Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Линейные уравнения 31
I. Условия существования решений 31
2. Общие понятия устойчивости движений 46
3, Линейные стационарные уравнения 52
4. Неавтономные уравнения 65
5. Представление Флоке-Ляпунова 78
6, Приводимые уравнения 86
7. Характеристические функционалы решений . 98
8, Периодические решения 112
Глава II. Нелинейные автономные уравнения 119
9. Общие свойства автономных уравнений 119
10. Выпрямляемость и структура окрестности регулярной точки 130
11. Свойства выпрямляемых уравнений 138
12. Гомоморфизмы Барбашина динамических систем . 143
13. Уравнение 150
14. Предельные точки по фильтру 163
15. Устойчивость по Пуассону 171
16. Устойчивость точек покоя 178
17. Критерии устойчивости и асимптотической устойчивости 187
Глава III. Многомерные дискретные системы 200
18. Основные понятия. Примеры 201
19. Условия полной разрешимости 205
20. О связи непрерывных и дискретных уравнений . 209
21. Линейные уравнения 215
22. Приводимые уравнения 220
23. Правильные системы 226
24. Периодические и почти-периодические решения . 234
25. Метод функций Ляпунова 239
26. Степень разрешимости 243
27. Общие свойства многомерных дискретных систем, не являющихся вполне разрешимыми 248
Литература
- Общие понятия устойчивости движений
- Характеристические функционалы решений
- Выпрямляемость и структура окрестности регулярной точки
- О связи непрерывных и дискретных уравнений
Введение к работе
Дифференциальные уравнения с многомерной независимой переменной (многомерные дифференциальные уравнения, уравнения с "векторным временем") образуют важный и сравнительно малораз-работанный раздел теории дифференциальных уравнений. По формальным признакам этот раздел часто включают в теорию уравнений с частными производными (поскольку в случае конечномерных пространств - это специального вида уравнения с частными производными; более того, введением дополнительных переменных любую систему уравнений с частными производными можно записать в виде некоторой системы многомерных дифференциальных уравнений [154]). Однако по внутренней структуре теория уравнений с "многомерным временем" непосредственно примыкает к теории обыкновенных дифференциальных уравнений.
В настоящей работе основным объектом исследования является многомерное дифференциальное уравнение вида
j' = f(*.y), (і)
где ос, у - элементы некоторых банаховых пространств Е и Г , a f - непрерывная функция, заданная на открытом множестве U х V" произведения Е" * Г и принимающая значения в пространстве L(E ; Г) линейных ограниченных отображений Е в р , штрих означает производную Фреше (впрочем, для большинства полученных результатов производная Фреше могла бы быть замененной производной Гато, см. [146, 147]). Ба протяже-
ний всей работы считается, что уравнение (I) вполне интегрируемо; это означает, что для любой точки Сзс0,уо) е U*V существует единственное решение ^ этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию ^(^)= . Если функция f- непрерывно дифференцируема, то уравнение (I) вполне интегрируемо тогда и только тогда, когда билинейное отображение
симметрично при любых рс, ^) е U*V [33, 80].
Если пространства Е и F конечномерны и в них выбраны некоторые базисы, то уравнению (I) соответствует система уравнений с частными производными;
!| = |y(ai,..,Xm;3l,...,Srv) (2)
или система уравнений в полных дифференциалах
\ а 0^1->*т; V-^OCj ([=!,...,*). (3)
Ба необходимость изучения уравнений (2), (3) неоднократно указывал А.Д.Мышкис (см., например, [Д27, 128]).
Системы уравнений вида (2) широко известны в дифференциальной геометрии и теории групп Ли [59, 149, I75J, где они возникают в задаче о построении многообразия, имеющего в каждой точке заданное касательное пространство. В физической интерпретации эти геометрические задачи приводят, например, к электродинамической задаче о построении потенциала заданного электрического поля. Кроме того, эти системы часто используются при анализе управляемых систем с распределенными параметрами [ 3, 116]. Неожиданное применение системам (2), (3) было дано в [107]. Оказалось, что в терминах полной интегрируемости таких
систем можно выделить класс стохастических систем, для которых можно говорить об индивидуальном отклике на индивидуальную реализацию шума.
Свойство полной интегрируемости системы вида (3) иногда играет решающую роль, при исследовании функциональных и функционально-дифференциальных уравнений Г159].
В работах [160, 177] вполне интегрируемые уравнения вида (2), (3) существенно используются при исследовании линейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с почти периодическими коэффициентами. Дело в том, что всякой почти периодической функции f(t) с частотным базисом р».,,...,^ соответствует функция FCt1}...,im) переменных ^,...,^, являющаяся периодической по каждой переменной "t; с периодом
О о*
X » для которой f(0= FOt,.-,-t) . Это обстоятельство позволило для изучения обыкновенных уравнений с почти периодическими коэффициентами привлечь теорию вполне интегрируемых уравнений с периодическими коэффициентами.
Очевидно, что уравнение (I) содержит как частные случаи обыкновенные дифференциальные уравнения, обыкновенные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве, различные типы ин-тегро-дифференциальных уравнений и др. Теория уравнения (I) может оказаться также базой для исследования уравнений на группах Ли (см. [ПО, I67J).
