Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 8
Глава I. К ТЕОРИИ ЛИНЕЙНЫХ ФУІЖЩОНАЛШО-ДИШІЕРЕНЦЙАЛЬННХ
УРАВНЕНИЙ 38
1.1. Предварительные сведения 38
I,1,1.Общие сведения о линейных уравнениях с фредголь-мовой главной частью / 38 /. I.I.2. Некоторые классы интегральных операторов / 39 /. 1,1.3.Главные части некоторых функционально-дишференциальных операторов / 41 /.
1.2. Матрица Коши 47
1.2Л.Определяющее уравнение / 47 /. 1.2.2.Свойства матрицы Коши по каждому аргументу / 52 /. 1.2.3.0 множестве матриц Коши и о восстановлении операции по матрице Коши / 64 /. 1.2.4.0 формуле Коши и полугрупповом свойстве матрицы Коши / 67 /.
1.3. Об одном классе линейных операторов, определенных на
пространстве непрерывных функций 71
1.3Л. ^.-ограниченный оператор У: С — L / 71 /. 1.3.,2.Вспомогательные утверждения об интегральных операторах / 73 /. 1.3.3. Полная непрерывность оператора
J'-Ъ * L% / 77 /. 1.3.4. Замечание о матрице Коши операции і -
1.4. Линейные краевые задачи 80
1.4Л.Общие сведения / 80 /. 1.4.2. Сопряженная задача / 82 /. 1.4.3.0 начальном значении решения краевой задачи / 86 /. 1.4.4.06 одном признаке разрешимости общей краевой задачи / 87 /.
Глава 2. ПРИВОДИМОСТЬ ФУНЩИОНАЛЬНО--ДИ^ЕРЕНЦИАЛЬНЬК
УРАВНЕНИЙ 92
2.1. Определения 92
2Л.І.Приводимость на множестве / 92 /. 2.1.2.Приводимость / 93 /. 2.1.3. Вольтеррова приводимость/95 /. 2.1.4. Каноническая приводимость / 96 /.
2.2. Приводимость квазилинейных уравнений 98
2.2.I.D -приводимость квазилинейных уравнений / 98 /. 2.2.2.С -приводимость квазилинейных уравнений/ 100 /.
2.3. Схема получения признаков приводимости 106
2.3.1.Условие ]>pH(S>) / 106 /. 2.3.2. Условие СН((?) / 107 /. 2.3.3.Некоторые признаки приводимости/ 108 /.
2.4. Вольтеррово приводимые уравнения 116
2.4.1.Вспомогательные утверждения / 116 /. 2.4.2. Условие DpHV(S)) / 119 /. 2.4.3.Условие CHV / 121 /. 2.4.4. Некоторые признаки вольтерровой приводимости / 122 /.
2.5. Признаки канонической приводимости 124
2.5Л.Общее утверждение / 124 /. 2.5.2.Пример/ 125 /.
2.5.3.Использование априорной единственности / 128 /.
Глава 3. АПРИОРНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 131
3.1. Априорные неравенства и разрешимость приводимых
уравнений 131
3.1Л.Определение / 131 /. 3.1.2. Свойство А априорного неравенства и разрешимость приводимых уравнений / 132 /. ЗЛ.З. Свойство "V априорного неравенства и разрешимость вольтеррово приводимых уравнений / 133 /.
3.2. Априорные неравенства, основанные на двухсторонних
оценках 135
3.2.I.Общая схема / 135 /. 3.2.2.Вспомогательные утверждения об интегро-функциональных неравенствах / 136 /. 3.2.3. Мажорантное уравнение / 140 /. 3.2.4.Априорные неравенства для уравнений со степенной мажорантой / 142 /. 3.2.5.Признаки разрешимости / 144 /. 3.2.6.Признаки разрешимости воль-террово приводимых уравнений / 146 /. 3.2.7.0 разрешимости и поведении решений на бесконечном промежутке / 150 /.
3. Априорные неравенства, основанные на односторонних
оценках ..... 153
-
Использование мажорантной задачи / 153 /.
-
Алгебраический подход / 155 /. 3.3.3.Некоторые признаки разрешимости / 158 /. 3.3.4. Признаки разрешимости вольтеррово приводимых уравнений/ 161/.
