Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах обобщенных функций Кошелева Тамара Михайловна

Данный автореферат диссертации должен поступить в библиотеки в ближайшее время
Уведомить о поступлении

Диссертация - 480 руб., доставка 10 минут, круглосуточно, без выходных и праздников

Автореферат - 240 руб., доставка 1-3 часа, с 10-19 (Московское время), кроме воскресенья

Кошелева Тамара Михайловна. Краевые задачи для дифференциальных уравнений с частными производными с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах обобщенных функций : ил РГБ ОД 61:85-1/741

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Краевые задачи .для регулярных дифференциальных уравнений в частных производных с нарушением условия я.б.лопатинского в классе S 15

I. Некоторые вспомогательные предложения 15

2. Общая граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных в классе 23

3. Общие краевые задачи для системы дифференци альных уравнений в частных производных в классе J 34

4. Примеры 45

ГЛАВА II. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных в классе обобщенных функций при наличии нерегулярных точек 49

I. Исследование задачи типа Коши 49

2. Общая, граничная задача в классе /у 60

3. Примеры 71

Литература

Общая граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных в классе
Общие краевые задачи для системы дифференци альных уравнений в частных производных в классе J
Общая, граничная задача в классе /у
Примеры

Введение к работе

1. Многие задачи математической физики сводятся к краевым задачам для дифференциальных уравнений. Теория обобщенных функций и преобразование Фурье служат удобным средством для исследования линейных краевых задач математической физики в обобщенной и классической постановках. Краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости при помощи преобразования Фурье приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям в классе обобщенных функций [I],

Одним из вопросов этой теории является исследование краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классе обобщенных функций полиномиального роста при нарушении условия Лопатинского.

Пусть J - пространство бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций одной переменной, a J - класс линейных непрерывных функционалов на О (в о рассматривается слабая топология) .

Рассмотрим следующее дифференциальное уравнение где р (X); р (X),. , Д (X) - заданные полиномы действительной переменной X . Под решением понимается функционал LL(t), зависящий от t как от параметра и принадлежащий при каждом фиксированном I > 0 пространству S Производная по t функционала И() понимается в слабом смысле, а производная по X - в обобщенном смысле, то есть _{(да _ ,о\ _} _{сіішьт ід}_uft) _{)_ /,.} _сІч>\ _Itt'V-_ої _; _{Ідх >У)--[}^и_Чш) _. 4 - тцвСиШ,?)- значение функционала Ш) на функции ^LPCX)^S . Определение I. Будем говорить, что решение LL() уравнения (0.1) принадлежит классу J , если для него существуют постоянная С , натуральные числа К- , /} J такие, .что имеет место оценка ftdg, у)) ± _c(,+t "jsug, [«>'xl>L_o І^ШІ] ₍₀.₂₎ для любой функции Wxje S_J t^O_J = O, /,..., /«-/.

Если функционал^не зависит от t , то имеем два определения принадлежности этого функционала классу S , но согласно теореме

Шварца flj эти определения эквивалентны.

Определение 2. Считаем решение U(t) уравнения. (0.1) принад- лежащим классу j,- , если оценка (0.2) имеет место при j -j .

Будем говорить, что U() ^ F~S- , если Fu//J^S/ {Fad)-/ j ' и г Ші) - преобразование Фурье и обратное преобразование Фурье функционала U () по переменной X ).

Делая преобразование Фурье в уравнении (0.1) по переменной X , получим обыкновенное дифференциальное уравнение, имеющее ^ВВД: m / "-' &+#<*>Ж""+'''+&^{х)]/=⁰' ^>0' ^С0'³⁾ где VU) = FUft).

Если Ші) S , то Vtt) также принадлежит классу S и наоборот. Рассмотрим характеристическое уравнение, соответствующее уравнению (0.3)

Пусть J_f (X) _t J л (X);... , Л_т(х) _ корни уравнения (0.4) XeJ,(X)± A*J_x(x)±... &. ЛеА_т(х). (о.5)

Определение 3. Точка Х_а называется регулярной для уравнения (0.1), если в некоторой окрестности этой точки число корней характеристического уравнения (0.4) с Яе)\^.0 остается постоянным. В противном случае она называется нерегулярной. В дальнейшем в высказывании "точка X регулярная или нерегулярная" подразумевается регулярность или нерегулярность этой точки для того уравнения, которое рассматривается в данном случае.

Определение 4. Уравнение С0.1) называется регулярным с показателем регулярности Ъ , если число корней характеристического уравнения (0.4) с ЛгА^ О остается постоянным почти при всех X , равным 2 .

В работе рассматриваются краевые задачи для регулярных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами в полуплоскости в классах

Рассмотрим общую граничную задачу для уравнения (0.1) в пред-положении, что все точки хє Я являются регулярными для уравнения (0.1). Показатель регулярности уравнения (О.І) обозначим через Ъ .

