Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Приложения метода оптимальных коэффициентов к приближённому разложению функций от нескольких переменных в ряды по ортогональным многочленам 11
1. Краткие сведения о методе оптимальных коэффициентов и об ортогональных многочленах 11
2. Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по ультрасферическим многочленам 16
3. Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по многочленам Зрмита 21
Глава II. Численное решение некоторых краевых и смешанных задач для уравнений второго порядка 25
1. Численное решение третьей краевой задачи для эллиптического уравнения второго порядка 27
2. Численное решение задачи Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка
3. Численное решение первой смешанной задачи для гиперболического и параболического уравнений второго порядка 36
4. Некоторые модификации метода и результаты численных экспериментов 43
Глава III. Численное решение задачи Коши для уравнения Пуассона 32
1. Численное решение задачи Коши для уравнения Пуассона с данными на отрезке 53
2. Численное решение задачи Коши для уравнения Пуассона с данными на прямой 58
3. Результаты численных экспериментов 63
Литература 67
- Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по ультрасферическим многочленам
- Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по многочленам Зрмита
- Численное решение первой смешанной задачи для гиперболического и параболического уравнений второго порядка
- Численное решение задачи Коши для уравнения Пуассона с данными на прямой
Введение к работе
В.С.Рябенький [29] и С.А.Смоляк [32] показали, что оптимальные коэффициенты могут быть применены при аппроксимации функций класса E . В работе [29J предложено приближенно вычислять коэффициенты Фурье функции методом оптимальных коэффициентов и определять аппроксимирующий тригонометрический многочлен равенством где С-ц-,.- - полученные указанным способом приближённые коэффициенты Фурье. При этом требуется знание значений j- лишь в узлах оптимальной параллелепипедальной сетки.
Распространяя естественным образом определение класса Н_5 на ограниченные замкнутые области в R , В.М. Солодов, используя оптимальные коэффициенты, построил для функций класса п5 , производные которых известны, кубатурные формулы на некоторых областях, отличных от G . Интегральное уравнение Фредгольма второго рода с ядром, задающим сжимающий интегральный оператор, можно, как известно, решать методом итераций. В [іб] Н.М.Коробов предложил считать возникающие при этом интегралы на кубах Qs /с растущим S / с помощью оптимальных коэффициентов. В [14] для случая, когда интегральный оператор не является сжимающим, построен коллокационный метод со слоями ядра в качестве базисных функций и с точками оптимальной параллелепипедальной сетки в качестве узлов коллокации.
Правая часть заменяется аппроксимирующим тригонометрическим многочленом В.С. Рябенького, после чего легко вычислить приближённые коэффициенты Фурье решения /кроме коэффициента с нулевыми индексами, который остаётся свободным/.
В работе В.С.Рябенького [ЗОД оптимальные коэффициенты применяются при решении задачи Коши для эволюционного уравнения, решение которого периодично по всем пространственным переменным. Эта задача приближённо сводится к задаче Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений.
Я.М.Жилейкин в [8], [ю] использовал явное интегральное представление решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа, считая возникающие при этом интегралы с помощью оптимальных параллелепипедальных сеток. Также к счёту интегралов свёл В.Т.Стоянцев [35J задачу Коши для параболического уравнения с пространственно-периодическим решением, заменяя её эквивалентным интегральным уравнением.
Характерной чертой перечисленных выше методов решения задач вычислительной математики, использующих оптимальные коэффициенты, является то, что оценки их погрешности практически не зависят от размерности /на классах Н5 /и улучшаются с возрастанием гладкости входных функций.
Настоящая диссертация посвящена приложениям метода оптимальных коэффициентов к численному решению краевых, начально-краевых и некорректных начальных задач для уравнений в частных производных. Никакой периодичности решения, коэффициентов уравнений или правых частей не предполагается.
Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по ультрасферическим многочленам
В настоящей главе мы покажем, как теоретико-числовой метод приближённого разложения функций от нескольких переменных в ряды Фурье по ортогональным многочленам может быть применён при численном решении краевых задач для эллиптического уравнения и смешанной задачи для гиперболического и параболического уравнений второго порядка.
