Введение к работе
усть ї - открытая интервал з 2& , \у =» СРіі)0~ нияняя треугольная матрица, элементы которой - функции из I п Л. . Квазипрсиэводные ^ СкеОт} Фуннции ос*. l-*-"R определятся равенствам!
линейным квазидифференциальным называется уравнение
Решением уравнения (I) называется всякая функция тСО , имеющая локально абсолютно непрерывные квазипроиэводнне ^ ос С*с«0«п-1) и почти вскщу в 1 удовлетворятся уравнение (I).
Если функции i/fxx OMsft-O, pi^/pil t'Ul:*,
tt e 0: 4.-1 } . »/Рлм. локально суммируемы в I , то суаісст-пует единственное реиениа уравнения (І), удовлетворлгадее начальный условиям
(J«Ha»*Tfic C«*0tiv-1, аї,Т«бЮ. (2)
Обшпговеттое дифференциальное уравнение (ОДУ) (линейное) с локально еугкпрусгямя коэффициентами и его формально сопряженное 53 смысле Логранжа уравнение представляют собой частные случаи уравнения (I). ВЦ) содержится самосопряженное уравнение четного порядка, рассмотренное в книге Ы.А.Наймаряа (Ноймарк И.л. ЛизеЯные дифференциальные операторы. - II.: Наука, 1969. - 520 с.) Уравнения, рассматривавшиеся в ряде рабо, зарубежных авторов * тауже содержатся а (I).
/7 ЗЬ-з. ;Ь.сй.. сС'-їй. Sss. - СЯ. - к ДО. - p. see-вів.
Svsiliti W.J". cl etch c{ йяясх #&гл.ц «pseld^/atejtiue с^яйЯгзд У Лее. *f «з ju.-a 5U. ^ 2iM,5»»ja.-«S.-».«»A.-p,frt.
суяЯва$ // 3fcu»fin«. іїяа. $.- «&a. - V. It. - p «-б*
Однако уравнение (I) интересно не только тем, что позволяет с единой точки зрения рассматривать различные уравнения. Большой интерес представляет тот факт, что при сделанных выше весьма общих предположениях относительно Рів (О оно обладает формально сопряженным в смысле Лагранжа уравнением
где & « (.1^) e - нижняя треугольная матрица,
т.е. имеет место тождество Лагранжа: почти для всех 4«! ^Cb
[х,уК4>=2 С-О" (,*)си(^)с4)
(для всех к.Со и ^0 , имеицих локально абсолютно непрерывные квазипроцзводные до порядка «.-< включительно). Матрица Н " (.-<>*"' і%л.*м )* ( ^ -символ
Кронекера) билинейной формы С*, *|3 не зависит от ф , Сказанное означает, что при изучении линейных краевых задач вместе с их сопряженными (в особенности краевых задач с многоточечными краевыми условиями) язык квазидифференциальных уравнений 'КдУ) более естествен, нежели язык ОДУ.
По-видимому впервые уравнение и. -го порядка вида (I) (самосопряженное с комплексными коэффициентами) рассматривалось в работах Д.Шина (см., например, Шин Д. О решениях линейного квазидифференциального уравнения 'а-го порядка // Матем. сб. -1940, - Т. 7 (49). - С. 479-632). V. центре внимания Д.Шина, а также некоторых из цитированных выше авторов**' вопрос о числе линейно независимых решений самосопряженного уравнения
**' см. также ^ы-ixtK R. &mU-poi*l colttMa fa цтшиїіи, їок«Іо«. Л*і>-, Soc. - -(985.- v. Ь\,ц2>,- о. 513-562..
* a - їм - 0 , 3m. X ^ О , ie а, &),
интегрируемых с квадратом на [а, 2 , или на более современном языке {см. цитированную книгу Наймарка М.А. стр. 165), вопрос об индексе дефекта оператора, порожденного нвазидифференци-альным выражением , _х .Б работах 3.Нехари и В.й.Тренча (см. вкше), а также в работе Е.Л.Тонкова (Тонкой Е.Л. К вопросу о неосцилляции линейной системы // Нелинейные колебания и теория управления. - Ижевск. - 1982. -Білі 4. - С. 62-74) рассматривается некоторые проблемы, связанные с неосцилляцией. Однако систематически теория неосцилляции однородного уравнения (I) и связанная с ней теория классической задачи Балле Пуссена для уравнения (I) до сих пор но бдит построена. Между тем такая теория необходима хотя бы в связи с возможностью преобразования некоторых многоточечных краевых задач в задачу Балле Пуссена для КдУ, а также в связи с краевыми задачам» для ОДУ с обобщенными функциями в коэффициентах.
Несмотря на большое число работ, посвященных построению сопряженных краевых задач для скалярного уравнения, ** сколько-нибудь законченная теория таких задач может быть построена только на языке ИдУ. В этой теории возникает обобщенная задача Балле Пуссена, обладавдая свойством: задача сопряженная я ОЗВП такие есть ОЗВП» Кроыо того, функция Грина гслассической задачи Балле Пуссена есть решение некоторой однородной ОЗВП. Находит ОЗВП п ыехажгаескле приложения. Ранее изучался только весьма частный случай ОЗБП, обобцзгдиП л:пзь кдассическув "двухточечную задачу Балле Пуссена (Гантмахер Q.P., Крейн М*Г. Осцилляционнкз матрицы и ядра и излив колебания механических систеи. - Н.-Л.: Гостехиэдат. - 1950. - 360 с, Покорный Ю.В. О неклассической задачо Балле Пуссена // Диффврзнц. уравнения. - 1978. - Т. 14, » 6. - С. І0І8-І027).