Задача А. Найти решение ІІШ уравнения (0.1) в классе J , удовлетворяющее граничному условию. Z_oU*/⁽'Jr)w^^i , *=Kj (X) - полиномы, f^ - линейные непрерывные функционалы в S'.

Если і = 0 у то задачу # назовем однородной. Рассмотрим следующую систему уравнений:

Ж-Я^ТІЇ^' ^t>0> С-7> где ЦЩ-ІІАШ, ^ь^Ч > №') - искомое решение, компоненты которого являются функционалами из S , J^fx)~ квадратная матрица порядка Пь , элементы которой полиномы. В дальнейшем Щ) будем называть функционалом и значение Ші) на Wx) из S обо- значим через (Ші), Ч).

Пусть Е - единичная т - мерная матрица, X (X), ^(х),..., X^W) - корни характеристического уравнения dit (J-Mx)) = 0. (0.8)

Корень берется столько раз, какова его кратность. Предполагаем, что

Я*Мш±о, L = ii,..., г, _(0#9)

Яг Л' W>0_t і = г+і, z+i,...,nt ₍₀._I0) при-⁰⁰ *x^ , 1 - целое постоянное число, независящее от X .

Задача В. Найти решение уравнения (0.7), принадлежащее классу S и удовлетворяющее граничному условию B(L%%)u/0)=f_t СО.П) где В(Х)~ матрица размерности %х/п~ , элементы которой полиномы, а ^~(/_1; У ... / ) — заданный линейный непрерывный функционал из S .

Предварительно рассмотрим следующие вспомогательные задачи:

Задача Aj. Найти решение уравнения <&*/><*)0-+- +Р_т«)у = 0 (0.12) в классе обычных функций, растущих по і вместе с производными до Щ - і - го порядка не быстрее полинома, удовлетворяющее граничному условию. где tfw (X) - полиномы, входящие в условие (0.6).

Здесь и в дальнейшем рост по t не быстрее полинома понимается при -><- ; в уравнение (0.12) и начальное условие (0.13) переменная X входит как параметр.

Задача Bj. Найти решение уравнения в классе обычных функций, растущих по і: не быстрее полинома, удовлетворяющее условию B(*)tf(X_t 0) = 0, где yix, t) = (^ ГХ, t), у_х(хЛ),..' , #_т (К )) - искомое решение.

Определение 5. Будем говорить, что задача А (В) удовлетворяет в точке Хо условию Лопатинского, если задача A-j-(By) при Х=Х_а имеет только нулевое решение.

В работах Я.Б.Лопатинского [2] получено условие на коэффициенты эллиптического дифференциального уравнения и граничного оператора (условие Лопатинского или условие дополнительности), которое дает возможность свести краевую задачу к системе Фредголь-мовых интегральных уравнений. Как показали дальнейшие исследования /"3-5J А.В.Бицадзе, И.Н.Векуа, И.И.Данилюка, это условие играет основополагающую роль в вопросах существования, единственности, нетеровасти граничных задач и получения априорных оценок.

В монографии С.Агмон, А.Дуглис, Л.Ниренберг /б/ рассмотрена задача Дирихле для однородного эллиптического уравнения ЯП -го порядка:

ILA⁽ⁱ) т* dt^zn-*- ⁼⁰s ^t7> ^Хє^ ⁽⁰-^І5) _ШР-=іш, _*-/,*,...,*, _Ш,ч =f, Ш, К=1, *,..., IV, (0.16) где Л_м - комплексные постоянные.

Предполагается, что уравнение (0.15) правильно эллиптическое, то есть характеристическое уравнение #.^+4^+- + ^-0 (0.17) имеет tb корней с file J ? О и fit корней с file Л*-0 . В работе получено решение с помощью явно выписанных ядер Пуассона. Из этих формул получено обобщение принципа максимума, известного для эл липтических операторов второго порядка, которое состоит в следу ющем: если у (у) є С и -f. (і) /yW, і,..., tb) ограничены, то в классе С существует единственное решение задачи (0.15), (0.16), удовлетворяющее условию

IUCt,t)l± C(1tX^x+t^x)^a^, t*0, Х/' причем это решение удовлетворяет неравенству dt*dt*-4 ^^ L. Щ, //ф t >0 Xe/l где С и C₀ - положительные постоянные.

В этой же работе рассмотрена общая граничная задача для уравнения (0.1), когда условие Лопатинского выполняется всюду, кро-ме точки %=0 , а граничные данные принадлежат классу с и растут не быстрее полинома и доказано существование решения полиномиального роста.

Вышеуказанные результаты монографии [ б] для неоднородных правильно эллиптических дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами обобщены в работе С.Г.Рубановича [1] .

В работе Э.П.Меликсетяна [8] доказано существование и единственность решения задачи Дирихле для однородных слабо связанных эллиптических систем дифференциальных уравнений второго порядка в полуплоскости, когда граничные условия, принадлежат классу и ограничены, а решение ищется в классе ограниченных функций. В работе [9] рассматривается эта же задача и в случае, когда, граничные данные принадлежат классу /_, (-oo_j0c) , а решение ищется в классе функций, для которых где С - постоянная, независящая от t . Доказано существование и единственность решения рассматриваемой задачи.