Все задачи мы будем исследовать по единой схеме, которую сейчас изложим. где решение 11 принадлежит линейному нормированному пространству % , принадлежит гильбертову пространству J- , a L : !-"? 3- - линейный дифференциальный оператор. Решение LL и правая часть являются, вообще говоря, векторами. Заменим задачу (і) приближённой задачей где L получается из оператора L равномерной аппрокси-мацией всех его переменных коэффициентов, a f получается из правой части аппроксимацией всех её компонент. Предположим, что выполнено следующее
Условие непрерывной зависимости. Существует с О , такое, что если оператор L покоэффициентно достаточно близок к L , то для любого W 6 1Ь Будем отныне считать, что L и [_ достаточно близки. Выберем конечномерное подпространство % в 1L и определим функционал Для нахождения функции 4У Є %L , минимизирующей с , решаем систему линейных уравнений, определитель которой отличен от нуля вследствие единственности решения однород-ной задачи \_ ы — 0 . Пусть її в % - произвольная функция /в каждом конкретном случае И будет начальным куском ряда для U/ , как-то связанного с ортогональными многочленами/. Оценим норму разности U АУ . Имеем: Как правило, мы будем заниматься решением задач для дифференциальных уравнений, заданных на S-мерном кубе 2 ) L » и считать при этом, что решение, коэффициенты оператора и компоненты правой части лежат в классах Ц , или близких к ним. Аппроксимация компонент правой части и переменных коэффициентов оператора будет производиться, как в 1.2, приближённым разложением в ряд по многочленам Лежандра. В 4 мы покажем, что, видоизменяя предлагаемый метод, можно его приспособить для решения задач на областях, отличных от куба. Там же приводится вариант метода, предназначенный для нахождения аналитических решений, вместе с результатами проведённых численных экспериментов. Функциональные пространства % и J7 выбираются способом, естественным для каждой задачи /по этому поводу см., например, [24]/, т.е. так, чтобы имела место непрерывная зависимость решения от входных функций. где "эТЕ - производная по внешней нормали; ее неопределённость на пересечениях граней куба О. не имеет значения, мы считаем У обобщённой функцией. Предположим априори, что ОС 6 Н s &ii i-L }с Є Hs » сужения 6 на все грани 2. лежат в Н $_./ , где oi 3 . Тогда У 6 Н$ и сужения У на грани 2. принадлежат Н s_1 Аппроксимируем функции &и $ і С , сужения о и у на грани Sc. конечными рядами по многочленам Лежандра, используя s -мерную и tS 1) -мерную оптимальные параллелепипедальные сетки на р узлах, как это предлагается в лемме 2; положим где волна над У и и имеет тот же смысл, что и в лемме I, и т.п. для других аппроксимируемых функций. Параметр d вскоре будет нами связан с р .
Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по многочленам Зрмита
Отсюда следует утверждение теоремы. Н Замечание. На вычисление коэффициентов приближённого решения АУ уходит операций, на вычисление значения У в одной точке - Сг(Луір) операций, необходимая память ЭВМ - & (Лм а s р) . В ВЦ МГПЙ им. В.И.Ленина была проведена серия численных экспериментов по решению задачи Ноймана для уравнения Гельмгольца На Фортране-ІУ, с двойной точностью /на ЕС-І022/, был реализован вариант метода, предназначенный для нахождения аналитических решений. Функция Jf аппроксимировалась рядом где У и ,v, - коэффициент уіурье - Лежандра, приближённо вычисленный с помощью оптимальной параллелепипедальной сетки на р узлах и 4-периодизации; аналогично для четырёх компонент Y . Приближение к решению искалось в виде ряда минимизировался квадрат нормы невязки
В качестве решений были взяты две целых плавно меняющихся функции, функция с особенностями и целая, но осциллирующая функция. В таблице указаны погрешности в нормах Величина погрешности хорошо согласуется со скоростью сходимости ряда Фурье - лежандра для решения, т.е. метод реагирует на гладкость решения. Разностные схемы /см. [б] / и метод конечных элементов /см. [28]/ таким качеством не обладают. Результаты численных экспериментов вполне соответствуют утверждениям, высказанным в [_33], гл. 19, [43], [44], о том, что методы разложения /в частности, использующие ортогональные многочлены/ при благоприятных обстоятельствах дают очень быструю сходимость.
