Н.Н. Боголюбова [1], Н.М. Крылова [38], М.Б. Келдыша [31], Г.И. Петрова [48], [49], Л.В. Канторовича [27] и других авторов. I%J. Современное изложение проекционных методов можно найти в книгах С.Г. Михлина [42] - [44], М.А. Красносельского, Г.М. Вайникко, П.П. За брейко, Я.Б. Рутицкого, В.Я. Стеценко [35], Г.И. Марчука, В.И. Агош-кова [41], Г.М. Вайникко [5], [6], X. Гаевского, К. Грегера, К. Захариуса [12], Ж-П. Обэна [45], Р. Варги [8], R. Glowinski [75], К. Флетчера [63]. Для нестационарных уравнений метод Галеркина был обобщен С.Фаэдо [41], и в дальнейшем этот метод стал называться методом Фаз до - Га ц леркина. Как процесс доказательства существования решения метод Фаэдо -Галеркина использовался в работах М.И. Вишика [10], М.И. Вишика и О.А. Ладыженской [11], ЮА. Дубинского [17], [18] и др. Метод Фаэдо - Галеркина как численный метод для нестационарных уравнений изучался в работах Г.М. Вайникко, П.Э. Оя [7], М.А. Велиева [9], А.Г. Зарубина [21], [22], В.Р. Кардашова [29], П.Э. Оя [46], [47], СВ. Поборчего [51], В.В. Смагина [54] - [57], П.К. Соболевского [58] - [60] и \, других, например, [3], [14], [20], [69], [76], [82]. Краевые задачи для уравнений параболического типа в области с границей, движущейся во времени, возникают в проблемах атомной энергетики и безопасности атомных реакторов [50], [79], [84]; при изучении процесса горения в твердотельных ракетных двигателях [19]; при ис кЧї пользовании электрических разрядов, явления электрического взрыва проводников [52] и других задачах естествознания. Начально - краевые задачи для различных классов нестационарных линейных и квазилинейных уравнений в нецилиндрических областях изучались с точки зрения доказательств теорем существования и единственности, например, в работах [15], [24] - [26], [32] - [34], [36], [37], [66] Ф - [68], [70] - [74], [77], [78], [80], [83]. Естественно поставить вопрос о нахождении приближенных решений таких задач. В связи с этим, представляются актуальными разработка и обоснование возможности применения итерационных и проекционных методов нахождения приближенного решения начально - краевых задач для линейных и квазилинейных уравнений параболического типа в областях, граница которых зависит от времени. Цель работы. Получить следующие результаты: - доказать разрешимость начально - краевых задач в пространствах С.Л. Соболева для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков, а также разрешимость в пространствах Гельдера одной квазилинейной системы параболических уравнений в нецилиндрических областях; - обосновать возможность применения метода Фаэдо - Галеркина для параболических уравнений высших порядков и получить оценки быстроты сходимости; - провести численную реализацию метода Фаэдо - Галеркина для некоторого класса задач; - для квазилинейной системы построить сходящийся итерационный процесс, в котором не использовался бы принцип сжатых отображений; - найти оценки быстроты сходимости предложенного итерационного процесса; - для системы двумерных уравнений Бюргерса, используя итерационный процесс, с помощью метода сеток построить численное решение. Методы исследования. В диссертации используются методы функ JqH ционального анализа, теория пространств С.Л. Соболева, методы теории і линейных и квазилинейных параболических уравнений, вычислительные методы математики. Теоретическая значимость и научная новизна. Работа носит теоретический и практический характер. В диссертации получены следующие результаты: - доказаны теоремы существования сильных решений начально - кра л евых задач для линейных и квазилинейных параболических уравнений высших порядков в пространствах Соболева в нецилиндрических областях с одной пространственной переменной;
О сходимости метода Фаэдо - Галеркина для квазилинейных параболических уравнений
Теорема 1.3.2. Пусть выполнены условия теоремы 1.3.1. Тогда при каждом п множество приближенных решений un(x,t) = vn( _\L t), построенных по методу Фаэдо - Галеркина для задачи (1.3.1)-(1.3.3), непусто. Каждая последовательность {ип} из множества Л4п галер-кинских приближений компактна в W2m (Фг) и каждая ее предельная точка является решением задачи (1.3.1)-(1.3.3).
