Содержание к диссертации
Введение
1. Некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями 17
1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения 17
1.1 Описание используемых пространств функций 17
1.2 Нетеровы операторы и основные их свойства 20
2 Теория нетера и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с суммируемыми однородными ядрами и ядрами Бергмана 23
2.1 Некоторые вспомогательные утверждения 24
2.2 Лемма о факторизации оператора А 27
3 Теория нетера и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов с четной характеристикой, с суммируемыми однородными ядрами и поли-керн ядрами Бергмана 32
3.1 Вспомогательные утверждения 33
3.2 Модельное интегральное уравнение 35
3.3 Лемма о факторизации оператора А и формулировка результатов 41
4 Теория разрешимости одного модельного интегрального уравнения с однородным ядром 44
4.1. Краевые задачи для эллиптиче ских истем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами 56
5 Задача Дирихле для одного класса эллиптических систем второго порядка с сингулярными коэффициентами 56
6 Задача Римана - Гильберта для обобщенной системы Коши- Римана с сингулярными коэффициентами 66
6.1 Задача Римана - Гильберта при т > 0 67
6.2 Задача Римана - Гильберта при т < — 1 68
6.3 Задача для модельного уравнения 70
Литература 85
- Нетеровы операторы и основные их свойства
- Лемма о факторизации оператора А и формулировка результатов
- Задача Римана - Гильберта для обобщенной системы Коши- Римана с сингулярными коэффициентами
- Задача для модельного уравнения
Введение к работе
Методы сингулярных интегральных уравнений и операторов являются одним из мощных средств решения задач современной математики, математической физики, прикладной математики и механики.
Рассматриваемые в работе двумерные интегральные операторы с подвижными и неподвижными особенностями наряду с двумерным оператором сингулярного интегрирования S содержат также операторы Бергмана Б, комплексного сопряжения К и интегральный оператор с однородным ядром Н, а также различные композиции этих операторов.
Таким образом, исследования диссертации примыкают с одной стороны к направлению, связанному с теорией сингулярных интегральных уравнений (С. Г. Михлин [69]-[71], А. Кальдерон и А. Зигмунд [80]-[83], И. Н. Векуа [16], И. Б. Симоненко [74], А. Джураев [41]-[46], Р. В. Дудучава [47],[51], Н. Л. Василевский [12]-[15], И. И. Комяк [53]-[57], Б. М. Бильман и Г. Джанги-беков [8]-[10], Г. Джангибеков [21]-[35]), а с другой - к направлению, связанному с интегральными уравнениями с однородными ядрами, введенными в рассмотрение Л.Г.Михайловым [61]-[68] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами.
Предлагаемая работа состоит из двух глав со сквозной нумерацией разделов.
В первой главе работы в лебеговом пространстве с весом LP изучаются некоторые классы двумерных интегральных операторов с подвижными и неподвижными особенностями по ограниченной области. Эти операторы содержат как интегралы с подвижной = z (сингулярной) особенностью, так и интегралы с неподвижной = z = 0 (с однородными ядрами) особенностью, а также интегральные операторы, имеющие особенности на границе области, и как выяснилось, все эти особенности сильно влияют на нетеровость и индекс оператора. Посредством факторизации оператора удается получить необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислить индекс указанных операторов.
Во второй главе работы даются приложения полученных результатов первой главы по интегральным операторам к исследованию задачи Ди рихле для эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами, а также к задаче Римана-Гильберта для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным коэффициентом. Получены необходимые и достаточные условия нетеровости и вычислен индекс указанных задач.
Перейдем к более конкретному изложению основных результатов работы.
Раздел 1 первой главы носит вспомогательный характер. В нем описаны используемые в работе пространства функций и приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах.
В разделе 2 в пространстве L _2/p(-D) : Lf.Vp(D) = {/(») : М -2"/( ) = F(z) Є V(D), /U,_!/p = Fip}, (1 р оо,0 /3 2J ), рассматривается двумерный сингулярный интегральный оператор A = al + bl ) S#+(A) ЯіК + Я2 + сВ + Ш+ (0.1) +еВК + qBK + XSBK + y,BK + uSBS + -у SB + 8BS, где a, 6, с, d, e, q, A, /x, v, y, S непрерывные в D функции, n - целое число, операторы S,B,K действуют по формулам (/)( ) = -i Ц 4 (Kf){z) = W), D У J)K } TrJJ (1 _ cu(z)uj(C)y J C
ui(z) - однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем а;(0) = 0,о;/(0) 0, ds - элемент плоской меры Лебега, первый интеграл понимается в смысле главного значения по Коши, D конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0. Наконец Hj(j = 1,2) обозначают операторы с ядрами однородными степени -2:
(я,-/)(«) = Щ2 // ЯЛ , 0 (у /(С)Лс.
D
где Qj(z, ) (j = 1,2) - измеримые ограниченные функции имеющие преде лы
Шп 0,-( ,0 = Qi(0,0);
hj(a) - измеримые на всей плоскости функции, причем Н \hj{ 7)\\c7\-Pdsa oo, (0.2) ст оо (3 - некоторое число из интервала (0, 2).
Характерной особенностью оператора из (0.1) является, то что он содержит как интегралы с подвижной С, = z (сингулярной) особенностью, так и интегралы с неподвижной С, = z = 0 особенностью (с однородными ядрами), причем коэффициент при сингулярном интеграле имеет в точке 2 = 0 существенный разрыв. Именно к уравнениям с такими операторами сводится ряд краевых задач для эллиптических систем на плоскости.
Систематическое изучение интегральных операторов Hj с суммируемыми однородными ядрами порядка -2 было начато Л.Г.Михайловым [62]. В частности, им в работе [63] построена теория разрешимости уравнения f(z) + (H\f){z) = g(z) в лебеговых пространствах Ьр„_2, (D). В работе Б.М. Бильмана и Г.Джангибекова [9] изучено уравнение (0.1) с оператором А в случае, когда d = e = q = \ = fJb = i = ry = O.B указанной работе методом замораживания коэффициентов сначала изучается модельное уравнение, а затем для общего уравнения получены необходимые и достаточные условия нетеровости и найдена формула для вычисления индекса в пространстве L$-2/P(D) (1 Р оо,0 /? 2).
Интегральные уравнения с оператором А в случае, когда все коэффициенты непрерывные, т.е., когда в (0.1) п = 0, hj(a) = 0 (j — 1, 2) : Af = af + bSj + cBf + dBf + eBf + q Bf = g (0.3)
играют важную роль в теории обобщенных аналитических функций (см. моног. И. Н. Векуа [16]), а также находят применение в краевых задачах для эллиптических систем на плоскости. В связи с этим, изучению оператора А посвящено много работ различных авторов: И. Н. Векуа [16], А. Д. Джураева [41], [42], [45], В. С. Виноградова [18], Н. Н. Комяка [54]-[57], Н. В. Василевьского [12], [13], Б. М. Бильмана и Г. Джангибекова [9] и Г. Джангибекова [24].
В простейшем случае, когда в (0.3) с d = е = q = О И. Н. Векуа [16] на основе принципа сжатых отображений доказал, что (2.2) при условии \a(z)\ b(z), z Є D однозначно разрешимо в классе Lp, при р близких к 2.
Дальнейшие существенные результаты относительно простейшего уравнения (0.3) получены А.Д. Джураевым [41]. Он на основе связи между решением интегрального уравнения и теорией задач сопряжения для обобщенных аналитических функций показал, что при \a(z)\ ф Ь( ), z Є D, a(t) ф 0, t Є Г, где a(z),b(z) функции класса Сг(В) П (a(D)) уравнение (0.3) является нетеровым в пространствах LP, 2 р ос и индекс уравнения равен — [arga()]r В случае круговой области D — {z : \z\ 1} Н.Н. Комяк [54], [56], используя локальный метод Н. В. Симоненко, доказал, что указанные условия на коэффициенты a(z),b(z) необходимы для нетеровости (0.3)) в LP, 1 р со. При этом он требование гладкости коэффициентов a(z),b(z) снизил до непрерывности.
