Содержание к диссертации
Введение
1 Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения 17
2 Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями 23
3 О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями 28
4 Сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с коэффициентами, имеющие разрыв в двух точках 36
5 Двумерные сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с несколькими фиксированными особенностями 42
6 Краевые задачи для эллиптических систем дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами 49
Литература 56
- Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения
- Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями
- О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями
- Сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с коэффициентами, имеющие разрыв в двух точках
Введение к работе
Известно, что наиболее полные и тонкие результаты в теории дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными были получены на основе применения методов теории сингулярных интегральных уравнений.
Рассматриваемые в работе двумерные сингулярные интегральные уравнения соприкасаются с направлением, связанным с новым классом интегральных уравнений, введенных в рассмотрение Л.Г.Михайловым [48]-[57] при изучении дифференциальных уравнений с сингулярными коэффициентами. Речь идет о многомерных интегральных уравнениях с однородными порядка (—п), ядрами, удовлетворяющих определенному условию суммируемости.
С другой стороны, исследуемые интегральные уравнения примыкают к направлению, связанному с теорией многомерных сингулярных интегральных операторов (С. Г. Михлин [58]-[60], А. Кальдерон и А. Зигмунд [66]-[б8], И. Б. Симоненко [бЗ]-[64], А. Джураев [32]-[37], Р. В. Дудучава [38]-[41], Н. Л. Василевский [б]-[9], И. И. Комяк [43]-[47], Б. М. Бильман и Г. Джангибеков [2]-[4], Г. Джангибеков [11]-[31], в частности, они включают в себе двумерные сингулярные операторы, которые, как показано в известной монографии И. Н. Векуа [10], а также в монографии А. Джураева [33] и в работе Б. Боярского [5], играют важную роль в теории краевых задач для эллиптических систем дифференциальных уравнений на плоскости. При этом следует особо отметить, что в работе Джураева (ДАН СССР, 1971,т.197, №6,е. 1251-1254) впервые обнаружен эффект влияния границы области на нетеровость и индекс двумерных сингулярных интегральных операторов по ограниченной области.
Перейдем к непосредственному изложению основных результатов работы. Первый параграф носит вспомогательный характер. В нем описаны используемые в работе пространства.
Описание пространств функций и некоторые вспомогательные сведения
Пусть D -конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0. Пространство Ljg_2/p(D) - это множество комплекснозначных измеримых в D функций f(z) для которых функция F(z) = \z\P-2bf(z) суммируема с р - ой степенью, где 1 р со, 0 (3 2. Норма в LPp_2/p{D) вводится по формуле Пусть теперь D = {z : \z\ 1}. Положим Пространство Ljg_2/p(D). Будем говорить, что функция f(z) принадлежит пространству Очевидно, что все аксиомы нормы выполняются. Пространство О, р. Будем говорить, что функция f(z) принадлежит пространству Ср, если F{z) = \zff(z) непрерывна при \z\ 1 и Пространство Сд. Обозначим через Ср множество функций f(z) Є Ср в круге 1-г) 1 таких, что F(0) = 0. Пространство Мр. Будем говорить, что функция f(z) Є Мр, если функция F(z) = \z\Pf(z) измерима и почти везде ограничена в круге \z\ 1 и Лемма 1.1. Пространства Lp_2,p(D), Ср, Ср, Мр являются полными, т.е. банаховыми. Доказательство полноты L _2/,p(D). Пусть \z\ 1 и {f (z}} -фундаментальная последовательность функций из LPp_2/p{D), т.е. для любого є О, существует такой номер N, что как только то, п N. Покажем, что для любого фиксированного к последовательность {/ (г)} сходится по норме LPp-\/p на отрезке [0,1]. В самом деле, для любого є
