Содержание к диссертации
Введение 3
1. Предварительные сведения 9
1.1. Показатели Ляпунова 9
1.2. Экспоненциальная дихотомия 12
1.3. Описание класса LQPD 15
1.4. Преобразования линейных систем 21
1.5. Почти приводимые системы 30
2. Асимптотическое поведение решений неоднородных систем 33
2.1. О существовании решений с полиномиальным ростом 33
2.2. Общий случай 39
3. Решение основной задачи 43
3.1. Классы LPD и LQPD 43
3.2. Другое доказательство включения LQPD С LPD 49
3.3. Классы LD и L0D 52
4. Некоторые достаточные условия принадлежности классам LQD И LD 66
4.1. Еще один критерий экспоненциальной дихотомии GQ
4.2. Принадлежность классам LQD и LD 69
4.3. Диагональные системы 74
5. Грубые свойства линейных неоднородных систем, обладающих решением с малым ростом 76
5Л. Одномерные системы 76
5.2. Многомерные системы 80
Список литературы 88
Введение к работе
Важное место в качественной теории обыкновенных дифференциальных уравнений занимает изучение линейных систем — как однородных, так и неоднородных, поскольку к их рассмотрению сводится ряд задач, связанных с нелинейными системами.
Во многих задачах, посвященных изучению свойств решений систем дифференциальных уравнений, используется понятие характеристических показателей, введенное А. М. Ляпуновым [7].
Одним из направлений исследования линейных систем, начало которому положил О. Перрон [14], является изучение связи между асимптотическим поведением решений однородной и неоднородной систем, в частности, между характеристическими показателями этих решений. В настоящей диссертации получен ряд результатов, связанных с этой областью исследований.
В докладе [10] профессором В. М. Миллионщиковым были введены следующие четыре класса линейных систем.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 1. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу LDn, если для всякого є 0 найдется (зависящее от є) линейное преобразование х = L(t)y, преобразующее ее в некоторую (зависящую от є) экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции ( )ll + 11 4 )11 меньшее.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 2. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу LQDU7 если найдется линейное преобразование х — — L(t)y, преобразующее ее в некоторую экспоненциально дихотомическую систему и такое, что показатель Ляпунова функции \\Щ\\ + 11- ( )11 равен 0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 3. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу LPDn, если для всякого є 0 существует 5 0, такое, что для всякой непрерывной вектор-функции h{-): Ш+ —» Шп, показатель Ляпунова которой меньше 5, у системы (0.2) найдется решение с показателем, меньшим є.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ 4. Будем говорить, что система (0.1) принадлежит классу LQPDT\ если для любой непрерывной вектор-функции /г(-): Ж+ —У Мп, показатель Ляпунова которой неположителен, у системы (0.2) найдется решение с неположительным показателем.
В работе И. Н. Сергеева [12] доказано, что множество правильных систем является подмножеством класса LoPDn, а А. С. Фурсовым [13] установлен критерий принадлежности системы (0.1) классу LQPD71, ТО есть, тем самым, полностью решена задача, поставленная в [11]. Основной задачей, решаемой в диссертации, является нахождение всех возможных соотношений (включений, равенств) между этими классами.
Диссертация состоит из введения, пяти глав, включающих в себя в общей сложности 15 параграфов, и списка литературы, содержащего 14 наименований.
Первая глава диссертации носит вспомогательный характер и содержит все необходимые для понимания дальнейшего текста сведения, а именно: даются определение характеристического показателя Ляпунова и его основные свойства, описаны свойства экспоненциально дихотомических систем, изложены основные результаты А. С. Фурсова, связанные с описанием класса L$PDn, приведены некоторые результаты, касающиеся почти приводимых систем.
Вторая глава посвящена исследованию следующего вопроса: найти условия на систему (0.1), при выполнении которых система (0.2) имела бы решение, растущее не быстрее неоднородности.