4. Априорные оценки разности двух решений и априорная
единственность 163
4. РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ 169
1. Априорные неравенства, априорные оценки и разреши
мость 170
4.I.I. Применение априорных неравенств в условиях канонической приводимости / 170 /. 4.1.2.Применение априорных неравенств в условиях D -приводимости
/ 172 /. 4.1.3. Применение априорных неравенств в в условиях С-приводимости / 175 /.
2. Признаки разрешимости, использующие мажорантное
уравнение 178
4.2.1. Случай канонически приводимого уравнения
/ 178 /. 4.2.2. Случай 3)-приводимого уравнения
I 183 /. 4.2.3. Случай С-приводимого уравнения / 185 /. 4.3. Признаки разрешимости, использующие односторонние
оценки 187
4.3.1« Случай канонически приводимого уравнения/187/. 4.3.2« Случай полной непрерывности оператора F:D~*Lp / 189 /. 4.3.3. Случай полной непрерывности оператора VF : С -* С / 191 /. 4.4. О разрешимости квазилинейных краевых задач .... 193 4.4.I.Предположения / 193 /. 4.4.2. Теорема о разрешимости / 194 /. 4.4.3. Асимптотически линейная краевая задача / 196 /. 4.4.4.06 использовании априорных неравенств / 198 /. 4.4.5. Использование фундаментальной матрицы линейного уравнения / 200 /.
плава 5. ШЩЩШШ ПЕРЕХОД В КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ 206
5.1. Вспомогательные утверждения 207
5.2. Теоремы о предельном переходе 213
5.3. Признаки совокупной компактности 217
5.4. О приближенном решении вольтерровых уравнений . . . 226
"лава б. НЕКОТОРЫЕ ПРИЛОЖЕНИЯ 231
6.1. Управляемость нелинейных функционально-дифференци
альных систем 231
6.2. . Задача Томаса-Ферми 235
6.3. Уравнения движения в случае конечной скорости
дальнодействия 240
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 250
ШТЕРАТУРА . .
ОБОЗНАЧЕНИЯ
К - пространство вещественных векторов о( = co{dl,... ,сЛ | с нормой 1-І ;
А "*
IIА 1\ - норма оператора A : R -+ R ,
I А I = С І а..іГ
У "*. '
Е - единичная матрица.
[<х,6д „ конечный отрезок вещественной оси.
mes - мера Лебега.
. п. к. п
L ГаД / Lp /, lsp
компоненты которых суммируемы на [сц&З со степенью р ,
цхи =\ Sixcbl eli V .
Г la J
> .ft h.
L [сцбд / L /- пространство функций x:[a,fr]-*R с измеримы-
ми и ограниченными в существенном компонентами, ЦХИ л= xctM.
оо,
р - показатель степени, сопряженный с р : Vp+ У| = 1(р = если р = 1 ) .
D [а,6] / 2> /, 1$р<оо, - пространство таких абсолютно
п. .и.
непрерывных функций X'. С<х,ьз -* R f иго X. 6 L ;
ИХ11*.= ІХСссМч- ИХ И- .
Р D
Ь [а,8з / С^ / - пространство непрерывных функций х: [a,fi~\-+ R ?
- 7 -ИХII = тлх ixcbl.
Если X - метрическое пространство И X X , то Ж>Сх0,г,Х^={х<=Х: jyx,x0)^}.
1 - тождественный оператор.
-t
сУхУЇ)- Sx(s^oLs, ЬеЕа-Дз. а
Var XCS") - полная вариация функции х : [а,&3-* R #
Введение к работе
Математическое описание многих явлений выводит нас за классические рамки дифференциальных уравнений и предлагает все новые виды функционально-дифференциальных уравнений [46, 107]. Возникающая таким образом необходимость в общей точке зрения на широкие классы уравнений вызвала интерес многих исследователей к различным обобщениям обыкновенного дифференциального уравнения. Наиболее энергично развивалась теория "дифференциальных уравнений в банаховом пространстве", где евклидово пространство значений искомой функции заменяется общим банаховым пространством [44, 40, 103, 147]. Однако это обобщение не охватывает ряда актуальных классов функционально-дифференциальных уравнений, в частности, уравнений вида хф = Ч>ф,>«^ = і|^) , если^[сц&з.