Следует отметить, что, помимо отмеченного выше частного случая, А.Д. Джураев [45] и Н.Н. Комяк [55] также исследовали в LP(D) частный случай (0.3)) когда Ъ = е = q = 0.
Г. Джангибековым в [24] рассматривалась алгебра Я, порожденная всеми действующими в пространстве LA_2, (D) (І р со,0 /3 2) операторами из (0.3) и показано, что имеет место
Теорема 0.1. Для того, чтобы произвольный оператор А из алгебры 1Z был нетеровым в пространстве LPo_2, (D) (1 р со, 0 /3 2)) необходимо и достаточно, чтобы \а{г)\ ф \Ь(г)\ при z Є Д deW(t) ф0 nputeT , где /a(t)_+c(t) e(t) 6(t) \ D(t) = q(t) a(t) + d{t) b{t) + Ф) , t Є Г. V 7« b(t) + X(t) a(t) + v{t)J При выполнении этих условий индекс оператора А из (0.3) равен х = —[argdet D(t)]r. 7Г В разделе 5, настоящей диссертации методом факторизации оператора А из (0.1) доказана Теорема 0.2. Для нетеровости оператора А из (0.1) в пространстве Lp-2jp{D) (1 р оо,0 /3 2) необходимо и достаточно, чтобы 1) \a(z)\ ф b( ), zeD, detD(t) фО при t Є Г; 2) / (#; ft) ф 0 при всех х : —оо х со, & = по, по 4- 2, , 7V0. Дрм этом индекс оператора А равен No - C=-{2IndTdetD(t) + 2 У Ind Qk(x;l3) + l Ind По(х;/3)}, k=n0+l где No - некоторое натуральное число, I = 1, если п четно, и I = 2, если п нечетно. Если условия 1), 2) нарушены, то оператор А из (0.1) не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в Lp 2jp{D), где Gk{x;P) = = Ко)р- 1Ко)12 [п {х;Р) п- х;Я - п )(х; fin-l »- te ft (0.4) где «?»( ; /3) = Щ- tl - + Ql(0,0) J J h e- Wr ds,, T OO W? («; 0) = 6(0),, + 2 + + Ql(0,0) // ЙІ W M " . ff O0 H®(x;P) = a(0) + Q2(0,0) /J ( е аГ Х, 00 Й?Нх; ft = a(0) + Q2(0,0) J М е- кГ Ль, z/ - г елое число, a = arg o\ В теореме 3.1 из раздела 3 предыдущие результаты обобщаются для двумерных сингулярных интегральных уравнений с четной характеристикой: A = al + Z-bSmK +(-) НгК + Н2 + сВт + dBm + em.K+ . . _ z W _ _ (°-5) +qBmK -f XSmBmK + fiBmSmK + vSmBmSm + jSmBjn 4- 5BmSm, где a, b, c, cf, e, g, Л, /U, , 7, # непрерывные в D функции, m 0 - целое число, операторы Sm, Вт, К действуют по формулам (Smf)(z) = L-i- J J —pf(0d8C, Є = arg(C -z)tze A D ds - элемент плоской меры Лебега, интеграл понимается в смысле главного значения по Коши; (Bmf)(z) = jl Bm(z, C)/(C)cfcf, 5_m = KSmK, B.m = KBmK, ° B hc)= l Gm{zX) m[ Л] 4тг((т-1)!)2 dzmdCm Gm{z, С) функция Грина для степени оператора Лапласа Ат в области D. Исследование оператора А из (0.5) основывается на следующем утверждении. Лемма 0.1. Пусть a(z), b(z), c(z), d(z), e(z), q(z), A(z), //(z), v(z), y(z),6(z), Qj(z,()ihj{z) U — 1)2) удовлетворяют указанным выше условиям и а(0) ф 6(0). Тогда A = A0A1+Th А = А2А0 + Т2, (0.6) где операторы Т\,Т2 - вполне непрерывны в Lp_2/p(D); — \ тп—1 / —\ ТП—1. А0 = а(0)/ + 6(0)smtf + c0Sm + f -\ Н\К + #2°, А, = (1«(0)2 - \Ь(0)\2ГЫ )1 + bj(z){zlz)SmK + CjBm+ +\u(z)\[dj(z)Bm + ej(z)BmK + qj(z)BmK + \i(z)SmBTnK+ -\- (г)ВтБтК + i/j(z)SmBmS + 4(j(z)SmBm + 5j W5m5m]}; ( /)W = 3p// (;)/(0 где і = 1,2. D В разделе 4 в серии весовых банаховых пространств функций Ep(D) : 4-i(B)={/(z) : M -J/( ) = "( ) Є "(0). 11/11 , = ИЛЬ). %( ) = {/( ) : \z\»f(z) = f( ) Є M(D), т.е. огр. изм., /Ц, = ІИІм}, Cg(ZJ) ={/( ) : z /( ) = ( ) Є C(Z ), Ц/Не, = ЦЛІС, F(0) = 0}, где 0 /3 1, 1 ? оо, детально изучается следующее простейшее интегральное уравнение с однородным ядром где п - целое число, А - комплексный параметр, D = {z : \z\ 1}, z = Отметим, что при n = 0 уравнение (0.7) изучено в работе Л.Г. Михайлова [64]. Общая теория нетера уравнения (0.7) следует из работы [10] (в случае пространства Cp(D) см. также [2]). Однако, ввиду того, что исследование обобщенной системы Коши-Римана с сингулярными в точке z = 0 коэффициентами опирается на интегральное уравнение (0.7) (см. напр. [60], [78]), представляет интерес получить полную картину разрешимости уравнения (0.7)) в серии банаховых пространств функций Ер. Теорема 0.3. Для нормальной разрешимости уравнения (0.7) в Ер : Lpe_2(D), Cff(D), Mp(D) (1 р со, 0 /3 1) необходимо и доста точно, чтобы А ф Rp(k) = + /9)(n-fc + j8), (0.8) где п ф —1, по + 5 к п, если п 0; щ + ё к — 1, если п — 2. СЛІІ п = — 1, то уравнение (0.7) нормально разрешимо при любых значениях параметра А. Теперь в случае нормальной разрешимости уравнения (0.7) обозначим через х+ - число линейно-независимых над полем вещественных чисел решений однородного уравнения, а через н - число необходимых и достаточных вещественных условий разрешимости уравнения в Е . Теорема 0.4. а) Пусть п 0. Тогда, если А ф Rp(k), п§ -f S к n, то однородное уравнение (0.7) во всех пространствах Ер нетривиальных решений не имеет, т.е. х+ = 0, при этом если А Щ(п), то неоднородное уравнение безусловно разрешимо единственным образом в Ер\ если Rp(n + 1 - к0) А Щ{п - к0) (ко = 1,2,..., п0), то с = 2&о, причем условия разрешимости неоднородного уравнения имеют вид (4-9), где следует положить к — п, п — 1,..., п + 1 — ко] если А Rp(no \-6), то х — п + 1, причем условия разрешимости неоднородного уравнения имеют вид (4-9), где при нечетном п следует полоэюитъ к = п, п — 1,..., , при четном п условия разрешимости даются формулами (4-9), (4-10), где следует положить к = п,п — 1,..., — 1. b) Пусть п = — 1. Тогда при всех значениях параметра А уравнение (0.7) безусловно разрешимо единственным образом во всех пространствах E0(D). c) Пусть п —2. Тогда, при выполнении условий (0.8) (щ + S к —1) неоднородное уравнение безусловно разрешимо в Ер, т.е. с = 0, при этом если А Rp(—1), то н+ = 0; если Щ(ко) А Rp(ko + 1), где ко — —1, —2,... ,щ — 1 то к+ = 2\ко\, и базис решений однородного уравнения имеет вид (4-16), где следует полоэюитъ к = — 1, — 2,... ,щ; если \Х\ Rp(rio + ), то н+ = \п\ — 1, и базис решений однородного уравнения имеет вид (4-16), где при нечетном п следует полоэюитъ к = — 1, —2,..., 2 , а при четном п базис решений дается формулами (4-16),(4-17), где следует положить к = —1, —2,..., §.