Предположим, что F=R,, =(1(2)) , где С (2)) - банахово пространство непрерывных числовых функций, определенных на компактном множестве 2)CR . Рассмотрим функционал 2/" С (Я))—> R, . Если вариация оЗ(х) функционала 0 в точке х Є С (2)) может быть записана в виде И№= $f(*,±) то функция if называется вариационной (или функциональной) производной функционала J в точке х : т (Уос(і) Уравнением в вариационных производных называется уравнение относительно функционала f . При естественных предположениях уравнение (4) может быть представлено в виде следующего уравнения типа (I): где Н-С(а)« R-*L(C(3),R)=C*(2D)h для любого К С! (Ф) Уравнение (4) имеет широкое применение в различных разделах теоретической физики (теория квантованных полей [20], статистическая гидродинамика [173, 192] и др.). Следует отметить, что уравнения в вариационных производных в математику введены в начале нашего века французской школой математического анализа в рамках общей программы по распространению методов дифференциального исчисления на функциональные пространства (Ж.Адамар, Р.Гато, П.Леви, М.Фреше), изложению соответствующих результатов посвящена монография [П5]. Широкое развитие теория уравнений в функциональных производных получила в последующих исследованиях [69, 71, 72, 88, 90, 97--102, 125, 133, 168-170, 172, 184]. В последние годы начаты исследования [201, 206, 208, 209], в которых уравнение (I) рассматривается в случае, когда Е и F есть топологические векторные пространства, при этом производная ц' понимается в различных смыслах (по поводу дифференци- ального исчисления в топологических векторных пространствах см. обзорную статью її]). Кроме того, имеются некоторые результаты о линейных уравнениях вида (І) в банаховом пространстве с неограниченным оператором [162-164]. Уравнение (I) не охватывает все те объекты, которые отно Р ; R —* І?0, » не укладывается полностью в уравнение (I). Уравнение (5) имеет весьма прозрачную геометрическую трактовку. Обозначим через Lx векторное пространство, ортогональное векторным ПОЛЯМ V; (х) = (^(^),---, F?m(xV) (1=1,..., к,) ( Pt: Сх) - координаты вектор-функции F? Сх> ). Для каждой точки *x0fcR требуется построить такое многообразие 5* , что ос0Є S и L-x. является касательным пространством ков любой точке ос Є . Такая геометрическая интерпретация уравнения (5) позволяет перейти к рассмотрению полей подпространств на произвольном гладком многообразии. Вопросы интегрируемости полей подпространств на гладком многообразии имеют тесную связь с теорией слоений этого многообразия; некоторые сведения в этом направлении содержатся в книгах [59, 166, 171] (см. также основополагающую работу С.П.Новикова ГІ34]). Исследованию полей подпространств с особенностями посвящены работы [30--32, 207]. К настоящему времени выполнено большое количество работ, посвященных различным вопросам теории вполне интегрируемых уравнений. В основном усилия исследователей были направлены на изучение уравнений вида (I), причем, как правило, в конечномер- ных пространствах Е и F . Теория уравнения (5) содержит лишь некоторые разрозненные результаты и к настоящему времени в значительной степени объединилась с топологической теорией слоений. К первой группе результатов, касающихся уравнения (I), надо отнести различные условия полной интегрируемости. Классическим результатом в этом направлении является теорема Фробениуса, доказательство которой вошло во многие учебники (см., например, [178]). Ряд других теорем полной интегрируемости содержится в работах [33, 129, 130, 131, 143, 146, 147, 162-164, 187, 190, 191, 194-196, 198-201, 208-210]. Вторую группу результатов образуют обшие вопросы теории АЬАк=АкАЬ. (6) для любых к, к из Е (такие операторы, следуя А.И.Перову, будем называть пермутабельными). Спектральная теория операторов (6) для конечномерных пространств Е и F была построена в работах [135, 142]. Распространению этой теории на бесконечномерные пространства посвящен ряд исследований [17, 150-153]. Применение ее к исследованию линейных уравнений вида (I) излагается в работах [142, 150]. Значительное число работ посвящено изучению линейных уравнений с периодическтш и почти перио- дическими коэффициентами. Теория Флоке-Ляпунова и вопросы приводимости рассмотрены в [23, 119, 144, 165, 189, 202, 203], критерии существования периодических решений содержатся в [135, 144], теоремы Фавара и Еора-Нойгебауэра распространены на вполне интегрируемые уравнения с почти периодическими коэффициентами в статье [145]. Ряд работ связан с асимптотической теорией вполне интегрируемых уравнений, в частности, с идеями, близкими к первому методу А.М.Ляпунова [63-66]. Значительное число работ посвящено нелинейным (в основном, автономным) уравнениям типа (I). Здесь имеется большое разнообразие в выборе задач, в методах исследования, в конечных результатах. По-видимому, первыми работами, в которых рассматривались вопросы качественной теории автономных уравнений (I), были статьи Б.Пини[204, 205]. В первой из них исследовался вопрос о поведении орбит в окрестности изолированного тора; эти результаты позже были усовершенствованы А.И.Перовым [141]. Во второй - изучалась структура грубой особой точки; исследования в этом направлении проводились так же в работах [61, 62, 78, 79, 81, 112, 138]. В работах [ 7, 1361 решается вопрос о топологических типах орбит. Статьи [91-96, ИЗ, 114, 148, 155-157] посвящены вопросам топологической классификации автономных уравнений при различных предположениях. Хотя известный пример С.