Введение к работе
Интегральные уравнения используются в качестве основы математических моделей широкого круга прикладных задач (электродинамики, теории упругости, гидро- и аэродинамики), методом интегральных уравнений могут быть исследованы такзе многие фундаментальные задачи математической физики.
В диссертации исследуются линейные сингулярные интегральные уравнения (СИУ) на кусочно-гладких линиях
(1) Л(іМі)+/^Ж(г,іМг = /(і), t
ядра которых имеют особенности сильного и слабого (логарифмического, степенного и более сложного) типов в различных сочетаниях. Исследования прозодятся в трех направлениях: теория разрешимости, методы построения решений, приложения. Основное внимание уделяется разработке алгоритмов численного решения СИУ- В качестве области применения теории и методов решения СИУ выбраны граничные задачи плоской теории упругости.
Актуальность темы. Общая теория одномерных сингулярных интегральных уравнений на кусочно-гладких линиях в гельдеровских классах и в классах функций, интегрируемых по Лебегу с весом, изложена в известных монографиях Ф.Д.Гахова, Н.И.Мусхелишвнли, Й.Ц.Гохберга и Н.Я.Крупника, а также Б.В.Хведелидзе и З.Пресдорфа.
Классическая теория СИУ с ядром Коши основана прегвдэ всего на свойствах характеристического уравнения с ядром Коши. Если регулярная часть сингулярного оператора является вполне непрерывным оператором в рассматриваемых пространствах функций, то уравнение подчиняется теории Нетера, что дает возможность сделать выводы об условиях и характере его разрешимости.
Актуальной проблемой является исследование уравнений вида (і) в гех случаях, когда регулярная часть интегрального оператора не будет вполне непрерывным оператором.
Первые систематические исследования интегральных уравнений 1-го :юда со слабой особенностью в ядре методами, близкими к используемым
в теории СИУ с ядром Коши, проводились начиная примерно с 1960 г. в работах Ф.Д.Гахова, К.Д.Сакалюка, Ф.В.Чумакова и С.Г.Самко. Интерес к теоретическому исследованию интегральных уравнений с логарифмическими и степенными ядрами и к разработке методов их решения был обусловлен в значительной степени их приложениями.
С.Г.Самко предложил метод интегральных тождеств, позволяющий представить интегральный оператор 1-го рода с логарифмическим или степенным ядром в виде композиции двух интегральных операторов, один из которых - характеристический оператор с ядром Коши. В работах А.А.Килбаса, Б.С.Рубина, С.Г.Самко исследованы на нетеровость различные классы сингулярных интегральных уравнений 1-го рода с логарифмическими, стеленными и степенно-логарифмическими ядрами. Также были выделены случаи, когда решения СИУ со слабой особанностью в ядре могут быть записаны в замкнутой форме.
Следующим этапом в изучении интегральных уравнений 1-го рода явились исследования систем таких уравнений и многомерных интегральных уравнений со слабой особенностью в ядре, при этом использованы некоторые результаты теории одномерных уравнений. Этим занимались С.Г.Самко, Б.С.Рубин, А.А.Килбас, И.Л.Васильев, И.Н.Забелло, В.А.Ногин, А.В.Скориков, С.И.Василец и другие авторы.
В работах Л.Й.Чибриковой и автора диссертации были рассмотрены СИУ 1-го рода на кусочно-гладких линиях, ядра которых представимы в виде интегралов типа Коши с переменным пределом (логарифмические ядра) или в виде показательных функций от таких интегралов (обобщенные степенные ядра). Эти уравнения также оказались эквивалентными характеристическому СИУ.
Хотя общая теория одномерных сингулярных интегральных уравнений в целом считается завершенной, остается много нерешенных проблем, связанным прежде всего с исследованием конкретных уравнений. Далеко не полон еще перечень известных классов СИУ, разрешаемых в замкнутой форме.
