Содержание к диссертации
Введение
1 Построение конструктивных схем для систем уравнений на бесконечном интервале 25
1 1 Система уравнений типа диффузия-реакция 25
1.2 Система уравнений типа диффузия-конвекция 44
1.3 Система типа диффузия-реакция с диагонально преобладающей матрицей 50
1.4 Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции 61
2 Построение конструктивных схем для задач с точечным источником 70
2.1 Линейное уравнение с точечным источником 70
2.2 Система линейных уравнений с точечным источником 91
2.3 Система нелинейных уравнений с точечным источником 102
3 Применение метода прямых для уравнений в частных производных 120
3.1 Параболическое уравнение с сосредоточенным источником на бесконечном интервале 120
3.2 Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе 130
Заключение 135
Литература 137
- Система уравнений типа диффузия-конвекция
- Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции
- Система линейных уравнений с точечным источником
- Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе
Введение к работе
№*LO
Актуальность
При математическом моделировании процессов конвективно-диффузионного переноса возникают краевые задачи для уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных в неограниченной области. Чтобы решить такую задачу конечно-разностным методом, необходимо, чтобы разностная схема была конструктивной для компьютерных вычислений и сетка содержала конечное число узлов. Решение задачи в случае преобладания конвекции над диффузией содержит область пограничного слоя, что, как известно, приводит к расходимости классических разностных схем и к необходимости построения разностных схем, сходящихся равномерно по малому параметру. При наличии сосредоточенных источников возникают пограничные слои в окрестности источников, которые необходимо учитывать при построении разностных схем.
Вопрос построения равномерно сходящихся разностных схем для сингулярно возмущенных краевых задач исследуется с 1969 года. На данный момент много работ посвящено разработке разностных схем для сингулярно возмущенных задач, рассматриваемых в ограниченной области. Можно выделить несколько направлений, например: подгонка схем к погранслой-ной составляющей решения (А.М. Ильин, К.В. Емельянов, Д. Миллер, Р. Келлог и др.); сгущение сеток в пограничных слоях (Н.С. Бахвалов, В.Д. Лисейкин, Г.И. Шишкин, В.Б. Андреев, Р. Вулановичидр.); метод конечных элементов (В.В. Шайдуров, Б.М. Багаев, И.А. Блатовидр). Вопрос построения разностных схем для сингулярно возмущенных задач в неограниченной области менее изучен, разностные схемы, как правило, строятся либо в ограниченной области, либо в неограниченных, но на неконструктивных сетках с бесконечным числом узлов. В работах Г.И. Шишкина строятся конструктивные разностные схемы для задач в неограниченной области, при этом точность переноса условий из бесконечности существенно зависит от размеров конечной области.
Для построения конструктивных разностных схем в работе используется идея выделения многообразия решений, удовлетворяющих заданному условию на бесконечности, которая была предложена АА Абрамовым в 1961 году и далее была развита применительно к краевым задачам для систем линейных и нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений в работах Н.Б. Конюховой, Е.С. Биргер, К. Балла. Актуальным остается вопрос развития этого метода для сингулярно возмущенных
КОС. НАЦИОНАЛ*** I
mmhotuu I
1 ячеа/я
уравнений и уравнений в частных производных.
Цель работы
Целью диссертационной работы является разработка численного метода решения сингулярно возмущенных краевых задач на неограниченном интервале, с учетом сосредоточенных источников, применение развиваемого подхода к уравнениям в частных производных на основе метода прямых.
Цель работы достигается решением следующих задач:
редукция дифференциальной задачи к ограниченной области;
обоснование устойчивости решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий;
построение разностных схем с учетом пограничных слоев, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников;
разработка программ для численного решения сингулярно возмущенных задач в неограниченной области.
В работе рассмотрены системы линейных и нелинейных уравнений на бесконечном интервале с учетом сосредоточенных источников, нелинейное уравнение, моделирующее химические реакции, задачи для параболического и эллиптического уравнений.
Методы исследования
При обосновании теоретических результатов использовались: теория асимптотических методов, принцип максимума для краевых задач и разностных схем, теория сингулярно возмущенных уравнений, основы математического анализа, основы линейной алгебры, методы теории разностных схем, численные методы. Вычислительная эффективность проверялась путем написания программ и проведения численных экспериментов.
