Введение к работе
Актуальность теш. Многие задачи механики, физики, техники, химической кинетики, биофизики, экологии, других наук приводят к системам дифференциальных уравнений, содержащим малые параметры как мнохителл при старших производных. В качестве малых параметров могут выступать числа Маха и Прандтля, постоянная Планка, величина, обратная скорости света или скорости химической реакции и т.д. Такие уравнения называют сингулярно возмущенными.
Большое значение для задач химической или биологической кинетики, нелинейной оптики и др. имеет изучение контрастных структур, то есть зон быстрого изменения решения на границе или внутри рассматривавши области. Широкое применение в техника к; позитных и слоистых материалов приводит к необходимости детального исследования диффереіщивльтх уравнений с разрывами в коэффициентах.
Как правило, точное аналитическое решение указанных задач не может Сыть выписано в явном віще. В связи с этим проблема построения асимптотических разложений решений краевых задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений и обоснование построенных формальных приблияэний представляется весьма актуальной как в теоретическом плане, так и для прикладных исследований.
Особый интерес представляет разработка специальных численных, методов для получения приближенных решений краевых задач для обыкновэ'нных дифференциальных уравнений о малым параметром при стерших производяых при наличии зон быстрого изменения репекий, а такжэ разрывов правых частей уравнений. Для построения эффективных численных алгоритмов желательно иметь определенную априорную информацию о свойствах и поведении искомых решений. Эту информацию могут дать асимптот ' тле метода.
Цель работа - построение зсимптотечэскях репвняй линейных и квазилинейных краевых задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнений второго и третьего порядков с особенностями в коэффициентах.
- * -
Научная новизна. В диссертации впервые построен!» всиштоткческив ( при стремлении малого параметра к нулю ) представления реиений'краевых задач для сингулярно возмущенных обыкновенных дифференциальных уравнении второго и третьего порядков с разрывными правыми частями в случае, когда старки коэффициент вырожденного уравнения обращается в нудь. Также Kiepsss указаны, асимптотические представления решений краевых задач для нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений второго порядка с разрывными правыми частями , решения которых характеризуются наличием внутренних монотонных переходных слоев, доказаны оценка близости построенных формальных асимптотических представлений и точных решений.
В диссертации исследованы вопросы существования и единственности решений квазилинейных обыкновенных дифференциальных уравнения первого порядка, в которых коэффициент при первой производной может обращаться в нуль в одной или нескольких точках рассматриваемого интервала. Получены нозне теоремы о дифференциальных неравенствах, позволящие доказать существование решения исходной задачи и оценить близость построенного приближенного решения к точному.
Практическая и теоретическая ценность» Многие прикладные задачи приводят к обыкновенным дифференциальным уравнениям, содержащим малые параметры как множители при старших производных. В частности, решения обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка могут представлять собой стационарные пределы решений соответствующих уравнений в частных производных.
При .описании течения Блазиуса или ламинарного потока в. канале с пористыми стенками в случае всасывания возникают, обыкновенные дифференциальные уравнения третьего порядка с малым параметром при старша проиаводннх. Уравнением аналогичного типа описывается процаоо роотв криоталлов в переохлажденной кидаооти.
В большинства случаев точные решения краевых задач для таких уравгений не могут быть получены. В то хе время построение Даже нескольких членов асимптотических представлений решений указанных задач моаег дать достаточно хорошее приближение к искомому решению. Кроме того, информация о поведении решения, полученная асимптотичесними методами, мокет быть использована при построении специальных численных методов решения задач о
областями быстрого изменения решения.
В диссертации в процессе построения и обоснования асимптотических представления решений краевых, задач для обыкновенных дифференциальных уравнений второго и . третьего порядка изучены Еопросы существования и единственности вспомогательных задач, определяющих коэффициенты разложений. Установлена определенная зависимость характера шгрансдойаой структуры решения от свойств коэффициентов исходного сингулярно возмущенного уравнения. Получена новые теоремы о дифференциальных неравенствах, позеолящиз расширить класс рассматриваемых задач.
Апробация работы. Содернание работы докладывалось на Республиканских научных чтениях по обыкновенным дифференциальным уравнениям (Минск, 1991), на ВсесопзноЯ конференция "Асимптотические методы теории сингулярно возмущенных уравнений и некорректно поставленных задач" (Бишкек, 1991), на научно-исследовательских семинарах физического факультета ( рук. проф. А.Б. Васильева и проф. В.Ф. Бутузов ) и факультета вычислительной математики и киберэтики ( рук. доц. В.Г.Сушко и доц. Я.М.Яилэйкин ) МГУ им.. Ломоносова , на научно-исследовательском семинаре квфэдры математической физики факультета ВМК МГУ.им. Ломоносова ( рук. акад. А.Н. Тихонов ), на научных конференциях Московского педагогического университета.
Основшз результаты диссертации опубликованы в 4 статьях.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы, включающего 60 названі-'. я приложения. Общий объем диссертации составляет 207 отрвниц.