О как только т,п N, т.е. последовательность {Л (г)} Є _і/р(о,і) " является фундаментальной последовательностью. Поскольку пространство принадлежит пространству Щ-2/р- Действительно, для любого О, существует такой номер ./V, что как только Переходя к пределу при т — оо, получим Докажем теперь, что последовательность {f (z)} — /(-г) по норме Ifp_2,p{D). Из (1.1) следует, что для любого М существует такой номер JV, что как только п,т N. Переходя в этом неравенстве к пределу при п — оо имеем при любых М, т N. Переходя здесь к пределу при М — оо получим, что /(m)W WW по норме Доказательство полноты Ср, Ср, Мр получается рассуждениями аналогичными выше. В этом пункте приводятся основные понятия и факты теории нетеровых операторов в банаховых пространствах, которыми мы будем пользоваться в работе. Доказательства всех приводимых здесь утверждений можно найти например в монографии [42]. Пусть X - банахово пространство, А - линейный ограниченный оператор, действующий в X, А - сопряженный к нему оператор, действующий в сопряженном пространстве X . Множество КегА всех решений уравнения называется множеством нулей или ядром оператора А. Множество КегА является подпространством пространства X. Размерность подпространства КегА, т.е. число линейно независимых решений уравнения (1.2), будем обозначать через ад = dimKerA. Через КегА обозначим подпространства нулей оператора А , т.е. множество всех решений уравнения называется ядром оператора А и наконец /ЗА = а.А = КегА . Числа а А, РА называются дефектными числами оператора А. Если хотя бы одно из чисел ал и /ЗА - конечное, то их разность называется индексом оператора А и обозначается через IndA, Очевидно, IndA конечен тогда и только тогда, когда обе размерности ад и /ЗА - конечны. Для того чтобы уравнение имело хотя бы одно решение, необходимо, чтобы свободный член у был ортогонален к КегА (иначе говоря, чтобы элемент у аннулировался любым функционалом и Кет А ). Действительно, если уравнение (1.5) имеет решение х, а и Є где здесь круглыми скобками обозначено значение функционала на соответствующем элементе. Если упомянутое выше условие ортогональности достаточно для разрешимости уравнения (1.4), то говорят, что оператор А нормально разрешим. Таким образом можно дать следующее определение Оператор А называется нормально разрешимым в смысле Хаусдорфа, если неоднородное уравнение (1.5) разрешимо тогда и только тогда, когда ее правая часть у ортогональна всем решениям сопряженного однородного уравнения (1.3) Известна следующая теорема Хаусдорфа: для того чтобы оператор был нормально разрешимым, необходимо и достаточно, чтобы его область значений была замкнутой.
Об одном классе двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями
В этом параграфе рассматривается вопрос нетеровости и индекса некоторых двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими точками разрыва в коэффициентах и операторы с ядрами имеющими фиксированные особенности в нескольких точках. Отметим, что одномерные интегральные уравнения с одномерными порядка —1 в нескольких точках ядрами изучены Михайловым Л.Г. [49] а одномерные сингулярные интегральные операторы с несколькими фиксированными особенностями изучены в работах Р.В. Дудучавы [40], Р.В. Дудучавы и Т.Лацабидзе [41] а также А.П.Солдатова [65] Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = 0 и точки zi,Z2,...,zm; D = DUV hij(a)- измеримые на всей плоскости функции, причем где /3,-некоторые число из интервала (0;2) а измеримые ограниченные в D функции hi(a) удовлетворяют следующим двум условиям: а)/г/((т)-непрерывны по Гельдеру в точке о = 1, то есть \hi(a)-h(l)\ \а — 1а, когда(т — 1 є, где е-некоторое малое фиксированное число Через Ьщр_2/р\(В) -обозначим лебегово пространство с весом илк„.ад = плі }. В пространстве Ц\ п-чір)(.В) -рассматривается следующий оператор где а(г), 6(z), c(z) - непрерывные в .D функции. Отметим, что в случае когда в (2.2) hferf) — 1» оператор А изучен ранее Джангибековым в работе [28], где получены необходимые и достаточные условия нетеровости оператора и вычислен индекс. В этом параграфе показано, что каждая точка разрыва Zj существенно влияет на нетеровость и индекс оператора. Как видно из (2.2) оператор А состоит из двух видов операторов.