Доказательство. Так как / Pnb{,ri)— vnddr) = I b(,rj)- vnddri, / Png{, V, «A, v 4,..., 42Г l))vnddn = J д(, г], v\, v ,..., vf 1])vnddr], QT QT то по аналогии с получением оценки (1.3.14), для vn(,r/) имеет место неравенство sup K(,77)IU2(0,i) #14, (1.3.18) 0 7? Г где постоянная К и не зависит от п. Система функций {е&()} является ортонормированной в L2(0,1), поэтому из (1.3.18) следует Е clirf) К2и. (1.3.19) А=1 Из (1.3.19) и из теоремы (см., напр., [17], [18]) о разрешимости задачи Коши для нелинейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений следует, что задача (1.3.16) - (1.3.17) имеет по крайней мере одно решение из пространства W2m (Фг) то есть множество Л4п непусто при каждом п. Для приближенных решений vn(,rj), проводя рассуждения, такие же, как в теореме 1.3.1, получим оценку где положительная постоянная Кі$ не зависит от п. Множество {vn} ограничено по норме пространства И "1 {QT)I И ( ", 77, Со Сі» C2m-i) - непрерывная фукция на QT х R2m, поэтому из теорем вложения получаем компактность множества {Sivn} в IJ2(QT) Положим Gn = {(hi — Sivn),Tvn}. Используя определение оператора Г , получаем lrvn-v0(Owm.o(0 1) = 1Ы, 0)- (011 (0,1) = 11 0(0- 0(011 (0,1) KU\\B I - РпЫШыол) = К16\\(1 - Р„)ВЧК) (0,1) -+ о при п —Ї со. Таким образом, множество {Gn} является компактным в о т L2(QT)XW2 (0,1). Невязка определяется формулой 5п = A\Vn — Gn. По аналогии с линейным случаем, имеем \\5п\\ о "» = " nnL2(QT)xW2 (0,1) = \\[A(VnA)-lVn-I].AB-\l-Vn)BA-lGn\\ r (1.3.20) L2{QT)XW2 (0,1) Операторы A(VnA) 1i A3 1, BA_1 являются линейными, ограниченными операторами в соответствующих пространствах. Множество {Gn} о т компактно в L2(Qr)x И 2 (0,1), поэтому множество {BA lGn} также компактно в этом пространстве. Последовательность {Vn} является о т сильно сходящейся в L2(QT)X W2 (0,1), поэтому, как известно, последовательность {Vn} на компактном множестве {BA lGn} сходится равномерно к нулю. Следовательно, из (1.3.20) вытекает стремление невязок к нулю. о т Множество {Gn} компактно в г((5г)х 2 (0Д) и пусть {Gnk} -любая сходящаяся подпоследовательность. Тогда IK - vnt+pfwt.4QT) ir(lJnJI (gT)) t.2-(0il) + 11 - .11 , ,-(9,,,+ +\\Gnt - Gnt+P\\l2iQT)x m)-Отсюда и из вышесказанного следует, что последовательность {vnk} является фундаментальной в W2m (QT), а пространство И 2т (Qr) полно, поэтому подпоследовательность {vnk} сходится к некоторому элементу v( 7l) из пространства И (QT)- Нетрудно показать, что предельный элемент v(,n) является решением задачи (1.3.4) - (1.3.6). Теорема доказана. Теорема 1.3.3. Пусть выполнены следующие условия: 1. h(x,t) Є Ія(ОД, 2. функция f(x, t, (о, Сі,..., (,2т-\) непрерывна в области Qj х R2m и f(x,t,0,. ..,0) = 0, 3. для любых непрерывных в области 1т функций (x,t), (x,t), име ющих непрерывные производные по переменной х до (2т — 1) - порядка включительно, выполняется неравенство fit) J(f(x,tX(x,t),Cx(x,t),..-,U2m-1](x,t)) т -/( , , ( , t), &( , ) СІ2т_1)( , ))) х x(C(x,t) -C(x,t))dx 0 для любых 0 t Т, 4. /(я?, , Со» Ci і C2m-i) К {I + ЕЙ) ІСг ГО, где степени ті такие, что 0 ТІ fgi. Тогда, если начальное условие щ(х) = 0, то задача (1.3.1) - (1.3.3) имеет единственное решение из пространства ТУ2т (Фг)- При каждом п существует единственное галеркинское приближение un(x,t) = vn[J({)ZLit)it) и последовательность {ип} сходится к точному решению u{x,t) в пространстве W2m {Sir) при п — со, причем, верны оценки быстроты сходимости.