В главе 2 настоящей работы, методом перехода к изученным в предыдущей главе двумерным сингулярным интегральным уравнениям по ограниченной области, рассматривается вопрос разрешимости задачи Дирихле для эллиптических систем двух уравнений второго порядка с сингулярными коэффициентами, а также изучается задача Римана-Гильберта для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным коэффициентом.
Известно, что важнейшими краевыми задачами для эллиптического уравнения второго порядка являются задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача). Для сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка задача Дирихле методом интегральных уравнений была изучена Б.В. Боярским [11]. В монографии А. Джураева [42] такой же результат получен для многосвязной области. В работах [22], [81] была изучена задача Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя функциями от двух переменных. Показано, что указанные краевые задачи не всегда обладают "фредгольмовскими"свойствами. В предположении непрерывности коэффициентов системы, были установлены необходимые и достаточные условия нетеровости и даны формулы для вычисления индекса указанных задач в лебеговом пространстве LP(D),2 p oo.
Результаты работы [40] показывают, что что отказ от непрерывности коэффициентов приводит к тому, что найденные в [22], [81] условия нетеровости перестают быть достаточными, и более того, разрешимость задачи будет зависеть от показателя р лебегового пространства (D).
В разделе 5 главы 2 настоящей работы в единичном круге D = {z : \z\ 1} рассматривается следующая эллиптическая система OZOZ OZl Z OZ Z OZ OZ /Q д\ + d\(z)— Л- e (z)u + hi(z)w = g{z), где z = х + iy, ш = u(x,y) + iv(x,y), формальные производные по г и по z = х — iy определяются по формулам dz 2\dx 1ду) dz 2\дx+lдy), ip = argz, коэффициенты a(z),b(z) и т.д. будем считать непрерывными функциями вДа g(z) Є Lv г(D) (2 р со, 0 /3 1). Р р Как видно из (0.9), коэффициенты при первых производных , Ц имеют сингулярную особенность первого порядка, а коэффициент при произ водной рг в точке z — 0 по всем лучам, выходящим из начала координат, имеет разные пределы. Задача Дирихле. Найти непрерывные решения а (2г)системы (0.9) в области D из класса W2{D \ 0) П L 2(D),(2 р оо,0 /3 1), удовлетворяющие на границе Г условию U) ( )г=0- (°-10) Это означает, что функция ш(г) имеет в D \ 0 обобщенные производные ( = 1,2; Z = 0,1,2) и f-Hw(z) Є Р (Я) при 2 р оо, 0 /3 1. Доказывается, что указанная задача эквивалентна решению следующего двумерного сингулярного интегрального уравнения: W W К JJ ({С- Z)2 С 7Г JJ l- Z()2 c C(C- )2 S T Л (1-гС): Л д (0.11) ад // /Ю,_dW // /(0, + T =,(,), где А(,г) = a(z) -f ai(z), -B(z) = b\(z) — b(z), T— вполне непрерывный оператор, первый интеграл понимается в смысле главного значения по Коши. Полагая а(0) ф 0, и для удобства введя обозначения Ь(Щ /=В(0) Л(0) о(0) о(0) а(0) , и применяя к интегральному уравнению (0.11) результаты теоремы 0.2 доказана следующая Теорема 0.5. Для того чтобы задача (0.9), (0.10) была нетеровой в классе Lp 2(D) П W2(D \ 0), (2 р оо,0 j3 1), необходимо и достаточно выполнение условий a) \a(z)\ ф \b(z)\ при z ED, a(t) ф 0 при t Є Г, b) к(х]/3)ф0, -оо х оо, к = 0,1,--- ,7Vo, причем индекс задачи (0.9), (0.10)) равен x=-{2/n4a(t) + 2V Ind Qk(x;P)+ Ind Яъ(х\0)\, — —оо х оо —оо х оо it=l где Gk(x;{3) = -1 2 - [А - мі2 + (/3- tap (ІЛ2 - Re(Xfi - і/)) - %klm(\p - и) {1 - \\\2)(k2 ф - ixf) В разделе 6 главы 2 изучается задача Римана-Гильберта для обобщенной системы Коши-Римана с сингулярным коэффициентом. Пусть в комплексной плоскости z = х-Ьгу область D — {z : \z\ 1} обозначает единичный круг, а Г ее границу Г = {z : \z\ = 1}. Рассматривается следующая обобщенная система Коши - Римана d + 4 -u = g(z), zD, (0.12) lz где n - целое число, р = arg z, b{z) - заданная в D измеримая ограниченная функция, имеющая предел limz ,Qb(z) = 6(0), a g(z) - заданная функция класса LPg_2, (D), 2 р ею, /3 - некоторое число: 0 /3 1. Задача Римана-Гильберта. Требуется найти непрерывные в D — 0 решения уравнения (0.12) из класса W1(D) П 1Л_2, (D) 2 р оо,0 /3 1, удовлетворяющие на окружности Г условию Re{z mu) = 0, (0.13)
где т - целое число.
Для сингулярной обобщенной системы Коши - Римана Л.Г.Михайловым в монографии [60] и З.Д.Усмановым в [75]-[77] при различных условиях малости коэффициента b{z) получены утверждения о многообразия решений и разрешимости краевых задач. Как отмечено в [67], остается по прежнему актуальной задача изучения системы (0.12) без условия малости коэффициента b(z).
Следует заметить, что в работе З.Д.Усманова [75] задача (0.12), (0.13) изучена при п — 0, т 0 в классе Cp(D),0 j3 1, причем при этом требуется, чтобы коэффициент b{z) был непрерывен BDHB точке Z = 0 удовлетворял условию Гельдера.
В диссертационной работе задача (0.12), (0.13) изучается без каких- либо условий малости коэффициента b(z), методом интегральных уравнений по области, разработанным И.Н.Векуа в монографии [16], при этом, в отличие от [16], получаемые здесь интегральные операторы не являются вполне непрерывными, а содержат суммируемые однородные ядра порядка (—2).