Интегральные уравнения как частный случай функциональных уравнений, представляющих собой необходимое условие экстремума в задачах минимизации функционалов, рассматривал В.Вольтерра. При постановке задач оптимизации исследуемых процессов во многих случаях ин-
тегральные операторы более удобны, чем дифференциальные. Поэтому актуальным является исследование вариационных задач, в которых вместо дифференциальных операторов, примененных к искомым функциям, использованы интегральные операторы. Особый интерес представляет обр&тная задача: найти функционал, для которого необходимым условием экстремума является данное интегральное уравнение. Основой для исследований в данном направлении может служить цикл работ Л. фон Вольферсдорфа, М.Гебеля, Х.Бенкера, Ф.Трельчаи др., посвященных задачам оптимального управления операторными и, как частный случай, интегральными уравнениями.
В связи с приложениями большое значение имеют разработка и теоретическое обоснование численных методов решения сингулярных интегральных уравнений. Даже в тех немногих случаях, когда СИУ, в том числе со сложной особенностью в ядре, может быть решено в замкнутой форме, вычисление значений его решения остается серьезной проблемой в связи с трудностями, возникающими при вычислении сингулярных интегралов. Численным методам решения СИУ посвящены монографии Б.Г.Габдулхаева, В.В.Иванова, З.Пресдррфа, С.М.Белоиерковского л И.К.Лифанова, С.Г.Михлина, Г.М.Вайникко и многочисленные статьи. Несмотря на значительный прогресс, в этой области остается еще много нерешенных вопросов. СИУ со сложной особенностью в ядре в этом смысле мало исследованы.
В абстрактной теории приближенных методов можно выделить два основных направлення. В общей теории приближенных методов Л.В.Канторовича и ее модификации, предложенной Б.Г.Габдулхаевым, основное внимание уделяется условиями, при которых разрешимость аппроксимирующего уравнения следует из разрешимости точного уравнения. Другое направление основано на понятии устойчивости последовательности операторов, аппроксимирующих заданный оператор. В рамках абстрактной приближенной схемы В.А.Треногина теория разностных схем, приближенные методы типа Галеркина и некоторые другие задачи рассматриваются с единой точки зрения. Представляется актуальным объединить оба направления в единую теорию.
Первые попытки применения метода интегральных уравнений при
исследовании задач теории упругости были предприняты сразу после появлення теории Фредгольма. Общие принципы метода интегральных уравнений в теории упругости изложены в монографиях Н.И.Мус-хелшпвили, В.Д.Купрадзе, В.З.Партона и П.И.Перлина, В.А.Бабешко, И.И.Воровича, В.М.Александрова и других математиков и механиков. В плоской теории улругости выделим два важных направления, где наиболее эффективно используется метод сингулярных интегральных уравнений: контактные задачи теории упругости и задачи для тел с дефектами (трещинами). Систематические исследования в первом направлении проводились в работах И.Я.Штаермана, Д.И.Шермана, Л.А.Галина, Г.Я.Попова и других авторов (полная библиография дана в коллективной монографии "Разьитие теории контактных задач в СССР"). Одна из актуальных проблем - выбор ядра линейно-деформируемого основания (ЛДО) в соответствии с принятыми гипотезами о свойствах контактиру-емых тел.
Граничные задачи для тел с дефектами вдоль гладких дуг рассматривались в монографиях Н.И.Мусхзлишвили, Г.Я.Поповы, В.В.Панасюка, М.П.Саврука и их коллег. В основе теории - интегральные представления комплексных потенциалов, через которые по формулам Колосова-Мусхелишвили выражаются компоненты тензоров напряжения и деформации. В настоящее время получены решения многих задач для упругих тел различной формы с трещинами, включениями и другими дефектами. Для практического использования теории важно иметь простые и устойчивые расчетные алгоритмы, а также соответствующие программные средства.
Цель работы. Основное внимание сосредоточено на следующих направлениях исследований:
изучить сингулярные интегральные операторы 1-го рода, которые не являются вполне непрерывными в выбранных пространствах функций;
рассмотреть СИУ, ядра которых имеют одновременно сильную и слабую особенности различных типов;
исследовать экстремальные задачи, в которых необходимые условия экстремума могут быть записаны в форме интегральных уравнений;
разработать и исследовать алгоритмы численного решения СИУ со сложной особенностью в ядре;
рассмотреть особенности применения метода интегральных уравнений при решении контактных задач теории упругости играничных задач для упругих тел с трещинами.