В работе Е.И.Оболошвили /I0J строятся в явном виде решения ряда граничных задач двумерной и пространственной теории упру -гости в полуплоскости и полупространстве. Предполагается, что граничные данные и искомое решение по пространственным переменным X принадлежат классу /, .

Вопросы существования и единственности решения задачи Коши в полупространстве для уравнения с постоянными коэффициентами в классе обобщенных функций л/ и в классе функций С исследованы в монографии Л.Хермандера /"ilj .

Основным условием существования, и единственности решения задачи Коши является условие гиперболичности уравнения (0.1) в направлении нормали к границе области.

Общая постановка, проблемы об описании корректных краевых задач для уравнения и ее решение даны в работах Г.В.Дикополова /12] , В.П.Паломодова /I3J , Г.Е.Шилова [14] . В этих работах решения уравнения (0.1) разыскивались в классе обобщенных функций u()L_t t), которые при каждом і* О принадлежат пространству Ж , состоящему из квадратично интегрируемых во всем пространстве / обычных функций и их обобщенных производных любого порядка, и возрастают в Ж при t-*+ не быстрее некоторой степени вместе с производными по г до порядка ҐП--І. Так. в работе [I2J было доказано следующее утверждение.

Если обозначить через &^ - множество точек % & , для которых Rz }_Н(Ш)4:0 ( -1,1,..., ҐП) и на множестве G_H задать функции Уц (<Г) продолжаемые до функций из пространства РЖ , где Fs. F - преобразование Фурье, то уравнение (0.1) имеет единственное решение U() , удовлетворяющее условиям и принадлежащее описанному выше классу. Решение непрерывно зави- сит в топологии Ж от заданных функций ^ ((У) .

В работе /13 J были рассмотрены более общие краевые задачи в пространстве ж.

Если условие (0.6) имеет вид p^JuaО) _, /, _i=0/f _гчdt^J - h > J ^и< ' v ^L v то задача (0.1), (0.6) называется задачей типа Коши для уравнения (0.1).

Г.В.Дикополов в работе/157 рассмотрел вопросы единственности и существования решения задачи типа Коши для регулярного уравнения (0.1) в пространстве S . Он доказал теорему о том, что преобразование Фурье всякого решения однородной задачи типа Коши при каждом Т>0 сосредоточено на множестве &%+/ . В этой же работе доказана теорема существования и единственности решения задачи типа Коши в J , в случае, когда все точки регулярные. Вопросы единственности и существования решения задачи Л- в пространстве Tij, (более широком, чем пространство Ж ) рассмотрены в работе А.Л.Павлова /I6j , где приведены алгебраические условия на уравнение (0.1) и граничные операторы в (0.6) (условия дополнительности), достаточные для корректности задачи Л в этом пространстве. Эти условия равносильны тому, что условие Лопатинского для уравнения (0.1) выполняется всюду.

В той же работе рассматривается задача типа Коши в пространстве <% и показана ее корректность для случая, когда все точки X^е Я являются регулярными. При наличии нерегулярных точек исследование задач в рассматриваемых пространствах существенно усложняется.

При решении поставленных задач в пространствах, рассматриваемых в работах /12J *~ /I6J в случае выполнения условия Лопатинского имеет место единственность и разрешимость, а при нарушении - II - этого условия на множестве меры нуль единственность есть, но существование возможно не для любых начальных данных и требуются дополнительные исследования, что, в свою очередь, составляет определенные трудности.

Если для уравнения (0.1) существуют нерегулярные точки, то, как будет показано ниже, однородная задача типа Коши и однородная задача Л в классе S имеют бесконечное число линейно независимых решений, поэтому естественно рассматривать эти задачи в классе F"T,

2. Актуальность темы и цель работы

Настоящая работа посвящена исследованию краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных при нарушении условия Лопатинского в классах J и г j\ .

Как видно из вышеизложенного, эта тематика является актуальной и активно разрабатываемой. Целью работы является: I) исследование в классе S общей граничной задачи для уравнений в частных производных и систем уравнений при нарушении условия Лопатинского в конечном числе регулярных точек;.2) получение алгеб -раических условий на коэффициенты матрицы системы уравнений и на коэффициенты граничного условия, при которых общая, граничная задача для системы становится корректной; 3) исследование задачи типа Коши и общей граничной задачи в классе /- J, , если сущест-вуют нерегулярные точки; 4) выявление дополнительных начальных условий, обеспечивающих корректность рассматриваемых задач.

3 . 0 практической и теоретической ценности результатов.

Полученные результаты представляют теоретический и практический интерес , поскольку получены формулы числа линейно независимых решений однородных задач и указаны методы построения решений однородных и неоднородных задач в рассматриваемых классах. Указаны дополнительные начальные условия., обеспечивающие коррект- ность этих задач. Полученные результаты могут быть использованы при исследовании вопроса корректности граничных задач для уравнений в частных производных (регулярных и нерегулярных) с постоянными коэффициентами в полупространстве при нарушении условия Лопатинского как в классе обобщенных функций, так и обычных функций полиномиального роста.

