Содержание к диссертации
Введение
1 Описание решений волнового уравнения на конечном и ограниченном геометрическом графе при условиях транс миссии типа "жидкого" трения 25
1.1. Основной объект исследования 25
1.2 Разностное уравнение, сводящее задачу (1.1.1)-(1.1.3) к набору задач о распространении граничных режимов 28
1.3. Существование решения 34
1,4 Случай единичной длины рёбер геометрического графа 39
1.5. О стабилизации решений задачи (1.1.1)-(1.1.3) 55
2 Решение смешанной задачи для волнового уравнения на графе-звезде при условии, описывающем трение в узле. 60
2.1. Постановка задачи 60
2.2 Единственность решения 62
2.3. Сведение задачи (2.1.1) к задачам на отрезке 63
2.4 Решение задачи (2.3.4) 68
2.5. Вырождение решения задачи (2.3.4) при t > 1 78
Литература 81
- Разностное уравнение, сводящее задачу (1.1.1)-(1.1.3) к набору задач о распространении граничных режимов
- Случай единичной длины рёбер геометрического графа
- О стабилизации решений задачи (1.1.1)-(1.1.3)
- Сведение задачи (2.1.1) к задачам на отрезке
Введение к работе
Настоящая работа посвящена исследованию уравнения гиперболического типа
Uxxfat) = utt(x,t) (х Є Д(Г), t > 0). (1)
с условиями трансмиссии, моделирующими жидкое трение в узлах геометрического графа:
Y, «а (я, t) = к{х)щ(х, t) {х Є J(T), t > 0), (2)
hD{x)
где Г - геометрический граф, J (Г) - вершины Г, R(T) = Г \ J(T) -множество, компоненты связности которого есть рёбра Г (геометрический граф и дифференцирование по х Є Г понимается в соответствии с [20]). Система соотношений (1), (2) формально может быть записана в едином виде:
uxx{x,t) = utt(x,t) + ]Г Щ)5{х - )ut(x,t) {х Є Г, t > 0),
где 5(х—) -дельта-функция с носителем в точке Є J (Г). Таким образом, система (1), (2) может рассматриваться как гиперболическое уравнения на геометрическом графе с особенностями (типа дельта-функций) в коэффициенте при младшей производной щ.
Основная цель - получение конечного описания решения указанного
уравнения с заданными условиями трансмиссии в узлах геометрического графа через и(х, 0) и щ(х,0).
Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях.
Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [20, 69, 71]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [20, 71, 39, 66]), деформаций упругих сеток (см., например, [20, 71]) и струнно-стержневых систем [2, 45], диффузии в сетях [20, 71, 28], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [73, 68, 61], бифуркаций вихревых течений в жидкости [63], гемодинамики (см., например, [40]), колебаний сложных молекул (см., например, [41,11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [19]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [29]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений доста-
точно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [20] и цитированную там литературу. Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как S— и д'~взаимодействие в узлах сети [20, 51, 62, 1].
Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [43, 42, 44, 5, 35, 20].
Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [28, 70].
На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо ис-
'Точнее, на декартовом произведении геометрического графа и R1.
следования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [46, 64, 65, 3, 33, 32, 53, 67]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [53, 31, 33, 34, 72, 47], 2) обосновать корректность начальной задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [55]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [48, 49, 50, 54]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [52, 18, 4] (последнее в духе работ [23]-[27], [59, 60]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [22, 21]) на волновые уравнения на геометрических графах. Отметим здесь также работы [6]-[10], в которых метода Римана переносится на гиперболические уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих 5— и 5'—взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных
данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [36, 37, 38]).
В свете вышеизложенного изучение возможности получения конечного описания решения волнового уравнения на геометрическом графе с особенностями в коэффициенте при щ, выражаемыми условиями трансмиссии типа жидкого трения (2), и анализ свойств этого решения представляется и актуальным, и естественным продолжением уже проведённых исследований для волнового уравнения на геометрическом графе. Настоящую работу можно рассматривать как один из шагов в этом направлении. Указанные условия трансмиссии имеют параболический тип, и, значит, в целом уравнения, изучаемое в диссертации, можно характеризовать как гиперболико-параболическое. Хорошо известно (смотри, например, работы Репникова В.Д. [56]-[58]), что решения параболического уравнения имеют стабилизацию при t —> +оо. Поэтому представляет интерес и вопрос о возможной стабилизации решений рассматриваемого в диссертации уравнения.
Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.
Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на геометрическом графе с условиями трансмисии, моделирующими жидкое трение в узлах графа. В этой главе также вводятся понятия, используемые в ходе исследования. Приведено подробное описание объектов исследования.