Для сравнения были проведены эксперименты по нахождению решения bo- С&ЭОС CM U/ с использованием не оптимальных коэффициентов, а одного из методов квази Монте - Карло. Результат - ЧЧ0 ъ , V -40 b . Число узлов - / 5" 3 7- Отметим, что методы вычисления решений из классов Н s » предложенные в I - 3, легко сделать автоматически реаги-руюшими на гладкость: нужно лишь положить 0. — р 3 и применять бесконечную периодизацию.
Известно /см. [26]/, что в вариационных методах обусловленность решаемой линейной системы уравнений может быстро ухудшаться с ростом размерности подпространства, на которое проектируется задача. В этом случае мы рекомендуем проводить вариационную регуляризацию. При этом можно пользоваться ускорением по Ричардсону процесса регуляризации плохо обусловленных систем /см. [23], гл. 6/. Кстати, так же можно поступать и вместо минимизации сглаживающего функционала при решении задачи на области, отличной от куба, если параметр регуляризации слишком мал для данной ЭВМ.
Отметим, что задачи с постоянными коэффициентами могут привести к переопределённой разрежённой системе уравнений, которую удаётся решать итерационно, аналогично получаемьм в методе конечных разностей /см. [44]/. В таком случае экономится время и память. Задачи с переменньми коэффициентами также иногда удаётся свести к итерационно решаемой линейной системе, однако тогда приходится пересчитывать коэффициенты Фурье на каждом итерационном шаге /см. там же/. где А - оператор Лапласа. Метод основан на разложении правых частей У , У , в ряды по ортогональным многочленам /ультрасферическим - для задачи (I) , (2) , многочленам Эрмита - для задачи (I) , (3) / и на последующем нахождении аппроксимации для решения в виде такого ряда. Коэффициенты рядов для правых частей приближённо вычисляются теоретико-числовым методом оптимальных коэффициентов /см. гл. I/.
Мы требуем от решения 6 большой гладкости. Это нужно для того, чтобы путём комплексной замены переменных перейти от некорректной задачи Коши (I) к задаче Коши для волнового уравнения и использовать для оценки погрешности формулу Даламбера /см. [24]/. Так как алгоритм линеен по входным данным, то сначала даётся оценка погрешности при условии, что правые части известны точно, а затем обсувдается влияние ошибок их задания. В последнем параграфе главы приводятся результаты численных экспериментов.
Численное решение первой смешанной задачи для гиперболического и параболического уравнений второго порядка
Приведём примеры численного решения задач по описанным алгоритмам. Счёт проводился на БЭСМ-4 /на математическом факультете МГПИ им. В.И.Ленина/, программы были написаны на Алголе. Во всех примерах р равнялось 610, применялась 3-периодизация /для ультрасферических многочленов/. При изменении d от 12 до 18 время счёта менялось от полутора до двух минут.
Приближённые значения искомых функций выдавались, если не оговорено противное, в точках квадрата \--iyi J вычислялась погрешность в норме С , которую мы приводим в таблицах.
В примере 8 условия теоремы 8 грубо нарушены: хотя решение бесконечно дифференцируемо на R , но оно имеет особые точки при любых значениях \$nt эс\ .
Пример 9. Правые части выдавались генератором псевдослучайных чисел, распределённых нормально с дисперсией I. Приводим максимальное отклонение от нуля: 0.=-19.- И0 . Пример показывает, что алгоритм сглаживает случайные ошибки правых частей /за счёт их гашения весовьм множителем/. Это с точностью до постоянного множителя производная по и потенциала гравитационного поля тела, находящегося в точке (оу-2) . В узкой полосе над телом: погрешность не превосходит 1% при у -ЬЪ$, Ю% - при 7/-165 , 30% - при ty -"/. 8 .По мере приближения ос к ±1 погрешность растёт, но при у-у -"1 она не превосходит 1%, а при \ У/-1.Е - 10%.
Пример 14. (2=-72, , у= о , начальные данные получались, как в примере 9. Среднеквадратичное отклонение от нуля на квадрате Ц-о. 8,0. %1 составило I. При ос , и, близких к ±1 , имеются отдельные "выскоки", доходящие до нескольких десятков.