Научная новизна
Разработан численный метод решения систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на полубесконечном интервале. Предложен метод решения вспомогательных сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати в случаях положительно определенной и диагонально преобладающей матриц.
Разработаны конструктивные разностные схемы для задач с сосредоточенным источником на бесконечном интервале.
Исследованы разностные схемы на бесконечном интервале для нелинейного уравнения, моделирующего химические реакции.
Развиваемый подход применен для решения эллиптического и пара
болического уравнений в неограниченной области на основе метода
прямых.
На защиту выносятся:
построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных систем сингулярно возмущенных уравнений на неограниченном интервале (системы уравнений типа диф фузия-реакция и диффузия-конвекция в случае положительно определенной и диагонально преобладающей матриц);
построенные конструктивные равномерно сходящиеся разностные схемы для линейных и нелинейных систем уравнений с малым параметром при старших производных и с точечным источником на бесконечном интервале;
разностные схемы с конечным числом узлов для, нелинейной кра
евой задачи на бесконечном интервале, моделирующей химические
реакции;
построенные конструктивные разностные схемы для эллиптической
задачи в полуполосе и для параболического уравнения с точечным
источником на бесконечном интервале.
Практическая значимость
При математическом моделировании различных конвективно-диффузионных процессов появляются краевые задачи для уравнений с малым параметром при старших производных в неограниченной области. При разработке разностных схем необходимо учитывать, чтобы скорость сходимости этих схем не зависела от значений малых параметров (вязкости, диффузии и других). Для компьютерной реализации разностных схем необходимо, чтобы, несмотря на неограниченность исходной области, разностная схема была конструктивной и сетка содержала конечное число узлов. Решению этих вопросов посвящено диссертационное исследование.
Апробация результатов
Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинарах ОФ ИМ СО РАН и кафедры математического моделирования Ом-ГУ, научной молодежной конференции "Молодые ученые на рубеже третьего тысячелетия" (Омск, 2001), II Всесибирском конгрессе женщин-математиков (Красноярск/ 2002), Международной конференции по Вычислительной Математике (ICCM-2002, Новосибирск, 2002), IV Международной конференции |гСредства математического моделирования"
(Санкт-Петербург, 2003), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Усть-Каменогорск, 2003), Международной конференции по Вычислительной Математике (МКВМ-2004, Новосибирск, 2004), III Международной конференции "Numerical Analysis and Applications" (Болгария, Русе, 2004), Международной конференции "Boundary and Interior Layers, Computational and Asymptotic Methods" (BAIL-2004, Франция, Тулуза, 2004), Международной конференции "Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании" (Алматы, 2004), семинаре института Вычислительного моделирования СО РАН (Красноярск, 2004).
Публикации результатов
По теме диссертации опубликовано одиннадцать работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы (49 наименований). Материал изложен на 143 страницах текста, включая 14 таблиц.