В пункте 1.1 определяется конечный и связный геометрический граф Г из R", как связное объединение конечной совокупности прямолинейных отрезков из Rn.
Для каждого я Є Г определим множество D(x) := {h Є En \\h\\ = 1 и (x-\-eh) еТ для достаточно малых є > 0}.
Выделим особо в рассмотрение (и зафиксируем) конечное подмножество і7(Г) геометрического графа Г, которое обязательно содержит в себе (возможно, строго содержит) объединение двух множеств: {х Є
\D(x)\ ф 2} и {х Є Г \D(x)\ = 2 Л (h Є D(x) =» (-/г) 0 (*))}
Точки из ^(Г) будем называть вершинами Г. Обозначим: R(T) = Г \ J (Г). Компоненты связности множества R(F) будем называть рёбрами геометрического графа Г. Валентностью вершины будем называть
количество примыкающих к ней рёбер.
1)(х -\~ єНі — v(x)
Для функции v : Г -» R определим v^(x) = lim — —
(для х Є Г и h Є D(x)). Если h Є D(x), то для достаточно малых
є > 0 выполнено її h Є D(x + eh); поэтому можно определять v^(x) =
1) (Т "4* rL) -— 7) (ТІ
lim — —-. Пусть \D(x)\ = 2 (т. е. D(x) двухэлементно) и
}j v(x) — 0; если при этом производные v^(x) совпадают для обоих
ЛбО(х)
h Є D(x), то их общее значение будем обозначать через v"(x), называя его второй производной функции v в точке х. Если и : Г хТ — R (Т -связное подмножество R) и при некотором і Є Т функция «(, t) имеет вторую производную в точке х, то эту производную будем обозначать через uxx(x,t).
В этом же пункте вводится основной объект исследования - волновое уравнение (1) на декартовом произведении рёбер геометрического графа и Ж+ . При этом предполагается, что искомая функция u(x, t) определена и непрерывна на Г х [0; +оо) по совокупности переменных и удовлетворяет условиям: первое, условие (2), где к(х) - заданные неотрицательные
числа, второе, для любого интервала (а; 6), являющегося ребром Г, и для любого to > О функция v(y, t) = и(а + y\\b — а||-1(6 — а), t) обладает на (0; ||6 - а\\) х (0; to) равномерно непрерывными производными vyy и %. Система (1), (2) при к(х) > 0 может рассматриваться, например, как модель малых колебаний растянутой сетки из струн с условиями так называемого "жидкого" трения в узлах. Для системы (1), (2) будем рассматривать начальные условия
и{х,0) = (р(х), щ(х,0) = 0 (ж Є Г). (3)
Из (3) следует, что <р непрерывна на Г. Устремив в (2) і к нулю, получим условия трансмиссии для ір
<р+(х) = 0 (х Є J(T)). (4)
heD(x)
Кроме того, предполагаем всегда, что ip удовлетворяет ещё условиям, гарантирующим должную регулярность и(х, t) : первое, на R(T) определена и непрерывна ip", второе,
V(s Є J(T))V(h Є D(x)) [рІЇ(х) = Дт <р'\х + eh)]t (5)
причём последний предел существует и конечен, третье,
V(s Є J(T)Mh, V Є D(x)) [<рІЇ(х) = <рЇЇ(х)], (6)
четвёртое,
(On є j(v)) л (к(х) ф о)) =* у(л є адкм = 0]. (7)
В пункте 1.2 вводится определение смежных вершин: две различные вершины а и & из J(V) назовём смежными, если интервал (а; Ь) является ребром Г. Если а и 6 смежны, то будем писать: а *-> Ь. Далее в этом пункте задача (1)-(3) сводится к набору задач о распространении граничных режимов с помощью разностного уравнения. Для этого доказана
Лемма 1.2.1 Пусть существует набор {^a{t)}aej(r) функций из С2[0; +оо) такой, что для любой пары смежных вершин а иЬ из J (Г) задача
Vyv{y,t)=vtt(y,t) (0<2/<||Ь-о||, *>0) < v{0,t) = na{t),v{\\b-alt)=fib{t) (t>0)
v(y, 0) = tp(a + |jfr3f№ - «)) . МУ, 0) = 0 (0 < у < \\Ь - а\\)
(8) имеет классическое решение v(y, t; a, b), причём для любой а Є J (Г)
J2 4,(0, t; а, 6) = ВДОВУЙ (і > 0). (9)
Тогда функция u(rc, t), определяемая при х Є [а; Ь], где а «-> Ь, равенствами и(х, t) — v(\\x—а\\, і; а, b), в которых aub пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1)-(3). Верно и обратное: еслии(х,І) является решением задачи (1)-(3), то существует набор функций {№a{t)}aj(r), обладающий указанным свойством, причём для любых смежных вершин aub решение задачи (8) связано с u(x,t) равенством v(y,t;a,b) = и(а + у||Ь — а||-1(& — а),і).