4. Перейдем теперь к изложению основных результатов диссертации.

Предлагаемая работа состоит из введения и двух глав.

В первой главе исследуются краевые задачи для. дифференциальных уравнений и систем уравнении в классе S при нарушении условия Я.Б.Лопатинского в конечном числе регулярных точек.

В I рассматриваются некоторые вспомогательные предложения, . необходимые для исследования поставленных задач.

В 2 рассматривается общая, граничная задача в классе S С задача Л ). Она приводится к решению системы линейных алгебраических уравнений относительно вектор-функционала W- ( ШО). %eW^^r"' /"4ш^і)^в классе і , и доказано, что при нарушении условия Лопатинского в конечном числе точек однородная задача имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная задача всегда разрешима. В этом параграфе указаны дополнительные начальные условия, при которых задача. А становится корректной.

В 3 рассматривается общая граничная, задача для системы (задача В ) Она также приводится к эквивалентной задаче - решению систем линейных алгебраических уравнений в классе S . В этом параграфе доказываются следующие утверждения. Для того чтобы однородная задача В имела конечное число линейно независимых решений , необходимо и достаточно, чтобы условие Лопатинского выполнялось всюду, кроме конечного числа точек. Если условие Лопатинского выполняется всюду, кроме конечного числа точек, то - ІЗ - неоднородная задача # в классе/⁷"Sy при /=/'/-^ имеет решение, где Л - некоторое целое неотрицательное число, определяемое через коэффициенты уравнения и граничного условия, j_o - порядок сингулярности функционала Ff Сфункционал/ из условия СО.II), //3/ ) В этом параграфе получена формула числа линейно не-зависимых решений однородной задачи В и указан метод решения неоднородной задачи.

Во второй главе рассматриваются краевые задачи для дифференциальных уравнений в частных производных в классе обобщенных r"ic^r функций/- J,- при наличии нерегулярных точек.

В I исследуется задача типа Коши и доказывается, что однородная задача имеет конечное число линейно независимых решений, которое с ростом/ стремится к бесконечности, а неоднородная задача всегда разрешима. Указываются дополнительные начальные условия, обеспечивающие корректность рассматриваемой задачи в этом классе.

В 2 исследуется общая граничная задача в классе f~ S/ для уравнений в частных производных Сзадача /V) и доказываются следующие утверждения. Для того чтобы однородная задача. М в классе f J/ имела конечное число линейно независтшх решений, необходимо и достаточно, чтобы условие Лопатинского выполнялось всюду, кроме конечного числа точек.

Если условие Лопатинского выполняется всюду, кроме конечного числа точек, то неоднородная задача в классе F S- имеет решение. Получена формула числа линейно независтшх решений однородной задачи и указан метод решения неоднородной задачи.

Каждая глава поясняется примерами.

5. Остановимся вкратце на характеристике новизны предлагаемых результатов.

В диссертационной работе показано, что однородная общая гра- ничная задача для одного уравнения в частных производных и для. системы уравнений в случае, когда все точки регулярные и условие Лопатинского нарушается в конечном числе точек, имеет конечное число линейно независимых решений, а неоднородная задача всегда разрешима. Аналогичное утверждение доказано в классе f~ Sj для одного уравнения в частных производных при наличии нерегулярных точек. В работе получены формулы числа линейно независимых решении однородных задач и указаны методы построения решений однородных и неоднородных задач в классах F S/ и S . Указаны дополнительные начальные условия, обеспечивающие корректность рас -сматриваемых задач.

6. Относительно методики отметим следующее. В работе ис -пользуется теория обобщенных функций, преобразование Фурье в классе обобщенных функций, решение обыкновенных дифференциальных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений в классе обобщенных функций, а также оценки решений для, обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром в классе функций, растущих вместе с производными не быстрее полинома.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2Ъ] - /~24j .

Общая граничная задача для дифференциального уравнения в частных производных в классе

Аналогично доказывается, что функционал С J также представим в виде (1.7). Из этих представлений и формулы (1.4) непосредственно следует утверждение леммы I.I и тот факт, что решение задачи (I.I) и (1.2) сосредоточено в точке Х0 .

Лемма 1.2. Если действительные части всех корней характеристического уравнения (0.8) больше нуля, то решение Ші) систе-мы (0.7) в классе равно нулю.

Доказательство. Делая преобразование Фурье по переменной Х, в уравнении (0.7), получим систему дифференциальных уравнений 1-го порядка - 17 at wv, ci.8) ГДЄ V(th(%(t), ){( ), Vm(t)}.

