Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации развивается теория Вольтер- . ровых операторов и вольтерровых операторных уравнений 2-го рода общего вида:
y = F[y], уеЕ, F:E^E, (1)
в банаховом пространстве (б.п.) Е, применительно к таким проблемам математической теории оптимального управления распределенными системами, как устойчивость существования глобальных решений (у.с.г.р.) управляемых начально-краевых задач (н.к.з.), получение необходимых условий оптимальности (н.у.о.) в соответствующих оптимизационных задачах, и в частности, преодоление сингулярности (в смысле Ж.-Л.Лпонса) управляемых н.к.з.. При этом волътерровость оператора F понимается относительно системы проекторов {Р} в смысле PFP = PF, VP.
Суть упомянутой проблемы у.с.г.р. для управляемых н.к.з. состоит в следующем. Обозначим через W класс функций, в котором ищется решение некоторой управляемой н.к.з., а через П класс управлений, каждому ио которых отвечает единственное в W решение этой н.к.з.. В теории необходимых условий оптимальности, в численных методах оптимизации типа градиентных, в задачах с приближенно известными исходными данными, в теории чувствительности управляемых систем и любых других разделах, где производится варьирование управления, возникает вопрос: не выводят ли вариации управления щ Є П из класса П, ибо в противном случае соответствующие теоретические построения оказываются невозможными или не имеют смысла. Если не выводят, то и говорят о том, что имеет место у.с.г.р. управляемой н.к.з.. Вопрос о достаточных условиях у.с.г.р. для нелинейных н.к.з. не является надуманным. Как указано, например, в работах Ж.-Л.Лионса1 и В.И.Сумина2, существует достаточно много имеющих прикладное значение оптимизационных задач для распределенных систем, в которых возникают неустойчивости подобного вида. Там же приводятся и достаточно простые примеры, иллюстрирующие эту проблему. Отсутствие гарантий у.с.г.р. ведет к предположению о глобальной разрешимости
'[Л] Лионе Ж.-Л. Управление сингулярными распределенными системами. М.: Наука. 1987. - 368 с.
2Сумип В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в теории оптимального управления распределенными системами. Часть 1. Вольтерровы уравнения и управляемые начально-краевые задачи. Монография. Н.Новгород: Изд-во ННГУ. 1992.-110 с.
управляемой н.к.з. для любого допустимого управления, либо вынуждает рассматривать управляемую систему как сингулярную в смысле Ж.-Л.Лпонса, и соответственно, постулировать равноправность "управления" и "состояния", что усложняет оптимизационную задачу. При возможности бывает удобнее воспользоваться достаточными условиями у.с.г.р.. Для сосредоточенных систем общие теоремы у.с.г.р. доказаны в учебнике [В.М.Алексеев, В.М.Тихомиров, С.В.Фомин. "Оптимальное управление". М.: Наука. 1979], п.2.5.5.. Что касается распределенных систем, то за исключением результатов В.И.Сумина3 в обширной литературе по оптимальному управлению этому вопросу уделялось относительно мало внимания. А именно, условия у.с.г.р. изучались лишь для некоторых н.к.з. и, как правило, при специальных возмущениях управления, требующихся для получения условий оптимальности (см., например, работы А.С.Матвеева, В.АЛкубовича, А.В.Фурсикова, J.F.Bonnans, H.O.Fattorini и др.).
В работах В.И.Сумина предложена общая схема получения условий у.с.г.р. для функциональных вопьтерровых уравнений (ф.в.у.) в лебеговых пространствах, а именно, уравнений вида
z{t) = f{t,A[z]{t),v{t)), zL(n), ten, (2)
где П - фиксированное ограниченное, измеримое (здесь и далее - по Лебегу) множество в R"; f(t,p,v) : П х R' х R' -. Г - заданная функция; A : L(IV) —> ,(П) - линейный ограниченный оператор (л.о.о.), являющийся вольтерровым на некоторой системе Г подмножеств П (в том смысле, что \/Н Є Т: Р^АРц = PsA, где Ря ~ оператор умножения на характеристическую функцию множества Н С П); и : П —+ R* - управляющая функция из некоторого класса V С L'k(TL) допустимых управлений4. Как показывают многочисленные примеры [С], самые разнообразные н.к.з. для уравнений с частными производными весьма широкого класса (параболических, гиперболических, интегро-дифференциальных, с запаздываниями и др.), сводятся естественным образом к ф.в.у. (2). Форма (2) представляет собой удобный компромисс между стремлением к общности построений и желанием получить результаты в удобной для приложений форме. Вместе с тем в различных вопросах оптимизации бывает иногда удобнее рассматривать
'см., например, [С] Сумин В.И. Функциональные вольтерровы уравнения в математической теории оптимального управления распределенными системами. Дис.дохт.физ.-мат.наук. Н.Новгород: ННГУ. 1998.-346 с.
4для пространств типа „, ф.в.у. (2) в работах В.И.Сумина рассматривается в случае управляемых А и /; в „, на предмет у.с.г.р. изучается также и уравнение вида (1).
уравнение вида:
y(t) = 0(t) + A[f(.,y(-)M-))}(t), УЄ^(П), *ЄП, (3)
где A,f,u имеют тот же смысл, что и выше, в(.) Є Llq(H).