Пусть а <-* 6. Обозначим через <ра,ъ(у) нечётную и 2||&—а||-периодичес-кую функцию, определённую на R \ (\\Ь — а\\Щ (Z - множество всех целых чисел) и совпадающую с <р(а + у||6 — а||-1(Ь — а)) на (0; ||6 - а\\). Производная (іра,ь)' доопределяема по непрерывности в точках ||6 — a\\Z;
доопределённую так функцию (<ра,ъ)' обозначим через фа$.
Для выделения признака, по которому набор {(ia}aej{r) функций из С2[0; +оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1, была доказана
Лемма 1.2.2. Набор {fia}aej{r) функций из С2[0;+оо) удовлетворяет условию леммы 1.2.1 тогда и только тогда, когда этот набор удовлетворяет системе уравнений
{
mi(t,\\b-a\\) 2- Е M'{t- (2р+ 1)||Ь -а||)-
m2(t,\\b-a\\) Ї
-2 Yl W(* - 2P\\b - alD + ^(t) \ (t>0,ae J(T))
P=i J
(10)
и начальным условиям
^,(0)=^(0), aeJ(T); (11)
здесь mi(t,l) есть целая часть числа (t — 1)/(21), a rri2(t,l) есть целая часть t/(2l).
Решение задачи (8) представимо в виде
v(y, і; а, Ъ) = fa>b(y + і) + ДДу -t), (12)
ГДЄ fajb = -<Ра,Ь + F\\b-a\\Va + G\\b-a\\Vb, Фа,Ь ~ фуНКЦИЯ, получаемая ИЗ
(pafi доопределением в точках ||6 — a||Z средним арифметическим своих предельных значений слева и справа,
mi(y,l)
ц{у-{2р + ї)І), y>0Ayl(2N-l)
(GiiA(y) = < P= , (13)
((ЗД(у+) + №0(у-))/2, yel(2N-l)
-(ады, y
(N - множество всех натуральных чисел), (^i/i)(y) = —(Яіу)(у—1), У Є №.. Равенство (9) приобретает вид:
{фа,ь(і) + 2(мЫ')(г) - Щ\ъ-а\\Ы'){Ь - \\Ь - а||)} =
Ь|Ь<-»а
= (|D(o)| + fc(a))(/0'(t) (t > 0), а Є J(r), (14)
что, с учётом (13), совпадает с (10).
Таким образом, леммы 1.2.1 и 1.2.2 сводят решение задачи (1)-(3) к решению задачи (10), (11).
В пункте 1.3 доказывается существование и единственность решения задачи (10), (И). Этот факт устанавливает
Теорема 1.3.1. Решение задачи (10), (11) существует, единственно и дважды непрерывно дифференцируемо на [0;+оо).
Из этой теоремы следует, что решение задачи (1)-(3) существует и единственно.
В пункте 1.4 рассматривается случай единичной длины рёбер геометрического графа. Полагаем, что длины всех рёбер геометрического графа Г одинаковы и равны 1. Перенумеруем все вершины числами от 1 до т: J(Y) = {сі, с2,..., Сщ}. Обозначим Q = Q\.
Пусть А = (ау)у=1 - матрица смежности вершин геометрического графа Г (то есть ац = 1, если Cj «-> q, и 0 = 0, если Cj г-), V -матрица валентностей вершин геометрического графа Г (V = diag(vi,v2,...,vm), v* = |JD(cj)|, i = Tjn),
К = diag{k(c\), hfa),..., k(cm)), g(t) - вектор-функция, г-ая компонента которой равна ^ Фс,сл(Ь), fi'(t) = {{fiCl)'{t), WW» » GO'(*))T' j\cj*-*a
Тогда система уравнений
(1^)1 + ^))(^(0+ {2(«)(і-1)-2(^)')(і)} =
j\Cj*->Ci
= Y, Фсисі(і) (t>0), і = Т^і. (15)
j\cj<-*Ci
может быть записана в виде (ниже I - тождественный оператор):
(((/ + 2MQ)V - 2AQ + К)цЩ = g{t) (t > 0), (16)
где (Mf)(t) = f(t — 1), а оператор Q на вектор-функциях определяется так же, как и на скалярных, то есть формулой (13). В свою очередь, (16) можно записать в виде:
Q{2MQV - 2AQ)n' + {V + К)ц' = Qg, (17)
где Q - оператор сужения функции на [0; +оо).