Постановка начально - краевой задачи для системы двумерных уравнений Бюргерса
Начально - краевые задачи для уравнений Бюргерса в цилиндре и численные методы нахождения приближенных решений рассматривались, например, в работах [53], [85], [86], [87].
Одномерные уравнения Бюргерса используются при моделировании некоторых физических явлений, например, волновых процессов в нелинейной термоупругой среде, ударных волн, гидродинамической турбулентности и т.д.
В этой главе будем исследовать начально - краевую задачу для двумерных уравнений Бюргерса в областях, граница которых зависит от времени. Для доказательства теоремы существования будем использовать итерационный метод, подобный методу работы [23].
Данная глава написана по результатам работ [89], [91], [92]. 1. Постановка начально - краевой задачи для системы двумерных уравнений Бюргерса В трехмерном евклидовом пространстве Я3 рассмотрим область, ограниченную поверхностью х\ + х\ = ip(t) + а2 и плоскостями t = 0 , t = Т , где ip(t) -дважды непрерывно дифференцируемая, неотрицательная функция, такая, что /?(0) = 0, р {0) = О, Т со . Данную область обозначим DT , ее замыкание -DT, а круг х\ + х\ а2 обозначим через Рассмотрим начально-краевую задачу для системы уравнений Бюргерса где R - число Рейнольдса. Будем предполагать, что функции ц і{х) и / 2(я) удовлетворяют условиям Pi(x) = 0, —A pi + fi(x,0) = 0 при х\ + х22 = а2, г = 1,2. (2.1.5) В дальнейшем нам потребуются пространства Lp, W2,1 (р 1), #а, Яа,а/2? Я2+а} #2+a,l+f (Q а 1). Следуя, например, [39], НИЖЄ Приве дем определения пространств Гельдера. В пространстве R2 с х = {х 1,2:2) рассмотрим ограниченную область Т , замыкание которой обозначим через V. Пусть функция и(х) определена в области V. Говорят, что функция и{х) принадлежит множеству На(Т ), если она непрерывна вРи величина и x,x V \Х — X J х-х ро конечна. Множество всех функций и(х), принадлежащих На(Т ) и для которых конечна норма ия (2эъ определяемая выражением (2.1.6), называется пространством Гельдера и обозначается На(Т ). Данное пространство является банаховым относительно нормы [ я (Р) 64 По аналогии введем пространство Гельдера Н2+а(Т ). H2+a(V) - банахово пространство функций и(х), непрерывных в V, имеющих в Т непрерывные производные до второго порядка включительно и с конечной нормой 2„ Г, . _ \D2xu{x) - Dlu(x )\ з=о (Л v (2). . f? \x-x\ Символ Dl означает любую производную u(x) по x порядка j, а (у) -суммирование по всевозможным производным и(х) порядка j. Пусть (х, t) - точка из д3 где х Є І22, Є R. Обозначим через fir ограниченную область в і?3, а ее замыкание - 0,т На, (0,т) - банахово пространство функций и(х, і), непрерывных в QT с конечной нормой Я2+а 1+2(Ог) - банахово пространство функций u(x,t), непрерывных в QT, имеющих в QT непрерывную производную по t, непрерывные производные до второго порядка включительно по ж и с конечной нормой Определенные нами нормы зависят от ро, но при разных ро 0 эквивалентны друг другу, и поэтому зависимость их от ро нигде не будет отмечаться.