Сначала рассматривается задача (0.13) для модельного уравнения \еъгир dzu + r-uj = g{z), zeD, (0.14) где Л = const. Пусть по - целая часть числа п/2, S = 1, если п четно, и равно 0, если п нечетно. Теорема 0.6. Для нормальной разрешимости задачи (0.14), (0.13) в классе W1 П 1Л_2, (D) (2 р оо,0 /3 1), необходимо и достаточно, чтобы Л ф Rp{k) = y/(k + p)(n -Л + /3), (0.15) где п ф —1, к = щ + S,..., п при п 0, к = щ + 6,..., — 1 при п —2. Если п = — 1, то задача нормально разрешима при любых значениях параметра А. Теперь в случае нормальной разрешимости задачи (0.14), (0.13) обозначим через х+ - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи (g(z) = 0), а через с - число необходимых и достаточных условий разрешимости задачи в W1 П 1Л_2, (D) (2 р оо, О /3 1) (т.е. условия ортогональности правой части (0.14) к решению модельной сопряженной задачи. Тогда при т 0 для модельной задачи (0.14), (0.13) имеет место
Теорема 0.7. а). Пусть 0 п 2га. Тогда, если Л ф Яд(&), щ + 5 к п, то неоднородная задача (0.14), (0.13) безусловно разрешима, при этом если А Я (п), то однородная задача имеет к+ = 2т + 1 линейно независимых решений; если Rp{n + 1 — ко) Л Rp{n — ко), ко = 1,2,... ,по, то я+ = 2(га — ко)-hi; если Л Rp(riQ-\-5), то х+ = 2т —п. Ь). Пусть п 2т + 1. Тогда, если Л Rp(n), то х+ = 2т -f 1; если Rp(n + 1 — ко) Л Rp(n — ко), ко = 1,2,..., п — 2га, то х+ = 2т — ко + 1, с = ко; если Rp(n + 1 — ко) А Rp(n — ко), ко = п — 2га + 1, п — 2га + 2,..., щ, то к+ = п — 2ко + 1, н = п — 2т; если А Д#(по + ) то я+ = 0, к" — п - 2т.
с). Пусть п = —1. Тогда, однородная задача (0.14), (0.13) при всех значениях параметра А имеет 2т -f 1 линейно независимых решений, а неоднородная задача безусловно разрешима.
d). Пусть п —2. Тогда при выполнении условия(ОЛб) неоднородная задача (0.14), (0.13) разрешима безусловно. При этом, если Л Rp{—1), то однородная задача имеет 2т + 1 линейно независимых решений; если Rp(h) А Rp{kQ- 1), fc0 = -1,-2,..., n0 + 1, то х+ = 2(т - ко) + 1; если Л Я/з(по + 8), то х+ = 2т — п.
При т О для модельной задачи (0.14), (0.13) справедлива
Теорема 0.8. а). Пусть п 0. Тогда, если А ф Rp(k), щ + 8 к п, то однородная задача (0.14), (0.13)) нетривиальных решений не имеет, при этом если Л Rp(n), то для разрешимости неоднородной задачи требуется выполнение х- = — 2т—1 условий разрешимости ; если Rp(n+ 1 — ко) Л Rp{n — ко), ко = 1,2,... ,щ, то к = — 2(т — &о) — 1; если Л Rp(riQ + 6), то и — —2т + п.
Ъ). Пусть п = — 1. Тогда однородная задача (0.14), (0.13) при всех значениях параметра Л нетривиальных решений не имеет, а для разрешимости неоднородной требуется выполнение — 2т—1 условий разрешимости.
с). Пусть п — 2. Тогда, если Л Rp{—1), то однородная задача нетривиальных решений не имеет, а для разрешимости неоднородного требуется выполнение —2т — 1 условий разрешимости; если /2 () Л Rp(ko — 1) ко = —1, —2,..., по + 1, то н+ = —2к0, с — —2т — 1; если Л Rp(no + 5), то х+ = —п — 1, н = —2т — 1.
Далее, рассматривая задачу (0.13) для исходной системы Коши-Римана (0.12), получена
Теорема 0.9. Для нетеровости задачи (0.12), (0.13) в классе Wl(D) П Щ-21 (Р) (2 р со, 0 /3 1), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (0.15), где следует положить Л = 6(0) а также при п 0 к = щ + 8, щ + 8 + 1,..., п, а при п — 2 к — щ + 8,..., — 1. При п = — 1 задача нетерова при любых значениях параметра 6(0).
При выполнении условий (0.15) для задачи (0.12), (0.13) имеет место
Теорема 0.10. а). Если п 0 и 6(0) Щ(п)\ п -2 и 6(0) Jfy(-l); 6(0) любое ип — — 1, то для всех значений т индекс задачи (0.12), (0.13) равен к — 2т-V 1.
Ь). Еслип 0« Rp(n + 1 — к) 6(0) Rp(n к), где к = 1,2,... ,п0, то х = 2(т — к) + 1; если при п — 2 и Rp(k) о(0) Rp(k — 1), где к = — 1, —2,..., щ + 1, то х = 2(т — /г).
cj. .ЕЪш о(0) ify(no + $), то тг ш всех значениях тип индекс задачи (0.12), (0.13) равен я = 2т-п.
Таким образом, выясняется, что регулярная теория задачи Римана -Гильберта (0.13) для обобщенных систем Коши - Римана верна в сингулярном случае (0.12) при п = —1, а также при п 0, когда 6(0) \/j3(n -f /3) и при п -2, когда 6(0) yj(l - (3)ф - п - 1).
Материалы диссертации докладывались на Международной научной конференции по дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе, ТГНУ, 2003 г.), на научно-теоретических конференциях профессорско-преподавательского состава ТГНУ ( 2003, 2004 гг.), а также на семинарах кафедры функционального анализа и дифференциальных уравнений ТГНУ.
Основные результаты опубликованы в работах [36]-[38], [48]-[50].
Нетеровы операторы и основные их свойства
В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например, в монографии [52]. Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А - сопряженный к нему оператор, действующий в сопряженном пространстве X . Множество КегА всех решений уравнения называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространства X. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1.2), будем обозначать через ад = dimKerA. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения называется ядром оператора А , и наконец, /ЗА — аА — КегА . Числа а А, /ЗА называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел ад и /ЗА - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности С А и РА - конечны. Для того, чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и Є КегА ). Действительно, если уравнение (1.5) имеет решение х, & и Є КегА , то где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.4), то говорят, что оператор А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее Определение 1.2. Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.5) разрешимо тогда и только тогда, когда его правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.3). Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того, чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой.
Определение 1.3. Оператор А называется нетеровым в X, если он нормально разрешим, и числа а А, РА конечны. Определение 1.4. Индексом IndA нетерова оператора А называется целое число IndA = ОСА — Следующее определение из всего множества нетеровых операторов выделяет подмножество фредгольмовых операторов: Определение 1.5. Нетеров оператор, индекс которого равен нулю, называется фредгольмовым. Свойство 1.1. (теорема о композиции). Если А я В нетеровы операторы в X, то их композиция А В также нетерова в X, причем IndAB = IndA+IndB. Свойство 1.2. Если А нетеров в X то и А нетеров в X , причем IndA =-IndA. Свойство 1.3. (возмущение вполне непрерывным оператором). Если А нетеров, а Т вполне непрерывен в X, то A -f Т также нетеров в X, причем Ш(А + Г) = IndA. Свойство 1.4. (возмущение малым по норме оператором). Если А нетеров в X, то существует такое є = є(А), что для всех операторов В таких, что є, оператор А + В нетеров в X и Ind(A Говорят, что оператор А допускает левую (правую) регуляризацию, если существует линейный ограниченный оператор R такой, что произведение RA (AR) является оператором Фредгольма. Оператор R в этом случае называется левым (правым) регуляризатором оператора А. Свойство 1.5. Для того, чтобы оператор А был нетеровым, необходимо и достаточно, чтобы у него существовали левый и правый регуляризаторы. Определение 1.6. Нетеровы операторы А и В называются гомотопными, если существует семейство нетеровых операторов А (), t Є [0,1], которое равномерно непрерывно по норме на сегменте [0,1] : по любому заданному є 0 можно найти такое S = 5(e) 0, что если \t\ — 5, Свойство 1.6. Если операторы А и В гомотопны, то 2 Теория нетера и индекс некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с суммируемыми однородными ядрами и ядрами Бергмана Пусть D конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0; Qj(z, Q (j = 1, 2) - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы lim 0 2:,0 = %(0,0); hj(a) - измеримые на всей плоскости функции, причем где /5 - некоторое число из интервала (0,2). Пусть наконец Hj(j = 1,2) обозначают операторы с ядрами однородными степени -2: В пространстве Lp 2/p{D) : (1 p oo, 0 /3 со), рассмотрим двумерный сингулярный интегральный оператор где а, 6, с, d, e, q. А, ДІ, , 7, 6 непрерывные в D функции, n - целое число, операторы S,B,K действуют по формулам u(z) - однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем и (0) = 0,а;/(0) 0, ds - элемент плоской меры Лебега, первый интеграл понимается в смысле главного значения по Копій. Интегральные уравнения с оператором А, в случае когда все коэффициенты непрерывные, т.е. когда в (2.1) п = 0, hj( j) = 0 (/ = 1, 2) играют важную роль в теории обобщенных аналитических функций (см. моног. И. Н. Векуа [16]), а также находят применение в краевых задачах для эллиптических систем на плоскости. В связи с этим изучению оператора А посвящено много работ различных авторов: И. Н. Векуа [16], А. Д. Джу-раева [41], [42], [45], В. С. Виноградова [18], Н. Н. Комяка [54]-[57], Н. В. Василевьского [12], [13], Б. М. Бильмана и Г. Джангибекова [9] и Г. Джан-гибекова [24]. Характерной особенностью оператора из (2.2) является то, что он содержит как интегралы с подвижной С — z (сингулярной) особенностью, так и интегралы с неподвижной = z = 0 особенностью (с однородными ядрами), причем коэффициент при сингулярном интеграле имеет в точке z = О существенный разрыв.