Найдено представление для оператора G~l, обратного к Q. Для этого доказана
Лемма 1.4.2. Оператор Q~l, обратный к Q, представим в виде: g-1 = Q(P - М), где (Pf)(t) = f(t + 1).
Обозначив v = Qfi', можем записать уравнение
[((2M-2V-1A) + (E + V-lK)(P-M))v]{t) = {y-lg)(t) (t > 0) (18) в виде: 1/(4+1) = {E+V-1K)-\2V-1[Ap]{t)-[{E-V-1K)u]{t-l) + [(V-1g)}(t))
(t > 0). (19)
Заметим, что матрица (E+V~lK) -диагональная, с положительными элементами на диагонали, поэтому она обратима.
Далее особо рассматривается случай К = У. В этом случае (19) примет вид:
v{t + l) = {V-lA)v{t) + l-{V-lg){t) (*>0). (20)
Доказана
Лемма 1.4.3. Пусть В - (т х т)—матрица, a q(t) - т—мерная функция, заданная на [0; +оо). Тогда если v{t) - решение уравнения
v{t + l) = Bv{t) + q{t), (21)
то для любого t Є [0; 1) и любого п Є N выполнено:
п-1
u(t + п) = Bnv{t) + ]Г Брд( + п - 1 - р). (22)
р=о
Благодаря результатам, полученным в леммах 1.4.2 и 1.4.3, доказана Теорема 1.4.1. Пусть fi(t) есть решение (16) и К = V. Тогда для любого t Є [0; 1) и любого п Є N выполнено:
At + п) = \iy-lAf-l\V-lg{l -t) + V-lAV-lg{t)]. (23)
Кроме того, для t Є [0; 1) выполнено //() = \V~lg{t).
Далее рассматривается случай произвольного соотношения между V и К. Обозначим а = (К + V-xK)-\2V-lA), 7 = -{К + У~1К)-\К -У~гК), g(t) = [(K + V-lK)-lV~lg](t\ или, что то же самое, а = 2(К + У)-1 А, 1 = {К-У){К + V)-\ g(t) = [{К + V)-lg]{t). Доказана
Лемма 1.4.4. Пусть матрица 5 есть решение уравнения 5(а-\-8) = 7, причём матрицы а и 6 перестановочны. Тогда решение уравнения (19), обнуляющееся во всех точках промежутка [—1;1), даётся фор-
мулой:
п-\ п-р-1 р=0 j=0
Лемма 1.4.4 позволяет установить вид решения уравнения (16). Доказана
Теорема 1.4.2. Пусть выполнены условия леммы 1.4-4- Тогда решение уравнения (16) определяется равенством:
п-1 п
l/(t+n) = ^(-1)^(а+5Гр-^(і+1)+^(-1)^(а+5)^(). (24)
р=0 р=0
Автором применялся ещё один подход к решению уравнения (19), которое с учётом введённых обозначений а, 7, g можно записать так:
v(t + 1) = au(t) + fv(t -1) + Eg{t) (t > 0). (25)
В результате реализации подхода была установлена
Теорема 1.4.3. Пусть матрицы а и j перестановочны. Тогда для любого фиксированного t Є [0; 1) и любого т Є N решение уравнения (16) определяется равенством:
fj!(t + т) = amg{t) + am-Xg(t + 1),
где ат определяется формулой
№ /fc-i \
а= E^+iWK+1~2*- (2б)
fc=l \j=o /
Замечание. Для того, чтобы определить, в каких случаях матрицы а и 7 перестановочны, был рассмотрен ряд примеров для конкретных
геометрических графов. Это позволило сделать предположение о том, что матрицы а и 7 перестановочны, если / = uvi, где г пробегает все возможные номера вершин геометрического графа. То есть К = QV, где Q = шЕ, Е - единичная матрица. Действительно, в этом случае а = (1 + ui)~l(W~lA), 7 = (1 + ^)_1(1 — ^)-^ a потому матрицы а и 7 действительно перестановочны.
Результаты пунктов 1.2-1.4 резюмирует
Теорема 1.4.4. Решение u(x,t) задачи (1)-(3) существует и единственно. При этом если длины рёбер Г равны 1, то для любых двух смежных вершин a ub u(x,t) = v(\\x — a\\,t;a,b), 2dev(y,t',a,b) -классические решения задач (8), в которых функции fia(t), а Є і7(Г), в случае К = V определяются теоремой 1.4-1, в случае выполнения условий леммы 1.4-4 - теоремой 1.4-2, а в случае перестановочности а и 7 -теоремой 1.4-3.