Численная реализация метода сеток для системы уравнений Бюргерса
В предыдущем параграфе было показано, что последовательные приближения {u(, Т7,7")}, { "( j7/» 7")}} определяемые задачей (2.2.5) - (2.2.8), сходятся к точному решению (u,v) задачи (2.2.1) - (2.2.4) по норме пространства [H2+a 1+a/2(QT)]2, а также была установлена связь между решениями задач (2.2.1) - (2.2.4) и (2.1.1) - (2.1.4). Поэтому каждое п — ое приближение задачи (2.2.5) - (2.2.8) будем находить методом конечных разностей.
Для этого в цилиндре QT введем равномерную сетку следующим образом. Выбираем достаточно малые шаги hi = по переменным , г\ и }\2 = jj- - по т. Проведем 3 семейства параллельных плоскостей
Точки (ihi,jhi,kh,2) назовем узлами сетки. Обозначим ш - множество всех регулярных узлов (см. [62]), и д - множество всех нерегулярных узлов, 7/i - множество всех граничных узлов. Таким образом, цилиндру QT ставится в соответствие сетка Шь,(Ят)і то есть множество точек () f], т) Є UJh, где Щ =Uh +u h + 7A. Введем обозначения В регулярных узлах сетки производные уравнений (2.2.5), (2.2.6) аппроксимируем следующими выражениями: В нерегулярных по и 7 узлах (г/11, j/ii, fc/іг) используем теже разностные выражения, что и для регулярных узлов, полагая значения сеточной функции равными нулю в узлах, которые не принадлежат uJh{Qr) 83 Построим разностную схему, аппроксимирующую задачу (2.2.5) - (2.2.8) n = 0,1,... В качестве начального приближения берем Рассмотрим задачу (2.2.5) - (2.2.8). Пусть /І Є #2+a 1+f (С?г), V Є /f4+a(a7l) (г = 1,2) и выполнены условия согласования второго порядка. Тогда, согласно теореме 5.2 (см. [39], стр. 364), при каждом п существует решение {й71"1"1, "1"1} из пространства [Я4+а 2+2 (QT)]2. По аналогии с доказательством теоремы 2.2.1 можно показать, что приближенное решение {ua+l,vn+1} равномерно ограничено в пространстве j- 4+a,2+f (фг)]2? то есть существует постоянная С2з 0, независящая от п, такая, что ЦйП+11я4+а-2+(QT) + \\Vn+1\\H +a 2+i(QT) 23 Пусть {йп+1( ,?7,г),г;п+1( ,77,г)} - решение задачи (2.3.1) - (2.3.4), а {г!"4"1 , , г),17п+1( ,77, г)} - решение задачи (2.2.5) - (2.2.8) из пространства [Я4+а,2+2 (QT)]2. Для оценки погрешности аппроксимации: Ф = щ;кг - (ьчп+%к используем разложение по формуле Тейлора функции й"+1(, г], т) в окрестности точки (i,r)j,Tk). Тогда Так как функции йп+1( , ,т),г»п+1( ,г7,г) удовлетворяют уравнениям (2.2.5), (2.2.6), то используя (2.2.9) , из последнего равенства получа ем max \Atfft1 - (LlZn+1)ijk\ = 0(h2 + h\). (2.3.5) Аналогично устанавливается max \Av - (Lvn+1)ijk\ = 0(h2 + h\). (2.3.6) Граничные (2.3.3) и начальные (2.3.4) условия при подстановке г 1, v 1 выполнены точно, поэтому из (2.3.5) и (2.3.6) следует, что аппроксимация задачи (2.2.5) - (2.2.8) схемой (2.3.1) - (2.3.4) имеет первый порядок относительно h2 и второй - относительно h\. Известно, что при каждом п данная разностная схема устойчива, если Области DT поставим в соответствие сетку UJ/I(Z?T) с узлами (xiik,X2jk,tk), ГДЄ У X2jk = Vj VWfcl + a2, і, j = 0, ±1,..., ±N.