«> например, Пархимович И,В.' йоготочечные краевые задач:», для линейных интегро-дифференциал„кых уравнений в классе гладкій функций // Днфференц. уравнегая.-1972.-Т.8,!ХЗ.-С.549-552;
ХіШе Д. M'joini слЛ silfeAjobii 4siutciatet wttBiu рчой-ums Vutfv btetface ciWtoons / SJAW {}. Appf.'Jttat? -198-V,<6.-p. І5Ї-859.
ЗЯ*2 AJl. (inuiAaxa vftbtt futtztrU rtlti Ініегіед. роікі iou.n-
- б -
Диссертация ставит целью І) в некоторой степени восполнить перечисленные пробели; 2) подробно изучить ОЗВП; 3) изучить многоточечные задачи с комбинированными краевыми условиями; 4) указать новые области применения КдУ в теории ОДУ, в частности, применить КдУ в теории уравнении с обобцешшма фуш-цилми в коэффициентах.
Научная новизна результатов определяется следугдии:
построена теория неосцилляции решений однородного КдУ; в частности, доказан аналог критерия неосцилляции й.Хартмана-А.Ю.Левина, получены достаточные условия неосцилляции;
построено задача, сопрякенная к общей плассической многоточечной краевой задача и, в частности, задача, сопряженная к классической задаче Балле Пуссена;
введен класс ОЗВП, содержащий вместе с кандой своей задачей такке и ее сопряженную;
получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости ОЗВП;
исследован знак функции Грина ОЗВП, ее свойства по обеим переменным, установлена область положительности, ассоциированных ядер, связанных с модулем функции Грина; исследованы некоторые свойства спектра и собственных функций ОЗВП;
предложен новый подход к изучения комбинированных многоточечных краевых задач; в частности введено и изучено понятие неосцилляции однородного (дифференциального и разностного) уравнения относительно упорядоченной системы функционалов, участвующих в краевых условиях; линейный оператор разлокен в произведение операторов первого порядка с использованием функционалов, участвущих в краевой садачо; на основе этого исходная краевая задача разложена в систему краевых задач более простого вида;
для некоторых частных случаев доказаны полуэффективныо критерии неосцилляции относительно функционалов; на основе отого получены эффективные достаточные условия такой неосцилляции;
« исследован знак функции Грина и свойства спектра некоторых чагтных случаев комбинированной многоточечной краевой задачи;
установлена возможность преобразования некоторых распада-эдихся многоточечных краевых, задач для ОДУ в классическую задачу Балле Пуссена для КдУ; на осново этого получены признаки разрешимости для краевых задач второго порядка;
с помощью КдУ введено новое определение решения линейного ОДУ с обобщенными функциями в коэффициентах, более широкое»
чеы существующие; доказана непрерывная зависимость решения от первообразных коэффициентов.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации в области теории линейных многоточечных квазидифферен-циальных краевых задач (классических и обобщенных) расширяют и углубляет представления об этих задачах. Так, впервые рассмотренная ОЗВП обнаружила ранее неизвестные свойства классической задачи Балле Пуссена. Например,найденные свойства функции Грина ОЗВП по второму аргументу можно применить к исследованию линейных и нелинейных краевых задач с несуммируемыыи особенностями; решения ОЗВП можно использовать для приближения решений классических задач..Свойства ОЗВП используется в теории импульсных краевых задач в работах участников семинара проф. Н.В.Азбелева. Результаты в области теории комбинированных многоточечных задач находят' применение в теории и практике двусторонних методов решения краевых задач. Определение решения уравнения с обобщенными функциями в коэффициентах с помощьп КдУ может быть использован такие для практического построения решения задачи Копи для линейного ОДУ с несуммируемыми особенностями в коэффициентах.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались на всесоюзных и региональных конференциях по функционально-дифференциальным уравнениям (1984 - 1988 гг), на семинаре проф. Н.В.Азбелева (1984 - 1988 гг), в институте математики и механики УрО АН СССР (семинары проф. С.Т.За-валіодина н проф. Ю.С.Осипова, 1985, 1986, 1988 гг), в институте прикладной математики пи Тбилисском университета ч( семинар проф. И.Т.Кигурадэе, 1980 г.), на квфодре ыатематичес: ого анализа Удмуртского гос.университета (семинар проф. Е.Л.Тонкова, 1983 -
-
гг\на факультете В!Л ИГУ (семинар т>оф. Н.Л.Григоренко,
-
г.), в институте математики АН УССР (семинар проф. A.li.Ca-моПленяо, 1989 г.), в института математики АН БССР (семинар проф. И.В.Гайшуна, 1989 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 22 работы в журналах ."Дифференциальные уравнения", "Известил вузов", "Доклады АН СССР", межвузовских сборниках и тезисах конференций. Основные результаты диссертации опубликованы в l - 15].
Структура и объем работы. Основная часть диссертации содержит 300 страниц кзшшопненого токета и состоит из введения и шести глав. Список литературы из 126 наименований и три при-
ложения содеркат еще 35 страниц. Главы разбиты на. 21 параграф; нумерация параграфов отдельная по главам; нумерация пунктов, утвервдений и формул отдельная по параграфам; этачнумерация сохранена и в автореферате.