Система уравнений типа диффузия-конвекция
Исследуется краевая задача для линейной системы обыкновенных дифференциальных уравнений типа диффузия-конвекция второго порядка с малым параметром при старших производных на полубесконечном интервале с положительно определенной матрицей. Исходная задача сводится к краевой задаче для конечного интервала. Исследуется вопрос нахождения решения сингулярной задачи Коши для матричного дифференциального уравнения Риккати на основе асимптотических разложений решения по малому параметру и х-1. Исследуется точность такого подхода на основе анализа свойств решений матричных уравнений Риккати. Используется евклидова норма для векторов и спектральная норма для матриц. Рассмотрим систему уравнений в векторном виде: х-»оо Предполагаем, что С{х) - матрица порядка п, Функция а(х), вектор-функция f (х) и матрица С(х) предполагаются достаточно гладкими. Получим оценку устойчивости для решения задачи (1.19). Лемма 9 . Справедлива оценка Доказательство. Доказательство леммы проводится по аналогии с леммой 1. Пусть w(x) = и(ж)2. Умножим уравнение (1.19) скалярно на и(х), получим Из этого уравнения получим Определим Используя оценку (1.22), получим: Ж— 0О Использование принципа максимума дает ф{х) 0, х 0, что доказывает лемму. Редукция задачи к конечному интервалу. Сведем задачу (1.19) к задаче для конечного интервала. Определим многообразие решений уравнения (1.19), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, как множество решений уравнения первого порядка: где G{x) — решение сингулярной задачи Коши для матричного уравнения Риккати: -»0O 6{x) — решение линейной задачи: В (1.24) Goo — решение квадратного матричного уравнения eG2 + aooG - Coo = О, G = 2Соо [ооо/ + V/ol0TT4Coo ]" . (1.26) Покажем, что (1.23) действительно выделяет множество решений уравнения (1.19), стремящихся к нулю на бесконечности. Учитывая уравнения (1.24), (1.25), можно заключить, что уравнение (1.19) превращается в тождество на решениях уравнения (1.23). Предельное нулевое условие на бесконечности для решений уравнения (1.23) выполнено в силу того, что спектр матрицы Goo нахо конечного интервала. Определим многообразие решений уравнения (1.19), удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, как множество решений уравнения первого порядка: где G{x) — решение сингулярной задачи Коши для матричного уравнения
Риккати: -»0O 6{x) — решение линейной задачи: В (1.24) Goo — решение квадратного матричного уравнения eG2 + aooG - Coo = О, G = 2Соо [ооо/ + V/ol0TT4Coo ]" . (1.26) Покажем, что (1.23) действительно выделяет множество решений уравнения (1.19), стремящихся к нулю на бесконечности. Учитывая уравнения (1.24), (1.25), можно заключить, что уравнение (1.19) превращается в тождество на решениях уравнения (1.23). Предельное нулевое условие на бесконечности для решений уравнения (1.23) выполнено в силу того, что спектр матрицы Goo находится в правой полуплоскости. Лемма 10 . Пусть матрица С{х) симметрична, G{x) - решение задачи Доказательство. В силу симметричности С(х) матрица G(x), как решение задачи (1.24), симметрична. Пусть щ Из (1.24) следует, что матрица Z(x) является решением задачи: lim Z(x) 0. Учитывая симметричность Z(x), используя теорему срав - -оо нения из [47], получим, что Z{x) 0, х 0. Лемма доказана. Исследуем устойчивость решения задачи (1.24) к возмущению матрицы Лемма 11 . Пусть G(x) — решение задачи (1.24) с возмущенной матрицей С{х) : где Goo определено по аналогии с (1.26). Пусть матрицы С(х), С(х) симметричны, матрицы Сю, CQQ — перестановочны. Тогда Доказательство. Пусть Z = G — G. Тогда Z(x) является решением задачи: В соответствии с [47] для оператора Ь% справедлив принцип максимума, в соответствии с которым в случае симметричной матрицы Z(x) из условий х— оо следует Z(x) 0, х сю. Определим матрицу Нетрудно убедиться, что для дится в правой полуплоскости. Лемма 10 . Пусть матрица С{х) симметрична, G{x) - решение задачи