Введение к работе
Диссертационная работа посвящена развитию теории краевых и начально- краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и систем, возникающих при исследовании задач механики сплошной среды. В работе исследуется разрешимость, строятся явные решения линейных и нелинейных краевых задач для аналитических функций, связанных с ними нелинейных интегральных уравнений, эти результаты применяются для качественного анализа современных проблем математического анализа и математической физики. Для реализации этих целей проводится существенное развитие конструктивно-аналитических методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций, которые используются в комбинации с новыми вариантами теоремы о неявной функции, метода монотонных операторов, метода Ньютона-Канторовича, метода функциональных уравнений. Разработанные подходы применяются при изучении различных проблем математического анализа (в частности, на основе исследования специальной системы интегро-функциональных уравнений доказана вещественная аналитичность оператора, ассоциированного с конформными отображениями, разработан приближенный метод вычисления значений данного оператора, установлена вещественная аналитичность различных модификаций оператора Шварца) и задач механики жидкостей и газов (доказано локальное существование и единственность аналитического решения системы из эволюционного уравнения и нелинейной краевой задачи, которая описывает поведение свободной границы раздела двух сред в неограниченной и ограниченной ячейке).
Актуальность темы диссертации.
Постановка нелинейных задач для аналитических функций восходит к диссертации Б.Римана. Важный этап развития исследований таких задач связан с работами А.Пуанкаре, Т.Карлемана, рассматривавших данные задачи в связи с многочисленными приложениями, а также Ш.-Э.Пикара, Г.Пика, К.Каратеодори (в связи с задачами теории конформных отображений). Д.Гильберт инициировал применение метода интегральных уравнений для решения линейных и нелинейных краевых задач для аналитических и гармонических функций и построил основы теории сингулярных интегральных уравнений, развитой в дальнейшем в трудах Ф.Нетера, И.Племели.
Этапным для теории и приложений краевых задач для аналитических функций было конструктивное построение Ф.Д. Гаховым в 1936 г. решения краевой задачи C-линейного сопряжения (линейной краевой задачи Римана), а также исследование разрешимости этой задачи в терминах индекса ее коэффициента. Данная работа положила начало развитию конструктивных (аналитических) методов для краевых задач теории аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений. Результаты как теоретического, так и прикладного характера, полученные в этом направлении, представлены в известных монографиях Ф.Д. Гахова, Н.И. Мусхелишвили, И.Н. Векуа, Э. Май- стера, З. Пресдорфа, а также в монографиях и обзорных статьях Л.А. Ак- сентьева, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова и Ю.И. Черского, Н.В. Говорова, И.И. Да- нилюка, А.Д. Джураева, Э.И. Зверовича, В.А. Какичева, Н.К. Карапетянца и С.Г. Самко, Г.С. Литвинчука, Л.Г. Михайлова, С.Г. Самко-А.А. Килбаса- О.И. Маричева, А.П. Солдатова, Л.И. Чибриковой, Б.В. Хведелидзе.
Другое направление исследований в этой области восходит к работам Д.Гильберта, Ф.Нетера, Н.Винера и Э.Хопфа, Р.Куранта и может быть охарактеризовано как качественно-аналитическое. В рамках этого направления основными являются проблемы нахождения условий разрешимости соответствующих задач и интегральных уравнений, а также создание (если возможно) приближенных методов их решения. Данные результаты опираются, в основном, на базовые понятия и результаты линейного и нелинейного функционального анализа. Основные достижения, полученные на основе этих методов для краевых задач теории для аналитических и гармонических функций и сингулярных интегральных уравнений, связаны с именами Б. Боярского, Л. фон Вольферсдорфа, И. Гохберга и Н. Крупника, С.Г. Михлина, В. Погоржельски, Д. Пшеворской-Ролевич, И.Б. Симоненко, А.И. Шнирельмана.
