Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем дифференциальных и разностных уравнений Бидерман Вениамин Исаакович

Двухсторонние оценки решений одного класса систем дифференциальных уравнений

В данном параграфе представлены результаты, изложенные автором в [2]. Они посвящены двухсторонним оценкам решений некоторого класса систем дифференциальных уравнений. Здесь, в отличие от публикаций (см., например, [7],[15], [14]), ограничения накладываются на координаты Fi(x) вектор-функции F(x). Рассмотрим систему п уравнений с п неизвестными где x{t) = {xk{t)}— неизвестная вещественная вектор-функция из [C1(R+)]" (R+ = [0; оо), к = 1,2,,.., п); матрица А = (оу)пхп; F = F(f) — вещественная вектор-функция, определенная на 1Г. Будем считать, что координаты F = F() удовлетворяют неравенству где Рік U (г = 1, 2,..., п). Ьудем также предполагать, что система имеет только тривиальное решение. Рассмотрим матрицу А - XI и пусть А (Х) — алгебраические дополнения соответствующих элементов этой матрицы. Далее, пусть р(Л) — характеристический многочлен матрицы Д а Ль Л2,,.., Л его корни. Положим В дальнейшем нам понадобятся некоторые специально построенные матрицы, описание которых дадим ниже: ентами которых являются числа Здесь контур, состоящий из прямой Res = р и дуги бесконечно большого радиуса, расположенной в той части плоскости, где Res р, охватывает все особенности подынтегральной функции; і — мнимая единица; і = ї п, а у? {j = hji) — j-я координата вектор-функции y{t) Є [C1{R+)]n в фиксированной точке. Используя теорему о вычетах (см, например, [29, с.335]), имеем оценку где cfj(k = 0, — 1) — неотрицательные элементы матриц-постоянных (с!?А , a v — кратность корня р. Обозначим через элементы матрицы C(t) = (су(і))пхп. Теорема 1.1.1. Пусть F{x) удовлетворяет условию (1.1.2).

Тогда для любой координаты решения x(t) системы (1.1.1) справедлива оценка Доказательство. Известно, что система (1.1.1) эквивалентна системе о Обозначим элементы матрицы е через aik(t) и перепишем систему (1.1.7) покоординатно Отсюда и из (1.1.2) вытекает, что Тогда из неравенства (1.1.8), с учетом изменения суммирования, вытекает дальнейшем нам понадобится лемма 3.2.1 из [19, с.153], формулировку которой мы приводим для упрощения чтения доказательства: Пусть /C{t,г) — неотрицательное ядро на интервале J (конечном или бесконечном) такое, что интегральный оператор оставляет инвариантным пространство C{J) ограниченных непрерывных на J функций и имеет в этом пространстве спектральный радиус, меньший единицы. Тогда для непрерывной функции p{t), удовлетворяющей неравенству имеем неотрицательное ядро на интервале J = [0, ]. Известно (см., например, [44, с.163]), что интегральный оператор имеет спектральный радиус, равный нулю. Поэтому, в силу данной леммы, имеет место неравенство Применяя к (1.1.11) преобразование Лапласа и учитывая, что преобразование интеграла свертки равно произведению изображений оригиналов (см., например, [29, с.481]), получаем где Oij элементы единичной матрицы. итсюда, пользуясь обратным преобразованием Лапласа, имеем (Здесь контур, состоящий из прямой ReX = ри дуги бесконечно большого радиуса, расположенной в той части плоскости, где ReX р, охватывает все особенности подынтегральной функции). Умножим числитель и знаменатель подынтегральной функции на Используя (1.1.5), имеем оценку Из последнего неравенства и из (1.1.10) с помощью обозначения (1.1.6) следует необххоимая оценка

Приведем пример, подтверждающий тот факт, что существуют случаи, когда покоординатная оценка решения системы (1.1.1), полученная в теореме 1.1.1., может быть точнее, чем оценка, полученная для нормы решения данной системы в [14, с.30] в том смысле, что характеристический показатель Ляпунова (см, например, [7, с.18]) системы (1.1.1) а + р , полученный в теореме 1.1.1., меньше характеристического показателя, вычисленного в [14] . Рассмотрим систему дифференциальных уравнений Вычислим последовательно р в предположениях [14] и теоремы 1.1.1.. Введем следующие обозначения Предположим в условиях теоремы 1.1.1., что для координат вектор-функции F = F(x(t),y(t)) имеют место неравенства а Р2 = Р является корнем многочленной матрицы (1.1.4) Т(п), для которой при п = 2, используя (1.1.3), вычислим элементы матриц Тем самым показано, что покоординатная оценка решения системы (1.1.1), полученная в теореме 1.1.1., может быть точнее, чем оценка нормы решения данной системы, при этом из условия (1.1.2) вытекают ограничения [14] в терминах норм, но из этих ограничений не следуют условия (1.1.2).