Именно к уравнения с такими операторами сводится ряд краевых задач для эллиптических систем на плоскости. Систематическое изучения интегральных операторов Hj с суммируемыми однородными ядрами порядка -2 было начато Л.Г.Михайловым [62]. В частности им в работе [63] построена теория разрешимости уравнения f{z) + (#1/)(2) = g(z) в лебеговых пространствах LPo2,{D). В работе Б.М. Бильмана и Г.Джангибекова [9] изучено уравнение (2.2) с оператором А в случае, когда d Прежде всего заметим, что из [84] следует ограниченность оператора S в LP„2,(D). Нам далее понадобятся следующие утверждения, доказательство которых можно найти в [24]. Лемма 2.1. Пусть a(z) непрерывная в D. Тогда оператор aS — Sa вполне непрерывен в Щ_2, (D) где Т- вполне непрерывный в LPo_2, (D) оператор. Следствие 2.0.1. Оператор В ограничен в 1Л_2, (D). Лемма 2.3. Операторы SB,BS,BB,BSB вполне непрерывны в Лемма 2.4. Интегральные операторы В, SB, BS, SBS не являются вполне непрерывными в пространстве Lp0_2, (D), причем их ядра теряют непрерывность лишь при совпадении обеих переменных на границе Г. Лемма 2.5. Если c(z) непрерывна в D и c(t) ф 0 при t Є Г, то операторы c(z)B,c(z)SB,c(z)BS,c(z)SBS вполне непрерывны в LPo_2, (D). Отметим, что все операторы S, В, SB, BS, SBS с точностью до вполне непрерывных слагаемых инвариантны относительно замены переменных = x{w),z = х(сг), где \ т\ 1, а х(а) отображение обратное к w(z). Лемма 2.6. Пусть х(о ) однолистное конформное отображение круга \ог\ 1 на область D, причем %(0) = 0 и х (0) 0, a h(o ) - измеримая функция, удовлетворяющая условию (2.1) и п - целое число. Тогда оператор Н, (ялм-шр(й)7/лФ )№) .- вполне непрерывен в пространстве 1Л_2, (\а\ 1), 1 р со. Доказательство. Представим оператор Я в виде Теперь заметим, что из [15] вытекает полная непрерывность операторов Н(1 - Ре) и (/ - Ре)НРе. Займемся оператором РЄНРЄ. Прежде всего с точностью до вполне непрерывного оператора РЄНРЄ - представим в виде Без ограничения общности будем считать, что \(\ h(Q непрерывная и финитная функция, ибо в противном случае суммируемую функцию C /i(C) аппроксимируем непрерывными финитными функциями т(С), для которых непосредственными оценками можно показать, что аппроксимирующий оператор Нт сходится по норме LA_2ip(D) к оператору Н. Оценим норму оператора РЄНРЄ : Теперь из непрерывности и финитности функции \z\ Pf(z) следует, ЧТО последний интеграл стремится к нулю при -)-0. Что касается интеграла от первого внутреннего интеграла из (2.3) , то после перемены порядка интегрирования его ограниченность следует из условия суммируемости (2.1). Таким образом, оператор РНРЕ по норме -л_2/р(Ы -0 стремится к нулю. Следовательно, оператор Н вполне непрерывен в пространстве L -2/p(W\ і) К Р 00. коэффициенты при сингулярном операторе SK при z = 0 обращаются в нуль, непосредственной проверкой убеждаемся, что имеют место формулы (2.4).
Лемма о факторизации оператора А и формулировка результатов
Для дальнейшего в D введем предварительно некоторые вспомогательные функции. Пусть а(0) Ф Ь(0). Положим где здесь CQ = 0 при a(0) 0 и c0 = 1 при a(0) = 0. Исследование оператора А основывается на следующем утверждении. Лемма 3.4. Пусть a(z),b(z),c(z),d(z),e(z),q(z),\(z), fi(z),u(z),j(z),5(z)t Qj{z ) hi(z) (j = 1,2) удовлетворяют указанным выше условиям и а(0) ф Ь(0). Тогда где операторы Хі,Т2 - вполне непрерывны в Lp-2/p(D)] Лемма 3.4 доказывается рассуждениями, аналогичными тем, которыми мы пользовались для установления леммы 2.7 из раздела 1. При этом нужно использовать свойства композиции операторов Sm,SmiBm из лемм 3.1 -3.3. В силу леммы 3.4 для получения условий нетеровости оператора А из (3.2) и формулы для ее индекса достаточно к оператору Л о применить полученные выше результаты, а к оператору Лі (или Лг) результаты из работы [39]. Через D(t) обозначим следующую матрицу 2) необходимо и достаточно, чтобы оператора А равен где NQ - некоторое натуральное число. Если условия 1), 2) нарушены, то оператор А из (3.1) не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в Lp_2/p(D). Замечание 3.1. Изложенные в теореме 3.1 результаты сохраняются, если вместо непрерывности c(z)}d(z),e(z))q(z),\(z),ii(z),]/(Kz) (z),S(z) в D предполоэюитъ лишь, что они является измеримыми ограниченными функциями и имеют на Г равномерно достигаемые предельные значения, образующие непрерывные функции c(t),d(t), и т.д.. 4 Теория разрешимости одного модельного интегрального уравнения с однородным ядром 4.1. Пусть D = {z : \z\ 1}, z = гегір, = регір - комплексные обозначения точек плоскости. Рассмотрим уравнение где п - целое число, Л - комплексный параметр, а черта над функцией обозначает переход к комплексно-сопряженным значениям. Уравнение (4.1) будем исследовать в серии весовых банаховых пространств функций Ep(D) : является линейным ограниченным оператором в пространствах Ер при 0 /3 1, причем Отметим, что при п = 0 уравнение (4.1) изучено в работе Л.Г. Михайлова [64]. Общая теория нетера уравнения (4.1) следует из работы [10] (в случае пространства Cp(D) см. также [2]). Однако, ввиду того, что исследование обобщенной системы Коши-Римана с сингулярными в точке z = 0 коэффициентами опирается на интегральное уравнение (4.1) (см. напр. [60], [78]), представляет интерес получить полную картину разрешимости уравнения (4.1) в серии банаховых пространств функций Ер.