Первое слагаемое является сингулярным интегральным оператором по ограниченной области D, который к тому же еще в ядре содержит функции, имеющие фиксированные особенности в точках Zj (j = 1,2,..., п). Остальные слагаемые являются операторами с суммируемые однородными ядрами с несколькими фиксированными особенностями. Перепишем сингулярный интеграл (2.2) в виде: Первый интеграл правой части (2.3) дает сингулярный оператор Из наложенных на функции h{o) условий а) и б) следует, что второй интеграл является интегральным с однородным ядром степени -2 то тогда (2.2) примет вид оператора А из [28]. Функции Q{(x;/3j) -непрерывны при -оо х оо причем ,1р Шж;#) = 1, j = l,...,m Теорема 2.1. Для нетеровости оператор А из (2.2) в Ц\(в-21р)(Р) (1 V со, /? -из интервала (0;2)), необходимо и достаточно чтобы: где Nj - натуральное число, JUJ = 1, если rij четно и \ij — 2, если n - нечетно. Теорема 2.2. Если условия 1), 2) нарушены, то оператор А из (2.2) не может иметь ни левого, ни правого ограниченных регуляризаторов в Замечание. Пусть в пространстве псз-2/р)(- ) рассматривается следующий оператор где a(z), c(z) - непрерывные в D функции, 2г/(2, ) - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы а измеримые ограниченные в D функции hi(a) (I = 1,2,..., т) удовлетворяют следующим двум условиям. В этом параграфе рассматривается класс операторов содержащий сингулярные операторы, интегральные операторы с однородными ядрами и интегральные операторы с ядрами Бергмана. Причем указанные операторы содержат в ядре как сами неизвестные функции, так и их комплексно -сопряженные значения, а их коэффициенты имеют фиксированные особенности в нескольких точках.
Такие операторы широко применяются при изучении различных краевых задач для эллиптических систем уравнений первого и второго порядка с сингулярными коэффициентами на плоскости (см.напр.[25]-[27]). Применение полученных результатов к исследованию задачи Дирихле для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя сингулярными точками приведено в шестом параграфе. Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = О и точки zi, Z2,...,zm ,D = D\JT; a(z), b(z), c(z), d(z), v(z), 5(z) - непрерывные в D функции; Qij{z,Q - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы
О нетеровости и индексе некоторых классов двумерных сингулярных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями
В этом параграфе рассматривается класс операторов содержащий сингулярные операторы, интегральные операторы с однородными ядрами и интегральные операторы с ядрами Бергмана. Причем указанные операторы содержат в ядре как сами неизвестные функции, так и их комплексно -сопряженные значения, а их коэффициенты имеют фиксированные особенности в нескольких точках. Такие операторы широко применяются при изучении различных краевых задач для эллиптических систем уравнений первого и второго порядка с сингулярными коэффициентами на плоскости (см.напр.[25]-[27]). Применение полученных результатов к исследованию задачи Дирихле для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя сингулярными точками приведено в шестом параграфе. Пусть D - конечная односвязная область комплексной плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой Ляпунова Г и содержащая внутри точку z = О и точки zi, Z2,...,zm ,D = D\JT; a(z), b(z), c(z), d(z), v(z), 5(z) - непрерывные в D функции; Qij{z,Q - измеримые ограниченные функции, имеющие пределы hij(a) - измеримые на всей плоскости функции, причем где (3j - некоторые числа из интервала (0,2). ijj{z) - однолистное конформное отображение области D на единичный круг с центром в начале координат, причем w(0) = 0,а/(0) 0,б - элемент плоской меры Лебега. Таким образом, коэффициенты при операторах К, S, SK имеют существенные разрывы в точках zi,Z2,...,zm, а операторы HijK,H2j,j = 1,2,...,m имеют фиксированные особенности в точках z = Zj. Следует отметить, что оператор А при b(z) = c(z) = 5(z) = 0 изучен в работе [28]. Прежде всего отметим, что оператор А является оператором локального типа (см. [63]).