Сравнивая два предложенных алгоритма, можно сказать следующее. Алгоритм, использующий многочлены Эрмита, проще: он использует многочлены лишь одного семейства, не требует проведения периодизации, гасит ошибки правых частей; линейная система (14) проще, чем (6) . Алгоритм, использующий ультрасферические многочлены, сложнее, но зато он применим для более широкого класса задач и требует знания правых частей лишь на ограниченных множествах. Разностные схемы, применяемые при непосредственном решении задачи Коши для уравнения Лапласа, неустойчивы в обычном смысле [б]І в разностные схемы же, применяемые в методе квазиобращения, неустойчивость привносится малым параметром. Кроме того, разностные схемы не реагируют на гладкость решения. Совокупность этих обстоятельств приводит к тому, что с помощью разностных схем даже для решения идеальной гладкости не удаётся получить точность выше нескольких процентов.
Сравнение приводимых результатов численных экспериментов с результатами численных экспериментов в [21] гл. 4 , п. 7.1 - 7.4, показывает, что при благоприятных обстоятельствах использование ортогональных многочленов позволяет получить большую точность, чем разностные схемы.
Численное решение задачи Коши для уравнения Пуассона с данными на прямой
Мы будем приближённо вычислять интегралы по единичному кУбу функций класса Н методом оптимальных коэффициентов [I6J . Приведём необходимые сведения о нём.
Функция X , монотонно возрастающая на отрезке Го, Д , /+ 1 раз непрерывно дифференцируемая, называется oi -периодизирующей, если Т(с)- о , 77(-/)=--/ , TLi)(o) VU)(1) -0 при А I 4: d- А Например, в качестве X можно взять многочлен
Нетрудно также придумать функцию, являющуюся бесконечно периодизирующей, т.е. об-периодизирующей для любого о 2 . Пусть р пробегает возрастающую последовательность целых положительных чисел, для каждого р сЦ. , ds целые числа, взаимно простые с р , и 2fp - характеристическая функция идеала р Z. . Если существует такое J2 , что то последовательность наборов ( сЦ ,...)( ) называется оптимальными коэффициентами, J3 - их индексом, а набор (сЦ,—, tfs) - оптимальньми коэффициентами по модулю р . Сетка точек единичного куба где внутренние фигурные скобки обозначают дробную часть числа, называется тогда оптимальной параллелепипедальной сеткой /на р узлах/. Пусть f - функция класса Н5 (с) на единичном кубе, Т - об-периодизирующая функция, Мр - оптимальная параллелепипедальная сетка и где V зависит только от oL и индекса оптимальных коэффициентов, константа под знаком (Т зависит от оптимальных коэффициентов, о , S и Т . Говорят, что сі в (16) получена из f- -периодизацией. Пусть функция Нs (с) такова, что при О К )..., К5 oL производные периодичны с периодом 1 по каждой переменной. Тогда еЬ5 и формула (17) верна с d— -f , то есть можно считать интеграл без периодизации интегрируемой функции. Доказательство существования и способы практического нахождения оптимальных коэффициентов см. в \1&\. В дальнейшем мы предполагаем фиксированными для каждого S - последовательность оптимальных коэффициентов, для каждого о 2 - JL -периодизирующую функцию. Если еИ СС-,) и $-Н?(сй) , то f Є Hs , где 0 не зависит от С, и Имеет место оценка: Приближённое разложение функций от нескольких переменных в ряды по ультрасферическим многочленам Пусть / - целое, - оптимальные коэффициенты по модулю р , є Н 5 на функция й- получена из функции линейной заменой 1=-2 1--1 и последующей -периодизацией. Положим Здесь фигурные скобки обозначают дробную часть. Константы под знаками 41 и С , если не оговорено противное, зависят от классов Hs ( с) и появляющихся далее классов А5 Сс) , к которым принадлежат входные функции, а показатели при логарифмах - от oL и S . Напом- ним, что мы фиксировали оптимальные коэффициенты и периоди-зирующие функции./ Доказательство. Функция принадлежит классу И5 ( #) с константой Л , не зависящей от И/; . При 0 ., K od с учётом (3) и (5) получаем так что санкция (18) лежит в классе где С не зависит от И і . Применяя (2) и (17) , получаем утверждение леммы. В Начиная с этого момента и до конца главы II, мы будем предполагать про функции класса Hs Со) , что они имеют производные d /dar7 - 0 К -W , которые кусочно--непрерывны по любой переменной при фиксированных значениях остальных переменных и ограничены по модулю числом С . Нетрудно показать, что если Є Иs , то коэффици-енты ее ряда по системе і Р и J многочленов лежандра удовлетворяют неравенству.