Методика исследования. При исследовании СИУ со сложной особенностью в ядре используется в основном метод интегральных тождеств. Доказательство интегральных тождеств и вычисление сингулярных интегралов проводится методами теории функций комплексного переменного. Методы теории обыкяовенных дифференциальных уравнений применяются при исследовании интегральных уравнений Вольтерра с вырожденными ядрами и СИУ, порожденным дифференциальными равенствами. Необходимые условия экстремума в задачах интегрального вариационного исчисления выводятся классическим методом Лагранжа решения вариационных задач. Алгоритмы численного решения СИУ основаны на глобальном выделении особенностей из сингулярных интегралов и сравнении поведения левой и правой частей уравнения в окрестности концов линии интегрирования. При разработке абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений использована общая теория линейных операторов функционального анализа. Исследование контактных задач плоской теории упругости проводится в рамках концепции линейно-деформируемого основания. Интегральные уравнения в задачах для тел с трещинами получены с помощью метода задачи сопряжения Н.И.Мусхелишвили. Программная реализация алгоритмов численного решения СИУ основана на идеологии и средствах объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна. В диссертации получены новые научные результаты:
Ї. Установлена эквивалентность между классами решений СИУ с логарифмическими, степенными и более сложными ядрами и классами решений характеристического уравнения с ядром Коши. Построены в замкнутой форме решения СИУ с логарифмическими и степенными особенностями в ядре.
2. Получены интегральные тождества, устанавливающие связи между інтегральньтми операторами с обобщенными степенными ядрами, сингу-тярным оператором с ядром Коши и оператором интегрирования. Пока-
зана эквивалентность метода интегральных тождеств и метода аналитического продолжения.
3. Рассмотрены дифференциальные равенства, порождающие пары
обращающих друг друга интегральных уравнений. Исследованы инте
гральные уравнения Вольтерра с вырожденным ядром.
-
Изучены сингулярные интегральные уравнения, ядра которых имеют одновременно полярную и логарифмические или степенные особенности, содержащиеся в интегралах типа Коши с переменными пределами. Исследована возможность аппроксимации произвольных ядер СИУ ква-знвырожденными логарифмическими или степенными ядрами.
-
Поставлены и исследованы основные задачи интегрального вариационного исчисления (простейшая задача, задача Больца и изопериме-трическая задача). Найдены условия, при которых необходимое условие экстремума в общей экстремальной задаче может быть записано в форме интегрального уравнения.
6. Предложены и исследованы эффективные алгоритмы численно
го решения различных классов сингулярных интегральных уравнений на
разомкнутых дугах.
7. Разработан вариант абстрактной теории приближенных методов ре
шения линейных операторных уравнений для теоретического обоснования
алгоритмов численного решения интегральных уравнений.
8. Предложена новая форма записи ядра основания в контактных
задачах плоской теории упругости в виде квазивырожденного логариф
мического или степенного ядра.
9. Получены СИУ с логарифмической особенностью в ядре, к которым
приводятся основные граничные задачи плоской теории упругости для
плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги.
10. Разработана объектно-ориентированная технология программной
реализации алгоритмов вычислительного типа. Подготовлен комплекс
библиотечных модулей для численного решения СИУ со сложной особен
ностью в ядре.