Таким классам (главным образом, уравнению (I)) посвящены многочисленные работы, связанные с прикладншли задачами, с попытками установить общую точку зрения на достаточно широкий класс уравнений и приложениями новых схем функционального анализа (см., например, [46, 143, 36, 26}). Настоящая работа посвящена теории обобщения обыкновенного дифференциального уравнения, охватывающего уравнения с отклоняющимся аргументом и интегро-дифференци-альные уравнения. Это обобщение основано на рассмотрении с единой точки зрения различных уравнений, решениями которых являются абсолютно непрерывные функции. Под функционально-дифференциальным уравнением в широком смысле слова мы понимаем всякое функциональное уравнение, решением которого является дифференци- руемая (абсолютно непрерывная) функция. Очевидно, что построение содержательной теории возмозшо лишь для определенного класса таких уравнений. Границы общности рассматриваемого нами класса уравнений определяются топологическими свойствами операторов, порождаемых уравнением. Особое место в этой теории занимают уравнения с вольтерровыми (по А.Н.Тихонову [127)) операторами. К ним относятся "уравнение с последействием" [71) и его частный случай - "уравнение с запаздывающим аргументом"[106) . Одним из наиболее актуальных представителей такого обобщения обыкновенного дифферен циального уравнения является уравнение СІ> в предположении, что -^u-fco^i , act) st . Уравнения с вольтерровыми операторами оказа лись изученными наиболее обстоятельно благодаря работам В.Вольтер- ра, А.Н.Тихонова и Н.Н.Красовского.
Здесь предлагается краткий обзор основных идей и результатов диссертации. При этом ради наглядности изложения несколько упрощаются ситуации, рассматриваемые в основном тексте.
Обозначим через К евклидово пространство h. -мерных векто-
П. і fv ров с нормой Ы ; L [.а-М /или L / - пространство вектор-функций z : Ca-,^1 -» R с суммируемыми компонентами и нормой и хи = - Jizcbldt ;D[a,&] /или j) /- пространство вектор-функций X:[a,]-*R с абсолютно непрерывными компонентами и нормой \\ х 11 = = \xca)t + \\% и ; длЯ сокращения записи введем оператор V: (Vx)(t)= fc *-
В диссертации систематически используется тот факт, что меж- ду пространством D и прямым произведением L * К существует изометрический изоморфизм:
Основное предположение, определяющее границы общности рассматриваемого нами класса функционально-дифференциальных уравнений с оператором У: V -» L , состоит в требовании приводимости этого уравнения к виду X =7х (3) гГ _ п. . к. с вполне непрерывным оператором J-: D -* L . Отметим, что в линейном случае, т.е. для уравнения где оС - линейный оператор из Ъ в L , такая приводимость имеет место, если оператор имеет фредгольмову главную часть, т.е. фредгольмовым является произведение V: L-* L . Общей теории линейных уравнений с фредгольмовой главной частью посвящена докторская диссертация Л.Ф.Рахматуллиной [119] . Типичными представителями класса приводимых уравнений являются, в частности, уравнение (I) , если, например, существует такая постоянная к>0, что t-ac-fc)-^т: , и интегро-дифференциальное уравнение
4 g & cu a,x О, при естественных предположениях относительно ядер К , R , Н и функции ^ . Подчеркнем, что при многих качественных исследованиях оказывается необязательным фактическое построение операто-
,—-pa J- : достаточно установить лишь факт приводимости. Понятию приводимости и ее конкретным признакам посвящена вторая глава диссертации.
Первая глава посвящена некоторым вопросам теории линейных уравнений (4} . Здесь предлагается общий подход к изучению матрицы Копій, дающей интегральное представление решений уравнения С4), - II - основанный на систематическом использовании сопряженного уравнє-*-ния ; изучаются свойства некоторых линейных операторов, играющих существенную роль в теории функционально-дифференциальных уравнений ; рассматривается общая линейная краевая задача, для которой в явном виде выписывается сопряженная задача.