Условия асимптотической устойчивости состояния равновесия одной экологической системы

В данном параграфе рассмотрена модель системы типа хищник-жертва, иллюстрирующая результаты предыдущего параграфа. Пусть экологическая система типа хищник-жертва описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений где x(t),y(t) — численности жертв и хищников соответственно; 7 и т — коэффициенты естественного прироста жертв и естественной смертности хищников; к—я часть энергии биомассы жертв потребляется хищником на воспроизводство; трофическая функция V {x(t)) имеет вид [16] (Здесь 6, с — некоторые положительные постоянные). Рассмотрим систему уравнений Она имеет нетривиальное решение (ж,у), где Данное решение является состоянием равновесия системы (1.2.1). Сделаем в системе (1.2.1) замену Разлагая V (x(t)) в ряд Тейлора в точке (ж, у), ограничиваясь первыми двумя слагаемыми, получим систему где Для полученной системы (1.2.3) состояние равновесия является тривиальным решением. Оценим решение системы (1.2.3) с помощью теоремы 1.1.1.. Составим характеристический многочлен матрицы коэффициентов системы (1.2.3) и найдем его корни Обозначим наибольший из них Л2 через а. Для того, чтобы корни характеристического уравнения были отрицательными, выберем коэффициенты ацaаі2,22i такими,чтобы выполнялись неравенства (Заметим, что из (1.2.4)-(1.2.6) следует, если ац О, то а12 021 0.) С помощью (1.1.3) найдем матрицы В0 И Ві Найдем определитель матрицы Т2(А) Д(Л) = А2 (А2 - (и + р,)А - (mp, - (р, + кр2)а + № т) Так как а 0, то свободный член квадратного трехчлена, входящего в А(Л), меньше нуля. Заметим, что второй коэффициент Р! + кр2 0, поэтому корни квадратного трехчлена имеют разные знаки, причем положительный корень является наибольшим по модулю. Обозначим его через р. Определитель Д(Л) имеет четыре корня: \1 = \2 = 0- А3 = р; Л4 = pi + кр2 - р. Обозначим подынтегральную функцию (1.1.13) через здесь (0) = (т7(0), \ф{0)\)т, (t = 1,2). С помощью теоремы о вычетах оценим интеграл = (res dij \f + res dij \f + res dij \f) \ф)\. j=i VA=0 A(A) =P Д(Л) А=л4 А(Л) J Каждый вычет оценим отдельно: а М — постоянная (для любого р существует М 0 : t Me?1). %(А)ел (р)е Л?Р"Д(A)-"Д?Й -

Для получения оценок вида (1.1.5) необходимо знать явный вид коэффициентов матрицы C(t) = С (матрица является постоянной, так как кратность р равна 1). По построению матрицы элементы этой матрицы равны Тогда для решения системы (1.2.3) получим оценки и тем самым установим, что решение исходной задачи стабилизируется к состоянию равновесия. Пусть и числа Г1,Г2 такие, что Ha основании формул (1.2.4М1.2.11) следует, что а + р совпадает с левой частью (1.2.12). Таким образом, нами доказана Тогда состояние равновесия системы (1.2.3) . является асимптотически устойчивым. Полученный результат позволяет уточнить оценку области притяжения состояния равновесия (см., например, [20, с.68]) для системы (1.2.1), полученную в статье [16]. Следствие 1.2.1. Любой начальный вектор условиям принадлежит области притяжения состояния равновесия системы (1.2.1), если i?i,i?2 такие положительные числа, что В [9] И.М.Вульпе ввел понятие полуприводимости для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью которого он доказал устойчивость решений изучаемого класса дифференциальных уравнений. В работе автора [3] это понятие распространяется на системы линейных разностных уравнений и на матричные разностные уравнения. Для указанных классов разностных уравнений получены теоремы об устойчивости. Кроме того, для матричных разностных уравнений найдено решение в явном виде. Пусть С р—мерное Евклидово комплекснозначное пространство с нормой II (1 р оо), а Z+ — множество натуральных чисел, объединенных с 0. Обозначим через С пространство, состоящее из всех последовательностей {ж(п)} (п 6 Z+) векторов из С . Рассмотрим линейную систему разностных уравнений с начальным условием (п = 0,1,2,...), где А(п) — последовательность комплекснозначных невырожденных матриц порядка р х р, а х(п) G С . Под решением системы (2.1.1) будем понимать любую последовательность векторов ж(п), обращающую данную систему в тождество и удовлетворяющую начальному условию . В работе [17, с.25] показано, что решение задачи (2.1.1)-(2.1.2) существует и оно единственно. В дальнейшем нам потребуются понятия устойчивости и асимптотической устойчивости решений систем разностных уравнений, определение которых можно найти, например, в [21]. Тривиальное решение системы (2.1.1) называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого є О существует такое число S = 6(e) О, что для всех решений х(п) системы (2.1.1), если а;(0) 6, то ж(п) є для всех п Є Z+.