В пункте 1.5 приводятся примеры, иллюстрирующие применение теоремы 1.4.1 из пункта 1.4. Эти примеры показывают, что в случае К = V возможна стабилизация решения задачи (1)-(3), причём эта стабилизация может носить различный характер: (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const; (б) начиная с некоторого значения t, решение становится периодическим, причём отличным от const; (в) решение стремится к const при t —> +00, будучи отличным от const в любой окрестности точки t = +00. Здесь уместно отметить, что для решений параболических уравнений стабилизация может иметь место только в пределе при t —» 00. Это показано в работах Репникова В.Д. [56]-[58].
Разностное уравнение, сводящее задачу (1.1.1)-(1.1.3) к набору задач о распространении граничных режимов
Две различные вершины а и 6 из J{T) назовём смежными, если интервал (а; Ь) является ребром Г. Если а и b смежны, то будем писать: о -» Ь. Тогда функция u(x, t), определяемая при x Є [a; b], где а -» 6, равенствами u(x,t) = v(\\x—a\\,t]a,b), в которых aub пробегают все возможные пары смежных вершин, является решением задачи (1.1.1)-(1.1.3). Верно и обратное: еслии{х,ї) является решением задачи (1.1.1)-(1.1.3), то существует набор функций {Ha{t)}aj{Y), обладающий указанным свойством, причём для любых смеоюных вершин aub решение задачи (1.2.1) связано с u(x,i) равенством v(y,t ,a,b) = u(a + y\\b — а-1(& — a),t). Доказательство. Пусть существует набор функций {na{t)}aej{r)i удовлетворяющий условиям 1.2.1. Покажем, что и(х, t) = г (а;—а\\, t\ а, Ь) -решение (1.1.1)-(1.1.3). Пустьу(х) = \\х-а\\, тогда \ух{х) = 1, \ухх{х) = 0. Проверим, что так определённая функция и(х, t) удовлетворяет (1.1.1). Uxx(x,t) = vyy(\\x - a\\,t; a,b) y2x{x). В свою очередь, utt(x,t) = vtt(\\x -a\\,t;a,b). Это и означает выполнение ихх(х,і) = иц(х,t). Проверим теперь выполнение условия (1.1.2). Имеем: В свою очередь, %!(a,) = "HI (v(\\x ajj,i; a, 6)) = 1 (0, (1,6) Уь(а, t).
Так как рассматриваем u\{x), то y (z) = 1. Заметим, что и(а, t) = v(0,t;a,b) = /jLa(t), откуда Ut(a,t) = {/j,a) (t). Проверим теперь выполнение начальных условий (1.1.3): и(х,0) = v(\\x — a,0;a,6) = ср(а + Ifz f (Ь — а)) = ф{х)- Аналогично, щ(х, 0) = vt(\\x - а\\, 0; a, b) = 0. Пусть теперь u(x,t) - решение (1.1.1)-(1.1.3). v(y:t;a,b) = u(a + ijiji№_a ))- Положим fia(t) = u(a,t): а Є J{V). Пусть h = (b-a)l\\b-a\\. ТощаVyy(y,t;a,b) = uxx{a + yh,t)-(x (y))2 = u l(a+yh,t) = uXx(x, t), где x = a + yh. Так как имеем Vu(y, t; a, b) = utt(a + у/г, t), то vyy(y,t) = vtt{y, t). v{0, t; a, 6) = u(a, t) = fia{t), v(\\b-a\\,t; a, b) = u(b, t) = fib(t), v(y,0) = w(a+M -fl) ) = (a+jjijf(&-a)) МУ,0) = щ(а+ф-(Ь-а),0) = 0. Таким образом, имеем: ]Г] w(a;, і) = к(х)щ(х, t), где Є і7(Г), і heD(x) 0. Тогда vy(y, t; a, 6) = u%(a+yh, t), vy(Q, t; a, 6) = u(a, ), «J(a, i) = heD{a) k(a)ut(a,t). Но к тому же ut(a,t) = (fia)f(t). Лемма доказана. Следствие 1. Единственность решения задачи (1.1.1) — (1.1.3) равносильна единственности набора { a(i)}a6j(r), удовлетворяющего условиям леммы 1.2.1. Доказательство. Предположим, что решение задачи (1.1.1) — (1.1.3) единственно. Проверим, будет ли в этом случае набор {fia(t)}aej(r) единственным. Допустим, что существуют два различных набора {[J a(t)}aej{r) И { a(i)}aej(r)i УДОВЛЄТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЯМ ЛвММЫ 1.2.1, ТО ЄСТЬ Пусть и - решение задачи (1.1.1) — (1-1-3), отвечающее набору функций {Ha(t)}aj(r) в соответствии с леммой 1.2.1. Пусть z - решение задачи (1.1.1)-(1.1.3), отвечающее набору функций {va(t)}aej(r) в соответствии с леммой 1.2.1. Но тогда и(ао, to) ф Z(UQ, to), то есть в точке (ao, to) задача (1.1.1)-(1.1.3) имеет два различных решения, что противоречит нашему предположению о единственности решения задачи (1.1.1)-(1.1.3).
