Введение к работе
Актуальность темы. Одним из методой числепного решения эллиптических краевых задач в областях сложной формы является метод граничных интегральных уравнений. Граничные интегральные уравнения можно условно разбить на два класса: прямые, в которых неизвестными являются функции, имеющие смысл в содержательной постановке исходной задачи, и непрямые (более известные как интегральные уравнения теории потенциала), представляющие собой уравнения относительно вспомогательных функций, по которым решение исходной задачи находится интегрированием.
При численном решении граничных интегральных уравнений как классическим методом квадратур, так и методом граничных элементов в общем случае приходится решать систему линейных алгебраических уравнений с несимметричной заполненной матрицей. Для экономии вычислительных затрат возникают два пути. Первый состоит в выборе узлов квадратуры или граничных элементов таким образом, чтобы матрица системы имела вид, позволяющий либо быстро решить систему прямыми методами, либо построить эффективно сходящийся к решению итерационный процесс (например, системы с тенлицевы-ми или блочно-теплицевыми матрицами). Второй путь, являющийся предметом изучения в данной диссертационной работе, состоит п уменьшении размерности системы за счет повышения точности аппроксимации. Задача усложняется, когда граница рассматриваемой области имеет особенности, в частности, угловые точки.
На таких областях для некоторых типов прямых граничных интегральных уравнений в работах И. Бабушки, достигнута экспоненциальная относительно числа степеней свободы скорость сходимости за счет специального выбора граничных элементов. При численном решении интегральных уравнений теории потенциала второго рода более простым в практической реализации, чем метод граничных элементов, является метод квадратур.
Для таких уравнений имеется ряд работ, в которых предложены методы, имеющие только алгебраическую относительно числа узлов квадратуры скорость сходимости. Известно также, что если граница области и граничные условия являются аналитическими, то метод, основанный на использовании квадратурной формулы средних прямоугольников, имеет экспоненциальную скорость сходимости. Поэтому возникает вопрос о возможности численного решения интегральных уравнений теории потенциала методом квадратур с экспоненциальной точностью в случае, когда граница области имеет угловые точ-
ки. Значительный интерес представляет также изучение возможности эффективного вычисления решения исходной краевой задачи в произвольной1 внутренней точке области на основе полученного решения интегрального уравнения без потери достигнутой точности.
Таким образом, выполненные в данной диссертационной работе исследования по построению конструктивных методов с экспоненциальной скоростью сходимости для решения граничных интегральных уравнений на областях с угловыми точками, которые возникают при решении ряда важных прикладных задач, являются актуальными.
Цель работы. В работе рассматриваются граничные интегральные уравнения теории потенциала для задачи Дирихле для оператора Лапласа и первой краевой задачи теории упругости в плоской области, являющейся криволинейным многоугольником с кусочно-аналитической границей. Целью работы является численное решение рассматриваемых уравнений методом квадратур и получение приближенных решений с экспоненциальной относительно числа узлов скоростью сходимости' в равномерной метрике, а также вычисление без потери достигнутой точности значений функционалов на решениях интегральных уравнений.
Научная новизна. Аппроксимация граничных интегральных уравнений системами линейных алгебраических уравнений проводится на основе составных квадратурных формул Гаусса, в которых элементарные отрезки сгущаются к угловым точкам границы области, а 'число узлов элементарных квадратур на этих отрезках меняется при приближении к угловым точкам. Такой подход позволяет получить экспоненциальную (иногда ее называют полу экспоненциальной), а ие алгебраическую, как в работах других авторов, точность аппроксимации относительно числа узлов.
Исследование разрешимости и устойчивости полученных систем линейных алгебраических уравнений сводится к исследованию в пространстве непрерывных периодических функций линейных уравнений, содержащих аппроксимирующие операторы, построенные на базе используемых квадратурных формул. На основе решений линейных аппроксимирующих систем построены приближенные решения интегральных уравнений, сходящиеся к точным решениям с экспоненциальной скоростью в равномерной метрике. Предложен метод, позволяющий вычислять с той же точностью решения исходных краевых задач в произвольных внутренних точках области, а так же их нормальные производные на границе с использованием только информации о решении построенных систем линейных алгебраических уравнений.
Сказанное определяет научную новизну работы.
Практическая значимость. Результаты, полученные в диссертационной работе, позволяют с высокой точностью и со значительной экономией вычислительных затрат численно решать некоторые эллиптические краевые задачи (задача Дирихле, первая краевая задача теории упругости) в плоских областях достаточно сложной формы.
Предложенный в работе метод и разработанный на его основе комплекс программ могут быть использованы при решении ряда прикладных задач, таких как решение задач плоской деформации призматических тел, расчет кручения стержней или потенциалов электростатических полей.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, на научно-исследовательском семинаре отдела численного анализа НИВЦ МГУ, на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям Московского энергетического института, на научно-исследовательском семинаре отдела вычислительных методов Вычислительного центра РАН, на научно-исследовательском семинаре Института вычислительной математики РАН.
Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех печатных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введенная, трех глав и заключения. Общий объем диссертации — 85 страниц, список литературы — 44 наименования.