Поэтому для того чтобы А был оператором Нетера в Ціш-2ір)Ф), необходимо и достаточно, чтобы он был локально нетеров в каждой точке ZQ Є D. В точках z ф ZjJ = l,m оператор А локально эквивалентен оператору М который отличается от А тем, что в нем отсутствуют интегральные операторы с фиксированными особенностями H\jK и #2j j = 1,га- Операторы вида М изучены в работе [24]. Из результатов [24] в частности следует, что для нетеровости оператора А в Ці(р-2/р)(В) необходимо выполнение одного из следующих (исключающих друг друга) условий В случае (3.4) оператор Т2 имеет непрерывный обратный, причем А — Т2 А2, Таким образом, исследование нетеровости и индекса оператора А сводится к соответствующему исследованию операторов А\ и А2. В дальнейшем будем считать, что X(ZJ) = 0 (j = l,m). 1. Пусть выполнено условие (3.3) Тогда согласно результатам работы [38], по сингулярной части оператора А\ построим матрицу-символ Рассмотрим алгебраическое уравнение det G\{u) = 0, где е-2г det (ЗДе2 ) является тригонометрическим полиномом 2-го порядка с зависящими от z вещественными коэффициентами. Нулями указанного уравнения в комплексной плоскости и = щ+іщ являются функции qi(z), q iz), причем \qi{z)\ 1 для всех z Є D. Введем теперь в D вспомогательную функцию a-[(z), которая выражается через коэффициенты оператора А\ и корень q\{z) полинома det G\(u) по формуле и в силу (3.8) для всех z D удовлетворяет неравенству OJI( ) 1. Далее введем обратимый оператор Лемма 3.1. Если выполнено условие (3.3) и \{ZJ) = О J = 1,т, то оператор А\ из (3.6) представляется в виде
Сингулярные интегральные операторы с четной характеристикой и с коэффициентами, имеющие разрыв в двух точках
Известно, что важнейшими краевыми задачами для эллиптического уравнения второго порядка является задача Дирихле (первая краевая задача) и задача Неймана (вторая краевая задача). Для сильно эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка задача Дирихле методом интегральных уравнений была изучена Боярским Б.В. [5] В работах [12], [29] была изучена задача Дирихле и Неймана для общих эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка с двумя функциями от двух переменных. Показано, что указанные краевые задачи не всегда обладают "фредгольмовскими"свойствами. В предположении непрерывности коэффициентов системы, были установлены необходимые и достаточные условия нетеровости и даны формулы для вычисления индекса указанных задач в лебеговом пространстве LP{D), 2 р оо.
Результаты работы [30] показывают, что отказ от непрерывности коэффициентов приводит к тому, что найденные в [12], [29] условия нетеровости перестают быть достаточными, и более того, разрешимость задачи будет зависить от показателя р лебегового пространства {D) В настоящей работе в единичном круге D = {z : \z\ 1} рассмотрим следующую эллиптическую систему второго порядка с двумя сингулярными точками коэффициенты a(z),b(z), и т.д. будем считать непрерывными функциями в Д a g{z) Є Как видно из (6.1) коэффициенты при двух старших производных в точках z = z\ и z = Z2 по всем лучам, выходящим из этих точек имеют разные пределы, а коэффициенты при двух первых производных в указанных точках имеют сингулярную особенность первого порядка. Отметим, что системе с одной сингулярной точкой, т.е. когда в (6.1) b{z) = c(z) = 0, a z) = 62(2) = О, посвящена работа [27]. Задача Дирихле. Найти непрерывные решения u (z) системы (6.1) в области D из класса п(/?-і- Это означает, что функция о/(,г) имеет в D\zj,j = 1,2 обобщенные производные (к = 1,2;/ = Пусть теперь \z - zx\ -2lv\z - z2\lh 2/pu(z) Є ЩО) при 2 р оо,0 (3j 1. Тогда /г_г й_г2) Є п(0-2/р)» и более того непосредственными вычислениями можно показать, что все функции U_"AU_ZA обладающие в D обобщенными производными второго порядка, непрерывные в .D и удовлетворяющие на Г условию (6.2), единственным образом представляются в виде где /(г) - неизвестная функция из пространства - щ/з-г/р) ) 2 р оо, 0 /% 1,J 1,2.
Подставляя эти значения производных в систему (6.1) и выделив вполне непрерывные слагаемые, мы для определении неизвестной функции f(z) из пространства L _2 (D),2 р оо,0 / 1, получим сингулярное интегральное уравнение с двумя фиксированными особенностями вида где V - вполне непрерывный оператор, 7j = &rg(C — Zj), j = 1,2, a коэффициенты Aj(z),Bj(z) определяются по формулам Интегральное уравнение (6.3) по виду относится к классу двумерных сингулярных интегральных уравнений по ограниченной области, теория Нетера которых построена 3. Пусть Тогда, согласно результатам работы [56], имеет место Лемма 6.1.Если выполнено условие (6.4), то интегральное уравнение из (6.3) представляется в виде Для получения условий нетеровости оператора А в пространстве Ьщр_2ір\(0), и формулы для его индекса в случае, когда имеет место (6.4), достаточно применить к операторам из правой части (6.7) результаты работы [26]. Применяя к каждой из указанных операторов результаты работы [56], получим, что для нетеровости системы (6.1),(6.2) необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия (6.4), (6.6). Сформулируем основной результат для задачи (6.1),(6.2) Теорема 6.1. Для того чтобы задача (6.1), (6.2) была нетеровой в классе Ццр-ммФ) П W\D\Zjl (2 р оо, 0 ft 1, j = 1,2), необходимо и достаточно выполнение условий