Пусть теперь набор функций {fi a(t)}aej(r)i удовлетворяющий условиям леммы 1.2.1, - единственный. Мы хотим установить, что в этом случае задача (1-1-1) - (1.1.3) имеет единственное решение. Предположим противное: существуют и(х, t) и z(x, t) - два различных решения задачи (1.1.1) — (1.1.3), то есть 3(х0 Є Г) V Э( 0 0) : [u{x0,t0) ф z(x0,to)}. Но тогда решениям и и z отвечает один и тот же набор функций {va(t)}aej(r) (в СИЛУ нашего предположения о единственности такого набора). Но этому набору отвечает единственное классическое решение задачи (1.2.1). Выберем точки а и Ь такие, что хо Є [а, Ь]. Тогда г (:со - a\\,to;a,b) = u(xQ,to) = г(а:о,іо)) что и означает противоречие с предположением о существовании двух различных решений у задачи (1.1.1)-(1.1.3). Следствие 1 доказано. Переформулируем теперь условия леммы 1.2.1, исключая из (1.2.2) vy(0,t;a, b) за счёт возможности выразить решение (1.2.1) через ip, fia и Пусть а -» Ъ. Обозначим через Ц а,ь{у) нечётную и 26 — а-периоди-ческую функцию, определённую на R \ (Ь — aZ) (Z - множество всех целых чисел) и совпадающую с tp(a + y\\b — a_1(6 — а)) на (0; Ь - а\\). Производная ( ра,ь) доопределяема по непрерывности в точках Ь —aZ; это доопределение обозначим через фа.
Случай единичной длины рёбер геометрического графа
Подводя итог, видим, что, начиная с t = 2, и(х, t; ТІ, р) есть функция, периодическая по і с периодом 2 и, вообще говоря, отличная от const. Замечание. Рассмотренные примеры показывают, что в случае К = V возможна стабилизация решения задачи (1.1.1)-(1.1.3) причём эта стабилизация может носить различный характер: (а) начиная с некоторого значения t, решение вырождается в const] (б) начиная с некоторого значения t, решение становится периодическим, причём отличным от const] (в) решение стремится к const при t —» +00, будучи отличным от const в любой окрестности ТОЧКИ t = +00. Пусть Г - геометрический граф-звезда, то есть Г = U {а,ЬА[]{а}, а, ЬІ Є К, bi - попарно различны.
Ниже мы всегда будем полагать, что І — а\\ — 1/2. Рассмотрим для такого Г следующую смешанную задачу: где . Уравнение в (2.1.1) будем понимать так же, как и в работе [46], а именно для х Є (a, bi) полагаем ux(x,i) = —- -— и uxx(x,t) = . , где производные по направлениям / уже неодносторонние. Под решением задачи (2.1.1) будем понимать функцию u(x,t), определенную и непрерывную на Г х [0, +оо) и удовлетворяющую условию: для любого і = 1, т и любого t 0 производные ихх, иц и uxt равномерно непрерывны на (a, bj) х (О, Т); при этом краевые и начальные условия понимаются в обычном смысле. Заметим, что при таких предположени- ях функции ul.(a,t) (і = l,m) и ut(a,t), как функции переменного і, оказываются непрерывными по t на (0, +оо) и доопределяемыми в точке t — 0 по непрерывности. Поэтому и левая, и правая часть второго соотношения в задаче (2.1.1) при указанных предположениях на u(x,t) корректно определены. Относительно функции р будем предполагать, что она определена на Г, и что (f"{x) равномерно непрерывна на (а, Ь{) для любого г = 1,т, ет отметить, что последние два условия необходимы и достаточны для существования решения задачи (2.1.1) в указанном выше смысле.
