Введение к работе
Диссертация посвящена разработке новых эффективных анали-тико-численных методов решения краевых задач для уравнения Пуассона в плоских областях со сложным строением границы, теоретическому обоснованию этих методов, а тагаке их численной реализации и применению к некоторым прикладным задачам.
Актуальность темы. Краевые задачи математической физики, возникающие в приложениях, приходится решать, как правило, в областях сложной конфигурации, граница которых может содержать скругленные углы, длинные полки, раструбы и другие структурные элементы. Создание эффективных вычислительных методов решения таких задач является важным направлением в современной вычислительной и прикладной математике. При этом к создаваегам методам нередко предъявляется требование, чтобы они надежно и с высокой точностью обеспечивали нахождение не только искомой функции в сложной области, но и ее производных вблизи криволинейных участков границы, где эти производные имеют резко переменый характер. Необходимость разработки подобных методов неоднократно подчеркивалась в литературе, поскольку при применении традиционных численных методов для вычисления производных на границе вблизи особенностей возникают известные трудности.
Построение таких методов часто ищут на основе сочетания аналитического и численного подходов с использованием информации о поведении решения вблизи сложных структурных элементов границы (например, нередко применяются так называемые сингулярные функции или система функций В.А.Стеклова). Это научное направление приобретает в последнее время все большее развитие, причем наблюдается тенденция к усилению аналитической стороны методов.
Цель работы. В последние годы в Вычислительном центре РАН получил развитие метод мультштолей - новый аналитико-численный метод решения краевых задач для уравнения Лапласа в областях с криволинейной границей. Этот метод представляет искомую функцию, в аналитическом виде, адекватно отражающем структуру решения
вблизи интересующего криволинейного участка границы, благодаря чему он позволяет вычислять требуемые производные на этом участке с высокой точностью, а такке проводить качественные исследования зависимости дифференциальных и интегральных характеристик решения от параметров задачи, в том числе от геометрических параметров области. С его помощью был решен ряд важных прикладных задач.
Целью диссертационной работы является:
1) создание на основе развития метода мультиполей ряда
новых аналитико-численных методов решения уравнения Пуассона со
специальной и произвольной правой частью, которые бы позволяли
эффективно строить решение задачи,-в том числе с высокой точ
ностью находить производные решения вблизи криволинейных участ
ков границы сложной структуры;
-
теоретическое обоснование этих методов, включая построение теории весовых пространств типа Харда;
-
численная реализация и применение разработанных методов к решению прикладных задач.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) построен аналитико-численный метод решения уравнения
Пуассона в областях с криволинейной границей с произвольной
правой частью из Ъ, позволяющий находить' производные решения
не только в области, но и на части границы вблизи особенностей;
-
дано теоретическое обоснование этого метода, исследована скорость сходимости, получены оценки для решения и его градиента;
-
предложен и обоснован блочный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона в широком классе областей сложной формы, основанный на сочетании метода мультиполей с блочным подходом и итерационной процедурой Шварца;
-
дано применение этого метода к задаче кручения некоторых важных для практики типов стержней сложного профиля с концентраторами напряжений; проведена численная реализация метода, подтвердившая его эффективность и высокую точность при вычислении напряжений (градиента решения краевой задачи) вплоть до границы;
5) построена теория весовых пространств типа Харда аналити
ческих и гармонических функций в областях со спрямляемой грани
цей; в том числе доказано обобщение на весовой случай теоремы
М.В.Келдыша и М.А.Лаврентьева о полноте многочленов;
6) с помощью этой теории проведено обоснование некоторых
модификаций метода мультиполей; получены равномерные оценки
решения и его производных.
Теоретическая и практическая ценность. Полученные в работе результаты представляют интерес для специалистов в области вычислительной математики и математической физики, а также для специалистов по функциональному анализу и теории функций. Они могут быть использованы как в теоретических исследованиях, так и при решении прикладных задач.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинарах Вычислительного центра РАН, в Математическом институте им. В.А.Стеклова (на семинаре под рук. С.М.Никольского и Л.Д.Кудрявцева и на семинаре под рук. А.К.Гущина и В.П.Михайлова), в ИПМ им. М.В.Келдыша (на семинаре под рук. Р.П.Федоренко и В.С.Рябенького), в МТУ им. М.В.Ломоносова (на семинаре под рук. Н.С.Бахвалова и на семинаре под рук. В.А.Ильина, А.В.Бщадзе и Е.И.Моисеева), в Московском энергетическом институте (на семинаре под рук. А.М.Седлецкого).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ; их список приведен в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 212 страниц машинописного текста, включая 25 рисунков и' 2 таблицы, а список литературы содержит 150 наименований.
Похожие диссертации на Решение некоторых краевых задач в областях со сложным строением границы