Схема В.И.Сумина получения условий у.с.г.р. включает: а) Метод продолжения "локальных решений" по вольтерровским цепочкам (множеств) операторов, задающих ф.в.у.. Здесь под вольтерровской цепочкой оператора F понимается конечная линейно упорядоченная по вложе-пию система Т подмножеств Н множества П, имеющая минимальный по вложению элемент, совпадающий с пустым множеством 0, и максимальный элемент, совпадающий с П, и удовлетворяющая условию (вольтер-ровостп): PhFPh = PhF, Н Є Т. б) Специальную локальную теорему существования и единственности решения ф.в.у.. в) Специальную теорему о "продолжении решений" ф.в.у. с одного множества вольтерровской цепочки на другое, г) Специальную лемму об априорных оценках разности локальных решений, отвечающих разным "управлениям".
В диссертации указанная схема распространена на случай оператор-пых уравнений второго рода общего вида, т.е-. уравнений вида (1), в б.п.. При этом волътерровские цепочки множеств заменяются вольтер-ровскими цепочками проекторов. Более существенное отличие состоит в том, что учитывается зависимость коэффициентов априорных оценок от количества сделанных при продолжении шагов вдоль "вольтерровской цепочки проекторов". Кроме того, введение специальных операторных классов ~P(Rt,,R,N,Е), тесно связанных с процедурой продолжения по вольтерровской цепочке, дает возможность детализировать упомянутую схему. Указанный подход позволяет упростить формулировку признака у.с.г.р. и даже ослабить его требования. Получено, таким образом, обобщение схемы В.И.Сумина, позволившее рассмотреть как 1) некоторые рассмотренные ранее управляемые н.к.з. при более слабых условиях, так и 2) некоторые новые н.к.з. (задача Кошп для гиперболической системы 1-го порядка с управляемыми старшими коэффициентами; управляемая первая краевая задача для гиперболического полулинейного уравнения 2-го порядка общего вида).
Цель диссертационной работы состоит в исследовании вольтер-ровых операторов и вольтерровых операторных уравнений вида (1) применительно к решению таких проблем теории оптимального управления распределенными системами, как устойчивость существования глобальных решений (у.с.г.р.) и единственность решения управляемых н.к.з., сингулярность распределенных управляемых систем и получение необходимых условий оптимальности (н.у.о.).
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа, теории функций действительного переменного, уравнений с частными производными и теории оптимального управления.
Научная новизна и основные результаты. Автором получены следующие новые результаты:
1) Введены понятия "система вольтерровских проекторов оператора"
и "система вольтерровских множеств функционального оператора", ок
азавшиеся полезным инструментом изучения операторных уравнений
'и операторов, действующих в б.п.. Введено понятие "вольтерровская 6-сеть" функционального оператора, с помощью которого сформулирован и доказан ряд удобных в приложениях признаков квазинильпотентности оператора, обобщающих известный признак П.П.Забрейко.
2) Получены общие условия у.с.г.р. вольтерровых операторных урав
нений (1) по возмущению оператора. С их помощью получены новые
условия у.с.г.р. для функциональных вольтерровых уравнений вида (2),
исследованных ранее в работах В.И.Сумина, а также уравнений вида
(3), ранее не исследованных. Получен ряд новых конкретных признаков
у.с.г.р. управляемых н.к.з. для системы гиперболических уравнений 1-
го порядка (с управлением в старших коэффициентах), В для различного
вида гиперболических уравнений 2-го порядка, в том числе с перемен
ными коэффициентами (в частности, исследована смешанная задача для
полулинейного гиперболического уравнения общего вида).
3) На модельных примерах из известной монографии [Л] показана
возможность преодоления сингулярности (в смысле Ж.-Л.Лионса) рас
пределенных управляемых систем с помощью теорем у.с.г.р. и получе
ния н.у.о. для соответствующих оптимизационных задач классическим
способом. Получены н.у.о. типа принципа максимума для задачи опти
мального управления старшими коэффициентами системы гиперболиче
ских уравнений 1-го порядка с интегральным (по варьируемой области
определенности этой системы) функционалом качества.
Степень обоснования результатов диссертации. Все научные положения и выводы диссертации строго математически обоснованы. Полученные в ней результаты хорошо согласуются с работами других авторов, как отечественных, так и зарубежных.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории оптимального управления: 1) при исследовании на у.с.г.р. и сингулярность, 2) при получении условий оптимальности конкретных управляемых систем с помощью сведения их, (напри-
мер, обращением главной части) к уравнению вида (1), а также 3) при обосновании численных методов оптимизации типа градиентных.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались: на 1,11 Международных конференциях "Мат. алгоритмы" (Н.Новгород, 1994, 1995); на VIII весенней школе "Понтрягпнские чтения" (Воронеж, 1997); на Итоговой научной конференции Нижегородского госунпверситета (1999); на IV Нижегородской сессии молодых ученых (математика и математическое моделирование) (Саров, 1999).
По теме диссертации были сделаны доклады: на семинаре по оптимальному управлению мех.-мат. ф-та ННГУ (рук. доц. В.И.Сумин, доц. М.И.Сумин, 1993-1999); па семинаре каф. численного и функционального анализа ф-та ВМК ННГУ (рук. проф. С.Н.Слугин, 2000); на Ижевском городском семинаре по дифференц. уравнениям и теории управления (рук. проф. Е.Л.Тонков, 2000); на семинаре каф. экономической кибернетики Пермского гос. ун-та по конструктивным методам исследования дифференц. уравнений (рук. проф. В.П.Максимов, 2000).
Работа поддержана Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 95-01-00701, 98-01-00793) и Конкурсным центром при С.-Петербургском ун-те (гранты 93-1-71-19, 94-1-17-371).
Публикации. Основные результаты отражены в девятнадцати публикациях, список которых дан в конце автореферата.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и дополнения, разбитых на параграфы, а также 9 рисунков и списка литературы из 145 наименований. Объем работы 177 стр.