Из представления x=xca)+Vx следует, что всякий линейный оператор if: D -* L можно записать в виде хссь), где Q= %>V - оператор, называемый главной частью оператора #; каждый столбец к.* п -матрицы А представляет собой результат применения оператора 'зС к соответствующему столбцу единичной ігхіь-матрицы Е : Act^ = (E)d). Для любой правой части <=L решение уравнения (4") , удовлетворяющее условию xca\=0 , можно записать в интегральной форме xd)={Cci,sx?csUs (5^ тогда и только тогда, когда оператор Ц' u ~* L. обратим и обрат- ный оператор Q. является вольтерровым оператором [20] . Ядро Ccb,s) интегрального представления (5) называется матрицей Коши уравнения (4) . Очевидно, матрица Коши полностью определяется главной частью Q оператора ьС . Если не делать дополнительных предположений об операторе Q , то о свойствах матрицы Коши Cd,s"> практически ничего нельзя сказать. Она, вообще говоря, даже не является абсолютно непрерывной по первому аргументу. В связи с этим уместно напомнить, что для многочисленных конкретных классов функционально-дифференциальных уравнений матрица Коши определялась многими авторами как решение соответствующего матричного функционально-дифференциального уравнения [57, 80, 38]. Для матрицы Коши Ccfc,s) обыкновенного дифференциального уравнения X(t)-Fd)X = f имеет место замечательное равенство CctjS^s - 12 --і (s-) , где Хсіл - фундаментальная матрица решений однородного уравнения. Таким образом, при фиксированном s матрица Cct,s*> как функция первого аргумента удовлетворяет матричному уравнению X - Fci^X . Следствием такого представления матрицы Коши является широко используемое при исследовании многих вопросов так называемое полугрупповое равенство:
Указанные свойства матрицы Коши непосредственного распространения на другие уравнения не допускают, В диссертации показано, как последовательное сужение класса операторов Q приводит к появлению у соответствующих матриц Коши некоторых свойств, характерных для матрицы Коши обыкновенного дифференциального уравнения. Отметим еще,- что для обыкновенного дифференциального уравнения X - Fct^x = -& главная часть Q. оператора dC тлеет вид Т _ t
Как показано в [116], из разрешимости уравнения С4) при любой правой части следует, что пространство решений однородного уравнения х = 0 п-мерно, таким образом, общее решение уравнения izf х - имеет вид т t
Х(Ъ= Xdvc -v \ Cct,s^cs^oLs , С6} где X - фундаментальная пюп-матрица (ее столбцы образуют базис нуль-пространства оператора ) .
Возможность изучения свойств матрицы Коши связана с уравнениями, решением которых C(-t,S) является как функция одного из своих аргументов. Для различных частных случаев функционально- , дифференциальных уравнений вывод таких уравнений можно найти, например, в работах {19, 91, 136]. В общем случае уравнение, определяющее при каждом і функцию Oct,'") , имеет вид - ІЗ к Q[otd,oCc-b,o>XC"t,oE, c7) где ^(^s") - характеристическая функция отрезка [сц-Ь} , 0. - оператор, сопряженный к Q. . Используя представление оператора Q , можно записать уравнение С 7") в терминах исходного уравнения. Приведем вид уравнения (7} для весьма распространенного случая уравнения (4) , - когда главная часть имеет вид Q- 1-xS-К, где b:L-*L - оператор внутренней суперпозиции: ^ і \0 , если с^сЪ^сц^, а К : 1_ -*" U - слабо вполне непрерывный оператор Вольтерра: с КъхЪ= SKd,s)zcs>oLs. a Уравнение с 7) в этом случае имеет вид "2; t m. Cc-h,s) - ACct,s)2-E>«)Qcs,s) -л ІСс^г^В-сс^сб-осЬс - где 6(.) - характеристическая функция множества і
Если Л=0 ("главная часть не содержит оператора внутренней суперпозиции ) , то уравнение ( 7) оказывается интегральным: s Обозначим через Гс-t,^ резольвенту ядра K
Отсюда сразу следует, что почти при каждом s^t матрица Cck,s) абсолютно непрерывна на [s,&3 » причем
Равенство (9) приводит к еще одному весьма важному свойству мат- тлеет место формула дифференцирования , ь t ,
В диссертации сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должна удовлетворять операция i , чтобы ее матрица Коши обладала свойством (II) .
Равенство сЮ) приводит к уравнению
С d,*) - і Kct,r)C cr,s)ctc = К (t,s) , (12) которое является определяющим для Cct,s) , т.е. матрицу Cc-t,s) можно определять при фиксированном s как решение матричной задачи Коши , УсЪ - S КЛ/е)Усо<*с = Kct.s), Ycs^ = Е .