Если Uffle S » T0 V(t)= Fu({) также принадлежит классу j . Согласно работе /I8J решение Vfi) через свои начальные условия записывается в виде V(t)=e (x)tV(0). Отсюда и из формулы (1.5) следует т) Є Ла ІШ) jfM(J A(X)) dj Vtt), (I.9) о Поскольку Ik I - d + IP ( )1 +/PX(X)I+-- + / &. Wl) , то при (/ - / модуль }L есть величина ограниченная и контур jf для таких X можно выбрать единый. Покажем, что V(0)=0 , если №)е$) и Supp (x) &UJy3), Из (1.9) имеем r Обозначим элементы матрицы -J— ((EJ-J-ґх)) aJ через Ш j CLj (X,t); %j ( ,t)=Cj(x,t) P(x); (Щ f j = ((V, o)tY)r..t(%o)f f)). Из (I.10) имеем т. т. ( щ vh lCyWVjft), r)=i(Vj(t)} Cqiitw )). (i.ii)

Так как V:(t)e $ , a /J - финитна, то имеет место оценка. l(Vj t), %j (х, Dl С( Ґ) sup ffs+uSjf /ЙкШ/ (І.І2) - 18 Так как fte }L (X) при Х = C fi]; (1= і 2.,.-., ) , то d Ccj (x,t) і - rt АС - rt С , где 0 - = Отсюда следует, что дх с,е аг {О сГ е), Переходя в неравенстве (I.I2) к пределу при {:— +с о t получим Следовательно V(0) = 0 для (Х)е%) , а так как плотно в J , то это имеет место и для У(Х)е S Для одного уравнения высшего порядка эта лемма доказана в работах [15] и/14J .

Для случая, когда решение системы (0.7) ищется в некоторых банаховых пространствах, лемма 1.2 доказана в работе/"I8J .

Лемма 1.3. Корни J, Ш, Лл(х),..., Ат (X) уравнения (0.4), удовлетворяющие условию (0.5), можно выбрать так, что в некоторой окрестности бесконечности они представиш в виде / Ч/ (X f) При /V Х+ X(X)=j JL (I.I3) I rj (X tJ) при -ox -/?, где 4j(2) и %(Ъ) - аналитические функции относительно переменной Н в некоторой 6 - окрестности точки і = О , кроме точки Z- 0 , в которой могут иметь полюс, р, и , - некоторые целые положительные числа, а /У - достаточно большое положительное число.

Доказательство. В книге /"19/ (стр.50-55) -доказано, что корни Д (Х)} Pt(x)) ... f j& (X) уравнения (0.4) всегда можно выбрать так, что в окрестности бесконечности они представиш в - 19 виде: jr_ Л w =fj(x PjK /xf ci.и) где /Uj (Z.) - аналитические функции относительно переменной 2 в достаточно малой окрестности нуля, кроме точки =0 , в которой могут иметь полюс, р. - целые положительные числа. Из представления (I.I4) следует, что /U ft Ш = Л,у /XI К/ и)у (X) при Х А/} CI.I5) где уу К/ - действительные постоянные, a UJj/ (X) - / при X— .Из (I.I5) следует, что корни 3 (X) можно перенумеровать так, что они в интервале ( Nt ) будут удовлетворять условию (0.5). Следовательно в этом интервале корни \ (X) имеют представление (I.I3). Аналогично доказывается это представление и для интервала С-, -/1/) .

Лемма 1.4. Корни X (X), Л/х -- / тх) уравнения (0.4), удовлетворяющие условию (0.5), можно выбрать так, что в окрестности фиксированной точки - они представимы в виде: (4 jU -X)b при x,. x v VXj ) /. СІ.16) [Чу((Х-Х;)Ъ) при Х 6 Х Х} где (X) ж Vу/ (X) - аналитические функции относительно переменной X в 6 - окрестности точки Х-О ,/?%$.- некоторые целые положительные числа. Лемма 1.4. доказывается аналогично лемме 1.3. Рассмотрим систему линейных алгебраических уравнений &„ (V У, + du(x) %+ + d//t(V V =0 d,u (X) \i + dxi(x) Vz + d2n (x)Vn=0 (I-I7) dm (X) V, + dni(X) %+.. cbnWV , =o - 20 где dij (X) - аналитические функции в окрестности точки Xf , такие, что ditfim ditilcLjM)ll o при о /х-ы -8, (1Л8) а решение 1/= ( Vi, %.,- і V/v ) ищется в классе функционалов г I 3 , сосредоточенных в точке Х- Х1 .

Лемма 1.5. Число линейно независимых решений системы (I.I7) конечно и равно кратности нуля Х= X, функции dtt 5Э(Х) . Доказательство.Систему (I.I7) решим методом последовательного исключения неизвестного или методом Гаусса.