Смейла (пример динамической системы, в окрестности которой нет ни одной структурно устойчивой системы) и показывает, что полное решение вопроса о топологической классификации невозможно, различные частные факты в этом направлении являются интересными и полезными. Наиболее полные результаты здесь связаны с линейными системами [ИЗ, 148, 155]. В вопросах классификации нелинейных уравнений обычно приходится i\ ограничиваться либо локальной теорией либо исследованием квазилинейных систем. Метод функций Ляпунова для исследования вопросов устойчивости решений получил развитие в [21-23, 68]. Ряд элементов асимптотической теории нелинейной механики Крылова-Боголюбова перенесен на вполне интегрируемые уравнения в работах [87, 118, 123, 124]. Большое количество исследований связано с уравнениями типа Фукса (а так же с близкими к ним уравнениями с сингулярными коэффициентами). Результаты в этом направлении важны не только сами по себе, но и возможными связями с фейнмановскими интегралами, широко используемыми в физике (см. работу [60]). Как уже отмечалось, существует тесная связь между вполне интегрируемыми уравнениями и теорией слоений и поэтому некоторые результаты качественного характера могут быть получены из теории слоений. Хотя теория слоений сравнительно молодая ветвь математики, количество публикаций в этой области очень значительно и дать достаточно исчерпывающий обзор их практически невозможно. Надо отметить, что результаты, полученные в настоящей работе, с теорией слоений почти не связаны и, естественно, не могут быть выведены из нее (если связь с теорией слоений имеется, то это указывается в соответствующем месте). Многомерные дискретные системы как дискретные аналоги вполне интегрируемых уравнений были изучены автором в работах [36-42, 44, 47, 52]. В систематическом виде эти результаты в настоящей работе излагаются впервые. Приведем краткий обзор результатов, полученных в предлагаемой диссертации. Диссертация состоит из трех глав, которые охватывают теорию линейных уравнений, некоторые факты теории нели- 12. нейных автономных уравнений, а так же многомерные дискретные системы. Первая глава посвящена в основном теории линейных уравнений. Однако два ее начальных параграфа носят более общий характер: в одном из них рассматриваются нелокальные вопросы существования решений нелинейных уравнений, в другом - общий подход к задачам устойчивости движений. Классические теоремы существования решений носят локальный характер, в связи с чем возникает важный вопрос о продолжении решений. В отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений, где причинами, не позволяющими продолжить решение, являются I) либо неограниченность решения, 2) либо выход решения на границу области определения уравнения, при продолжении решений уравнений с "векторным временем" появляются дополнительные обстоятельства, в частности, продолжимость может оказаться невозможной из-за ветвления решений (этот факт впервые обнаружен А.Д.Мышкисом [128]). В I вводится понятие непродолжимого решения в классах множеств, доказана теорема о существовании непродолжимого решения в классе связных и в классе односвязных множеств, показано, что непродолжимые в классе шаров решения обладают свойствами, аналогичными свойствам непродолжимых решений обыкновенных дифференциальных уравнений. Именно, если В(х0д) область определения непродолжимого в классе шаров решения ^ , ^ №)= Ч0 » то выполняется хотя бы одно из условий: б up 119(:011 = ^0, (?) inf d((x,ij(x)), Гг (U*V))= 0, (8) «В(*0,"О где Гг (1/* V) - граница множества U XV , d - расстояние, порожденное нормой произведения Е * Г . Условия (7), (8) при U = Е , V- Г позволили получить критерий продолжимости всех решений на Е » обобщающий критерий Винтнера--Еругина Г83, 84] и некоторые результаты М.А.Красносельского [104] . В связи с тем, что в банаховом пространстве размерности больше единицы возможны различные способы удаления точки в бесконечность, в динамических системах с "многомерным временем" возможны различные трактовки понятий устойчивости и асимптотической устойчивости; на это обстоятельство, по-видимому, впервые указано в работе [22]. В 2 на базе теории фильтрующихся множеств [27] предлагается общий подход к вопросам устойчивости движений, который с единой точки зрения позволяет охватить широкий круг задач устойчивости (устойчивость решений обыкновенных дифференциальных уравнений, импульсных систем, стохастических систем, систем уравнений Пфаффа, корректная разрешимость операторных уравнений, устойчивость регулируемых систем, отождествляемая с непрерывностью оператора "вход-выход" и др.) Простейшим уравнением вида (I) является линейное автономное уравнение, которое можно записать следующим образом где \i - произвольный элемент из Е, AeL(f;LCF;F)). В 3 для уравнения (9) рассмотрен ряд вопросов, касающихся поведения решений. Выделены конусы стремления к нулю, неограниченности и ограниченности решений. Найдены условия почти периодичности по направлению. Показано, что все решения почти периодичны в смысле Бохнера - фон Неймана тогда и только тогда, когда все орбиты относительно компактны; в случае гильбертова пространства и полной непрерывности операторов &W. (. h є Е) это позволило доказать, что все решения уравнения (9) почти периодичны, если для некоторого обратимого оператора Т^ L(F;F) выполняется равенство ТАК,Т~ «-(Т*) (АЬ.) Т* = q для любых Ь^Е (в случае cli.mE = l этот результат получен в [185]). Проведена топологическая классификация орбит; оказалось, что топологический тип орбиты зависит только от группы периодов соответствующего решения (в случае конечномерных пространств Е и Г этот результат получен Е.А.Барба-шиным в [7], а затем повторен в других терминах А.И.Перовым [136]). С помощью теоремы Крейна-Рутмана [109] выделен класс уравнений, обладающих решениями вида ^с*)= еэср (Хто ч, , где X - линейный непрерывный функционал. В 4 для вполне интегрируемого уравнения y'h=AC»ohij + f(x)fu (hE) (10) введено понятие фундаментального оператора, изучены свойства фундаментального оператора, установлена формула Коши. Приведено понятие сопряженного уравнения и исследована связь между уравнением (10) и сопряженным ему уравнением. Дано представление фундаментального оператора в виде мультипликативного криволинейного интеграла (в случае Е = R. , cUm, F < о мультипликативный интеграл построен и изучен Вольтерра. Дальнейшее продвижение в этом вопросе содержится в [137], где фактически построен мультипликативный криволинейный интеграл для конечномерных пространств Е и f ). В 5 исследуется возможность представления Флоке-Ляпуно-ва для фундаментального оператора линейного однородного урав- нения с периодическими коэффициентами. В этом вопросе существенную роль играют два обстоятельства: I) структура спектра оператора монодромии (спектр должен быть устроен так, чтобы оператор монодромии обладал логарифмом; этот факт хорошо известен для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве [70, 120]), 2) строение группы периодов операторной функции А (является она тотальной в пространстве Е или нет). Установлено следующее утверждение. Пусть XI - группа периодов функции А и Н - замыкание линейной оболочки множества XI . Если подпространство Н дополняемо в Е , то фундаментальный оператор IK"*) , U (0) = 1г , допускает представление (представление Флоке-Ляпунова) UC^=QCx)eBx,Q('x+a)) = Q(x),cdeIl,BhBK = BKBL,(h,0E^ когда тогда и только тогдаТоператор монодромии Ufc>) обладает логарифмом для любого со є-П., и существует такая постоянная С>о, что для любого конечного множества ДбЦ и любого набора(^)^д действительных чисел выполняется неравенство Важный класс линейных уравнений образуют приводимые уравнения (в смысле А.