В настоящей главе описывается решение задачи (2.1.1) через (р(х) и Л, и на основе этого описания даёт анализ стабилизационных свойств этого решения. Покажем сейчас единственность решения задачи (2.1.1), предполагая, что оно существует. Пусть функция ш тоже решение задачи (2.1.1). Тогда функция z = и — ш также является решением этой задачи, только с нулевыми начальными данными. Рассмотрим функционал полной энергии для функции z: так как ZfH(a,t) = Xzt(a,t); здесь мы также воспользовались тем, что z(b(,t) = 0, и, значит, zt(bi,t) = 0 для г = 1,77г. Равенство нулю E (t) с учетом Е(0) = 0 и влечет, что z{x,t) = 0. Требуемое доказано. Замечание. В проведенных только что рассуждениях интегралы от а до bi - несобственные, так как, например, уже вторые производные функции z в точке а мы не определяем. Поэтому значения производных в точке а в этих рассуждениях следует понимать в предельном смысле. Эти пределы существуют в силу равномерной непрерывности вторых производных z на каждом из множеств (а,Ьг) х (О, Т), г = 1,т (где Т О- любое).
О стабилизации решений задачи (1.1.1)-(1.1.3)
Представим функцию ір(х) в задаче (2.1.1) в виде слагаемых, обладающих специального вида симметрией относительно точки а. Для этого введем в рассмотрение функцию Ф, определяя ее координаты по правилу: Проверим, что функции Ui принадлежат тому же классу, что и функция у. Функции Ші определены на Г - это следует из определения Ui. В свою очередь, и ( определена на (а; 6,) для і = l,m. Докажем для Фі(у) выполнение равенства Ф, Таким образом, Ф (1/2—Ця—а\\) = р{х). Отсюда явно вытекает равномерная непрерывность вторых производных Ф{ на [a;bi\, г = 1,т. Также имеет место непрерывность функций Ф,(1/2—\\х—а\\) в точке а. Так как fi,- есть линейная комбинация Ф;, то и U{ на [а; 6;], г = 1, т обладает тем свойством, что её вторая производная равномерно непрерывна. Таким образом, так как функции о;, принадлежат тому же классу, что и функция (р, то корректно рассмотрение задачи (2.1.1) при u{x,t) — Ui(x), решение которой обозначим через Ui(x,t). В силу (2.3.1) решение u(x,t) задачи (2.1.1) представимо в виде
Поскольку представление решения задачи (2.3.2) через функцию ПІ хорошо известно (например, в форме Д Аламбера), то наша задача (о представлении решения задачи (2.1.1)) сводится к отысканию представления решения ui(x,t). Аналогично получается, что если х Є (a; 6;], г = 2, т, то (иг-)ха;(я;, 0 = г/(1/2 - Ця; - а, ) = - дя;2 Для х Є (а; Ь/], где j {1, г}, выполнение равенства (щ)хх(х,Ь) = (ИІ)«(Я;,І) очевидно, так как в этом случае щ(х,і) — 0. Таким образом, выполнение 1-го уравнения из (2.1.1) доказано. Далее, так как щ(а,{) = 0 для всех t 0, то (щ) .(а,Ь) = 0. Значит, (ui)t(a, t) для таких . В то же время, так как щ( , і) — 0 на (a; fy), j . {1,г}, то Таким образом, и второе равенство из (2.1.1) для щ выполняется. Выполнение равенств Ui(bj,i) = 0 при j . {1,г} следует из того, что щ( ,) = 0 на (a, bj) при таких j. Кроме того, Ui(bl,t) = v(l/2 - Ьі -a\\,t) = Ї/(0,) = 0 HUi(bi,t) = -1/(1/2- U&j — a\\,t) = 0 в силу свойств v. Значит, и третье равенство из (2.1.1) для щ выполняется. Наконец, Доказательство. Проверка того, что щ удовлетворяет первому уравнению из (2.1.1), осуществляется так же, как и проверка в доказательстве леммы 2.3.2 того, что щ удовлетворяет этому уравнению. То же самое относится и к проверке краевых и начальных условий. Остаётся проверить выполнение для щ условий трансмиссии, то есть второго равенства в (2.1.1). Имеем: Лемма доказана. Таким образом, вопрос о получении представления решения задачи (2.1.1) (через р, А, т) сводится к получению представления решения задачи (2.3.4) через й\ и — . Замечание. Интересно отметить, что задача (2.1.1) при т = 1 (а мы этот случай изначально не исключаем) переходит в задачу (2.3.4), если положить w(y,t) = и{Ь\ — у h\,i) . В этом случае 1\(у) = Фі(у). Замечание. Задача вида (2.3.4) решалась в работе Zheng Songmu [74], где показано, что при — = 1 решение задачи (2.3.4) вырождается в тождественный нуль, начиная с момента времени t = 1. В следующем пункте приводятся результаты независимого от [74] исследования. Кроме того, в настоящей главе получен более общий результат.