В случае, когда элементы ядра Kct,s) имеют ограниченную вариацию по S почти при каждом -t , уравнение (12) можно записать в эквивалентной форме
С ri,s-> + U K(-b^Ccc,s> = Kct,t)C
Отсюда следует, что для функционально-дифференциального уравнения с распределенным запаздыванием ci&od)- xd) - S«=L, R(-t,s)xcv> = Ісї) cl3. а, ъ матрицу Коши можно определять как решение (при каждом фиксиро- ванном s ) матричной полуоднородной задачи Xd) - URc^oXc^ = о ,t*i*A; X
Каждое сечение такой матрицы Коши Lct,s> представляет собой нормальную фундаментальную матрицу соответствующего однородного уравнения (14) и поэтому общее решение уравнения (13) можно предста- вить в виде J xeb = Ccfc,a)XCa)+- \Ccb,S)
Х(Ъ = Cd,S)X(s) і- iCct/nicodx .
На этом представлении основано приводимое в диссертации доказательство того факта, что матрица Коши уравнения (ІЗ4) обладает полугрупповым свойством тогда и только тогда, когда (13) - обыкновенное дифференциальное уравнение.
Приведенные выше соотношения позволяют изучать свойства функции Cd,s) по каждому аргументу. В частности, для уравнения (13) 0(1,) имеет ограниченную вариацию по S ; условия непрерывности и абсолютной непрерывности этой функции формулируются в терминах ядра Rd,S). Симметричность приведенных соотношений относительно производной матрицы Коши С Ct,S) и ядра Kob,s) главной части позволяет ре-шить вопрос о восстановлении главной части операции по ее матрице Коши. А именно, аксиоматически определяя некоторый класс матричных функций от двух переменных, каждой функции этого класса ставим в соответствие множество операций^} с одной и той же главной частью Ц (она определяется однозначно) и различными матрицами Act) . Отметим, что в классе уравнений вида (13) вся операция восстанавливается по матрице Коши однозначно. Решение задачи вое- становления операции по матрице Коши позволяет, в частности, устанавливать специфические свойства функционально-дифференциальных уравнений (см., например, [163, [130, с. 12"^ ) .
Специальный параграф посвящен линейному оператору ^f , а-ограниченно отображающему пространство непрерывных на а,&э n-мерных вектор-функций в пространство L . Как известно [63], всякий такой оператор имеет представление с/ххЬ)= $AsRcfc,sws>. (15-)
Показано, что сужение оператора J на пространство D является вполне непрерывным оператором. Отсюда, в частности, вытекает компактность оператора Немыцкого при условии, что функция ,х) удовлетворяет условиям Каратео-дори и имеет по х рост на бесконечности не выше степенного.
Таким образом, например, функционально-дифференциальное уравне ние . , л . cr . Х(Ь = 4-(і,( іхк-ья оказывается уравнением с 3) с вполне непрерывным оператором ЯГ= - Я0! Отметим еще, что для весьма широкого класса нелинейных дифференцируемых по Гато операторов *У: С -* L производная с/(х} оказывается u-ограниченным оператором из С в L и потому имеет представление (15*) .
В заключение первой главы рассматривается общая линейная краевая задача, т.е. система уравнений где краевые условия определяются выражением гх = Т-ХСал + ^C^XC^ds . 17)
Здесь і - постоянная кип-матрица, элементы Yixуь -матрицы ф измеримы и ограничены в существенном на [сц(э}. Выражение (17) определяет общий вид линейного ограниченного вектор-функционала, определенного на пространстве Ъ
Как показано в [9], фредгольмовость главной части оператора &L гарантирует фредгольмовость задачи С16), иначе говоря, - фредгольмовость оператора
Благодаря этому обстоятельству естественно возникает вопрос о построении в явном виде сопряженной краевой задачи, т.е. уравнения ^W^'^' (18) где oCj:(LxR) -^( L * К ) - оператор, сопряженный к ї .
Построение оператора С. сводится к построению оператора Q .
Уравнение (18) можно записать в виде системы (Q«pct) + p9fo = 3<^,-fc[a,«:i; f>Y + i^Acs^ds = jf. (I9)
Необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи (16) является ортогональность пары ( ,<*) ее правых частей любому решению ( u,fi>) однородной сопряженной задачи (т.е. системы (19) при О' = О ; у = О) :
Отметим, что вопросы, связанные с построением сопряженной краевой задачи, встречали определенные затруднения у многих ав- V торов.