М.Ляпунова), исследованию которых посвящен 6. Здесь рассмотрены вопросы приводимости линейных уравнений в конусе и на подпространстве, а так же описаны инварианты приводимых уравнений. Основной результат этого параграфа связан с обобщением теоремы Н.П.Еругина [82] о канонической форме приводимой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Пусть однородное уравнение (10) с помощью некоторого пре обра зова нрія Ляпунова приведено к уравнению с постоянным оператором В . Оператор > зависит от выбора преобразования Ляпунова. Поэтому возникает естественный вопрос об инвариантах приводимых уравнений. Предположим, что спектр бЧВп.) оператора В к- распадается на конечное число непересекающихся спектральным множеств «^ ,... , 6^h) , ьік) 2-1. Оказывается, что с помошью преобразований Ляпунова спектральные множества 6*j можно произвольным образом передвигать параллельно мнимой оси, не меняя их формы. Если пространство Є конечномерно, то справедливо более сильное утверждение: при любом h Е действительная часть спектра оператора B/v не зависит от выбора преобразования Ляпунова, приводящего уравнение (10) к уравнению с постоянными коэффициентами (аналог теоремы Н.П.Еругина [82]). В 7 рассматриваются вопросы, связанные с асимптотикой решений однородного уравнения (10). Здесь доказано, что при определенных ограничениях всякое ненулевое решение имеет характеристический функционал, при этом под характеристическим функционалом отображения Я>: Е — F понимается элемент X сопряженного пространства Е , удовлетворяющий условиям: W*u,pr K*|l"1Ctri|| для любого ненулевого є X , где % - замкнутый выпуклый телесный выступающий конус в Е , допускающий оштукатуривание [105], ЗС - сопряженный конус, f - фильтр в X , базисом которого являются множества УС П { х| эсбЕ, НосЦ^-а ^ аъ-О. Нетрудно привести примеры уравнений, решения которых имеют континуум характеристических функционалов. Выделен класс уравнении, каждое решение которых имеет единственный характеристический функционал; в случае dim :=1, dim f< q этот класс образуют правильные в смысле А.М.Ляпунова уравнения. Для E=R2, F-= К , X^CWuttj,)/x^OjX^p} аналогичные вопросы изучались Э.И.Грудо в работах [63-66]. Известно, что в вопросах существования периодических решений обыкновенных дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами основополагающую роль играют неподвижные точки оператора сдвига (на период) вдоль решений. В случае "многомерного времени" получается не один оператор сдвига, а целое семейство операторов, зависящее от параметра, пробегающего группу периодов правой части, поэтому вопрос о существовании периодического решения сводится к вопросу существования неподвижной точки, общей для всех операторов сдвига. В 8 с помощью теоремы Маркова-Какутани о неподвижной точке семейства аффинных операторов доказано, что если уравнение (10) имеет такое решение у, что замкнутая выпуклая оболочка множества 0.=(^/ =%(),со6Л] слабо компактна, то уравнение (10) имеет SL -периодическое решение; если пространство Г рефлексивно, то отсюда вытекает, что для существования периодического решения достаточно, чтобы замкнутая выпуклая оболочка множества Q была ограниченной. Во второй главе ( 9-17) получен ряд результатов, относящихся к нелинейным автономным вполне интегрируемым уравнениям. В 9 для уравнения 3'=f«),f'.E-L(E;F).feC* . Щ) проведена следующая классификация точек фазового пространства Г : точка *j0f называется регулярной, если оператор f(yo) осуществляет гомеоморфизм пространства Б на подпространство rWo)Ec Г и подпространство-f(yo)E дополняемо в F , остальные точки называются сингулярными; сингулярная точка V0 называется особой точкой или точкой покоя, если -f(ir0) = 0 (в случае dim Е = Z, cUm F = 5 такая классификация впервые дана Б.Пини [204]). Пусть ^0 некоторая точка пространства f жЩ ядро оператора |(^0) . Если подпространство Ц^о дополняемо в Е Иі/Ku - его топологическое дополнение, то орбита S'cy0)=y(E ув) уравнения (II) совпадает с орбитой Зу-(У0) уравнения где Р(у0) - непрерывный проектор пространства Е на ALy . Топо-логизируем орбиту Й(^0) , приняв за топологию в S(%) минимальную топологию, содержащую образы открытых множеств пространства JUu при отображении X—> V (».,%,) , где ІУІ'Х.,^) - решение уравнения (12) с начальным условием ^(? Уо)=Уо . Тогда, если ся чистым С -многообразием типа «А*^ (в смысле [28]). Обозначим через -П. у группу периодов функции х—* #"(*»90; и пусть ММ = ^ &д0 . Две орбиты $(ув) и 3(20) уравнения (II) являются гомеоморфными, если изоморфны топологические группы N(y„) и W(0) ; фундаментальная группа орбиты Sf(y0) изоморфна группе И уо . Результаты 10 связаны с работами Е.А.Барбашина Г8, I3J по выпрямляемым динамическим системам, допускающим изоморфное отображение, переводящее траектории в параллельные прямые гильбертова пространства. Мы говорим, что уравнение (II) выпрямляемо (вернее, выпрямляема динамическая система, им определяемая) ес + (^(^0))= ШУоЬ ccx,g0)) , где &:f-»f - инъективное отображение, С - непрерывно дифференцируемая функция, а отображение х— с(х,i/e) является диффеоморфизмом Е на Е и с^. (х,^0) GLCE) (GL() - группа обратимых элементов алгебры L СЕ і Е) ). Показано, что уравнение (II) выпрямляемо тогда и только тогда, когда для некоторой функции а F —> Е класса С выполняется равенство U'(jf)f(»)=Ie. (ІЗ) Этот результат соответствует основному результату Е.А.Барбашина [13], однако доказательство его построено на соображениях, отличных от [13]. В терминах выпрямляемости охарактеризовано строение регулярной точки: установлено, что достаточно малая окрестность регулярной точки допускает выпрямление. В II вопрос о выпрямляемости уравнения (II) связывается с наличием у этого уравнения интегральных инвариантов и устанавливается грубость свойства выпрямляемости в классе малых возмущений, не нарушающих полной интегрируемости рассматриваемого уравнения. В работах Е.