Доказательство. В силу симметричности С(х) матрица G(x), как решение задачи (1.24), симметрична. Пусть щ Из (1.24) следует, что матрица Z(x) является решением задачи: lim Z(x) 0. Учитывая симметричность Z(x), используя теорему срав - -оо нения из [47], получим, что Z{x) 0, х 0. Лемма доказана. Исследуем устойчивость решения задачи (1.24) к возмущению матрицы Лемма 11 . Пусть G(x) — решение задачи (1.24) с возмущенной матрицей С{х) : где Goo определено по аналогии с (1.26). Пусть матрицы С(х), С(х) симметричны, матрицы Сю, CQQ — перестановочны. Тогда Доказательство. Пусть Z = G — G. Тогда Z(x) является решением задачи: В соответствии с [47] для оператора Ь% справедлив принцип максимума, в соответствии с которым в случае симметричной матрицы Z(x) из условий х— оо следует Z(x) 0, х сю. Определим матрицу Нетрудно убедиться, что для матрицы ф(х) выполнены условия (1.27). В силу принципа максимума ф(х) 0,х со, что доказывает лемму. Используя соотношение (1.23), сведем задачу (1.19) к задаче для конечного интервала [О, L] : Покажем, что посредством (1.28) задача (1.19) преобразуется к конечному интервалу точным образом. Для этого рассмотрим задачу Коши относительно выделенного многообразия: Несложно заключить, что решение задачи (1.29) удовлетворяет задачам (1.19) и (1.28). В силу единственности, решения задач (1.19) и (1.28) совпадают при х Є [0,L]. Вычисление коэффициентов редуцированной задачи. Коэффициенты G(L), 6(L) в краевом условии (1.28) из сингулярных задач Коши (1.24), (1.25) могут быть найдены только приближенно. В связи с этим необходимо оценить устойчивость решения задачи (1.28) к возмущению этих коэффициентов. фі Теорема 3 . Пусть й(х) — решение задачи (1.28) с коэффициентами
Нелинейное уравнение с пограничным слоем, соответствующим зоне химической реакции
Рассматриваются вопросы численного решения краевой задачи для нелинейного уравнения второго порядка на полубесконечном интервале. Нелинейность данного уравнения соответствует моделированию химических реакций, когда скорость реакции зависит от температуры по закону Аррени-уса. Особенность задачи — в неограниченности исходной области и в наличии у решения узкой погранслойной области, соответствующей зоне реакции. Исходная задача сводится к задаче на конечном интервале. Построена разностная схема, доказано, что сгущением узлов сетки можно обеспечить заданную точность разностной схемы. Приведены результаты численных экспериментов. Рассмотрим краевую задачу: где є О, а О, i (w) О, В А О. При моделировании химических реакций функция F имеет представление: причем К О, Е1 0, w — температура, є — коэффициент диффузии, а — скорость распространения пламени, К — константа скорости реакции, Е — энергия активации, F(u) соответствует тепловыделению согласно закону Аррениуса. Выражая производную в явном виде, получим, что и{х) — возрастающая функция, А и{х) В. Перенос краевого условия из бесконечности. Рассмотрим вопрос переноса предельного краевого условия из бесконечности. Сделаем это на основе выделения многообразия решений, удовлетворяющих предельному условию на бесконечности, посредством уравнения первого порядка: где 7 — отрицательный корень уравнения (3(и) — решение задачи Коши: Используя (1.50), перейдем к задаче на конечном интервале: Решения задач (1.49) и (1.53) совпадают при всех 0 х L. Это следует из единственности решения этих задач и способа выделения устойчивого многообразия, когда на выделенном многообразии исходное уравнение обращается в тождество. Заметим, что редуцированная задача поставлена на конечном интервале, но функция /?(w) в граничном условии является решением соответствующей задачи Коши. Решение этой задачи ищем приближенно в виде асимптотического ряда: Подставляя это разложение в (1.52), раскладывая 7 в РЯД по є, получим рекуррентные формулы на /3&(и) : (1.54) где /3 - /У Сєт+1. Таким образом, коэффициенты в краевом условии редуцированной задачи могут быть найдены с заданной точностью.