С этой целью, допуская, что f(z) - решение, умножим уравнение (4.1) на е гк(р и проинтегрируем по (р, предварительно производя замену = az, а = те%1 и переходя к полярным координатам. В результате, обозначая I Итак, если /(.г) решение уравнения (4.1) из класса Ep(D), то его коэффициенты Фурье по полярному углу ср удовлетворяют совокупности одномерных интегральных уравнений (4.2) с однородными ядрами порядка Из (4.2) видно, что линейно-независимыми (над полем вещественных чисел) решениями однородного уравнения (4.1) будут функции вида где fk{r) и fn-k(r) - решения однородной системы (4.2),причем, конечно, имеется в виду, что к изменяется таким образом, чтобы в (4.2) не встречались одинаковые пары уравнений (кроме случая к = п — к, т.е. когда п - четное число и к = ). В самом деле, нетрудно непосредственной подстановкой проверить, что функции указанного вида будут давать решения (4.1). Поскольку для различных &, а также при данном к, но для различных решений однородной системы (4.2) все функции, даваемые формулой (4.3), будут линейно-независимыми, то число к+ - решений однородного уравнения (4.1) над полем вещественных чисел дается формулой где щ. - число линейно-независимых (над полем вещественных чисел) решений (4.3) при данном к, причем к следует менять указанным выше образом. Что касается неоднородного уравнения (4.1), то здесь для решения вопроса об эквивалентности (4.1) и (4.2) необходимо еще ответить на вопрос: будет ли система функций /fc(r), найденных из (4.2), образовывать совокупность коэффициентов Фурье по р некоторой функции из Ep(D). Иными словами, существует ли функция f(z), для которой Д(г), найденные из (4.2), будут коэффициентами Фурье. 4.2. Пусть Ер - обозначает одно из рассматриваемых пространств и N -некоторое натуральное число, N п. Введем в Ер следующие замкнутые подпространства: Действительно EN и EN - замкнуты в Е, т.е. являются подпространствами. Это вытекает из возможности перехода к пределу под знаком интегралов, определяющих коэффициенты Фурье. В силу полноты системы {elkv }, всякая функция f(z) Є Ер единственным образом представима в виде В самом деле, пусть f(z) произвольная функция из Ер. Построим агрегат Ясно, что /лг Є EN. В качестве fN возьмем fN = f — JN- Покажем единственность. Допустим, что откуда fjp-fff = -(/1 -/2 )- Таким образом, функции V\(z) = fft-fff и У2Й = f\ — І2 принадлежат EN И EN, т.е. для них все коэффициенты Фурье тождественно равны нулю. Следовательно, в силу полноты системы Vi(z) = V2(z) = 0, значит /f = /f, /# = / . Теперь введем пространства Эти множества замкнуты в VN, и нетрудно показать, что всякий элемент / Є VN единственным образом представим в виде Далее заметим, что ein f-(z) Є V , einvf+{z) Є V , в силу чего нетрудно убедиться, что оператор отображает каждое пространство Е и EN в себя, ибо (Tf+)(z) Є Е , (Tf-)(z) Є і+ . Поэтому уравнение (4.1), рассматриваемое в і?#, можно переписать в эквивалентном виде fN + fN = f. Покажем, что имеет место Лемма 4.1. Для любого значения параметра А найдется такое натуральное число NQ, что уравнение (4-І) безусловно разрешимо единственным образом в EN.
Для доказательства леммы достаточно показать, что при данном Л найдется такое iVo(A), что С этой целью прежде всего аппроксимируем суммируемую на всей плоскости функцию в смысле сходимости L функциями вида Для того, чтобы убедиться в возможности такой аппроксимации, достаточно заметить, что функцию К(а) можно аппроксимировать в среднем дважды непрерывно дифференцируемыми финитными функциями, а эти последние можно приближать равномерно их отрезками ряда Фурье по р. Построим теперь оператор (Tf)(z) — (Ядг/)(-г;), где Поскольку функции hif{&) аппроксимируют в среднем функцию К (а), то последний интеграл, а вместе с ним и норма разности операторов может быть сколь угодно малой. Итак показано, что для любого Л найдется такое Щ(Х), что Теперь, для завершения доказательства однозначной и безусловной разрешимости уравнения (1 ) достаточно заметить, что для любой fN Є EN в чем можно убедиться подсчетом коэффициентов Фурье cjmo(r), — оо то +0О функции Итак лемма доказана. 4.3. Так как пространство Ер представляется в виде прямой суммы подпространств а эти пространства инвариантны относительно оператора (Г/) (г), и поскольку для нормальной разрешимости (или нетеровости) уравнения (4.1) в Ер необходимо и достаточно, чтобы оно было нормально разрешимым (нетеровым) в замкнутых подпространствах EN и EN, ТО в силу доказанной леммы разрешимость уравнения (4.1) в Ер эквивалентна его разрешимости в ENo. Уравнение (4.1), рассматриваемое в EN0, эквивалентно конечной совокупности пар одномерных интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье /fc(r), /n-it(r) искомой функции f(z) ( —NQ + n к NQ). 4.4. Случай п 0. В этом случае из (4.2) с учетом не повторяемости пар, для определения функции fk{r) и /п_ (г) получим следующие системы: Рассматриваемые в пространствах Ьря_к(0,1), С2(0,1), Мр(д, 1) (1 р со, 0 J3 1) системы (4.4), (4.5) относятся к системам интегральных уравнений с ядрами однородными порядка (-1), удовлетворяющими надлежащим условиям суммируемости с показателем /3 : 0 /3 1. Поэтому к ним применимы результаты [61], [6]. для всех я: — оо а; оои п + 1, то согласно результатам [60],[78] системы (4.3) для всех к п -f 1 будут разрешимы безусловно единственным образом в пространствах L _i(0,l), С2(0,1), Перейдем к изучению систем (4.5) при щ к п. Для этого значения /n-fc(r) из вторых строк подставляем в соответствующие левые части первых строк (4.5). В результате некоторых вычислений, для определения коэффициентов fk(f) получим следующие скалярные интегральные уравнения с однородными ядрами степени (-1): где по к п, щ = [] (кроме случая к = при четном п); Полученные уравнения эквивалентны соответствующим системам (4.5) в том смысле, что переход от (4.5) к этим уравнениям не приводит к потере решений, а обратный переход не дает посторонних решений.
Задача Римана - Гильберта для обобщенной системы Коши- Римана с сингулярными коэффициентами
Пусть в комплексной плоскости z = х + гу область D = {z : \z\ 1} обозначает единичный круг, а Г ее границу Г = {z : \z\ = 1}. Будем рассматривать следующую обобщенную систему Коши - Римана где п - целое число, ip = arg z, b(z) - заданная в D измеримая ограниченная функция, имеющая предел 1imz- Q b(z) = &(0) а 9(z) заданная функции класса Lp„_2, (D), 2 р оо, (3 - некоторое число: 0 /3 1. Требуется найти непрерывные в D — 0 решения уравнения (6.1) из класса W1(D)C\LPo_2, (D) 2 р оо,0 /3 1, удовлетворяющие на окружности Г условию где т - целое число. Наряду с задачей (6.1), (6.2) будем рассматривать сопряженную одно родную задачу причем решения отыскиваются в классе функций W1(D) П 1А,_2, (D), где К q 2, К /3 2. Для сингулярной обобщенной системы Коши - Римана Л.Г.Михайловым в монографии [60] и З.Д.Усмановым в [75]-[77] при различных условиях малости коэффициента b(z) получены утверждения о многообразии решений и разрешимости краевых задач. Как отмечено в [67], остается по прежнему актуальной задача изучения системы (6.1) без условия малости коэффициента b(z). Отметим, что в работе З.Д.Усманова [75] задача (0.12), (0.13)была изучена при п = 0, т 0 в классе Cp{D),0 /? 1, причем при этом требовалась, чтобы коэффициент b(z) был непрерывен в D и в точке z = 0 удовлетворял условию Гельдера. В предлагаемой работе мы будем изучать задачу (6.1), (6.2) без каких либо условий малости коэффициента b(z) методом интегральных уравнений по области, разработанным И.Н.Векуа в монографии [16], при этом в отличие от [16] получаемые здесь интегральные операторы не являются вполне непрерывными, а содержат суммируемые однородные ядра порядка (-2). 6.1. Задача Римана — Гильберта при т 0. Следуя [16], мы для определения искомой функции u)(z), т.е. решения задачи (6.1), (6.2) получим следующее интегральное уравнение имеет суммируемое с весом /3 : 0 /3 1 однородное ядро порядка (—2), и по этой причине является линейным ограниченным оператором в пространствах LPg_2,(D) (1 р со) (см.[62], Второй интегральный оператор из (6.3) вполне непрерывен в указанных пространствах. Интегральное уравнение (6.3) относится к изученным в работах [63],[10],[38] уравнениям.