А.Барбашина Г8, 13] свойство выпрямляемости динамической системы (и ряд других ее свойств) связывается с наличием гомоморфизмов на две простейшие динамические системы, определяемые соответственно группой переносов прямой и группой вращений окружности. В 12 аналогичные исследования проводятся для динамических систем с "многомерным временем". Пусть (2),E,Q) - динамическая система в смысле Е.А.Барбашина [б, II] . Непре- рывное отображение <р .* Q.—* Е называется J -гомомор- физмом динамической системы (2>,Е, Q) , если = кретную тотальную подгруппу векторной группы Е . Пусть "Тог = /f\l - фактор-группа, наделенная фактор-топологией, % : Е —> Тог - естественный гомоморфизм. Непрерывное отображение оС: Q-—>7ог называется К -гомоморфизмом, если *($(х,|>У)= *(р)+ 5Г(Лх) ,AeGLCE) . Если dim Е = 1 , то J -гомоморфизмы и К -гомоморфизмы совпадают с одноименными понятиями Е.А.Барбашина. Доказаны следующие утверждения: динамическая система (2),E,Q) выпрямляема тогда и только тогда, когда она допускает J -гомоморфное отображение; если динамическая система обладает К -гомоморфизмом, то она выпрямляема; если динамическая система обладает достаточным множеством К-гомоморфизмов (позволяющим различать точки пространства Q ), то каждая устойчивая по Лагранжу точка будет почти периодической (почти периодичность здесь понимается в том же смысле, что и в статье [8J). В связи с результатами 10 определенное значение приобретает вопрос о разрешимости уравнения (13) относительно U. В 13 рассматривается следующее обобщение уравнения (13): ^9(ї,")=«ї.^ (14) для исследования которого используется уравнение характеристик 0U')= (8(а,*),<Г(ї,а>у (І5) В предположении, что система (15) вполне интегрируема, для уравнения (14) построена общая теория (установлена связь между свойствами первых интегралов системы (15) и вопросами разрешимости уравнения (14), найдены условия разрешимости задачи Коши и т.п.). Простые примеры показывают, что полная интегрируемость системы (15) не является необходимой для разрешимости уравнения (14). Однако, она становится таковой, если потребовать полную разрешимость уравнения (14) в следующем смысле. Пусть пространство Е является дополняемым подпространством пространства Г . Семейство C^x\t Результаты 14 в идейном плане близки к 2. Здесь на базе теории фильтрующихся множеств приводится общее определение со -предельных и ы-предельных точек движений динамических систем и изучаются свойства этих множеств. Пусть (>9Т,0.) - динамическая система (Т - топологическая группа, Q - метрическое пространство), ЗС - линейно связное подмножество группы Т , содержащее единицу, " - фильтр в ОС . Множества 2.1 «X*)=f]$(X,x) , <*(*) = /") SHX"\*) называются со -предельным и oL -предельным множествами точки хеО. или движения-fc—* Я>(±, х) (эти понятия включают в себя как частный случай ряд понятий, введенных многими авторами (см. [II, 67, 132, 141, 186])). Вообще говоря, множества 4)(х) и Ы№ инвариантными не являются; инвариантность можно гарантировать лишь для фильтров Г , обладающих следующим свойством согласованности: фильтр Г называется согласованным справа (слева) со структурой группы Т » если для любого X Є и любого t 6 Т существует такое X Є Г , чтоіХ^Х (Xt с X ). Если фильтр f согласован слева (справа) со структурой группы Т , то множество со(х) (множество <*(эс) ) инвариантно. Если фильтр S" обладает базисом, состоящим из связных подмножеств, то для всякого устойчивого по Лагранжу движения множество окэс) связно; для локально компактного пространства 0. с помощью компактификации П.С.Александрова доказано, что со -предельное множество всякого движения либо компактно и связно либо не содержит ни одной компактной связной компоненты (ср. с соответствующим результатом Р.Э.Винограда [29]). В 15 на основании результатов 14 изучаются устойчивые по Пуассону движения (движение і—> 2)(і,х) или точка х называется положительно (отрицательно) устойчивой по Пуассону, если для любой окрестности V точки х и любого / f найдется такое i$X , что &(i,x)V (2)(Г,х)є\0 ). Получены следующие результаты: I) в случае коммутативной группы Т любая точка орбиты положительно (отрицательно) устойчивого по Пуассону движения является положительно (отрицательно) устойчивой по Пуассону; 2) если фильтр Г согласован со структурой группыТ 6L(X) CGd(«L)= Э(Т,Х) (_оз(х)С ot(x) = Я)(Т,х)); 3) построено множество всех положительно (отрицательно) устойчивых по Пуассону точек; 4) введен в рассмотрение класс рекуррентных движений и изучен ряд свойств таких движений. Результаты 16 связывают устойчивость точки покоя хд динамической системы (2>,Т, Q) со структурой предельных множеств всевозможных движений. Ясно, что если х+х0 и х0 е оС , то точка х0 неустойчива; обратное не верно (в общей ситуации, когда фильтр Г произволен, это тривиально; в случае обыкновенных динамических систем, см. работу Ю.С.Богданова [17]). В связи с этим обстоятельством вводятся в рассмотрение слабо со -предельные и слабо ос -предельные множества точки toc(x>= lim П aCX,C(x>) t о(с(х)- Lim [\ 50fVfw) -»-+0 ХГ Є~*+0 Х6Г ' ^^^=(^/0((^,^)= с?((а01х),с((эсД)^} (в случае обыкновенных динамических систем эти понятия введены Ю.С.Богдановым; см. [іб]). Доказано, что если точка х0 обладает компактной окрестностью и фильтр ? таков, что выполняется некоторое условие (А), означающее, что в точку х0 нельзя попасть за "конечное время", то точка хо неустойчива тогда и только тогда, когда **ос0 (ср. с [16]). В случае когда Т есть конечномерное векторное пространство, X - замкнутый выступающий конус в Т справедливо следующее утверждение: если точка покоя неустойчива и обладает компактной окрестностью, то существует такое 0>о , что для любого е ] о, 0С найдутся х'е {x|d(x,x0)=} и t'X , что 2>(- fc+-t',x')c В(*«,) . Отсюда следует теорема Ю.С.Богданова [17](см. так же [183]) и уточнение некоторых результатов статьи [67]. В 17 на основании метода функций Ляпунова доказаны критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений вполне интегрируемого уравнения (II) в случае конечномерных пространств Е и Г , при этом в качестве множества устойчивости берется замкнутый выступающий конус с произвольным фильтром, согласованным со структурой векторной группы пространства Б . Основные теоремы второго метода Ляпунова на уравнения в полных дифференциалах перенесены в Г2І, 22]. Отличительной чертой настоящего параграфа является использование знакопостоянных функций Ляпунова. Первое существенное обобщение теорем Ляпунова в этом направлении принадлежит Е.