Введение к работе
Актуальность тены. для линейных параболических краевых задач получены достаточно полные результаты по вопросам их корректной разрешимости в пространствах Гельдера.Соболева-Слободецкого и некоторых пространствах обобщенных ' 'чкци^интогрального представления речений,исслед"' 'ния свойств решении и ядер их интегрального представления. Ото касается главным образом краевых задач ( в том числе и задачи Коши ) для обыкновенных равномерно параболических по Петровскому уравнений и систем уравнений с гладкими ограниченными коэффициентами в областях с достаточно гладкой границей.
Значительно меньше исследованы краевые задачи с различными вырождениями и особенностями.когда,например,коэффициенты задачи имеют особенности в одной или в нескольких точках,уравнение вырождается по некоторой группе переменных или содержит оператор Бесселя.
Исследованиями задачи Коши для таких уравнений занимается значительное число отечественных и зарубежных математиков в случае,когда начальные данные являптся обычными функциями,хотя такая задача имеет естественную постановку и в различных классах обобщенных функций бесконечного порядка. 3 связи с этим и необходимостью построения математических моделей для описания диффузионных процессов в анизотропных средах и тепломассообмена актуальным является исследование разрешимости задачи Коши,а также изучение свойств ее решений для таких уравнений в случае,когда начальные данные являются обобщенными функциями конечного или бесконечного порядка.
Часто такие функции совпадают с обычными за исключением только нескольких точек или части границы,где они имеют особенности. Если порядок особенностей выше степенного,то тогда эти функции не входят в класс обобщенных функций конечного порядка ( распределений Соболева-Шварца ),а являются обобщенными функциями более высокого порядка С например,ультрараспределениями класса Левре ). Таким образом,определенный интерес представляет изучение свойств решений задачи Коши для уравнений о указанными вырождениями и особенностями при приближении к отдельным частям границы в зависимости от свойств начальных данных ( локализация решений ),а также поведение решений при неограниченном возрастании временной переменной ( стабилизация решений ).
- ч -
Цель работы. I. Установить разрешимость задачи Коши для пар болических уравнений: с особенностями при производной по Ь ,с вы рождением по некоторой группе пространственных переменных ( ультр параболические уравнения ),с оператором Бесселя в пространствах обобщенных функций типа S.
2. Изучить свойства локализации и стабилизации для указанных выше уравнений в пространствах обобщенных функций бесконечного по рядка.
Методы исслодеваний. Методика доказательств существенно испо зует теорию обобщенных функций.теорию уравнений с частными произі нымн параболического типа,теорию самосопряженных операторов в гил бертовом пространстве.
Научная новизна. I. Доказано однозначную разреаїимость задач* Коши для параболических уравнений.имеющих особенность при произвс ной по t . Установлено свойство локализации ее решений в простре ствах обобщенных функций типа о.
-
Установлено достаточное ( а для уравнений специального в; и необходимое ) условие стабилизации решений задачи Коши для ураї ний типа Колмогорова в пространствах обобщенных функций босконеЧі порядка.
-
В пространствах обобщенных функций типа S доказана ра: шимость задачи Копи для параболических уравнений с оператором Беї ля ; исследованы свойства локализации и стабилизации ем решений.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит творе ческий характер.Результаты диссертации могут быть использованы с циалистами в области теории уравнений с частными производными па ііоличоокого типа в доказательствах существования и единствекност решчний методами, аналогичными изложенным в работе,а также при и довании математических моделей диффузионных, процессов в анизотро средах и тепломассообмена.
На защиту выносится. I. доказательство однозначнои разрешив задачи Коши для параболических уравнений,которые имеют особенное при производной по І и свойства локализации ( в частности,скс
- і -
локализации) еэ решений в пространствах обобщенны.: функций типа 6.
-
Достаточные (а для уравнений типа урезнэний диффузии с инерцией и необходимые) условия стабилизации решгний задачи Коги для некоторых ультрапараболи аких уравнений в указанных выше пространствах.
-
Доказательство разрешимости задачи Коии для параболических уравнений с оператором Бесселя, а такжо свойства локализации и стабилизации ее решений в пространствах обобщенных функций бесконечного порядка.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на : школе-семинаре по применению методов математического мод іирования в научных исследованиях ( Донецк, 1988 ) ; научной конференции молодых ученых Одесского государственного университета ( Одесса, 1988 ) ; Республиканской конференции по нелинейным задачам математической физики ( Черновцы, 1989 ) ; семинарах по теории уррвнений с частными производными ( Черновцы, руководитель - доктор физико-Mfтематических наук, профессор Ивасишен С.Д., 1991 - 1992 ).
Публикации. По теме диссертации опубликовано пять работ.
Объем и структура диссертации. Диссертационная работа изложена на 1АО страницах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и библиографического списка, содержащего оЧ названия.