Однако правая часть интегрального уравнения (6.3) содержит 2т + 1 произвольных вещественных констант, которые нужно определить. По этой причине уравнение (6.3) нуждается в специальном исследовании. 6.2. Задача Римана — Гильберта при т — 1. Переходим к рассмотрению задачи (6.1), (6.2) в случае т — 1. В этом случае интегральное уравнение (6.3) использовать нельзя, ибо оно содержит члены с множителем z2m+1, вследствие чего,в точке 2 = 0 имеет разрыв высокого порядка. Поэтому, следуя [16], введем в рассмотрение функцию ф = zuu, где v — —га 0. Эта функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и краевому условию Задача (6.4), (6.5) относится к рассмотренной в пункте 1 задаче (6.1), (6.2) в случае т = 0. Следовательно, функция ф = ZUUJ удовлетворяет интегральному уравнению Если рассматривать задачу (6.4), (6.5) в классе W1(D) П LPo_2, (D) (2 р со, 0 (3 1), то нетрудно заметить, что оператор из левой части (6.6) в пространстве 1Л_2, (D) (2 р со,0 /3 1) не действует, ибо первый интегральный оператор из ее левой части имеет однородное ядро порядка —2, но условию суммирумости не удовлетворяет, а второй оператор также в ядре имеет сильную неподвижную особенность. Поэтому представив ядра указанных интегральных операторов соответственно в виде СУ еіпаь(с) _ еіпаь(0 t у - 6(0 Функция JO(Z) должна принадлежать весовому пространству ІЛ_2, (D) (2 p oo,0 (3 1). Для этого необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие равенства Таким образом, при m —1 задача (6.1), (6.2) в классе W1(D)nLp _2, (D) (2 р со, 0 0 1) эквивалентна интегральному уравнению (6.10) причем решение уравнения (6.10) будет удовлетворять краевому условию (6.2) тогда и только тогда, когда выполнены 2v — 1 вещественных равенств (6.9). Отметим, что из-за наличия дополнительных условий (6.9) интегральное уравнение (6.10) также нуждается в специальном рассмотрении. Поэтому, прежде чем приступить к исследованию интегральных уравнений (6.3), (6.10), изучим сначала модельную задачу, т.е. когда b(z) = A = const. 6.3.1. Рассмотрим сперва случай неотрицательного индекса краевой задачи т 0. Тогда для искомой функции ш(г) Є W1(D) П 1Л_2, (D) 2 р со, 0 /3 1 задачи (6.2), (6.11) получим следующее интегральное уравнение Уравнение (6.12), рассматриваемое в 1Л_2, (D) (2 р со), эквивалентно бесконечной совокупности пар одномерных интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье шк(г), юп-.к(г) : о искомой функции u (z) : Хотя в системах (6.12), (6.13) индекс к пробегает бесконечные значения -со к со, но, как мы увидим ниже, в конечном итоге оказалось, что картину разрешимости двумерного интегрального уравнения (6.12) при т 0 определяет конечное количество уравнений системы одномерных уравнений (6.13) с номерами 0 к и, а остальные системы однозначно и безусловно разрешимы. Случай 0 п 2т. В этом случае из (6.13) с учетом не повторяемости пар, для определения функции и)к(г), ип-к(г) получим следующие системы: при no + fc n, где no - целая часть числа и/2, 6 = 0 если п - четное число и 6 = 1, если п - нечетно. Рассматриваемые в лебеговых пространствах LPn_2, (0,1) (2 р оо, О /9 1) системы (6.14), (6.15), (6.16) относятся к системам интегральных уравнений с ядрами однородными порядка (—1), удовлетворяющими надлежащим условиям суммируемости с показателем /3 : 0 /3 1. Поэтому к ним применимы результаты [61], [6]. Особенность этих систем состоит в том, что они наряду с неизвестными функциями u k{r), Wn-k(r) содержат в качестве слагаемого еще вполне непрерывный оператор над функцией U}k+n+2u{ )- Однако, как мы увидим ниже, эти слагаемые однозначно определяются через правые части исходного уравнения (6.12). Приступим сначала к изучению систем (6.16) при по+ 5 к п.
Применяя к их левой части результаты [61], [6], получим что для их нормальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы Л ф Щ(к) = у/(к + (3){п-к + /3), к = по + 6,по + 6+1,...,п. (6.17) При этом, если 0 Л Щ(к) однородные уравнения за счет произвольных констант с&, Cn-k имеют два линейно независимых (над полем вещественных чисел) решения (шк(г),шп-к(г)) (уравнение с индексом к = п/2 при четном п имеет одно решение), а неоднородные уравнения разрешимы безусловно. Из (6.16) видно, что линейно независимыми решениями исходного однородного уравнения (6.12) (G(z)=0) будут функции вида Если Л Щ{к), то однородные уравнения (6.16) ненулевых решений не имеют, а для разрешимости неоднородного требуется выполнение двух условий разрешимости (для системы с номером к = п/2 при четном ті - одно условие разрешимости). Эти условия разрешимости можно найти следующим образом: Перейдем в однородном уравнении (6.16) к сопряженным уравнениям, которые в соответствие с исходной задачей рассматриваются в пространствах Ь2_ _і/д(0,1) и соответствуют сопряженной задаче (1 ), (2 ). Условия ортогональности решения сопряженного уравнения к правой части (6.16) будут условиями разрешимости неоднородного уравнения (6.16). Подобрав константы Cjt,cn_fc, мы обеспечим выполнение указанных условий разрешимости. Перейдем к изучению системы (6.15) при п + 1 к 2т. Согласно результатам [61], [6] эти системы при всех значениях параметра Л нормально разрешимы. При этом однородные уравнения (6.15) за счет произвольных констант Ck имеют одно ненулевое решение, а неоднородные разрешимы безусловно. Что касается системы (6.14) при к 4т — п, то они однозначно разрешимы единственным образом при всех значениях параметра Л.