Пусть для определенности dH (X) имеет наименьший порядок нуля в точке Ху среди коэффициентов системы (I.I7). Тогда d„ т = М-х,)"4dа)} dtw+O. Ш = (х-х.) " d? (X) = tx-XJ "" - ""сі аХх-ї.Г где &ы (xj toJ пьі/с & пь, Из первого уравнения определим (X-Xf)Vi и подставим в остальные уравнения, получим (х-х )"4(dZwV -dl(x)l+ - dL(X) Vn) = 0 4І W vz + 4 Ж+- -, d (x) V = 0 CI I9) dU (x) VL + eg (X)\/3+ - + d (X) Vb = o, ctftwo. Так как определители матриц систем СІ.17) и СІ.19) совпадают, то основной определитель системы СІ.І9) также удовлетворяет условию СI.18).

Общие краевые задачи для системы дифференци альных уравнений в частных производных в классе J

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений - - -й // 5 і, . /гп (1-72) где ІОН)- (LJj (t)J CJ ajj ... iJ ()J _ искомое решение в классе 3 , j(Xj - квадратная, матрица порядка /и , элементы которой полиномы. Пусть А1 (X)} Jz (X)J ... ) Jm (xj - корни ХЭг-рактеристического уравнения (ИгК«К0r.., Ягу\г( )±о, (UAtti ) or.,)lltJm o) cUt (J-j(x)) = 0, (1.73) корень берется столько раз, какова его кратность. Предполагается, что все точки ХЄ& являются регулярными. Задача В. Найти решение уравнения. (1.72), удовлетворяющее граничному условию о 8(1- ) )(0)= (1.74) где 3(Х) - матрица, размерности Ъх ҐҐІ , элементы которой полиномы, а У= ( у . У) - заданный функционал из класса. S . Делая преобразование Фурье по X в уравнении (1.72) и граничном условии (1.74), получим;

Задача В?. Найти решение и №) в классе S системы урав нении % = Аши, t o, (1-75) удовлетворяющее условию -35 Вми(0) = , (I.?6) где U - fCJ I- f-f . Обозначим через p+(x} ?kJ ( -л » ц (1-77) где jf (х) - замкнутый контур в комплексной ПЛОСКОСТИ /&./I 0 , охватывающий корни / (J- / Z+Z,..., ґгі) уравнения. (1.73). Задача Вд. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений в классе S 8(X)V = (1.78) P+(X)V=0 (1.79) где V- ( Vi} 1 - искомый функционал, независящий от t , a =li} ) - заданный функционал из S , совпадающий с правой частью граничного условия. (1.76).

П.І. Некоторые вспомогательные предложения. В классе обычных вектор-функций (X,t) = (fff ( ,), У (X/Q if M,fy) РассмотРІМ следующую систему уравнений: =Л( )#+М1), t o/ (1.80) где ./ у при /Jf/- 0 0 и t t-c 3 растет не быстрее полинома. Демма 1.10. Если решение tt(X,t) уравнения (1.80) удовлетворяет оценке ІІЇ( ,і)І а)еШ)і«+іґ; Х6/ /?л (І.8І) - 36 ІУ-и.0)} ± СП+/ХҐ), Хе/Є/ (І-82) где U(X) - положительная функция, f(XJ ІЩП- /leJj(X) С , fi и p - постоянные, то ty(X, t) по переменным X и t растет не быстрее полинома. Лемма 1.10 при 6=0 доказана в работе /I4J . В нашем случае доказательство аналогичное.

Лемма 1.11. Элементы матрицы pf(x) = ( /2 (х)) в окрестности точки X-+00 ( х = -оо ) представимы в виде: Py(u=%-(x-bt (1-83 где р - натуральное число, a -(2)- аналитическая функ у/ ция в окрестности нуля, кроме точки Z = О , в которой может иметь полюс. Доказательство приведем в окрестности X = Согласно (1.77) элементы О (х) можно записать в виде: О pf (х) = - — (Лімі dA Су М іти У оцх) а о где Q(J,X)= oUt (J-Jt( )) , а Р. ил) -некоторый полином относительно J и X . ПосколькДорни полинома Q(J,X) в окрестности + можно представить в виде (лемма 1.3) „ , -хч (1.84) где функция Hj (Ъ) аналитична в окрестности нуля, кроме Ъ- 0 » в которой может иметь полюс, то существует окрестность точки X = в которой, во-первых [М Aj (X) О , или Hi Jj (Х)й0 и, во-вторых, два корня Jj(X) либо толе - 37 дественно совпадают, либо различны для всех точек этой окрестности. В дальнейшем рассматриваем X из этой окрестности. Пусть /ЩСх) /lx(xj...; А W - различные корни среди J/(X) с jfa JUJ(X) О Обозначим их кратность через /У/ fx ,..; /„ (Kit ltt + --+ tip = т- г). Для. вычисления Р + (х) применим теорему о вычетах р Рч ( )=Х_-ш f(jtf(x)), где /и)= 4тГ7- (1-85) ы ви, )

Заметим, что если точка 2-0 является полюсом или устранимой особой точкой для функции () и У(1)фО і т0 LZYBJ также обладает этими свойствами. Испльзуя это свойство и формулы (1.84) и (1.85),можно сделать вывод о справедливости леммы І.ІІ в окрестности Х= . Аналогично доказывается это утверждение и в окрестности х = - Отнесем к классу /I/ множество функций U(X,i) , если они бесконечно дифференцируемы по t (t?/ 0) и по %()(. Я.1) И существуют постоянные Ск ftt.Wji такие, что д &(х,і)\ . л , , , \Пк , , SK-M. Тх —\ ±СЛ (i+i) U+/XI) ; # = 0/,.... Поскольку все точки Хє & регулярные и имеет место представление (1.83), то элементы матрицы Р (X) принадлежат классу /У . Докажем следующую лемму.

