Введение к работе
Жщалъносяъ г&ш. ГраизчЕНэ задачи в теорзн ДЕффзрзнпд-апьшж уравнений в частных производных гявтзт особое шсто и в первую очередь из-за вх прикладного значепгя. Теория граничных задач, как часть теории дэфзрэнцгтльвых уравнений, собственно їщез как опрзделяїщая часть, традиционно развивалась в направлэ-зиях пало связавши ьъздз собой сообразно тзпш дайэрзнцдальвня уравнений, для воторнх ставились граничные задачи. Понятие типа, зфоргйшнееся к трвдцаткм годам нашого столетия для сравнений и зистем в работах й.Г.Петровского,сильно продвинуло тэориэ грзнич-шх задач,объединив разрозквнше, но близкие по характеру результаты в три сетстоятельннх направления, соответственно типу:
?ЛЛШГШЧ8СК0!ДУ, ПарабОДНЧвСКООД, ГЕПбрбОЛЕЧвСКО?Ду. СООТЕЭТСТВЗНЕО
лщу уравнения ставятся и гранвчнкэ задачи, поскольку,как оказа-гось, гравнчндо задачи корректно поставленные для одного типа Травневий, некорректно поставлены для другого. Теорзя гравжшж здач, корректных внутри типа, общрка я досточно известна,теория раннчних задач для бестшнш: уравззннй и еэтепзчшзх задач для ;акшго типа ураЕЕвнна.ншюркм в осговвш посвящена данная работа, элзет только первое шаги, еэ вкзя, как правило, сколько-нибудь еткпх орзвнтпров. В этой области исследовании, ВОСХОДЯЩИХ к і.Дцагару, (см.обзор п результати в книге Б.И.Шашника) сястека-нческя изучались грашчвнэ задачи для уравнвнна с яостояншаш оайзцгзктая в ідаг.з>уголькіх областот,паралл9^эшшэдэ,цшЕНДрз, для гаіфш.:оугольшх областей вопроса едкнствониосга решения завчи Дзрзхяэ для волнового уравнения в шюскоа области. 1%вется экез ряд отдэльннх результатов по разрэЕЕгостя, трпвпаЕьной раз-ївешхян, корректности граничних задач, в основном задачи Дврнх-
- A -
лэ. Болшоэ чесло работ, начиная с работ Н.И.Взшка и Л.Х0р,зан-дэра, посвнцэно ошцслонш понятея граничной задачи ж пзучонш» свойств граничных задач с точка зрэнпя фуЕЩЕональтго вяашза. В этом подхода однородная граничная задача проявляется в заданш области определения расширения оператора ДЕффзрвпщіалького уравнения. Если расширение разрэщшэ, то соотв&тствущая грантшая задача корректно поставлена, ш.шпрЕЬэр.кннги А..А.Дэзенз, Ю.Ы.Бэ-рэзанского, В.И.Горбачук и М.Л.Горбачука. Главные проблэш в этой области исследований, иногда называет! общей теорией граничних задач, состоят в указании классов операторов, для которых существует корректно поставленная граничная задача,и в описании шоаос-гаа корректно поставлвшіх граничных: задач для классов операторов и кошрэтно заданных диффэрэнцйальшп: операторов, а такса в описаний свойств классов корректно поставленных граничных задач.Фун-дакэнтальвь&з здзсь является представление о граничных свойствах решений дифференциальных уравневий.на которых основшается само понятие граничной задачи. Теория граннчшж свойств решений даЗФз-нциадьшх уравнений,берущая свсэ начало с классического представ-ння граничного значения непрерывной функции как ограничения ее на ШДМШ2ЭСТЕ0 областн ее определения, развивавшаяся вначале как теория граничных значений аналитических функций, после работ С.Л.Соболева превратилась в новое направление псследовашй в тео-рш функций, в творш дифференциальных уравнений и грзнЕЧШх задач для них, без которш: соврекзннцй анализ нввозіаогна сейчас представить. Такш образов, теория краеня: задач для даффзренцд-альЕнх уравнений и теория грашчшх значений рвшепзй является актуальны?.;!! .
Цель ро&ка. Изучение граничных задач для дЕффзрзщйальтк
уравнений и систем в частных производных общего вида и связанных с ними граничных свойств решений.
Uemodu исследования.Основным методом изучения граничных задач в настоящей работе и в теоретическом и вычислительном плане является анализ формулы Грина.Краткое описание используемых методов
Tsops^sjciscisap. и прсиимчвснзя "?ннос5ь исследования u G80 научная новизна. Предлагается и аппробируется несколько подходов к изучения граничных задач для общих уравнений,основанных на формуле Грина. Для каздой функции из области определения максимального оператора доказывается суіцаствование в распределениях следовых Еыраганаа.называвкых автором ассоциированными следами, проводится изучение их свойств, что позволяет, в частности, получить необходимое и достаточное условие связи ассоциированных следов реиенпя однородного уравнения, изучается пространства таких следов и связанных с ними операторов, что позволяет исследовать один класс общих граничных задач, а таксе пространства, связанные с дифференциальной операцией. Условия связи ассоциированных следов решения изучаются для уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами в общей области на плоскости, откуда следует, в частности, что задачи Дирихле и Неймана обладают одинаковыми свойствами , и что позволяет такге исследовать первую, вторую и третью граничные задачи в круге. Изучается типичность свойства единственности решения граничных задач, а такгэ единственность решения задачи Дирихле для ультрагипэрболического уравнения в шаре. Все перечисленные результаты являются новыми.
Апробация работы.Результаты исследований докладывались на III Международном Конгрессе по прикладной и индустриальной математике
- б -
1С1ДЫ-95(Га&5бурт1995),на Международной конференций по теоретическим вопросам математического моделирования (Берлин,1990),на 1-й КэЕДународяой конференции памяти акад.Кравчука, на сэш републн-канских конференциях по дпфіїеренциальнш уравнениям, нэлшвйшьзу анализу и математической фвзкке, на Воронежской школе по фуккцео-надьнощ анализу(1936),на сешнарах профессоров: В.С.ВладеаЕрова; А.В.БЕцадаа;В.А.Илыша;И.М.Лавреш,ьвва и В.Е.Аишэнова;Н.В.Скрш-ннка;О.Н.Березанского и М.Л.Горбачука;М.1.Горбачука;А.А.Дазіша ж В.Н.Масл8ННЕКОБо2;А.А.Двзина;В.П.Шїайлова;А.К.Гррїна; В.П.Кахай-лова и А.К.Гущша;В.Я.Скоробогатык> н Б.И.Пташнка;В.И.Бурэнкова.
Пуамакщии.Ио текэ диссертации опубликовано ЗЄ научных работ. Из hex 19 работ в научных дурналах, 1 прэпрэЕТ, 4 допоннраванще рукописи, 11 тезнсов докладов.
Объел и сщруищ/ра диссертациях. Дшзертащш состоят ез введення, пята глав ж сшска цитированной литература, который вішяает 162 названия.ООЬэм работа - 283 машинописна страншр.