Тривиальное решение системы (2.1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует А О такое,что для всех решений х(п) (2.1.1), удовлетворяющих 2;(0) А, в данной работе будем всюду предполагать, что матрицы А(п) перестановочны, то есть имеет место равенство Лемма 2.1.1. Пусть выполнены следующие условия: (і) существует матрица А такая, что (ii) тривиальное решение системы разностных уравнений асимптотически устойчиво. Тогда тривиальное решение системы (2.1.1) также асимптотически устойчиво. в силу условия (2.1.3), на основании результатов, указанных в [20, с.62], имеет место равенство

Условия асимптотической устойчивости решений полуприводимых систем разностных уравнений

В [9] И.М.Вульпе ввел понятие полуприводимости для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, с помощью которого он доказал устойчивость решений изучаемого класса дифференциальных уравнений. В работе автора [3] это понятие распространяется на системы линейных разностных уравнений и на матричные разностные уравнения. Для указанных классов разностных уравнений получены теоремы об устойчивости. Кроме того, для матричных разностных уравнений найдено решение в явном виде. Пусть С р—мерное Евклидово комплекснозначное пространство с нормой II (1 р оо), а Z+ — множество натуральных чисел, объединенных с 0. Обозначим через С пространство, состоящее из всех последовательностей {ж(п)} (п 6 Z+) векторов из С . Рассмотрим линейную систему разностных уравнений с начальным условием (п = 0,1,2,...), где А(п) — последовательность комплекснозначных невырожденных матриц порядка р х р, а х(п) G С . Под решением системы (2.1.1) будем понимать любую последовательность векторов ж(п), обращающую данную систему в тождество и удовлетворяющую начальному условию . В работе [17, с.25] показано, что решение задачи (2.1.1)-(2.1.2) существует и оно единственно. В дальнейшем нам потребуются понятия устойчивости и асимптотической устойчивости решений систем разностных уравнений, определение которых можно найти, например, в [21]. Тривиальное решение системы (2.1.1) называется устойчивым, если для любого сколь угодно малого є О существует такое число S = 6(e) О, что для всех решений х(п) системы (2.1.1), если а;(0) 6, то ж(п) є для всех п Є Z+. Тривиальное решение системы (2.1.1) называется асимптотически устойчивым, если оно устойчиво и существует А О такое,что для всех решений х(п) (2.1.1), удовлетворяющих 2;(0) А, в данной работе будем всюду предполагать, что матрицы А(п) перестановочны, то есть имеет место равенство Лемма 2.1.1. Пусть выполнены следующие условия: (і) существует матрица А такая, что (ii) тривиальное решение системы разностных уравнений асимптотически устойчиво. Тогда тривиальное решение системы (2.1.1) также асимптотически устойчиво. в силу условия (2.1.3), на основании результатов, указанных в [20, с.62], имеет место равенство п-1 П A(i) = ехр »—П г =0 п-1 - г=0 J zz ехр п-1 Ї Л(І) Lf=o (2.1.5) Поэтому решение х(п) системы (2.1.1) можно записать в виде х(п) = ехр п-1 Е1пА(г) U=0 ж(0). Из условия (і) теоремы следует представление Далее нам потребуется перестановочность матриц ЫА(п) и In Л. Согласно свойству (2.1.3) для любых в последнем равенстве, переходя к пределу при к - оо, получим равенство которое используем , чтобы доказать перестановочность матриц In А и R(n). = ехр (піпА + nR(n)) х{0) = ехр (п1пЛ)ехр(пЛ(п)) ж(0).

