Введение к работе
Актуальность темы. Качественная теория дифференциальных уравнений, в частности линейных, всегда находилась в центре внимания математиков и развивалась многими авторами. Среди них в первую очередь нужно назвать ставшими классическими работы Ляпунова A.M., Флоке Г., Перрона О., Беллмана Р., Красовского Н.Н., Малкина И.Г., Майзеля А.Д..Особо отметим монографии, полностью посвященные линейным дифференциальным уравнениям: Ю.Л. Да-лецкий, М.Г.Крейн. «Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве»; Х.Л.Массера, Х.Х.Шеффер. «Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства». После выхода в свет этих монографий при исследовании линейных дифференциальных уравнений систематически стали использоваться линейные дифференциальные операторы, в частности фредгольмовы операторы, которым посвящена первая глава диссертации. Первые результаты о фредгольмовости линейных дифференциальных операторов получены Э.М.Мухамадиевым.
В первой главе рассматривается линейный дифференциальный оператор L [L. или L+], который определяется дифференциальным выражением (Lx)(t) = x'(t)+ A(t)x(t\rjiQ A(t)- квадратная матрица-функция n-го порядка, п- некоторое натуральное число. Если все элементы <х (t) матрицы-функции A(t) являются действительными, непрерывными, ограниченными функциями аргумента te(-oo,+ao) = R [te(-oo,6\=R_wute[0,+oo)=R+],T.e. A(t)eC(R") \A(t)eC_(R") или A(t)eC+(R")], a x (t) - действительная, непрерывно дифференцируемая, ограниченная вместе с производной вектор-функция, т.е. x(t)eC(r") [x(t)eC1_(r") или x(t)єС)(й")], то, как хорошо известно, оператор
L:C(Rn)^>c(Rn) [L_:С±(ди)->С _(Rn) или L+ :C\(R")->C+ (r")] является ограниченным. Исследуются условия фредгольмовости оператора L [L. или L+], а также выясняется связь между фредгольмовостью оператора L [L. или L+] и наличием экспоненциальной дихотомии для решений соответствующего однородного уравнения. Подобные вопросы для линейных дифференциальных операторов, в общем случае неограниченных и действующих в других банаховых пространствах, изучались Баскаковым А.Г., Гохбергом И.Ц., Жиковым В.В., Курбатовым В.Г., Латушкиным Ю.Д. и его учениками, Пальмером К., Перовым А.И., Чан Хыу Бонгом и многими другими авторами.
Остальная часть работы посвящена линейным однородным дифференциальным системам с периодическими коэффициентами и двумерным фазовым пространством. В монографии Якубовича В.А. и Старжинского В.М. «Линейные дифференциальные уравнения с периодическими коэффициентами и их приложения» исследованию таких систем посвящена отдельная VIII глава. Там же имеется обширный библиографический список работ, в которых изучались такие системы. В силу фундаментальной теоремы Флоке-Ляпунова матри-цант X(t) таких систем представим в виде X(t)=F(t) exp Rt, где R - постоянная матрица, a F(t) - периодическая матрица-функция, обратимая при всех значениях teR. Поэтому поведение решений таких систем на бесконечных промежутках полностью определяется матрицей R (а именно ее спектром). В то же время матрица функция коэффициентов системы A(t)=X'(t)X"1(t)=F(t)F1(t)+F(t)RF1(t) существенно зависит от периодического множителя F(t). Поэтому задача определения спектра матрицы R по матрице коэффициентов A(t) является достаточно сложной.
В диссертации изучается структура периодического сомножителя в представлении Флоке-Ляпунов а, когда он содержит только од-
ну гармонику, т.е.F(t) = A0 + Akcos t + Bksm 1, где А0,Ак,Вк-по-
со со
стоянные матрицы второго порядка, причем среди Ак, Вк хотя бы одна
является ненулевой, и когда он содержит только две гармоники, т.е.
имеет представление
tV \ » 27гк ^ . 27гк . 2тт ^ . 2тт
F(t) = А0 + Ак cos t + Bk sin 1 + An cos t + Bn sin 1, где для
со со со со
каждого i=k, n (k
Цель работы. Основные цели диссертационной работы состоят в следующем:
отыскание условий фредгольмовости оператора L+: С;(Д")->С+(Д");
установление связи между фредгольмовостью оператора L и фредгольмовостью операторов L. и L+;
нахождение условий на постоянные квадратные матрицы второго порядка А0, АК и Вк, при которых матрица-функция
т^і \ 4 4 Ink „ . Ink _, 7 _,
F{t) = A0 + Ak cos t + Bksm 1, t є R, keN, соєі?+,ИМЄЄТ
CO CO
тождественный определитель и удовлетворяет условию F(0)=I;
4) нахождение условий на постоянные квадратные матрицы
второго порядка А0, Аю Вк, Ап и Вт при которых матрица-
функция
tV \ » 27гк ^ . 27гк . 2пп ^ . 2тт
F(t) = А0 + Ак cos t + Bk sm 1 + An cos t + Bn sin 1,
со со со со
где кип (k< n) - натуральные числа, teR и coeR+, имеет тождественный определитель и удовлетворяет условию F(0)=I;
5) нахождение класса со-периодических систем второго порядка
x'(t) = A(t)x(t\ магрицшт которых X(t) имеет требуемый вид, а
Ink „ . Ink
А0 + Ак cos 1 + Вк sm 1
со со
exp Rt, где R - не-
именно x(t) =
которая постоянная матрица второго порядка, имеющая след равный нулю. Методика исследований. В диссертации применяются методы качественной теории дифференциальных уравнений, линейного функционального анализа, линейной алгебры.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Наиболее важными из них являются следующие:
1. Получены необходимые и достаточные условия фредгольмо-
вости линейных дифференциальных операторов, действующих из
C!(Rn) в C(Rn).
Установлена связь между фредгольмовостью линейного дифференциального оператора и э-дихотомичностью соответствующего однородного уравнения.
Конструктивно описан класс со-периодических матрий-функций второго порядка, содержащих только одну или только две гармоники, имеющих определитель, не зависящий от t.
4. Полностью описан класс со-периодических линейных диффе
ренциальных систем второго порядка x'(t) = A(t)x(t\ матрицант кото-
рых имеет вид x(t) =
expRt.
. . 2лк . 2лк
Ао + Ак cos 1 + Вк sm 1
со со
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Разработанные в работе методы и полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении линейных дифференциальных операторов, а также при исследовании
качественных свойств решений дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на VIII школе по теории операторов в функциональных пространствах (Рига, 1983), Воронежской зимней математической школе (Воронеж, 1984), Международной научной конференции «Дифференциальные и интегральные уравнения» (Челябинск, 1999), Международной научной конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения» (Воронеж, 2005), кафедральном семинаре под руководством профессора Баскакова А.Г. (ВГУ, 2002, 2008), ежегодных научных сессиях студентов, аспирантов и преподавателей ВГУ (1983 - 1986) и ВГПУ (2002 -2008).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1] - [8], список которых приведен в конце автореферата. Совместных работ нет, работы [6]и[7] опубликованы в изда-нии,соответствующем списку ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 5 параграфов, и списка литературы, содержащего 56 наименований. Общий объем работы - 144 страницы.