Общая, граничная задача в классе /у

Для того, чтобы однородная задача М в классе/- , имела конечное число линейно независимых решений, необходимо и достаточно, чтобы условие Іопатинского выполнялось всюду, кроме конечного числа, точек.

Теорему 2.6. достаточно доказать для задачи /V/ Доказательство. Необходимость. Пусть условие Лопатинского нарушается в бесконечном числе точек Х1/Хг/... и jfH(x,t) - нетривиальное решение задачи Л1 при Л =/ . Тогда легко убедиться, что функционалы UKU)=&U) ft ) С2 63) линейно независимы и являются решением однородной задачи Mi .

Достаточность. Пусть условие (2.55) выполнено всюду, кроме точек m1t хх,.- Ял. » в эти точки входят и точки XiJ XXr..f Хр . Покажем, что однородная задача МІ В классе X имеет конеч-ное число линейно независимых решений. Если все точки Хє /? регулярные и показатель регулярности уравнения равен 2 , то в работе [16] показано, что задача Мі имеет единственное решение в S тогда и только тогда., когда

Если же это условие выполняется в окрестности регулярной точки Х0 , (то есть условие Лопатинского выполняется в окрестности этой точки), то решение задачи М1 в классе единственно в этой окрестности. Отсюда следует, что решение CIU) однородной задачи Mi есть функционал, сосредоточенный в точках X,,..., Х [іб] , поэтому решение LLlt) естественно искать в классе функционалов, принадлежащих и сосредоточенных в точках Х0...,Х, Функционал Ult) представим в виде п. иШ иШ+ LL(t)+- + UU) (2-65) где Ltd) - сосредоточен в точке Х# (=4,2.,--, &) . Ясно, что функционал U {) также является решением однородной задачи М1 . Найдем решение U,(i) . Поскольку функционал U(t) сосредоточен в Ху , то решение U() будем искать в окрестности точки X/ Как показано в доказательстве леммы 2.3, задача Jci эквивалентна задаче (2.59), (2.62). Аналогично показывается, что однородная задача Мі в окрестности точки Xf в классе X эквивалентна задаче (2.66) 2)7 (Ю W= 0 , u/= lilfOl ії (О),..., 1 oj), (2-67)

Решение уравнения (2.66) через начальные условия U(0) UfO) ШО) задается формулой UfV-I_ (X,t) UfOJ, /х-к /±8. (2 68)

Если W сосредоточен в точке X/ и принадлежит классу о- , то согласно лемме I.I решение Ш) с такими начальными условиями будет принадлежать классу Sj . Следовательно, решение задачи (2.66), (2.67) в классе функционалов, сосредоточенных в Xi и принадлежащих S,- , определяется формулой (2.68), где w произвольное решение системы (2.67) в классе функционалов, со-средоточенных в Х1 и принадлежащих X . Поскольку корни Л W, At(x --; - (Х) в окрестности точки Xi разделены от корней гі } Ля/Х » то коэффициенты $Т (X) полинома У7у (Л X) = ГУ/-Л ОД)ЛІ -J,(X)) -(A -JZJX)) -1_ 4, " (2.69) /.= ? бесконечно дифференцируемы в окрестности ТОЧКИ Ху [15] . Элементы матрицы А) (X) - аналитичны в окрестности точки Х1 , так как они выражаются через элементы O-nj (х) условия. (2.49) и коэффициенты #. (х) . Согласно лемме 2.3 , т л/ад А)2 (Х)= = 2 при 0 /Х Х / & . Следовательно, по легше

1.7 существует невырожденная аналитическая матрица JL(X) размерности X такая, что матрица di(X) )г IX) имеет вид /(x-x,)m л \ лшЪг х) \ п (х- U \P V= » », (2-70) \ и (t- rj где 3 (X) - аналитическая матрица размерности Zxl1 и Zona 5(х)= Z ПРИ /X-Xi/ 6 . Умножая обе части (2.67) на матрицу Л(х) и обозначая получим (X-X1)m 1UJi = Oj (X-X1)mzCJz = q...J(X-Xjmz-CJz=0 (2.72)

Уравнение (X-Xi) CJ -O в классе Sj имеет JU-к. — — /nlni/n. j-J) линейно независимых решений, которыми явля ются обобщенные функции д(Х-Хі) , О (Х Хі) ,...; о (х-х,) t Следовательно, система (2.72) имеет jU = ljUt (2.73) линейно независимых решений. Уравнение (2.71) при заданном OJ решаем следующим образом. Так как %ario J5 (X) = Z , то в окрестности точки Х1 существуют Ъ линейно независимых столбцов. Пусть первые Ъ столбцов линейно независимы, тогда уравнение (2.71) решим относительно U(0)J UfO) UZfoj , а остальные компоненты берём произвольными функционалами из J- , сосредото ґ ченными в точке Хг , такими функционалами являются линейные комбинации еГ(х-х ) (Г(х-х );... , (У(х-х,) .