Из асимптотической устойчивости системы (2.1.4) (см. [53, с.38]) следует, что все собственные значения матрицы А лежат в открытом круге радиуса 1, то есть тахА,-( ) = а 1. j Возьмем є 0 так, чтобы In а + 2 0. Для данного є найдется N(e) О такое, что для любого п N(e) В [20, с.57] получена формула где а = maxReXj(A), 0 t оо, с = с(є) — положительная констан-та. Там же (см. [20, с.61]) показано, что если Xj(A) есть собственные значения неособенной матрицы Л, то In АДА) являются собственными значениями матрицы In А. Отсюда получаем оценку (2.1.11) где С = С{е) —положительная константа. Из последней оценки вытекает, что Лемма доказана. Приведем пример матрицы, удовлетворяющей условию (г) леммы 2.1.1. . С этой целью рассмотрим систему двух разностных уравнений с двумя неизвестными где expp(n)chg(n) expp(n)shg(n) N Так как собственные значения матрицы In Л являются отрицательными, то собственные значения матрицы А (см., например, [20, с.56]) меньше 1 по модулю. Поэтому тривиальное решение системы разностных уравнений (см., например, [21]) является асимптотически устойчивым. Таким образом, матрица А является примером матрицы, удовлетворяющей условию (і) леммы 2.1.1. . Теорема 2.1.1. Пусть выполнены условия: (і) существует матрица In А такая, что в открытом круге радиуса 7, где 7 — корень уравнения 7 + In 7 = 0; (Ні) для всех достаточно больших п выполняется неравенство " j /v л Тогда тривиальное решение системы (2.1.1) асимптотически устойчиво. т-1 Е п=0 Е ЬА(П) „т-1 1пЛ = 1пЛЕ1пЛ(п). п=0 (2.1.14) Из определения матрицы In Л следует представление к—1 1 s—1 т Е - Е h А(0 - In і + R{k), где Д(А:) -+ 0 при к - оо. (2.1.15) к s=i s i=o Умножая обе части (2.1.15) на fc, получаем

Оценки решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве, содержащем конус

В данном параграфе излагаются результаты автора, опубликованные в работе [58]. Они касаются получения оценок решений систем линейных и нелинейных разностных уравнений в банаховом пространстве, содержащем конус положительных функций. Обозначим через Ер линейное многообразие функций х(п), определенных на Z+ со значениями в р—мерном Евклидовом пространстве W, где р — любое конечное целое число, большее или равное 1. Пусть а О — произвольное положительное число. В линейном многообразии Ер выделим подмножество функций Е%. Будем говорить, что х G Е, если существует число Dx О такое, что Введем в Е норму следующим образом: Из работы [7, с.510] известно, что Е« становится банаховым пространством с указанной выше нормой. В дальнейшем нам понадобится определение конуса (см., например, [33, с.13]). Множество К С Е% называется конусом, если выполнены следующие условия: 1) множество К замкнуто; 2) для любых х,у Є К линейная комбинация их + vy Є К для всех u,v 0; 3) для любой пары точек х, —х (я G Ер), по крайней мере, одна из них принадлежит К, если х ф 0. Примером конуса К в Ер может быть множество неотрицательных функций.

