Введение к работе
Диссертация посвящена разработке вычислительных алгоритмов сквозного счета в сложных расчетных областях, построенных на основе метода фиктивных областей, для некоторых задач динамики идеальной несжимаемой жидкости и фильтрации.
Актуальность проблемы. Важным и интенсивно разрабатываемым
направлением вычислительной математики и прикладного
математического моделирования является в настоящее время разработка численных методов решения краевых задач в сложных нерегулярных областях. Среди различных подходов к решению задач математической физики в сложных областях большое внимание уделяется методу фиктивных областей (МФО). Построенные на основе МФО разностные методы естественно отнести к методам сквозного счета, так как граница расчетной области явно не выделяется. Соответствующие разностные задачи характеризуются разрывами коэффициентов, которые очень велики (или малы) в фиктивной области. Это требует тщательного отбора как вариантов метода фиктивных областей, так и методов решения сеточных задач, которые плохо приспособлены к реализации разностных схем МФО.
Характерным признаком многих задач, например, задач идеальной гидродинамики, теплопроводности, фильтрации, является наличие свободных (неизвестных) границ. В ряде случаев задачи со свободными границами сводятся к вариационным неравенствам, что особенно важно с точки зрения конструирования конкретных вычислительных алгоритмов для их приближенного решения. Связанные с таким подходом классические методы штрафа позволяют строить эффективные вычислительные алгоритмы для приближенного решения задач со свободными границами. Методы указанного класса обладают свойствами однородности вычислительного алгоритма и являются методами сквозного счета.
Создание эффективных численных методов решения задач в сложных нерегулярных областях на базе МФО и методов штрафа, исследование с их помощью прикладных задач, в том числе задач со свободными границами в идеальной гидродинамике, фильтрации, теплопроводности является актуальной задачей вычислительной математики.
Целью работы является разработка численных методов решения
задач идеальной гидродинамики и фильтрации в сложных нерегулярных областях на основе метода фиктивных областей, численное исследование задач со свободными границами в идеальной гидродинамике.
Основные результаты работы:
-
Рассмотрены вопросы численной, реализации метода фиктивных областей на основе попеременно- треугольного итерационного метода при приближенном решении эллиптических краевых задач.
-
Проведено численное исследование двумерных задач динамики идеальной несжимаемой жидкости: циркуляционное обтекание тел в плоском канале, потенциально- вихревые течения по схеме М.А.Лаврентьева в канале сложной формы, плоские течения двухслойной жидкости в канале с твердыми криволинейными границами.
3. Разработан однородный вычислительный алгоритм скво.зного
счета на основе метода фиктивных областей для задачи фильтрации
жидкости под гидротехническим сооружением.
Научная новизна работы состоит в проведении исследования и сравнительного анализа различных методов решения одномерных задач со свободной границей, методов сквозного счета на основе метода фиктивных областей и метода штрафа для эллиптических задач в сложных областях, в численном исследовании интереспого класса задач идеальной гидродинамики.
Практическая ценность. Разработанная в работе на основе МФО и метода штрафа методика сквозного счета и предложенные алгоритмы, реализованные на ЭВМ, могут быть использованы для численного исследования широкого класса задач в сложных нерегулярных областях, задач со свободными границами.
Апробация. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на Всесоюзной школе молодых ученых и специалистов "Вычислительные методы и математическое моделирование" (Шушенское, 1986г.). на конференции молодых ученых факультета ВМиК МГУ им.М.В.Ломоносова (1985г.), на научно- исследовательком семинаре кафедры вычислительных методов факультета ВМиК МГУ под руководством академика А.А.Самарского в МГУ (1987г.).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы из 104 наименований, изложена на 133 стр. машинописного текста.