А.Барбашину и Н.Н.Красовскому; некоторые результаты получены также С.Лефшецем и Ж.Ла-Саллем. Систематически знакопостоянные функции Ляпунова при исследовании автономных и периодических систем обыкновенных дифференциальных уравнений использовал Н.Г.Булгаков [25, 26]. Результаты настоящего параграфа включают в себя исследования названных авторов и дают новые критерии устойчивости и асимптотической устойчивости решений уравнения (12) и автономных обыкновенных дифференциальных уравнений. Простые примеры показывают, что полная интегрируемость системы (15) не является необходимой для разрешимости уравнения (14). Однако, она становится таковой, если потребовать полную разрешимость уравнения (14) в следующем смысле. Пусть пространство Е является дополняемым подпространством пространства Г . Семейство C x\t r топологических дополнений подпространства Е называется полным, если каждое Gx обладает таким топологическим дополнением Е , что из условия Р у= о {хеТ) вытекает Lj = 0 ( Рх - непрерывный проектор пространства Г на Gt параллельно Et ). Предположим, что оператор д(у, 2) имеет непрерывный левый обратный для любой точки (J,2)F E Возьмем открытое подмножество Vj- пространства GT и обозначим через Af множество пар функций ос- Vr Е, f:VT— F класса С , для которых отображение (h,x)- p 0)fi+9(1 ), ( ))X есть гомеоморфизм Г на Г Уравнение (14) называется вполне разрешимым, если какое бы Те. Т ни взять и как бы ни выбрать открытое множество Vr с G и функции ( , р ) Л на нем, задача Коши Ц(f ( ))- ( ), Ъ Vr , для этого уравнения имеет единственное решение. Доказано, что уравнение (14) вполне разрешимо тогда и только тогда, когда система характеристик (15) вполне интегрируема. Результаты 14 в идейном плане близки к 2. Здесь на базе теории фильтрующихся множеств приводится общее определение со -предельных и ы-предельных точек движений динамических систем и изучаются свойства этих множеств. Пусть ( 9Т,0.) - динамическая система (Т - топологическая группа, Q - метрическое пространство), ЗС - линейно связное подмножество группы Т , содержащее единицу, " - фильтр в ОС . Множества называются со -предельным и oL -предельным множествами точки хеО. или движения-fc— Я (±, х) (эти понятия включают в себя как частный случай ряд понятий, введенных многими авторами (см. [II, 67, 132, 141, 186])). Вообще говоря, множества 4)(х) и Ы№ инвариантными не являются; инвариантность можно гарантировать лишь для фильтров Г , обладающих следующим свойством согласованности: фильтр Г называется согласованным справа (слева) со структурой группы Т » если для любого X Є и любого t 6 Т существует такое X Є Г , чтоіХ Х (Xt с X ). Если фильтр f согласован слева (справа) со структурой группы Т , то множество со(х) (множество (эс) ) инвариантно. Если фильтр S" обладает базисом, состоящим из связных подмножеств, то для всякого устойчивого по Лагранжу движения множество окэс) связно; для локально компактного пространства 0. с помощью компактификации П.С.Александрова доказано, что со -предельное множество всякого движения либо компактно и связно либо не содержит ни одной компактной связной компоненты (ср. с соответствующим результатом Р.Э.Винограда [29]). В 15 на основании результатов 14 изучаются устойчивые по Пуассону движения (движение і— 2)(і,х) или точка х называется положительно (отрицательно) устойчивой по Пуассону, если для любой окрестности V точки х и любого / f найдется такое i$X , что &(i,x)V (2)(Г,х)є\0 ). Получены следующие результаты: I) в случае коммутативной группы Т любая точка орбиты положительно (отрицательно) устойчивого по Пуассону движения является положительно (отрицательно) устойчивой по Пуассону; 2) если фильтр Г согласован со структурой группыТ и точка х положительно (отрицательно) устойчива по Пуассону, 3) построено множество всех положительно (отрицательно) устойчивых по Пуассону точек; 4) введен в рассмотрение класс рекуррентных движений и изучен ряд свойств таких движений. Результаты 16 связывают устойчивость точки покоя хд динамической системы (2 ,Т, Q) со структурой предельных множеств всевозможных движений. Ясно, что если х+х0 и х0 е оС , то точка х0 неустойчива; обратное не верно (в общей ситуации, когда фильтр Г произволен, это тривиально; в случае обыкновенных динамических систем, см. работу Ю.С.Богданова [17]). В связи с этим обстоятельством вводятся в рассмотрение слабо со -предельные и слабо ос -предельные множества точки -»-+0 ХГ Є +0 Х6Г =( /0(( , )= с?((а01х),с((эсД) } (в случае обыкновенных динамических систем эти понятия введены Ю.С.Богдановым; см. [іб]). Доказано, что если точка х0 обладает компактной окрестностью и фильтр таков, что выполняется некоторое условие (А), означающее, что в точку х0 нельзя попасть за "конечное время", то точка хо неустойчива тогда и только тогда, когда (ср. с [16]). В случае когда Т есть конечномерное векторное пространство, X - замкнутый выступающий конус в Т справедливо следующее утверждение: если точка покоя неустойчива и обладает компактной окрестностью, то существует такое 0 о , что для любого е ] о, 0С найдутся х е {xd(x,x0)=} и t X , что 2 (- fc+ ,x )c В( «,) . Отсюда следует теорема Ю.С.Богданова [17](см. так же [183]) и уточнение некоторых результатов статьи [67]. И теорема Фробениуса и теорема I.I носят локальный характер, т.