Сведение задачи (2.1.1) к задачам на отрезке
Несколько слов об истории исследований дифференциальных уравнений на геометрических графах и месте настоящей работы в этих исследованиях. Интенсивное изучение дифференциальных уравнений на геометрических графах (в других терминах - пространственных сетях, одномерных стратифицированных множествах, одномерных клеточных комплексах) началось сравнительно недавно, около 25-30 лет назад. К подобным уравнениям приводит моделирование самых разных явлений: процессов в сетях волноводов (см., например, [20, 69, 71]), деформаций и колебаний стержневых решёток (см., например, [20, 71, 39, 66]), деформаций упругих сеток (см., например, [20, 71]) и струнно-стержневых систем [2, 45], диффузии в сетях [20, 71, 28], распространения электрического потенциала в нейроне и нейронных сетях [73, 68, 61], бифуркаций вихревых течений в жидкости [63], гемодинамики (см., например, [40]), колебаний сложных молекул (см., например, [41,11]), расчёт гидравлических сетей (см., например, [19]); приводят к таким уравнениям и задачи вычислительного характера: например, задача о приближении спектра лапласиана и операторов более высокого порядка на триангулируемом римановом многообразии спектрами дифференциальных операторов на геометрических графах (топологических сетях) (см., например, [29]).
Мы не будем подробно останавливаться на результатах исследований обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка на геометрических графах. Отметим лишь, что для таких уравнений достаточно полно изучен вопрос о разрешимости задачи с краевыми условиями типа Штурма-Лиувилля при условиях трансмиссии во внутренних вершинах графа, адекватных закону Кирхгофа, а так же вопрос о структуре спектра (условия простоты, оценки геометрической и алгебраической кратностей, асимптотики, оценки резольвенты, существование полугруппы); построена теория функции Грина, исследованы свойства неосцилляции уравнений и неравенств, доказаны аналоги теорем Штурма о сравнении и перемежаемости, установлены условия осцилляционности спектра в случае геометрических графов без циклов - см. [20] и цитированную там литературу.
Часть этих результатов была получена и в случае обобщения условий Кирхгофа, которые могут быть проинтерпретированы как S— и д взаимодействие в узлах сети [20, 51, 62, 1]. Линейные обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка на геометрических графах могут рассматриваться как частный случай уравнений эллиптического типа на стратифицированных множествах, теория которых к настоящему времени развита до аналогов неравенства Пуанкаре, принципа максимума, неравенства Гарнака, теоремы о среднем, формулы Пуассона, метода Перрона - см., например, [43, 42, 44, 5, 35, 20]. Аналоги классических результатов (разрешимость, существование сильно непрерывной полугруппы) получены и для уравнений параболического типа - см., например, [28, 70]. На результатах исследований уравнений гиперболического типа на геометрическом графе1 остановимся более подробно. Прежде всего, если говорить о волновом уравнении на геометрическом графе, то, помимо ис следования структуры и асимптотики спектра и оценок резольвенты (об этом выше уже шла речь), следует сказать о получении аналогов формулы Даламбера [46, 64, 65, 3, 33, 32, 53, 67]. Эти аналоги позволили для смешанной задачи с краевыми условиями первого и/или второго родов на геометрическом графе с соизмеримыми по длине рёбрами: 1) описать решение (а значит, и соответствующие операторные косинус-функции и синус-функции) в конечной форме, означающей квазипериодичность - см. [53, 31, 33, 34, 72, 47], 2) обосновать корректность начальной задачи [30], 3) создать эффективную вычислительную схему, основанную на теореме о среднем [55]. Аналог формулы Даламбера позволил также свести решение смешанной задачи (для, по-прежнему, волнового уравнения) на геометрическом графе с рёбрами, вообще говоря, несоизмеримыми, к системе (недифференциальных) уравнений с конечным числом запаздываний [48, 49, 50, 54]. Предприняты и первые попытки исследования задач управления [52, 18, 4] (последнее в духе работ [23]-[27], [59, 60]) при краевых условиях пока только первого рода. На повестке дня и перенесение методов задач наблюдения (см., например, [22, 21]) на волновые уравнения на геометрических графах. Отметим здесь также работы [6]-[10], в которых метода Римана переносится на гиперболические уравнения на геометрических графах. В случае волнового уравнения на геометрическом графе при условиях трансмиссии, описывающих 5— и 5 —взаимодействие в узлах сети, для некоторых классов геометрических графов, краевых условий и условий трансмиссии получены формулы, содержащие конечное число арифметических операций, элементарных функций, квадратур и простейших преобразований начальных данных, означающих сдвиг графика и его симметричное отображение (см. [36, 37, 38]).
