Введение к работе
Актуальность темы. В современной технике широко используются композиционные материалы с тонкими фольговыми включения. Стационарные тепловые и электростатические поля в таких материалах могут быть описаны при поиоии элиптических уравнений с периодическими коэффициентами, имеющими особенности типа б-функций на гиперповерхностях меныпей размерной. Численное решение таких задач вызывает существенные трудности, связанные с быстрой осцилляцией коэффициентов и наличием б-обраэной особенности. Поэтому построение осредненной модели такой задачи является важной практической задачей.
Математическое моделирование процессов в составных телах, одна из частей которых в пределе имеет разметность меньшую, чем размерность объемлющего пространства (сочетание трехмерных тел и тонких пластинок, оболочек, стержней и т.д) и сделана из другого материала, является важной прикладной проблемой, ввиду того, что такие тела широко используются как в технике, так и в быту. Несмотря на широкое применениелтаких тел, только недавно такие задачи стали изучаться с теоретической точки зрения на математическом уровне строгости.. Одной из таких несомненно актуальных задач является задача о влиянии малого очень хорошо проводящего дефекта на стационарный тепловой процесс в однородном материале. Другой интересной задачей является изучение стационарного теплового процесса в составном теле, одна часть которого представляет из себя тонкий искривленный стержень с
большим коэффициентом теплопроводности. Непосредственное численное решение таких задачи вызывает существенные трудности, связанные с большим перепадом теплопроводимости и малостью дефекта или малой толщиной полоски. Поэтому построение асимптотического разложения решения таких задач по степеням малого параметра є - толщины включения и большого параметра ш - коэффициента теплопроводности (диэлектрической постоянной) является интересной и актуальной задачей, имещей практическое применение.
Целью диссертационной работы является: -осреднение стационарного процесса теплопроводности, рассматриваемого в композиционном материале, содержащем фольговые включения.
-изучение влияния заделки малого хорошо проводящего'дефекта в границу однородного материала на стационарный тепловой процесс в этом теле.
-изучение стационарного теплового процесса при заделке тонкой искривленной хорошо проводящей полоски в границу области с характерным размером порядка единицы .
Методика исследования. Б работе применялись : методика середнєния, разработанная в работах Н.С.Бахвалова, методика исследования решений задач о заделке, развитая в работах Г.П.Панасенко и Назарова С.А., методы функционального и математического анализа, а также методы теории эллиптических уравнений.
Научная новизна .Результаты работы является новыми. Стационарные тепловые процессы в периодических средах, моделируемые эллиптическими уравнениями с ограниченными
коэффициентами хорошо изучены и описаны в работах разных звторов . Тогда как тепловой процесс в периодической среде , имеющей фольговые, очень хорошо проводящие и очень тонкие включения , моделируемый эллиптическим уравнением с коэффициентами, имеющими особенность типа б - функции, рассматривается впервые в работах автора.
Задачи о мелкой заделке являются новым классом задач,которые стали изучаться только недавно. Во второй главе диссертации впервые решена задача о елиянии малого дефекта на границе тела на распределение температуры при помощи построения полного асимптотического разложения. В третьей главе впервые изучена задача о мелкой заделке искривленной хорошо проводящей полоски для уравнения Лапласа при помощи построения полного асимптотического разложения решения такой задачи.
Приложения. Результаты диссертации имеют непосредственное приложение в теории композитов, электротехнике, механике фильтрационных процессов и математической физике.
Достоверность результатов и выводов обеспечивается математической строгостью и обоснованностью вычислений и рассуждений, что гарантирует достоверность полученных результатов и выводов.
Апробация работы.Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на
-научных семинарах кафедры вычислительной математики механико-математического факультета МГУ, -12 -ой всесоюзной конференции молодых ученых
(Москва ,1990) ,
Публикации.По теме диссертации опубликований три работы.
Структура и объем диссертации.Диссертация содержит 100 страниц рукописного текста и состоит из введения (12 стр.), трех глав и списка литературы. Библиография содержит 43' наименования.