Потребности приложений привели к необходимости рассмотрения новых нелинейных краевых задач и нелинейных интегральных уравнений. Конструктивное и качественное исследование таких задач и уравнений потребовали привлечения результатов различного типа. Таким образом, отмеченное выше разделение на два направления, близких по объектам исследований, но различных по применяем методам, стало еще более резким. Оказалось, что обобщение конструктивных методов на случай нелинейных задач возможно только для не очень широкого класса задач. Кроме того, требуется создание новых технических приемов для решения специфических проблем, характерных только для нелинейного случая. Полученные в этой области результаты относятся, в основном, к нелинейной степенной задаче сопряжения, нелинейной задаче Римана-Гильберта степенного типа, задаче типа произведения, задаче о модуле и обобщенной задаче о модуле, а также некоторым задачам смешанного типа. Следует отметить в этой связи работы Е.П. Аксентьевой, Г.В. Аржанова, Ф.Д. Гахова, Н.В. Говорова, В.В. Кашевского, И.И. Комяка, Г.С. Литвинчука, В.К. Наталевича, Ю.В. Обносова, Н.А. Рысюк, М.Э. Толоч- ко, Г.П. Черепанова. Однако исследования в этой области далеки от своего завершения в силу ряда причин. Во-первых, необходимо разрабатывать новую технику исследования, что сопряжено с привлечением аппарата смежных областей анализа, а также с решением специфических проблем, отражающих существо нелинейных задач. Во-вторых, постановки задач и классы решений пока еще не устоялись и нуждаются в уточнении, так как, с одной стороны, реализуемость конструктивных подходов побуждает рассматривать достаточно простые постановки и классы решений, в то время как, с другой стороны, потребности приложений приводят чаще всего к сложным комплексным задачам и специфическим классам решений.
В действительности подчеркнутые особенности характерны и для качественно-аналитического направления, хотя в некотором смысле возможности применения качественных методов приводят к более широкой гамме изучаемых объектов. Следует отметить, что в нелинейном случае задачи, рассматриваемые в рамках этих направлений, разнятся гораздо в большей степени, нежели в линейном случае. В рамках качественно-аналитического направления чаще всего рассматриваются нелинейные интегральные уравнения. Исследование нелинейных краевых задач (в том числе и возникающих в приложениях) с использованием методов этого направления обычно сводятся к изучению интегральных уравнений или систем. Результаты по нелинейным интегральным уравнениям и связанным с ними краевым задачам приведены в монографиях и статьях Х. Бегера и Г. Вена, В. Вендланда, Э. Вегерта, Л. фон Вольферсдорфа, Д. Гайера, А.И. Гусейнова и Х.Ш. Мухтарова, А. Джураева, А.И. Шнирельмана, М.А. Эфендиева. Исследования в этой области также не завершены: как в теории, так и в практических приложениях возникают новые задачи, которые требуют дальнейшей разработки теории нелинейных интегральных уравнений и нелинейных краевых задач, построения новых методов исследования и применения данных результатов в конкретных ситуациях.
Таким образом, развитие конструктивно-аналитических и качественных методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных сингулярных уравнений, а также их применение к задачам математического анализа, механики и теоретической физики, является важным и актуальным как для развития общей теории разрешимости краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений и нелинейных интегральных уравнений, так и для их приложений к построению и исследованию новых моделей естествознания.
Связь работы с крупными научными программами, темами.
Исследования проводились на кафедре теории функций Белорусского государственного университета в рамках государственных программ фундаментальных исследований Республики Беларусь, программ Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь (в том числе, совместной темы Российского Фонда Фундаментальных исследований и Фонда фундаментальных исследований Республики Беларусь), а также международных научных программ.
Цель и задачи исследования.
Целью диссертационной работы является развитие теории краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и систем, возникающих при исследовании задач механики сплошной среды, а также приложение этих результатов для качественного анализа современных проблем математического анализа и механики сплошной среды.
Для достижения поставленной цели необходимо:
дать аналитическое решение векторно-матричной краевой задачи Римана-Гильберта для многосвязной круговой области;
получить условия разрешимости, дать решение в замкнутой форме и описать множество решений нелинейной степенной краевой задачи;
исследовать разрешимость дробно-линейной краевой задачи на основе использования методов теории факторизации и уравнений Тёплица;
развить качественно-аналитические методы исследования особых нелинейных интегральных уравнений и включений (метод монотонных операторов, теорема о неявной функции);
исследовать разрешимость систем нелинейных интегрально- функциональных уравнений, возникающих при построении конформных отображений;
доказать аналитичность нелинейных операторов, связанных с конформными отображениями;
получить решение задачи вычисления конформных отображений на основе применения метода Ньютона-Канторовича к исследованию специальных систем нелинейных интегрально-функциональных уравнений;
доказать регулярность нелинейных операторов, связанных с решениями краевых задач для аналитических функций;
доказать локальное существование и единственность аналитического решения системы из эволюционного уравнения и линейной краевой задачи, которая описывает поведение свободной границы раздела двух сред в неограниченной и ограниченной ячейке;
установить локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева с регуляризацией кинетического типа;
установить локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области.