Задача (1.53) устойчива к возмущению этих коэффициентов. Далее рассмотрим вопрос нахождения решения задачи (1.53). Построение разностной схемы. Построим разностную схему для задачи (1.53). Необходимо учесть, что решение этой задачи имеет внутренний пограничный слой при больших значениях параметра Е. Этот пограничный слой связан с нелинейностью исходной задачи. Рассмотрим метод построе-ния разностной схемы, по своей сути близкий к сплайновому. Особенность метода в том, что при построении разностной схемы учитывается погранс-лойный рост решения, хотя функция пограничного слоя не выделяется и не используется. Для данной задачи непонятно, как выделить погранслойную функцию в явном виде. Пусть О, — некоторая сетка интервала [0;L], Ап = (xn-i,xn], п = 1,2,..., N. Перейдем от (1.53) к уравнению с кусочно-постоянными коэффициентами: Решение данного уравнения имеет явный вид: Находя постоянные С„, С„ из краевых условий и учитывая непрерывность производной на границе соседних интервалов где rn = ahn/є, Фп = r„/(l - exp(-r„)). Чтобы оценить точность схемы (1.56), воспользуемся тем, что эта схема представляет собой точные соотношения на решение задачи (1.55). Остается оценить разность решений задач (1.53) и (1.55). Лемма 15 . Пусть F (u) -0 0, д (и) 0. Тогда m Доказательство. Пусть z = и — й. Тогда Относительно z(x) получим линейную задачу: ez" - az + fM"fMz = F(u) - F(u), z(0) = 0, z (L) + g (s)z(L) = 0. u — w_ Используя принцип максимума, получим утверждение леммы. 4 Следствие . Пусть F(u) — монотонная функция на каждом сеточном интервале. Тогда, если при всех п = 1,2,..., N Таким образом, апостеорно сгущая сетку и добиваясь того, чтобы для каждого сеточного интервала выполнялось условие (1.57), обеспечим задан ML ную точность разностной схемы. Схема (1.56) нелинейна. Эту схему можно линеаризовать, вычисляя правую часть на предыдущей итерации, тогда на каждом итерационном шаге схема будет монотонна и, например, метод прогонки будет устойчив. Для решения задачи (1.53) естественно рассмотреть классические разностные схемы на неравномерной сетке, учитывающей погранслоиныи рост решения. Рассмотрим схему направленных разностей: то \L uh — L [u]\ С А. Используя принцип максимума получим, что в этом случае \и% — и(хп)\ С А для каждого п. Таким образом, сгущением узлов сетки Q можно обеспечить заданную точность разностной схемы. Для проверки условия (1.59) необходимо приближенно вычислить и п, и Ц через uh. При моделировании реакций функция и(х) имеет большие градиенты в области внутреннего пограничного слоя и применение разностных аппроксимаций для вычисления этих производных приводит к большим погрешностям. Задача (1.49) является регулярно возмущенной по параметру є и при малых значениях этого параметра решения исходной задачи и вырожденной близки. Это можно использовать для вычисления производных, которые вычисляются приближенно исходя из вырожденного уравнения au = F(u). Тогда условие (1.59) принимает
Система линейных уравнений с точечным источником
Таким образом в окрестности точечного источника решение может иметь большие градиенты. Редукция задачи к конечному интервалу. Для численного решения задачи (2.21) необходимо редуцировать ее к задаче для конечного интервала. Для этого выделяем одномерные многообразия решений уравнения (2.21), удовлетворяющих предельным условиям на плюс и минус бесконечности: где матрицы В\(х), В2{х) являются решениями сингулярных задач Коши для матричных уравнений Риккати: Многообразия решений задаются в виде систем уравнений первого порядка и могут рассматриваться в качестве граничных условий при переходе к задаче на конечном интервале. Учитывая положительную определенность матриц — Bi(x), В2(х) получим, что решения (2.24) и (2.25) удовлетворяют предельным условиям на бесконечности. т Редуцируем задачу (2.21) к задаче на конечном интервале на основе выделенных многообразий: # Для доказательства эквивалентности задач (2.21) и (2.30), используя условие на скачок производной, определим задачу: В силу положительной определенности матриц — J3i(0), В2(0) вектор U(0) находится однозначно. Можно проверить, что решение данной задачи удо Ц влетворяет задачам (2.21) и (2.30). В силу единственности решения этих задач совпадают на интервале [Li, L2]. Вычисление коэффициентов. Для решения задачи (2.30) матрицы Bk(x) и вектор-функции /Зк(х), к — 1,2 из сингулярных задач Коши (2.26)-(2.29) могут быть найдены приближенно в виде асимптотических рядов по параметру є : Тогда коэффициенты Вк г и (Зк,% находятся рекуррентно: Для постановки задачи (2.30) коэффициенты Вк(х) и /Зк(х), к = 1,2 достаточно вычислить при х — L\ и х = Ь2 соответственно. Для нахождения y/A(Lk), к = 1,2 можно использовать сходящийся итерационный метод вычисления корня из М-матрицы [40]. Матрицы —B\fi(x), В2,о(х) являются М-матрицами с диагональным преобладанием, Уравнение (2.31) на Вк г(х) вида Вк$Х + ХВк$ = Н является непрерывным уравнением Сильвестра, которое однозначно разрешимо для любой правой части, так как \і(Вк,о) + Аг(?&;о) Ф 0 Для любых I, г. Для решения этих уравнений существуют ортогональные методы, алгоритмы Бартелса-Стьюарта и Голуба-Нэша-ван-Лоана [28]. Следовательно по принципу максимума фгз(х) О, из чего следует утверждение леммы. Случай к = 2 доказывается аналогично. Так как матрицы Вк{х) и вектор-функции (Зк(х), к = 1,2 могут быть найдены только приближенно, исследуем задачу (2.30) на устойчивость к возмущению этих коэффициентов. Теорема 7 . Пусть V(rc) — решение задачи (2.30) с возмущенными Bk{Lk), 0k(Lk), \\Bk(Lk) - Bk(Lk)\\ A, \\(3k(Lk) -pk(Lk)\\ A, fc = l,2. Тогда для L\ x L i \\V(x)-V(x)\\ C,A. ЙІ Щ ф(Ь2) 0. Из принципа максимума следует, что (ж) 0, что доказы вает теорему.