е. они гарантируют существование решения только в окрестности начальной точки. В этой связи определенный интерес представляют вопросы, связанные с продолжением решений на максимальную (в определенном смысле) область, а также на все пространство Е (если U = Е ). Пусть 6 - некоторое семейство открытых связных подмножеств множества U и пусть (У,Й) ( С о") = 0 ) - решение уравнения (I.I), определенное на множестве 3 , о S Решение (,2.) уравнения (I.I), определенное на множестве _ 6 » назовем продолжением (ср. с [103]) решения [у, ) в классе (Ь f если $! с 5L и С )= 2(зс) для любого "ХЄ S « Решение ( , $ ) называется непродолжим ы м в классе 6 , если не существует продолжения этого решения в классе 6 Обозначим через f множество всевозможных открытых одно-связных подмножеств множества \J . Теорема 1.2. Для любой точки (х„у0)єи V" существует непродолжимое в классе Г решение ( , х0ч0) вполне интегрируемого уравнения (I.I), обладающее свойствами: X0SX„ 00= . Доказательство . Обозначим через и совокупность таких Й . f , что 1) о S ; 2) существует такая дифференцируемая функция %s : $ — f , что пара ( s , э) является решением уравнения (I.I), удовлет воряюшим начальному условию У$ С » So Множество у не пусто. Введем в 5ос0уе структуру частичного порядка по правилу: g $ , если с . Покажем, что каждое линейно упорядоченное множество Г с Sx.g0 ограничено сверху в ГХо 0 . Пусть S0 = U S (1.5) Ясно, что х0е S0 и множество $0 односвязно (односвязность легко вытекает из того, что образ каждой кривой в 30 компактен и, значит, пересекается лишь с конечным числом множеств S из S ). Определим функцию ys S0 — V следующим образом: для о ЛЮбОГО Х: $0 ПОЛОЖИМ У (х) г Ч (х) , ГДЄ S ТЭКОВО, ЧТО %$. Очевидно, это определение корректно, функция Ч,- дифференциру-ема в каждой точке х$0 , удовлетворяет начальному условию i s (х, ) = У. и уравнению (I.I). Следовательно, пара( ,) является решением уравнения (I.I), а значит Se fxoy,, в си лу (1.5) $0 гэ S для любого S! Є $ » т.е. $!0 являет ся мажорантой для $" ъ& Отсюда и из леммы Цорна следует, что в уоу0 найдется максимальный элемент, т.е. такое S1 Г , что не суще ствует St $Х0% , УДОВЛеТВОрЯЮЩеГО УСЛОВИЯМ S S эс0 у„ S = = Soceyp Значит существует такая непрерывно дифференцируемая функция JJ: $0. - "V" , что пара ( , $0.) образует непродолжимое в классе Г решение уравнения (I.I). Теорема доказана. Везде дальше, говоря о решении уравнения (I.I), удовлетворяющем начальному условию у( о) = у0 , будем понимать непродолжимое в классе Г решение (У, ос„у0) » построенное при доказательстве теоремы 1.2, в связи с чем символ Іх в обозначении решения будем опускать и говорить просто о решении LJ. , удовлетворяющем начальному условию ус о)=уо . Здесь же уместно отметить, что множество $-х0% , вообще говоря, определяется неоднозначно; это легко следует из построения 5їоу0 (в частично упорядоченном множестве, как правило, максимальный элемент не единственен). Впервые на этот факт (в случае ciCm Е , ckimF = ) было указано в [128]. В связи с этим в докладе [158] предлагается рассматривать решения уравнения (I.I) на многолистном пространстве, накрывающем Е , на котором уже существует единственная максимальная область определения каждого решения. Замечание . Доказательство теоремы 1.2 дословно повторяется, если в качестве F взять совокупность всевозможных открытых связных подмножеств множества U . Следовательно, можно утверждать, что для всякой точки (зс0їув)є UxV существует непродолжимое в классе открытых связных множеств решение (у,Х-эс У, область определения "-х0у0 здесь также определяется неоднозначно. Пусть ф : f — ?+ ( R+ - множество действительных неот ы рицательных чисел) - непрерывно дифференцируемый функционал, удовле творящий у словию f : Е — К-+ - непрерывный функционал, ограниченный на всяком ограниченном множестве И из Е , т.е. Предположит/!, что правая часть уравнения (I.I) определена на Е F . Имеет место Теорема 1.3. Пусть функция f ограничена на каждом ограниченном множестве из Е F и удовлетворяет в EXF условиям Фробениуса (1.2). Если существует непрерывная числовая функция 6 , определенная на [о,оо С , принимающая положительные значения, и такая, что имеют место условия Как правило, в каждом конкретном случае отображение f не является совершенно произвольным, а удовлетворяет определенным требованиям, вытекакыцим из структуры исследуемой задачи. В настоящем параграфе предъявляются минимальные требования к f , которые, с одной стороны, позволяют охватить достаточно широкий круг задач устойчивости движений, а с другой стороны, - дают возможность корректно ввести различные понятия устойчивости. Пусть Q. - метрическое пространство с метрикой cL , Т -произвольное множество, точки которого можно трактовать как "моменты времен и", Ж и Р - его подмножества ( ЗС - множество устойчивости, -множество начальных моментов времени), f - отображение произведения T T Q. в Q. . Четверку (,Т, 3\Q) назовем системой движений, если f(,t,x)-x для любых ±є#\хєО. , При фиксированных t ,3 0. отображение 4-- f(, ,3 ) называется движением, порожденным начальным условием (начальной точкой) (t зсе)Є 9 0. Движение - f(,i0,a;) называется покоем (а соответствующая точка ос0 -точкой покоя), если f (,T,T0)=oco для любых i T, Те Предположим, что S - подпространство пространства 0.,3 ,-некоторая точка в S » 2 Схо) - фильтр окрестностей в $ этой точки, 1 - фильтр в 2 , сходящийся к Ос0 (быть может в топологии, отличной от топологии, порождаемой метрикой ct ). Упорядочим множество 26 с помошью отношения з , обозначим через б фильтр сечений упорядоченного таким образом множества 1 и Точку С оОєЗ 5І и движение i— f(i t0,xb) , определяемое этой точкой, будем называть (ср. с [18]) у с т о й ч и в ы -ми относительно множества sf и фильтра . или обладающими Ъ-свойством, если (+0, (,) = 0 . Если хь - точка покоя и функция В- ФЛ»0 стремится к нулю по фильтру 6 равномерно относительно і0бф , то точка Х6 обладает RS "В-свойством или равномерно устойчива относительно множества и фильтра Зі і при этом равномерность стремления к кулю означает, что для всякого о найдется такое В& =:& , что (B,t0, ) 6 для любого Be , B i В, и любого + 6: . в случае S = Q., = (0) устойчивая относительно 5 и 3 точка Ct0,:O єфхф. (равномерно устойчивая относительно 5 и 1 точка OcoeQ ) будет называться устойчивой (равномерно устойчивой). Если 2 - фильтр в S » мажорирующий CS , то из "ЗЬ --свойства ( R -свойства) следует S S-свойство (RS3 -свойство). Пусть во множестве дС задан фильтр f . Точка (+0,а;) $ и движение, ею порождаемое, обладают S"bf -свойством или являются асимптотически устойчивыми по фильтру? относительно множества S и фильтраїВ . если они обладают S3 -свойством и существует такое В (0 36 , что для любого х В (40) Точка покояос0єЗ называется равномерно асимптотически устойчивой по фильтру Ч относительно и 3 или обладающей RS SS -свойством, если она обладает " -свойством и существует такое Ве"32 , что для любого 6 о найдется такое Х Г » 4Tocl(?c0,fCfc,ie130)«f для всякого i Х $- и всякого хе В . В случав %-0.,Ъ=ЪСХо) асимптотически устойчивая по фильтру относительно S и TS точка C"tD, X0) 3 xQ (равномерно асимптотически устойчивая по фильтру относительно Й и ЗЬ точка покоя х0е Q.) [ будет называться асимптотически устойчивой по фильтру 5 (равномерно асимптотически устойчивой по фильтру Г ). Нетрудно показать, что если фильтр Г в X сильнее фильтра f , то выполнение ъ &$ -свойства ( R.S Ъ Г -свойства) влечет выполнение S3 $ -свойства ( R.S3$ Г -свойства). 