Объект и предмет исследования.
Основными объектами исследования являются нелинейные краевые и начально-краевые задачи для дифференциальных уравнений, нелинейные интегральные, интегро-функциональные и операторные уравнения.
Предметом исследования является построение в замкнутой форме решений новых типов линейных и нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений в комплексных областях, качественный анализ разрешимости линейных и нелинейных краевых задач для аналитических функций и связанных с ними нелинейных интегральных, интегро-функциональных и операторных уравнений и систем уравнений, начально-краевых задач для эволюционных уравнений, а также приложение результатов к исследованию новых сложных задач математического анализа и механики сплошной среды.
Научная новизна и значимость полученных результатов.
Все результаты диссертации являются новыми.
В диссертации дано развитие теории нелинейных краевых и начально- краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности существенно развиты конструктивно-аналитические и качественные методов исследования нелинейных краевых задач для аналитических функций и нелинейных сингулярных интегральных уравнений. Получено решение новых типов линейных и нелинейных краевых задач на основе комбинации метода аналитического продолжения с методом функциональных уравнений, методом дискретного ламинирования функциональных пространств. Предложенные формулы решений дают возможность использовать в дальнейшем полученные результаты для нелинейных краевых задач при изучении смежных вопросов математики (например, теории конформных и квазиконформных отображений), а также механики сплошной среды (теории фильтрации, механики пористых сред и композиционных материалов, теории упругости и упруго-пластичности).
Исследованы новые случаи нелинейных интегральных уравнений и включений на основе современных вариантов метода монотонных операторов и теоремы о неявной функции.
Комбинации разработанных в диссертации конструктивно-аналитических и качественных методов исследования линейных и нелинейных краевых задач и сингулярных интегральных уравнений применяются для изучения новых типов проблем математики и механики.
Впервые дано аналитическое исследование новых типов задач, связанных с регулярностью операторов, ассоциированных с конформными отображениями и решениями краевых задач. Доказательство вещественной аналитичности данных операторов дает возможность получить существенное продвижение в изучении граничных свойств конформных отображений и решений краевых задач, что имеет важное значение при изучении новых моделей механики сплошной среды. Полученные для этих задач результаты имеют самостоятельное значение. В частности, из аналитичности оператора, ассоциированного с конформными отображениями, вытекает гладкость граничной функции конформного отображения в случае, когда граничная линия области обладает аналогичной степенью гладкости. Кроме того, показана аналитическая зависимость конформного радиуса от параметризации граничной кривой (в случае односвязной области), а также конформных модулей от параметризации граничной кривой (в случае многосвязной области). Предложенная схема построения конформного отображения на основе применения метода Ньютона- Канторовича может быть реализована для приближенного вычисления конформных отображений. Аналитическая зависимость модификаций оператора Шварца от граничной кривой может использована, например, при исследовании задачи зависимости эффективных характеристик композиционных материалов от возмущения геометрии включений.
Установлена однозначная разрешимость системы из эволюционного уравнения и нелинейной краевой задачи, описывающей поведение границы раздела сред в плоской ячейке. В качестве приложения доказано локальное существование и единственность аналитического решения задачи Виноградова- Куфарева с регуляризацией кинетического типа. Предложенный способ решения позволил показать, что применение регуляризации кинетического типа делает рассматриваемую модель дающей более точное соответствие теоретических результатов экспериментальным данным. На основе применения теоремы Овсянникова для абстрактного эволюционного уравнения установлено также локальное существование и единственность аналитического решения комплексной задачи Виноградова-Куфарева в ограниченной области. Разработанный метод может быть применен при исследовании других моделей двумерной механики сплошной среды.
Методы исследования.
В работе развиваются методы комплексных дифференциальных уравнений, в частности, теории краевых задач для аналитических функций и интегральных уравнений в сочетании с такими современными методами как метод функциональных уравнений, метод дискретного ламинирования функциональных пространств, методы монотонных операторов. Применяются также абстрактные теоремы о неявных функциях, современные варианты теоремы
Ньютона-Канторовича, теорема Овсянникова о разрешимости эволюционных уравнений в шкалах банаховых пространств.
Практическая (экономическая, социальная) значимость полученных результатов.