Теоретическая и практическая значимость. В диссертации развита теория СИУ со сложной особенностью в ядре, построены и исследованы новые классы уравнений, решения которых или могут быть записаны в замкнутой форме, или могут быть получены при последователь-
ном обращении двух других интегральных уравнений, одно из которых -характеристическое уравнение с ядром Коши. Разработана теория экстремальных задач (интегральное вариационное исчисление), в которых необходимое условие экстремума может быть записано в форме интегрального уравнения. Предложены эффективные алгоритмы численного решения СИУ, основанные на глобальном выделении особенностей из сингулярного интеграла, и технология программной реализации алгоритмов. Построен вариант абстрактной теории приближенных методов решения линейных операторных уравнений. Исследована новая модель ядра основания в контактных задачах плоской теории упругости, позволяющая учитывать касательные перемещения граничных точек взаимодействующих тел, ползучесть и трение. Основные граничные задачи теории упругости для плоскости, полуплоскости и круга с дефектом вдоль гладкой дуги сведены к СЙУ с логарифмической особенностью в ядре. Разработаны программные средства для численного решения СИУ на разомкнутых контурах, основанные на идеологии объектио-ориентированного и абстрактного программирования.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Школе-семинаре по уравнениям неклассического типа (г. Новосибирск,
-
г.), на научных конференциях Куйбышевского политехнического института (г. Куйбышев, 1979,1981 и 1982 гг.), на III республиканском симпозиум по дифференциальным и интегральным уравнениям (г. Одесса,
-
г.), на Школе-семинаре "Проблемы гидродинамики больших скоростей и краевых задач" (г. Геленджик, 1982 г.), на Куйбышевском межвузовском научном совещании-семинаре "Дифференциальные уравнения (математическая физика)" (г. Куйбышев. 1984 г.), на Школе-семинаре по применению методов функционального анализа в уравнениях математической физики (г. Улан-Удэ, 1985 г.), на всесоюзной научной конференции "Классические и некласснческие краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными, специальные функции, интегральные уравнения и их приложения" (г. Куйбышев, 1987 г.), на. Республиканской конференции "Дифференциальные и интегральные сравнения и их приложения" (г. Одесса, 1987 г.), на Расширенных заеданиях семинара Института прикладной математики имени И.Н.Векуа г. Тбилиси, 1988 г.), на Северо-Кавказской школе-конференции "Функ-
циозіальнне пространства, сингулярные операторы и их приложения" (г. Теберда, 1988 г.), на Пятой Международной конференции по комплескно-му анализу (г. Галле, ГДР, 1988 л-.), на Северо-Кавказской региональной конференции "Линейные операторы в функциональных пространствах" (г. Грозный, 1989 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения" (г. Гуанчжоу, КНР, 1989 г.), на II Межрегиональном семинар по объектно-ориентированному программированию (г. Минск, 1992 г.), на Международной научной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения. Математическая физика и специальные функции" (г. Самара, 1992 г.), на VI Международном симпозиуме "Методы дискретных особенностей в задачам математической физики" (г. Харьков, Украина, 1993 г.), на Международное конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-леткю со дня рожд. Е.Г.Чеботарева (г. Казань, 1994 г.), на Международной конференции "Современные проблемы прикладной и вычислительной математики" (г. Новосибирск, 1995 г.), на Международной конференции "Краевые задачи специальные функции и дробное исчисление" (г. Минск, Беларусь, 199( г.), на Международной конференции, посвященной 175-летию со дня ро ждения П. Л.Чебышева (г. Москва, 1996 г.), а также на научных семина pax Московского государственного университета "Вычислительная элек тродинамика" (рук. проф. Свешников А.Г. и проф. Ильинский А.С.) і "Методы решения экстремальных задач" (рук. проф. Васильев Ф.П.), ні научных семинарах секции математики Университета Мартина Лютер; (г. Галле, ГДР, рук. проф. В.Тучке), секции математики Фраябергскоі Горной Академии (г.Фрайберг, ГДР, рук. проф. Л. фон Вольферсдорф] математического факультета Университета имени Сун Ятсена (г. Гуан чжоу, КНР, рук. проф. Лин Вэй), математического факультета Пекин схого Нормального Университета (г. Пекин, КНР, рук. проф. Чжа Чжень) и неоднократно на научных семинарах и на Итоговых научны конференциях Казанского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 2 работах, их список приведен в конце автореферата. В диссертацию вклк чены некоторые из результатов работ [1, 2, 7, 21, 22], которые получен; совместно с Л.И.Чибриковой, Р.Р.Тагировым и П.А.Чумараевым и пр> надлежат в равных долях их авторам. В тексте диссертации имеютс
ссылки еще на 8 работ автора (из них три совместных), посвященных в основном приложениям теории СИУ, не рассматриваемым в диссертации.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и шести глав, общий объем - 230 страниц (I^TgX, 12pt, а4). В списке литературы указано 200 наименований.