Примеры

Частным решением задачи Cf является функционал ШІ) = е U0. Следовательно, общее решение задачи Сі в классе Sj дается формулой ШІ) = С 2г + (Со Г1-с г + .+ Cj сГ0)) (X/t) (2 98) где Ц LX,t) определяется по формуле (2.97). Дополнительные условия, обеспечивающие единственность решения задачи С/ в классе Si , имеют вид Ь -о,,,...,;. (2-99) Подставляя UU) из (2.98) в условие (2.99), получим ( % мх)х ) + н/сл /с! -4. (2-юо) Следовательно, решение задачи Ci с дополнительншл условием (2.99) дается формулой ( Х -б С Х і Є ) L. (-if /С! СХ); К.—О где 1= ( 1 МХ)ХК) Пример 2. Найти в классе F S- решение У() уравнения, (2.91), удовлетворяющее условию РвпЬ)Ш + Р,а%-ж) v (0) = 4 (злої) - 74 После преобразования Фурье по X в (2.91) и (2.101), получим следующую задачу. Задача Mj. Найти решение Щ) уравнения. (2.93) в классе J. , удовлетворяющее граничному условию Р0 (х) шо) + % ex) LL W) = 0; (2Л02) где 4 - линейный непрерывный функционал В Sj , / / 0 . Условие Лопатинского для задачи (2.93), (2.102) нарушается в точке Х= 0 , а в остальных точках выполнение этого условия эквивалентно Р0(Х) Ф L fifx) О при Хе# ,Х 0. (2.103)

Будем предполагать, что условие (2.103) выполняется. Представил Р0 (X) и Д (X) в окрестности точки Х = 0 в виде %(Х) = Х\(Х); /?( ) = Х %(Х); (2.104) где (0)ф О у а (О)Ф О » и / - некоторые целые неотрицательные числа. Обозначим = /пі/г С -,3) . Согласно формуле (2.74) однородная задача имеет У = пап ( гпь jt /) + (j+ -f) линейно независимых решений. Найдем общее решение однородной задачи /% в классе Sy . Для этого решим уравнение Po(X)U(0)-f %(X)u (0)=0 (2.105) относительно ШО) и U (О) в классе функционалов, сосредото-ченных в х = 0 и принадлежащих классу j,- . Пусть для. определенности 6 Л , тогда, имея в виду (2.104), получим X /" (X) Ш0) -h X Uf (X) U (О)] = О. - 75 Ш0) = - х р ЛШ и (0) + І 9сл f% 2-106) % ш = где Сл -произвольные постоянные. Так как U(O) -функционал, сосредоточенный в точке Х-О и принадлежащий S- , то он имеет вид U(0J=Y_d f (х , (2.107) 11 = 0 где и -произвольные постоянные. Тогда решение однородной задачи дается формулой и. = у, a,t) шо) у, it, і) и /01} (2 ло8) где //G 1,4) і (Х,ї) - Фундаментальные решения уравнения (2.93), определяемые формулами (2-.96), (2.97), а ШО) и Шо) определяются формулами (2.106), (2.107). Построим частное решение неод-нородной задачи. Так как корни X и і разделены, то уравнение (2.93) можно написать в виде (i l)(it )u=0 (2-I0S) Частным решением задачи М будет решение задачи %-LU Q (2.ПО) Ро (X) U/0) + % М и (0)= 4 2-Ш) С другой стороны, задача (2.110)-(2.111) эквивалентна задаче Ъь-Ш-0, (2.II2)

Из условия (2.103) имеем pit) + Lfi /Х)= К п Q It) , где П, -целое неотрицательное число, Qlt) -полином, Qcf.) Ф О ПРИ - 76 о -1 %е /і . Следовательно, нужно решить уравнение хнС1шшо) = о (2Л14) Частньм решением уравнения (2.114) будет (пч) (иЩ «»). (2.ІІ5) Следовательно, частное решение задачи M-f дается формулой Ші) t ШО) » гДе МО) определяется формулой (2.115). Аналогично можно решить задачу Mi , если условие Лопатинского вьшолняется всюду, кроме конечного числа точек ( OlXi}XZj...) Х ) , тогда число линейно независимых решений однородной задачи равно и fi=i J ) где S - порядок нуля функции p (X) + L pi (X) в точке XK . Частное решение неоднородной задачи дается формулой U Щі)= U(0) , где ШО) - решение уравнения (2.ИЗ). Уравнение (2.ИЗ) является частным случаем системы алгебраических уравнений (1.65), рассмотренной в 2, главы I.