Работа носит теоретический характер и вносит вклад в исследования линейных и нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений, в частности нелинейных краевых задач для аналитических функций, нелинейных сингулярных интегральных уравнений и их приложений.
Полученные результаты могут быть непосредственно использованы в теоретических исследованиях свойств композиционных материалов, а также при построении моделей течения жидкостей.
Построенные замкнутые решения нелинейных краевых задач могут быть использованы в качестве расчетных формул для численного моделирования задач механики сплошной среды.
Качественно-аналитические результаты, развивающие метод нелинейных интегральных уравнений, могут быть применены для качественного анализа сложных моделей и систем, в частности, возникающих в прикладных задачах.
Аналитичность операторов, ассоциированных с конформными отображениями, а также решение систем нелинейных уравнений, определяющих конформные отображения, будут использованы для приближенного построения конформных отображений и при анализе свойств регулярности функций в односвязных и многосвязных областях. Аналогичные идеи могут найти свое применение в теории квазиконформных отображений, в частности, в задачах голоморфной динамики. Они смогут найти приложение в задачах теории композиционных материалов, теории упругости, механики жидкостей и газов.
Результаты диссертации могут быть использованы в научных коллективах, проводящих исследования в области линейных и нелинейных краевых и начально-краевых задач для дифференциальных уравнений и их приложений, в частности, в Белгородском, Белорусском, Казанском, Московском, Одесском, Ростовском, Харьковском университетах, а также в ВЦ РАН, Институте математики и механики им. Н.Г. Чеботарева при Казанском университете, Институте математики с ВЦ Уфимского научного центра РАН, Институте проблем механики им. М.В. Келдыша.
Апробация результатов диссертации.
Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях в Беларуси, Бельгии, Болгарии, Великобритании, Германии, Италии, Литве, Польше, Португалии, Турции, России и Украине. С сообщениями о результатах диссертации автор выступал на семинарах: Белорусского математического общества (рук. академик И.В.Гайшун, 2001, 2004 гг.), по обратным краевым задачам кафедры математического анализа МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. А.И.Прилепко, 2005 г.), по математическому моделированию и математической физике, ВМиК МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. проф. И.К.Лифанов, 2006 г.), кафедры функционального анализа и приложений МГУ им. М.В.Ломоносова (рук. академик Е.И.Моисеев, 2009 г.), по дифференциальным уравнениям Белгородского государственного университета (рук. проф. А.П.Солдатов, 2010 г.), отдела математического анализа НИИ математики и механики им. Н.Г.Чеботарева (рук. проф. Ф.Г.Авхадиев, проф. Ю.В.Обносов, 2006, 2007, 2008 гг.), кафедры математического анализа Казанского государственного университета (рук. проф. Л.А.Аксентьев, 2008 г.), кафедры теории функций Харьковского госуниверситета (рук. чл.-корр. АН Украины И.В.Островский, 1991 г.), механико-математического факультета Белорусского госуниверситета (рук. проф. П.П.Забрейко, Я.В.Радыно, Н.И.Юрчук, 2001 г.) и неоднократно на Минском городском семинаре по анализу и приложениям им. Ф.Д.Гахова (рук. проф. Э.И.Зверович, проф. А.А.Килбас, доц. С.В.Рогозин). Кроме того, результаты докладывались на семинарах в зарубежных университетах и научных центрах.
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из оглавления, введения, общей характеристики работы, пяти глав, заключения и списка использованных источников, насчитывающих 482 наименования. Общий объем диссертации - 265 страниц, из них 33 страницы занимает список использованных источников.
Опубликованность результатов.
Основные результаты диссертации опубликованы в 60 научных работах. Среди них одна монография, глава в коллективной монографии, 29 статей в рецензируемых научных журналах (в том числе, 13 статей в журналах "Известия вузов. Математика", "Integral Transforms and Special Functions", "European J. of Applied Mathematics", "Mathematical Modelling and Analysis" - 3 статьи, "Mathematische Nachrichten" - 2 статьи, "Complex Variables and Elliptic Equations" - 2 статьи, "Analysis" - 2 статьи, "Zeitschrift fiir Analysis und ihre Anwendungen", входящих в перечни ведущих рецензируемых журналов и изданий ВАК России), 14 статей в сборниках научных трудов и 15 тезисов докладов на международных конференциях. 22 работы опубликованы без соавторов. Общий объем опубликованного материала составляет 471 страницу. Из совместных работ в диссертацию вошли только результаты автора.
