Введение к работе
Актуальность темы. Разработка интервальных методов решения задач с неточно заданными параметрами сама по себе является актуальной задачей. Возникнув как подход к решению задачи получения гарантированного результата, интервальный анализ находит своё применение в исследованиях, объекты которых имеют изначально интервальную природу. В настоящее время интенсивно развиваются методы решения интервальных уравнений и систем интервальных уравнений. Интервальные системы линейных алгебраических уравнений (ИСЛАУ) можно рассматривать как обобщение вещественных систем линейных алгебраических уравнений, при этом наличие интервальных коэффициентов часто делает невозможным применение известных методов решения вещественных систем. Кроме того, для интервальных уравнений и систем уравнений возможны различные постановки задач, различные виды решений, и. соответственно, различные методы их отыскания. Наиболее распространено понятие решения ИСЛАУ как множества, состоящего из решений вещественных систем линейных алгебраических уравнений, элементы матрицы и правой части которых пробегают всевозможные значения из заданных интервалов (объединённое множество решений). При этом обычно рассматривалась так называемая "внешняя задача", т.е. нахождение интервального вектора, охватывающего это множество. Разработкой методов решения "внешней задачи" занимались Мур Р.Е., Ноймайер А., Алефельд Г., Херцбергер Ю., Добронец B.C., Шайдуров В.В., Шарый СП. и др. Задача внутренней оценки объединённого множества решений рассматривалась Чартерссом Б.А., Картеусом В., Шарым СП. В последнее время активно разрабатываются методы нахождения других видов решений, в частности, допустимого множества решений и алгебраического интервального решения (или просто интервального решения). Классификация различных видов решений впервые была дана Шарым СП., им же были введены термины "допустимое множество решений" и "объединённое множество решений", а также определено понятие "обобщённого множества решений". Каждое из этих множеств имеет сложную структуру, и их точное нахождение требует больших вычислительных затрат и является малоэффектив-
ным. Существует, однако, класс задач, для которых достаточно найти какое-либо подмножество множества решений. Это, например, классическая линейная задача о допусках, задача стабилизации с возможностью управления (в другой терминологии, это задача обеспечения живучести системы, или задача обеспечения устойчивости функционирования), задача управления при наличии ограниченных возмущений, задача идентификации и др. В связи с этим актуальным становится нахождение внутренних интервальных оценок множеств решений. В данной работе решение этой задачи сводится к нахождению интервального решения подходящего уравнения в интервальном метрическом пространстве. Для нахождения интервального решения используется расширенный интервальный анализ Каухера. Е.Каухером впервые было рассмотрено расширенное множество интервалов (1973г.), им были введены арифметические операции над элементами этого множества и доказаны основные теоремы о его свойствах. В дальнейшем расширенная интервальная арифметика разрабатывалась Gardenes Е., Trepat А. (1979-82гг.) и др. В настоящее время методы, использующие расширенную интервальную арифметику, интенсивно развиваются. В области нахождения оценок множеств решений и нахождения интервальных решений ИСЛАУ арифметик}' Каухера используют Шарый СП., Марков СМ., Зюзин СП., Захаров А.В.
Цель исследования. Диссертация посвящена исследованию связи множеств решений уравнений и систем линейных алгебраических уравнений, параметры которых принимают значения из заданных интервалов, с интервальными решениями соответствующих интервальных уравнений и интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Целью работы является внутреннее оценивание трудно описываемых множеств решений более простыми множествами - интервалами и интервальными векторами. Методика исследования. Используются общие результаты интервального анализа и численных методов алгебры, теоремы о свойствах интервальных расширений вещественных непрерывных функций, принцип сжимающих отображений, а также некоторые элементы теории функции вещественного переменного.
Научная новизна. В диссертации разработан подход, позволяющий находить внутренние интервальные оценки объединённого множества решений ИСЛАУ, а также допустимого и объединённого множеств решений интервальных нелинейных уравнений путём нахождения интервального решения в расширенном интервальном пространстве. Доказаны теоремы о связи упомянутых множеств с интервальными решениями для ИСЛАУ и нелинейных уравнений общего вида. Наиболее важным рез)'льтатом является теорема о максимальной внутренней оценке объединённого множества решений. Разработан метод нахождения интервального решения ИСЛАУ, определены условия, при которых соответствующий оператор является оператором сжатия, а также предложен выбор начального приближения, при котором обеспечивается получение двусторонних оценок искомого решения: интервального вектора, включающего искомый, и вектора, включающегося в него. Получены решения квадратных интервальных уравнений.
Практическая и теоретическая ценность. Результаты работы могут быть использованы в любой области деятельности, где решаются задачи с интервальной неопределенностью данных, сводящиеся к решению интервальных систем линейных алгебраических уравнений. Наиболее ценно то, что с помощью предлагаемого подхода мы получаем максимальные по включению внутренние оценки. Кроме того, нахождение интервального решения ИСЛАУ имеет и самостоятельный теоретический интерес.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на совещаниях по интервальной математике в Красноярске (1986,1988гг.), на семинаре по интервальной математике в Саратове (1990г.), а также на международных конференциях IN-TERVAL-92 в Москве и INTERVAL-94 в Санкт-Петербурге. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приводится в конце автореферата. Структура диссертации. Работа состоит из введения, трёх глав, разбитых на 12 параграфов, списка литературы из 50 наименований. Объём диссертации -106 страниц. Имеется 5 рисунков.