Задача для модельного уравнения
Рассмотрим задачу (6.2) для модельного уравнения 6.3.1. Рассмотрим сперва случай неотрицательного индекса краевой задачи т 0. Тогда для искомой функции ш(г) Є W1(D) П 1Л_2, (D) 2 р со, 0 /3 1 задачи (6.2), (6.11) получим следующее интегральное уравнение Уравнение (6.12), рассматриваемое в 1Л_2, (D) (2 р со), эквивалентно бесконечной совокупности пар одномерных интегральных уравнений относительно коэффициентов Фурье шк(г), юп-.к(г) : о искомой функции u (z) : Хотя в системах (6.12), (6.13) индекс к пробегает бесконечные значения -со к со, но, как мы увидим ниже, в конечном итоге оказалось, что картину разрешимости двумерного интегрального уравнения (6.12) при т 0 определяет конечное количество уравнений системы одномерных уравнений (6.13) с номерами 0 к и, а остальные системы однозначно и безусловно разрешимы. Случай 0 п 2т. В этом случае из (6.13) с учетом не повторяемости пар, для определения функции и)к(г), ип-к(г) получим следующие системы: при no + fc n, где no - целая часть числа и/2, 6 = 0 если п - четное число и 6 = 1, если п - нечетно. Рассматриваемые в лебеговых пространствах LPn_2, (0,1) (2 р оо, О /9 1) системы (6.14), (6.15), (6.16) относятся к системам интегральных уравнений с ядрами однородными порядка (—1), удовлетворяющими надлежащим условиям суммируемости с показателем /3 : 0 /3 1. Поэтому к ним применимы результаты [61], [6]. Особенность этих систем состоит в том, что они наряду с неизвестными функциями u k{r), Wn-k(r) содержат в качестве слагаемого еще вполне непрерывный оператор над функцией U}k+n+2u{ )- Однако, как мы увидим ниже, эти слагаемые однозначно определяются через правые части исходного уравнения (6.12). Приступим сначала к изучению систем (6.16) при по+ 5 к п. Применяя к их левой части результаты [61], [6], получим что для их нормальной разрешимости необходимо и достаточно, чтобы При этом, если 0 Л Щ(к) однородные уравнения за счет произвольных констант с&, Cn-k имеют два линейно независимых (над полем вещественных чисел) решения (шк(г),шп-к(г)) (уравнение с индексом к = п/2 при четном п имеет одно решение), а неоднородные уравнения разрешимы безусловно. Из (6.16) видно, что линейно независимыми решениями исходного однородного уравнения (6.12) (G(z)=0) будут функции вида Если Л Щ{к), то однородные уравнения (6.16) ненулевых решений не имеют, а для разрешимости неоднородного требуется выполнение двух условий разрешимости (для системы с номером к = п/2 при четном ті - одно условие разрешимости).
Эти условия разрешимости можно найти следующим образом: Перейдем в однородном уравнении (6.16) к сопряженным уравнениям, которые в соответствие с исходной задачей рассматриваются в пространствах Ь2_ _і/д(0,1) и соответствуют сопряженной задаче (1 ), (2 ). Условия ортогональности решения сопряженного уравнения к правой части (6.16) будут условиями разрешимости неоднородного уравнения (6.16). Подобрав константы Cjt,cn_fc, мы обеспечим выполнение указанных условий разрешимости. Перейдем к изучению системы (6.15) при п + 1 к 2т. Согласно результатам [61], [6] эти системы при всех значениях параметра Л нормально разрешимы. При этом однородные уравнения (6.15) за счет произвольных констант Ck имеют одно ненулевое решение, а неоднородные разрешимы безусловно. Что касается системы (6.14) при к 4т — п, то они однозначно разрешимы единственным образом при всех значениях параметра Л. Случай п = 2т. Тогда для определения функции wk(r), и)п-к(г) получим следующие системы за счет произвольных констант ск,С2т-к имеют два линейно независимых решения, неоднородные безусловно разрешимы, а при А Rp(k) однородные системы (6.19) ненулевых решений не имеют, а для разрешимости неоднородного требуется выполнение двух условий разрешимости, которые выполняются за счет подбора указанных выше констант. Системы (6.18) (2т +1 к No) при всех значениях параметра А разрешимы безусловно единственным образом. Случай п 2т + 1. В этом случае для определения функции uk(r), и)п-к{г) получим следующие системы Однородные системы (6.22) при Л Щ(к) (щ + 5 к 2т), за счет произвольных констант имеют два линейно независимых решения, а неоднородные при этом разрешимы безусловно. При А Rp(k) однородные системы ненулевых решений не имеют, а для разрешимости неоднородных систем требуется выполнение двух условий разрешимости. Этим условиям можно удовлетворить за счет подбора двух произвольных констант ск, сп-к- Однородные системы (6.21) при Л Rp(k) (2т + 1 к п) за счет произвольных констант имеют одно решение, а неоднородное разрешимо безусловно. При А Rp(k) однородные уравнения ненулевых решений не имеют, а для разрешимости неоднородных уравнений требуется выполнение двух условий разрешимости, одному из которых можно удовлетворить подбором констант. Таким образом, в этом случае для разрешимости неоднородных систем нужно требовать выполнение одного условия разрешимости. Системы (6.20) (п + 1 к No) при всех значениях параметра безусловно разрешимы единственным образом. Системы (6.23) и (6.24) нормально разрешимы при всех значениях параметра А, при этом неоднородные системы (6.23) разрешимы безусловно единственным образом. Однородная система (6.24) за счет произвольных констант ск имеет одно ненулевое решение, а неоднородная разрешима безусловно. Случай п —2. В этом случае из (6.13) для определения функции ujk(r), wn-k(r) получим следующие системы: Из результатов [61], [6] следует, что для нормальной разрешимости систем (6.27) (по + 5 к — 1) необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие Л ф Нр(к). При этом, если Л Rp(k), то однородная система ненулевых решений не имеет , а неоднородная система разрешима безусловно единственным образом. Если А Rp(k), то однородная система имеет 2 (при к = п/2 в случае четного п имеет 1) решенийя, а неоднородная система безусловно разрешима. Система (6.26) (0 к 2т) нормально разрешима при всех значениях параметра Л, причем однородная система за счет произвольных констант ск имеет одно ненулевое решение, а неоднородная система разрешима безусловно.
Система (6.25) (2т + 1 к No) безусловно разрешима единственным образом при всех значениях параметра Л. 6.3.2. Рассмотрим теперь задачу (6.2) для модельного уравнения (6.11), в случае когда индекс краевой задачи отрицателен: т = —v 0. Тогда для решения задачи из класса W1(D) П LPg_2, (D) (2 р оо, 0 0 1) получим интегральное уравнение где v = —га 0, Со - произвольная вещественная постоянная, а искомая функция OJ(Z) должна удовлетворять еще 2z/ — 1 вещественным условиям (6.9), где в формулах (6.8) следует положить b(z) = А. Переходя к коэффициентам Фурье искомой функции u (z), мы для их определения получим следующие взаимосвязанные уравнения: где No - некоторое натуральное число. Случай п 0. В этом случае для определения функции u k(r), шп_к(г), получим следующие уравнения: Приступим к изучению системы (6.30) при к п + 1. Эта система помимо неизвестных функций Uk(r),ujn-k(f) содержит в качестве слагаемого еще вполне непрерывный оператор над функцией ujr+n+2v Однако эти слагаемые однозначно определяются через правые части исходного уравнения (6.28). Действительно, из дополнительных условий (6.9) следует, что функции шк (г) при п + 1 к п-\-і/—1 удовлетворяют условиям Эти равенства и использование уравнения (6.30) позволяют показать, что указанные слагаемые однозначно определяются через правые части системы (6.30). Тогда, применив к системам (6.30) результаты работ [61], [6] получим, что системы (6.30) для любых значений параметра Л при всех к п + 1 безусловно разрешимы единственным образом. Поскольку в системах (6.31) при щ + 5 к п вполне непрерывные слагаемые уже определены, то из [61], [6] заключаем, что при Л ф Щ{к) однородная система нетривиальных решений не имеет, а при Л Rp(k) неоднородная система разрешима безусловно, если же Л Щ(к)\, то для разрешимости неоднородного требуется выполнение двух (при к = п/2, когда п четно, одно) условий разрешимости. Заметим, что для того, чтобы найденные решения удовлетворяли исходной задаче (6.2), (6.11) нужно еще требовать чтобы выполнялись 2v — 1 вещественных условий разрешимости (6.9).