Пусть далее К - конус положительных функций в банаховом пространстве Ер. Назовем конусной функцией в Ер функцию Л/\ определенную на некотором подпространстве L С Ер, переводящую L в К и удовлетворяющую условиям: l)A/ (n)) 0,VzеL,z(n) 0; 2)М(\х(п)) = \Х\М(х(п)) ,VJC 6 L,VA Е 71; 3)Л/"(ж(п) + т/(п)) Af(ж(п)) + Я (у(п)) ,\fx,у Є L. Вначале приведем ряд некоторых понятий, которые нам потребуются в дальнейшем. Пусть А(п) = [oy(n)] х — матрица размерности р х р, элементы которой отображают Z+ в П1. Будем говорить, что матрица А(п) принадлежит классу E+(L), если для любого элемента h из L элемент A(n)h принадлежит L, то есть А(п) оставляет инвариантным множество L, на котором определена конусная функция. Рассмотрим систему разностных уравнений где А(п) - последовательность невырожденных матриц порядка рх р из E+(L), а х(п) Є L. Пусть х( ) - функция, определенная на Z+ с областью значений в 711. Для таких функций, удовлетворяющих определенному порядку роста по п, вводится дискретное преобразование Лапласа [29, с.582] где q - комплексное число, Req а 0 и ряд (2.2.2) сходится. Пусть вектор-функция ф(п) определена на Z+ с областью значений в К С Е%. Тогда для каждой компоненты существует дискретное преобразование Лапласа. при этом значения x(s) при s Є 0,М - 1 принадлежат конусу К; x{{s) (і Є Т7Р) — компоненты ф); вектор-функции V(n - 1) определены при п Є ЇЖs Є 0,М-1 с областью значений в К С Е%; фг{п - 1) — компоненты (п - а - 1) со значениями в Я . = [0; оо). Доказательство. Рассмотрим последовательность вектор-функций {Хк{п)} из конуса К (к = 1,2,...) : Последовательно используя формулу суммирования обобщенной разности [12, с.250] n m) = п(п - 1)... (п - (га - 1)), (2.2.3) получим оценки ІІ-ВДЦ Н(п - 1)\\\\х{з)\\ Vn\\x\\, (V = V(M)), s=0 Покажем, Согласно определению спектрального радиуса оператора (см., напри-мер, [44, c.44yjj получаем в силу определения обобщенной разности (2.2.3) Лемма доказана. В дальнейшем нам понадобится результат Ю.Л.Далецкого и М.Г.Крейна [19, с.86, теорема 9.3], который мы приводим ниже:

Пусть линейный оператор U G E+(L) имеет спектральный радиус U меньше 1. Если вектор х Є L подчиняется неравенству то он подчиняется и оценке х у, где у — решение уравнения Теорема 2.2.1. Пусть выполнены следующие условия: (г) для любых А(п) G E+(L) uhe L существует постоянная М 0 такая, что (п) для любых А{п) GE+(L) uheL верно неравенство где х{п) — любое решение системы (2.2.1), a 2%(п)) — дискретное преобразование Лапласа функции ц {п), для которой интеграл в правой части (2.2.5) существует. Доказательтво.. Пусть m Є Z т m О, а х(п) — решение системы (2.2.1). Преобразуем систему (2.2.1) Известно (см., например, [38, с.36]), что решение системы (2.2.6) задается формулой На основании условий теоремы и свойств конусной функции имеем систему неравенств Введем обозначение Af{x(n)) = {М (х(п)) ,Л/"2 (х(п)),... ,J\fp (х(п))}. Используя его, запишем систему неравенств (2.2.7) покоординатно ( М) Р(пЩ Ш) + М Е \ - Мп - 1Щ (x(s)). s=0 Полагая т = п-11 преобраауем каждое неравенство системы к

Похожие диссертации на Исследование оценок и асимптотической устойчивости решений некоторых классов систем дифференциальных и разностных уравнений

Устойчивость и периодические решения некоторых классов систем дифференциальных уравнений в критических случаях Григорьев Марк Петрович

Исследование и численное решение некоторых классов вырожденных систем уравнений в частных производныхГайдомак Светлана Валерьевна

Критические области параметров и специальные классы решений эллиптических уравнений и системБобков Владимир Евгеньевич

Интегральные представления решений для одного класса переопределенной системы дифференциальных уравнений с сингулярными и сверхсингулярными коэффициентами Мирзоев Неъматулло Хакимович

Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа Мугафаров Марат Фавильевич

Задача Геллерстедта для одного класса систем уравнений смешанного типа Идрисов Ринат Галимович

Выделение классов систем дифференциальных уравнений второго и третьего порядков, допускающих лишь алгебраические подвижные особенностиШалик, Элла Владимировна

Интегральные тороидальные множества одного класса систем дифференциальных уравненийАсроров, Фарход Анварович

Краевые задачи для одного класса систем гиперболических и смешанных уравненийОвезова, Марал Мухаммедовна

Некоторые классы двумерных интегральных операторов с несколькими фиксированными особенностями и их приложения к эллиптическим системам дифференциальных уравненийОдинабеков Джасур Музофирович