Построение разностной схемы. Решение задачи (2.30) имеет внутренний погранслой около точки х = 0. Для численного решения такой задачи можно использовать схему центральных разностей на неравномерной сетке Шишкина, сгущающейся в пограничном слое [45]. Определим сетку с т = 0. Для вычисления матриц Bk,o(L) = (—l)fc /A(L), к = 1,2 использовался предложенный итерационный метод вычисления корня из М-матриц (параграф 3). В качестве решения схемы на бесконечном интервале принималось решение схемы на интервале LQ = 100. Сравнения проводились на интервале [—1; 1], на который проецировалось решение задачи с интервала [—Lo jLo]. Пусть UQ — спроецированное решение. В таблице 14 приведена норма погрешности 5 = \\Vh — Vj в зависимости от способа задания краевых условий. В параграфе рассматривается нелинейная система уравнений второго порядка с малым параметром при старших производных и точечным источником на бесконечном интервале. Исходная задача сводится к задаче на конечном интервале. Обосновывается разностная схема экспоненциальной подгонки для решения редуцированной к конечному интервалу задачи. Рассмотрим исходную краевую задачу: где є Є (0,1], а — постоянная диагональная квадратная матрица порядка N с диагональными элементами аг, і = 1,..., N, g(u) — непрерывно дифференцируемая вектор-функция, Q, А, В — векторы из N компонент, и(х) — вектор-функция с дважды непрерывно дифференцируемыми компонентами всюду при Q% = 0, и всюду, кроме точки нуль, где сама функция непрерывна, а ее первая производная имеет разрыв первого рода при Qi 0. Пусть — матрица Якоби вектор-функции g(v). Предполагаем, что аг Задача (2.32) является модельной при описании переноса примеси от точечного источника с учетом химических реакций. Используемые нормы: для ограниченной функции р(х) \\р(х)\\ = maxр(ж); для вектора q из N компонент q = max \qt\; l i N для вектор-функции q(#) из N компонент q( ) = max тахдг-(ж). l i N хЄІ
Эллиптическое уравнение в полубесконечной полосе
В данном параграфе рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения с малым параметром при старших производных в полубесконечной полосе. Методом прямых эллиптическая краевая задача сводится к краевой задаче для системы обыкновенных дифференциальных уравнений на полубесконечном интервале. Для переноса краевого условия из бесконечно удаленной точки выделяется устойчивое многообразие решений, удовлетворяющее предельному условию на бесконечности. Таким образом, задача сводится к задаче для конечного интервала и может быть решена с помощью численных методов. Для непрерывных и ограниченных функций: х х,у Рассмотрим исходную краевую задачу: a;oo в полубесконечной полосе D = {0 X оо, 0 у 1}, где 1\% І2, h обозначают линейные участки границы: Предполагаем, что функции и, с, /, фи г = 1,2,3 достаточно гладкие в области D, В соответствии с принципом максимума из условий: следует ф{х,у) 0, (х,у) Є D. следовательно ф(х,у) 0, (х, у) Є D. Лемма доказана. Применение метода прямых. В соответствии с [48] решение задачи (3.18) содержит пограничные слои у границ полуполосы у = 0, у = 1. Для того чтобы решение системы дифференциальных уравнений, к которой сводим эллиптическую задачу, было близко к решению исходной задачи, вводим неравномерную сетку по переменной у, учитывающую эти пограничные слои. Опишем построение такой сетки, сгущающейся специальным образом в пограничном слое. Сетка строится таким образом, чтобы погрешность аппроксимации была одинаковой во всех узлах сетки, согласно [6]. Пусть X(t) — дважды непрерывно дифференцируемая