2. Как уже отмечалось выше, приведенные определения устойчивости и асимптотической устойчивости являются достаточно общими. Для иллюстрации этого рассмотрим ряд примеров. а) Прежде всего отметим, что любое уравнение (I.I), каждое решение которого определено на Б , порождает систему движений tf,E,E,F) , в которой f( , o,2e) = Я(«) , тсєЕ, і/сх) -решение, удовлетворяющее начальному условию ( )= ,Ф=Е . Из предложения 1.2 следует, что всякое движение этой системы -устойчиво, если в качестве УС взять произвольное компактное множество. движений (,Т,9,0.) определим следующим образом: (1,2, )-9( ) 1(2., , )=: х . В этом случае и устойчивость точки (2г,ос0) означает непрерывность р в точке осо . Отметим, что в схему этого примера легко включается понятие устойчивости систем автоматического регулирования, отождествляемое с непрерывностью оператора "вход-выход" (см. [12, 76, 86]). Бели же р(х есть решение некоторого операторного уравнения Ац= X » т0 устойчивость системы движений (f7T,3і,&) означает корректную разрешимость этого уравнения (см., например, [174]). Если пространства Е и Г конечномерны и орбита S(yp) относительно компактна, то она ограничена, и почти периодичность решения х— Й( с у0) вытекает из представления А.И.Перова операторной экспоненты ехр (Ах) через характеристические функционалы [135]. Предложение доказано. Предложение 3.4. Для того чтобы все решения уравнения (3.2) были почти периодическими необходимо и достаточно, чтобы все орбиты этого уравнения были относительно компактными. Дока зательство . Необходимость следует из предложения 3.3. Установим достаточность. Пусть все орбиты урав нения (3.2) относительно компактны; следовательно, при любом tyeF функция х- ,ехр(Дх)Ц будет ограниченной. В силу теоремы Банаха-Штейнгауза найдется такая положительная постоян ная 14 , что Це-xp (Дх) М при любых хеЕ . Возьмем произвольное yoE . Поскольку орбита S(J0) относительно ком 65 пактна, то для любого о существует конечная &-сеть в МНОЖеСТВе $(у0) , Т.Є. сушеСТВуЮТ Такие ТОЧКИ .---, tv в $(%0) что для любого уь $( 0) найдется , П, п.] , удовлетворяющее неравенству 15}-! . . Так как -$(у0) , то для некоторых сц,..., а- из Е выполняются равенства (3.12), Баз труда проверяется, что точки 0,,,,...,0, образуют .П-сеть пространства Е в метрике cL , т.е. пространство Еу пред-компактно. Предложение доказано. Критерий почти периодичности, даваемый предложением 3.4, является мало эффективным, поскольку вопрос об относительной компактности орбит в общем случае решить не удается. Сейчас будет приведен один результат, который дает достаточно эффективные признаки почти периодичности всех решений уравнения (3.2). В случае одномерного Е такие признаки были получены в работе [185]. Предположим, что пространство f является гильбертовым со скалярным произведением » и при любом h Е оператор А к вполне непрерывен. Тогда имеет место Теорема 3.2. Если все решения уравнения (3.2) ограничены, то все решения этого уравнения почти периодичны. Ограниченность всех решений уравнения (3.2) имеет место тогда и только тогда, когда для некоторого обратимого оператора Те L (RF) выполняется равенство ТАКТ"1 +СТ Г±САЮЛТ = 0. (3.13) Доказательство. Вторая часть теоремы легко следует из теоремы Б,-С.Надя [70] об устойчивых коммутативных группах операторов. Установим первую часть теоремы. Введем в уравнение (3.2) новую неизвестную функцию ї по формуле -=TJ- (3.14) Тогда для определения % получим вполне интегрируемое уравнение Обозначим через ов замыкание линейной оболочки множества 3\, , а через JST - ортогональное дополнение подпространства Ь6 в (через х— УтС с Уо ) обозначено решение уравнения (3.15) с начальным условием гі і%) % ) Отсюда, из ограниченности 2)(.E,j0) и полной непрерывности оператора ТА К следует относительная компактность орбиты 3( 0) . Повторяя рассуждения, использованные при доказательстве предложения 3.4, легко установить, что отображение У.— JjC1»! ) почти периодично. Если у о » то почти периодичность решения Х- (эс,ув) вытекает из следующих хорошо известных факто в: конечная линейная комбинация почти периодических функций есть почти периодическая функция и предел равномерно сходящейся последовательности почти периодических функций является почти периодической функцией. Пусть ц б J\p . Для любого и в f в силу (3.13) имеем (TAhT-Via = (4„,lTV(AhfT ) = - S(0,TAkT- M)= 0 . 6Г Следовательно, ТАКТ Цв Ф . Отсюда вытекает, что irC W expCTAxT"1) уо , т.е. Ло есть точка по коя уравнения (3.15), и, значит, функция х— т(х, зв) почти периодична. Поскольку любой вектор уеб f единственным образом представим в виде уо= ir+ur , где яге? ureJV , то отображение х- т(х,уо)= т(х,у)+ JJr(х,гіг) является почти периодическим как сумма двух почти периодических функций. Таким образом, любое решение уравнения (3.15) является почти периодическим. В силу (3.14) все решения исходного уравнения (3.2) так же будут почти периодическими. Теорема доказана.
сятся к вполне интегрируемым уравнениям. Например, классичес
кое уравнение Пфаффа
ж
, ^,...,^)0^ = 0, (5)
линейных уравнений [ 64-66, 135, 136, 139, 188] (фундаменталь
ная система решений, формула Коши, сопряженные системы, пони
жение размерности фазового пространства, различные оценки ре
шений и др.). Исследование линейных уравнений с постоянными
коэффициентами в ряде работ связывается со спектральной теори
ей операторов А из пространства LCE ; L (F-, f)) , удов
летворяющих равенству
подпространство |(^й) Е замкнуто в Г , орбита (%) являет-
ли существует такой гомеоморфизм ^'- Г —> 'MF')
что для всякого решения X—>^(х,^) выполняется равенство
и точка х положительно (отрицательно) устойчива по Пуассону,
то Общие понятия устойчивости движений
Характеристические функционалы решений
Выпрямляемость и структура окрестности регулярной точки
О связи непрерывных и дискретных уравнений
Похожие диссертации на Исследование задач качественной теории вполне разрешимых уравнений