функция распределения узлов сетки, А(0) = 0, А(1) = 1. Определим распределение узлов при t 0, 5. Выберем некоторые a, q такие, что а/3 2, 0 q 0,5. Если є 2q/a, то В случае є 2q/a зададим Л (і) = t, что соответствует равномерной сетке. Так как погранслои расположены у концов интервала [0; 1], неравномерную сетку на интервале [0, 5; 1] строим симметричным отражением построенной сетки на интервале [0; 0,5]. То есть X(t) = 1 — A(l — t), 0, 5 t 1. Величины a, q задаются произвольным образом, а е о удовлетворяет условию ф(ао) +ф (ао)(0, 5 — од) = 0, 5, то есть касательная должна пройти через точку (0, 5; 0, 5) в плоскости (t;y). Точку касания можно найти методом секущих, который состоит в следующем. Берем а\ д, вычисляем /Зі = ф(аі). Через точки (аі; /Зі) и (0,5; 0,5) проводим секущую. Следующее итерационное приближение од определяем таким образом, чтобы направление касательной в этой точке совпадало с направлением проведенной секущей. Далее итерации можно продолжить и найти од с заданной точностью. На построенной сетке аппроксимируем в (3.18) производную по переменной у :
Таким образом, краевая задача для эллиптического уравнения сведена к краевой задаче для системы дифференциально-разностных уравнений. Лемма 40 . Для некоторой константы С\ Применение принципа максимума к оператору Т завершает доказательство леммы. Можно по переменной у использовать сетку Шишкина [48], которая является постоянной внутри и вне погран слоев. Эта сетка более простая, и тогда Перенос условия из бесконечности. Запишем систему уравнений (3.21) в векторном виде: Трехдиагональная матрица С(ж) является диагонально преобладающей М-матрицей порядка N = М — 1. Эта система может быть решена методом, изложенным в параграфе 3. Систему сводим к системе дифференциальных уравнений на конечном интервале, выделяя одномерное многообразие решений исходного уравнения, удовлетворяющее предельному условию на бесконечности. Решение краевой задачи на конечном интервале имеет пограничный слой у границы х = 0. Для численного решения ее можно использовать классическую разностную схему на сетке Шишкина или на сетке Бахвалова, приведенной выше. В работе разработаны конструктивные разностные схемы на сетках с конечным числом узлов для краевых и начально-краевых задач в неограниченной области с учетом пограничных слоев в решении, обусловленных наличием малого параметра и сосредоточенных источников. Исходные задачи редуцировались к задачам в ограниченной области, исследовалась устойчивость решения редуцированной задачи к погрешностям, возникающим при переносе условий из бесконечности. При решении сингулярных задач Коши для дифференциальных матричных уравнений Риккати использовался метод асимптотических разложений, получены оценки точности при различных ограничениях на матрицы, в частности, использовались свойства положительно определенных и диагонально преобладающих матриц. Исследовался вопрос вычисления корней из матриц. Сингулярные задачи Коши исследовались на устойчивость к возмущению коэффициентов. Равномерная по малому параметру сходимость разностных схем для полученных сингулярно возмущенных краевых задач в ограниченной области обеспечивалась подгонкой схем к погранслойной составляющей решения или засчет сгущения сеток в пограничных слоях. Развиваемый подход применен для решения эллиптического и параболического уравнений в неограниченной области на основе метода прямых. Построены конструктивные разностные схемы для решения линейных систем уравнений типа диффузия-реакция и диффузия-конвекция на
